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2.1.2指数函数及其性质(第一课时)标记


2.1.2指数函数及其性质
第一课时

问题 引入
问题1、某种细胞分裂时,由1个分裂成 2个,2个分裂成4个,1个这样的细胞分 裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么?

研究
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次

……

y?2

x

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

问题 引入
问题2、《庄子· 天下篇》中写道:“一尺 之棰,日取其半,万世不竭。”请你写出 截取x次后,木棰剩余量y关于x的函数关 系式?

研究
截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次

1 x y?( ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 ( )x 尺 2

提炼

1 x y?2 y ?( ) 2 设问1:以上两个函数有何共同特征 ?
x

(1)均为幂的形式;
(2)底数是一个正的常数;

(3) 自变量x在指数位置.

定义 :
一般地,函数y ? a x (a ? 0, a ? 1)叫做指数 函数,其中x是自变量,函数的定义域是 R。

探究1:为什么要规定a>0,且a
x

? 1呢?
x

x ①若a=0, 则当x>0时,a =0; 当x ? 0时, a 无意义.

则对于x的某些数值,可使 a 无意义. ②若a<0,

1 如 (?2) ,这时对于 x ? , 在实数范围内函数值不存在. 4
x

则对于任何 x ? R,a ? 1 是一个常量, ③若a=1,
x

没有研究的必要性. 为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。
x
x

在规定以后,对于任何 x ? R, a 都有意义,且 a ? 0, 因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞).

探究2:观察指数函数的解析式有什么特点:

y ? 1? a
系数为1

x

自变量仅有 这一种形式
底数为正数且不为1

例1、下列函数是否是指数函数

y ? (1.5) , y ? 2a , y ? (?4) , y ? ?4 ,
x x x x

y?4

? x ?3

?1? x x , y ? ? ? , y ? b , y ? 2 ? 1. ?2?

2x

随堂练习:下列函数中,哪些是指数函数?

(1)y ? 4

x

( 2) y ? ?4
( 4) y ? 4

x

(3) y ? x
我也不是

4

x ?1

例2、 函数y ? (a 2 ? 3a ? 3)a x是指数函数 , 求a的值
?a 2 ? 3a ? 3 ? 1 ?a ? 1或a ? 2 ? ? 解:依题意,可知 ?a ? 0 ,解得 ?a ? 0 ?a ? 1 ?a ? 1 ? ?

?a ? 2

二、指数函数的图象和性质: 设问1:我们研究函数的性质,通常通过函数图象
来研究函数的哪几个性质?
1.定义域 2.值域 3.单调性 4.对称性等

设问2:那么得到函数的图象一般用什么方法? 列表、求对应的x和y值、描点、作图 在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:

y?2

x

?1? y?? ? ?2?

x

y ? 3x

?1? y ?? ? ? 3?

x

x
y ? 2x

… …

-3 0.13

-2 0.25

-1.5 0.35

-1 0.5

-0.5 0.71

0 1

0.5 1.4

1 2

1.5 2.8

2 4

3 8

… …

x



-3 8

-2 4

-1.5 2.8

-1 2

-0.5 1.4

0 1

0.5 0.71

1 0.5

1.5 0.35

2 0.25

3 0.13

… …

1 y ? ( )x … 2

8

7

6

?1? y?? ? ?2?

x

5

y?2

x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y?3

x

y ? 2x
底数互为倒 数的两个指 数函数图象:

1

关于y轴对称
1

0

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1 0

1 1 0 x

x

0

x

画板

● 图象共同特征:
◆图象可向左、右两方无限伸展
y

◆图象都在x 轴上方 ◆都经过坐标为(0,1)的点
y ? ax
(a ? 1)

y

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 ◆
0

a>1时,图象 自左至右逐渐上升
x

◆ 0<a<1时,图象 自左至右逐渐下降

1 0
x

向上无限伸展,向下与x 轴无限接近

画板

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和特征:
a>1 0<a<1
6

图 象
1

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1
1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

1.图象在x轴上方

特 2.从左到右上升 征 3.过定点 (0, 1)
4、a越大,向上越靠近y轴

从左到右下降

a越小,向上越靠近y轴

y ? a (a ? 0且a ? 1) 的性质:
x

a>1

0<a<1

函 1.定义域:?? ?,??? 数 2.值域: ?0,??? 性 质 3.过点 ?0,1?,即x= 0 时,y= 1 4.在R上是增函数 函数 在R上是 减函数 函数 5.x>0时, y ? 1 0 ? y ?1 x<0时, x>0时, 0 ? y ? 1 X<0时, y ? 1

例3、 如图为指数函数: (1) y ? a x (2) y ? b (3) y ? c
x x x

y

(1)

( 2)

( 3)
( 4)
O

(4) y ? d 的图象,
比较 a, b, c, d 与1的大小关系.

x

c ? d ?1? a ? b

练习:利用图象,比较下列各数的大小。 (1)2 ,
-1.7
1.7

3 , 1.6

1.7

1.7

3 ? 2 ? 1.6
1.7 1.7

1.7

(2)0.5?1.7 , 0.3-1.7 , 0.6?1.7

0.3

? 0.5
f?x? = 2x

?1.7

? 0.6

?1.7

6

g?x? = 3x

g?x? = 0.3x f?x? = 0.5x h?x? = 0.6x

6

5

5

4

h?x? = 1.6x

4

3

3

2

2

1

1

-4

-2

2

-2

2

4

例4、 说明下列函数的图象与指数函数y=2x的图象的关 系,并画出他们的图象: ⑴ y=2x+1 ⑵ y=2x-2
将y=2x的图象向左平移一个单位,就得到y=2x+1的图象 将y=2x的图象向右平移两个单位,就得到y=2x-2的图象 y
4
3
2

y=2x+1
Y=2x

1
-2 -1 0 1 2 3

x

思考题:

怎样由y=2x的图象得到y=1+2x的图象。

小结:
1.指数函数的定义:函数

y ? a (a ? 0且a ? 1)
x

叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R。
2.指数函数的的图象和性质:

(1)、y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和特征:
a>1 0<a<1
6

图 象
1

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1
1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

1.图象在x轴上方

特 2.从左到右上升 征 3.过定点 (0, 1)
4、a越大,向上越靠近y轴

从左到右下降

a越小,向上越靠近y轴

y ? a (a ? 0且a ? 1) 的性质:
x

a>1

0<a<1

?? ?,??? 函 1.定义域: 数 2.值域: ? 0,??? 性 质 3.过点 ?0,1? ,即x= 0 时,y= 1 4.在R上是增函数 函数 在R上是 减函数 函数
5.x>0时, y ? 1 0 ? y ?1 x<0时, x>0时, 0 ? y ? 1 X<0时,y ? 1


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