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2016年4月浙江省普通高校招生选考科目考试模拟测试数学试题(二)(教师版)



2016 年 4 月浙江省普通高校招生选考科目考试模拟测试 数学试题(二)
一、选择题(本大题共 18 小题,每小题 3 分,共 54 分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目 要求的,不选、多选、错选均不得分) 1.斜率为正数的直线,不能同时经过()象限. A.一、二 B.一、四 C.二、三 D.二、四 【答案】D 【解析】 试题分析:斜率为正数的直线,可能经过

一三、一二三、一三四象限(按直线在 y 轴上的截距的符号考虑) 。 考点:直线的斜率。 【命题意图】考查直线的斜率和直线在 y 轴上的截距对直线的影响。 2.函数 f ( x) ? 1 ? x 2 lg(1 ? x) 的定义域是() A. 【答案】C 【解析】 试题分析:由 ,得: 。 B.[ ] C. D.

考点:函数定义域的求法。 【命题意图】考查不等式解法,考查函数定义域的求法。 3.若实数 1,x,4,y,16 依次成等比数列,则以下四个命题:①当 x+y<0 时,x<y<0;②当 x+y<0 时,y<x<0 ③当 x+y>0 时,x>y>0;④当 x+y>0 时,y>x>0.其中,真命题有() A.①③ B.①④ C.②③D.②④ 【答案】D 【解析】 试题分析:由实数 1,x,4,y,16 依次成等比数列知:x=2,y=8;或者 x=-2,y=-8。 考点:等比数列通项公式。 【命题意图】考查等比数列的定义及通项公式的运用。 4.ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,则下列结论一定成立的是()

A. a cos A ? b cos B C. a sin A ? b sin B 【答案】D 【解析】

B. a cos B ? b cos A D. a sin B ? b sin A

试题分析:由正弦定理得: 考点:正弦定理和余弦定理。

,整理即得 a sin B ? b sin A 。

【命题意图】考查正弦定理和余弦定理的辨识。 5.将函数 y ? sin x 的图象向左或向右平移 ? (? ? 0) 个单位,得到一个偶函数的图象,则 ? 的最小值是() A.

? 4

B.

? 2

C. ?

D.

3? 2

【答案】B 【解析】 试题分析:将函数 y ? sin x 的图象向左或向右平移 ? (? ? 0) 个单位,得到 检验即可。 考点:函数图像变换、诱导公式的运用。 【命题意图】考查函数图像变换、诱导公式的运用。 6.已知 、 是两条不重合的直线, A.若 ∥ , ∥ , ∥ ,则 ∥ C.若 ⊥ , ⊥ , ∥ ,则 ∥ 【答案】C 【解析】 试题分析:选项 A:a 与 b 平行、相交、异面都有可能;选项 B:还有可能 b 在 内;选项 D:a 与 b 平行、 相交、异面都有可能。 考点:直线与平面的位置关系。 【命题意图】考查直线与平面的位置关系,考查线面平行的判定。 7.已知数列{an}与 的前 项和分别为 、 ,若 a1=3, ,则 等于() 是两个不重合的平面,则下列说法中,正确的是() B.若 ∥ , ∥ , ∥ ,则 ∥ ,再将选项代入

D.若 ∥ , ∥ , ⊥ ,则 ⊥

A.3 【答案】C 【解析】

B.

C.

D.2

试题分析:由

得,

,两式相减,得



及 a1=3 得 a2= , 由 a1=3 得 a2= 及

得 a3=

, a4=3, ……

故数列{an}是周期为 3 的周期数列, 考点:数列的通项与前 n 项和的关系。

= a3=



【命题意图】考查数列的通项与前 n 项和的关系,考查利用递推公式求数列的项。 8. “ ”是“ ”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 【答案】A 【解析】 试题分析:由 得:0<a<b<1;由 得:0<a<b<1 或 0<b<1<a 或 1<a<b,故选 A。 D.既不充分又不必要条件

考点:充分性与必要性的判断。 【命题意图】利用解不等式知识等价转化,判断充分性与必要性。 9.半球被一平面所截,截得的几何体的直观图、主视图和俯视图如图所示,则该几何体的侧视图是()

主视图 俯视图

直观图

A

B

C

D

【答案】D 【解析】 试题分析:用平面截球体,截面是圆面;从左侧看,右侧的半圆面被球面所遮,故轮廓线为虚线。 考点:空间几何体的结构。 【命题意图】三视图的画法。 10.已知 、 、 均为非零实数,下列各式,成立的是() A. C. 【答案】D 【解析】 试题分析:选项 A:当 a、b 为负数,c 为正数时不成立;选项 B:a、b、c 都是负数时不成立;选项 C:a 为正数,b、c 为负数时不成立;选项 D:|a-|b+c|| |a|-|b+c| |a|-|b|-|c|。 考点:绝对值不等式。 【命题意图】考查绝对值三角不等式的灵活运用。 11.记不等式组 表示的平面区域为 , , : 经过点 , B. D.

则 的最小值是()

A. 【答案】A 【解析】

B.

C.

D.

试题分析:r=

表示可行域内的点与原点连线段的长度,做出可行域,易知 r 的最小值为原点的直线

3x+4y-12=0 的距离,由点到直线的距离公式,可知选 A。 考点:简单的线性规划。 【命题意图】考查可行域画法,考查目标函数的几何意义,考查点到直线的距离公式。 12.如图, 中, 是 中点、 是 中点, ,则 等于()

A. 【答案】B 【解析】

B.

C. D.

试题分析:由 D、E 分别为 AC、BD 中点知: = 考点:平面向量基本定理。 【命题意图】考查平面向量基本定理和向量的中点公式。 13.如图,正三棱锥 中,E、F 分别是 BC、AD 的 ,故 x= ,y= ,选 B。

中点,则直线 AB 与直线 EF() A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.不相交但垂直 D.不相交也不垂直 【答案】D 【解析】 试题分析: 由三棱锥 为正三棱锥知: AB 与 CD 异面且垂直, 故 AB 与 EF 异面但不垂直, 从而选 D。

考点:空间直线的位置关系。 【命题意图】以正三棱锥为载体,考查空间直线的位置关系。 14.已知 ,且 ,则 的最小值是()

A. 【答案】B 【解析】 试题分析:由

B.

C.

D.1

知:



(当且仅当 m+n=1 时两式取等号) ,所以

=

,所以

,故 考点:均值不等式的运用。

,又 n-m>0,所以 n-m 的最小值为 ,其中,m= ,n= 。

【命题意图】考查均值不等式的灵活运用。 15.在空间直角坐标系 A. 【答案】C 【解析】 试题分析:设点 的坐标是(x,0,0)则:|MN|= 考点:空间直角坐标系下两点间的距离公式。 【命题意图】考查空间直角坐标系下两点间的距离公式。 16.设抛物线 过P作 轴于点 ,点 的焦点为 F,P 为抛物线 上一点, ,若 ,且直线 =3,解得 x=-1 或 x=3。 B. 中, 轴上一点 与 C. 或 D. 的距离为 3,则点 的坐标是()

的斜率为 6,则 的值为()

A.4 【答案】A 【解析】

B.2

C.

D.

试题分析:由抛物线定义知:|PF|=|PM|+ =5|PM|,|PM|= ,将 x= 代入抛物线方程得点 P 坐标为( , ) ,故

,解之,得 p=4。 考点:抛物线的定义和斜率公式的运用。 【命题意图】考查抛物线的定义和斜率公式的运用。

x2 y2 17.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)右焦点为 F,右顶点为 A,以 F 为圆心且与双曲线渐近线相切的 a b 圆交双曲线的实轴于点 B,O 为坐标原点。若线段 OF 与线段 AB 有相同的中点,则该双曲线的离心率 为() A. 【答案】A 【解析】 x2 y2 试题分析:双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 bx-ay=0,右焦点 F(c,0)到此渐近线的距 a b 离 d=b,故圆半径|BF|=b,又线段 OF 与线段 AB 有相同的中点,所以|OB|=|AF|,故 c-b=c-a,所以 a=b, 故双曲线离心率 e= 考点:双曲线离心率的求法。 【命题意图】考查通过图形几何特征的分析,建立 a,b,c 的关系求离心率。 18.如图,正四棱锥 S-ABCD 中,SA=AB,P 在底边上运动,则直线 BD 与直线 SP 所成的角的取值范围是 () A. B. A C. 【答案】B 【解析】 D. B C P D S B.2 3 5 C. D. 2 2

试题分析:利用图形的对称性,不妨设 P 在 CD 上运动(如图) ,当 P 与 C 重合时取最大值 (直线 BD 垂

直于平面 SAC) ,当 P 与 D 重合时取最小值 (三角形 SBD 是等腰直角三角形) ,故选 B。 考点:异面直线所成的角。 【命题意图】考查异面直线所成的角的求法。

二、填空题(本大题共 4 小题,每空 3 分,共 15 分) 19.已知 A={-1,0,1,2},B={x|x=ab,a ? A,b ? A},记 , ,则 =.

【答案】{-2,4} 【解析】 试题分析:A={-1,0,1,2},B={-2,-1,0,1,2,4}, A={-1,0,1,2},故 考点:集合的表示及运算 【命题意图】考查集合的表示,及交集、并集、补集的运算. 20.已知 =1, =2, 与 的夹角为 ={-2,4} {-2,-1,0,1,2,4},

2? ,则 3

=,

=.

【答案】-1, 【解析】 试题分析: =1

= 考点:平面向量的基本运算

,故

【命题意图】考查平面向量的数量积及向量的模的计算. 21.已知等差数列{ an }中, a2 =2, a3 ? a4 =7,若 Sn 为数列 { 小的 n 的值为. 【答案】9 【解析】 试题分析:设等差数列{ an }的公差为 d,则由 a2 =2, a3 ? a4 =7,有: ∴ ,解之,得: ,

9 1 } 的前 n 项和,则使 Sn ? 成立的最 10 an an ?1



∴ Sn 考点:等差数列的通项公式及数列求和

,∴

,故

【命题意图】考查等差数列的通项公式,考查裂项相消法求和. 22.已知 f ( x) ?| x ? a | , g ( x) ? ax ? 1 ,若 f ( x) 与 g ( x) 的图象有两个公共点,则实数 a 的范围是. 【答案】(-1,1) 【解析】 试题分析:容易知道: , 的图象过定点(0,1) ,

分别对 当 时,如图(1) ,

三种情形作图分析: , 与 ,显然有两个公共点;当 时,如图(2) ,当 的图

象介于图中两条虚线( 当

)之间时,有两个公共点,此时 0<a<1;当 与 )之间时, .

时,如图(3) ,

的图象介于图中两条虚线(

有两个公共点,此时-1<a<0;故实数 的取值范围是

图(1) 考点:函数图像的作法及其运用

图(2)

图(3)

【命题意图】考查函数图象的作法,考查函数图象的运用.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 31 分) 23. (10 分)已知 sinx, cosx), sinx, sinx)

(1) 若 ∥ ,求 tanx 的值; (2) 若 f(x)= ,则:

① 求 f(x)的最小正周期; ② 求 f(x)在 上的最值及相应的 x 的值.

【答案】 (1)∵ ∥

sinx, cosx),

sinx, sinx)



sinx sinx-sinx cosx=0 即 sinx

sinx – cosx)=0…………………………………….2 分

∴sinx

sinx – cosx=0



,或

………………………………….4 分

(2)f(x)=

=

sin2x+ sinx cosx=

=

=sin(2x-

………………………………………………….….6 分



……………………………………………….……………….7 分

② ∵

,∴2x-

[

, ] …………………….….…………….8 分

∴当 2x-

即x

时,

……………………………………………….9 分

当 2x-

即x

时,

……………………………………………….…….10 分

【命题意图】考查平面向量与三角函数的综合命题,考查三角公式的运用及三角函数的性质。 24. (10 分)如图,已知椭圆 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,直线 l0 : a2

恰好经

过 F2 ,过 F1 任作一条直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,交 l0 于点 P(不同于 F2 ) (1)求 a 的值及 Δ ABF 2 的周长; (2)是否存在直线 l ,使 (其中, 表示相

应三角形的面积) ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 【答案】 (1)由题意,有: ,解之,得 ……………….……….2 分

∴Δ ABF 2 的周长为 (2)由(1)知:椭圆 C 的方程为 ,两焦点坐标为 ,

…….….4 分

假设存在满足题意的直线 l ,设点 的坐标为

,于是,直线 l 的方程可以表示为:





,消去 ,得:



,

,则:



…………………………..…….6 分



=

∵ 而 = ,故

,∴

………………………………………………..8 分 ,即



(

,∴

故存在直线 l ,使

,其方程为:

,即

…………………….………………………………….10 分

【命题意图】考查椭圆的定义及其标准方程和简单的几何性质,考查直线和椭圆的位置关系. 25. (11 分)已知函数 .

(1) 探究



上的单调性,并证明之; 为奇函数; 对一切 恒成立,求实数 的取值范围.

(2)求实数 的值,使 (3)若 【答案】 (1) 任取 、 在

上的单调递减,证明如下: ,且使 < ,则:

)=

=

=

∵ ∴

, ∴ )>0,即

, ∴ ),故 在 上的单调递减.………………….3 分

(2)由

为奇函数知:



,∴

…………………….6 分

(3)由题意,



, ∴



对一切

恒成立……………….7 分



…….9 分

当且仅当



时,等号成立………………………………..………….10 分



,∴

,故实数 的取值范围是

……………………………….…….11 分

【命题意图】考查函数的单调性与奇偶性的证明与运用.



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