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同角三角函数的基本关系和诱导公式



同角三角函数的基本关系和诱导公式 7.18 执教者:范叔阁

教学目标: 1.考查同角三角函数 基本关系式和诱导公式;2.利用公式 进行三角函数的化简与求值.
? 教学重难点: 1.理解记忆同角三角函数 基本关系式和诱导公式,特别要对诱导公 式的口诀理解透彻;2.通过训练加强公式运 用能力的培养,寻找化简求值中的规律.

础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
5 -5 3 4 2 5 - 5 3 3 - 4 2 -3

解析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例1】 1 =. 5

同角三角函数基本关系式的应用
已知在△ABC中,sin A+cos A
思维启迪 解析 探究提高

(1)求sin Acos A的值; (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝 角三角形; (3)求tan A的值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练1 -2cos2α; (2)已知sin α=2sin β, tan α=3tan β,求cos α. (1)已知tan α =2,求sin2α+sin αcos α
解 (1)sin2α+sin αcos α-2cos2α sin2α+sin αcos α-2cos2α = sin2α+cos2α tan2α+tan α-2 4 = =5. tan2α+1 (2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β,
∴sin2α=4sin2β, tan2α=9tan2β, 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β, ① ② ③

①+③得:sin2α+9cos2α=4, 3 2 2 2 ∵cos α+sin α=1,∴cos α=8,即 cos α 6 =± . 4
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题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】

三角函数的诱导公式的应用
(1)已知
?π ? cos?6 +α?= ? ?

3 ,求 3

思维启迪

解析

探究提高

?5π ? cos? 6 -α?的值; ? ?

3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- , 5 ? 7 ? 求 sin(3π+α)· ?α-2π?的值. tan ? ?

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 ; cos?-α-3π?sin?-3π-α? ? 31π? sin?π-x?cos?2π-x?tan?-x+π? (2)已知 f(x)= ,求 f?- 3 ?的值. ? π ? ? ? cos?-2 +x? ? ? (1)化简:
tan αcos 解 (1)原式=
? ? π ?? αsin?-2π+?α+2?? ? ? ??

? 3π? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ?

cos?3π+α?[-sin?3π+α?]
tan αcos αcos α = ?-cos α?sin α

tan αcos = ?-cos α?sin α

?π ? αsin?2+α? ? ?

tan αcos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α
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题型分类·深度剖析
题型三 三角函数式的化简与求值
思维启迪 解析

1 【 例 3 】 (1) 已 知 tan α = , 求 3 1 的值; 2sin αcos α+cos2α (2)化简:
? 3π? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ?

探究提高

cos?-α-π?sin?-π-α?

.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 已知
? π? sin?α+2 ?= ? ?



5 5 - ,α∈(0,π), 5 ∴cos α=- 5 ,又 α∈(0,π), ? ? α? α? 2?π 2?π cos 4 +2?-cos 4-2 ? 2 5 ? ? ? ? 求 的值. ∴sin α= 5 . sin?π-α?+cos?3π+α? ? ? α? α? 2 π 2 π cos ?4+2?-cos ?4-2?
? ? ? ?

? π? ∵sin?α+2?=- ? ?

5 5,

sin?π-α?+cos?3π+α? cos =
2

?π α? ? α? 2 π ? + ?-sin ? + ? ?4 2 ? ?4 2?

sin α-cos α ?π ? cos?2+α? -sin α 2 ? ? = = =-3. sin α-cos α sin α-cos α
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题型分类·深度剖析
思想与方法
典例:(14

7.分类讨论思想在三角函数化简中的应用
(n∈Z).

?4n-1 ? ?4n+1 ? ? ? ? ? 分)化简:sin? π-α?+cos? π-α? ? 4 ? ? 4 ?

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变 名、变式.

教 学 反 思

1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符 号的影响,尤其是利用平方关系在求三角函数值 时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符 号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简 时,常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式 sin x tan x=cos x化成正弦、余弦函数;(2)和积转换法: 如利用(sin θ± θ)2=1± cos 2sin θcos θ 的关系进行变 形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ ? 1 ? π 2 2 2 ?1+ ?=tan =?. =cos θ(1+tan θ)=sin θ tan2θ? 4 ?



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