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湖南省衡阳县2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 文(2)



衡阳县三中20162017年下学期高二期末考试数学试卷(文)
一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分) 1. 已知 i 是虚数单位,则 2i(1 ? i) ? A. ?2 ? 2i B. 2 ? 2i C. 2i D. ?2i

3

4

2.已知α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点(-5

,5),则c os α的值为
4 A.5 3 B.-4 4 C.-5 3 D.-5

(  

)

3.曲线y=2x3-3x+1在点(1,0)处的切线方程为(  A.y=4x-5 B.y=-3x+2 C.y=-4x+4 ( )

 ) D.y=3x-3

4.已知命题p: ?x ? R, cos x ? 1, 则 A. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; C. ?p : ?x ? R, cos x ? 1;

B. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; D. ?p : ?x ? R, cos x ? 1; ) D. 2

5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( A. 1 B. 2 C. 3

6.

1

若不等 式组

? x≥1, ? y≥0, ? ? ?2 x ? y ≤ 6, ? ? x ? y≤a
表示的 平面区 域是一 个三角 形,则 实数 a 的取值 范围是 A. ? a 1 ? a ? 3或5 a? C. ? a 1 ? a ? 5? 7.

?

B. a 1 ? a ? 3或5 a? D. ? a 3 ? a ? 5?

?

?

已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的对称轴为 x ? ?3 ,且当 x ? ?3 时,

f ( x) ? 2 x ? 3 .若函数 f ( x) 在区间 (k ? 1, k ) ( k ? Z )上有零点,则 k 的值为
A. 1 或 ?8 B. 2 或 ?8 C. 1 或 ?7 D. 2 或 ?7 ? ? ? ? ? ? ? 8.设 a ? (1, 2) , b ? (1,1) , c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k 的值等于( A. ?
3 2



B. ?

5 3

C.

5 3

D.

3 2

9.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是 (  ) A.[-5,-3] C.[-6,-2]
9 -6,-8] [ B.

D.[-4,-3]

2

1 x ? ?2 ? ( 3 ) , x ? 0 10.已知直线y=mx与函数 ? 的图象恰好有3个不同的公共点,则实 1 ? x 2 ? 1, x ? 0 ?2

数m的取值范围是( ) A.( ,4) B.( ,+∞) C.( ,5) D.( , )

二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分) 11. 已知集合 A ? ? 1,2,3?, B ? ? 2,4,5?,则集合 A ? B 中元素的个数为_______. 12.在等差数列 ?an ?中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 25 ,则 a2 ? a8 = 13.在 ?A?C 中, a ? 3 , b ? 6 , ?A ?
2? ,则 ?? ? 3



14.不等式 | x ? 1| ? | x ? 5 |? 2 的解集是___________ 15.已知M(x0,y0)是双曲线C:
x2 ? y2 ? 1 2

????? ????? 上的一点,F1、F2是C上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 <0,则y0的取值范围是___
____ 三、解答题 16.(本题满分12分)已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? cos 2 x (1)求 f ( x) 最小正周期; (2)求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值. 2

?

17.(本题满分12分)已知等差数列 ?an ?满足 a1 ? a2 ? 10 , a4 ? a3 ? 2 . (Ⅰ)求 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设等比数列 ?bn ?满足 b2 ? a3 , b3 ? a7 ,问: b6 与数列 ?an ?的第几项相等 ?

3

18.(本题满分12分) 如图,在三棱锥 V ? A?C 中,平面 VA? ? 平面 A?C ,

?VA? 为等边三角形, AC ? ?C 且 AC ? ?C ? 2 , ? , ? 分别为 A? , VA 的
中点. (Ⅰ)求证: V? // 平面 ??C ; (Ⅱ)求证:平面 ??C ? 平面 VA? ; (Ⅲ)求三棱锥 V ? A?C 的体积.

19.(本题满分13分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机 访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图 所示),其中样本数据分组区间为 [40,50],[50, 60],???,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率; (3)从评分在 [40, 60] 的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在 [40,50] 的概率.

4

20.(本题满分13分)设函数 f ?x ? ? (Ⅰ)求 f ?x ? 的单调区间和极值;

x2 ? k ln x , k ? 0 . 2

(Ⅱ)证明:若 f ?x ? 存在零点,则 f ?x ? 在区间 1, e ? ? 上仅有一个零点.

?

21.(13分)如图,点F1(﹣c,0)、F2(c,0)分别是椭圆 C: 的左、右焦点,过点F1作x轴的垂线,交椭圆C的上半

部分于点P,过点F2作PF2的垂线交直线

于点Q.

(1)如果点Q的坐标为(4,4),求椭圆C的方程; (2)试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数,并证明你的结论.

5

6

参考答案 一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 D 4 C 5 C 6 B 7 D 8 A 9 C 10 B

二、填空题、 11. 【答案】5 12.【答案】 10 . 13. 【答案】

?
4

14. (??, 4)

15.

(-

3 3 , ) 3 3

16.【答案】(1) ? ;(2)最大值为 1 ? 2 ,最小值为0

17.【答案】(1) an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 ;(2) b6 与数列 ?an ?的第63项相等. 【解析】

7

试题分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识,考查学 生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用等差数列的 通项公式,将 a1 , a2 , a3 , a4 转化成 a1 和d,解方程得到 a1 和d的值,直接写出等差 数列的通项公式即可;第二问,先利用第一问的结论得到 b2 和 b3 的值,再利用 等比数列的通项公式,将 b2 和 b3 转化为 b1 和q,解出 b1 和q的值,得到 b6 的值, 再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出n的值,即项数. 试题解析:(Ⅰ)设等差数列 ?an ?的公差为d. 因为 a4 ? a3 ? 2 ,所以 d ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? 10 ,所以 2a1 ? d ? 10 ,故 a1 ? 4 . 所以 an ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2
(n ? 1, 2, ?) .

(Ⅱ)设等比数列 ?bn ?的公比为 q . 因为 b2 ? a3 ? 8 , b3 ? a7 ? 16 , 所以 q ? 2 , b1 ? 4 . 所以 b6 ? 4 ? 26?1 ? 128 . 由 128 ? 2n ? 2 ,得 n ? 63 . 所以 b6 与数列 ?an ?的第63项相等. 18.【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析;(3) 【解析】 试题分析:本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂 直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题 的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问,在三角 形ABV中,利用中位线的性质得 OM / /VB ,最后直接利用线面平行的判定得到 结论;第二问,先在三角形ABC中得到 OC ? AB ,再利用面面垂直的性质得
3 . 3

OC ? 平面VAB,最后利用面面垂直的判定得出结论;第三问,将三棱锥进行等
体积转化,利用 VC ?VAB ? VV ? ABC ,先求出三角形VAB的面积,由于 OC ? 平面VAB ,所以OC为锥体的高,利用锥体的体积公式计算出体积即可. 试题解析:(Ⅰ)因为 O, M 分别为AB,VA的中点, 8

所以 OM / /VB . 又因为 VB ? 平面MOC, 所以 VB / / 平面MOC. (Ⅱ)因为 AC ? BC , O 为AB的中点, 所以 OC ? AB . 又因为平面VAB ? 平面ABC,且 OC ? 平面ABC, 所以 OC ? 平面VAB. 所以平面MOC ? 平面VAB. (Ⅲ)在等腰直角三角形 ACB 中, AC ? BC ? 2 , 所以 AB ? 2, OC ? 1 . 所以等边三角形VAB的面积 S ?VAB ? 3 . 又因为 OC ? 平面VAB,
1 3 所以三棱锥C-VAB的体积等于 ? OC ? S ?VAB ? . 3 3

又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等, 所以三棱锥V-ABC的体积为
3 . 3
2 1 (3) 5 10

19.【答案】(1)0.006(2)

9

(Ⅲ)由频率分布直方图可知:在[40,50)内的人数为0.004×40×50=2(人) 在[50,60)内的人数为0.006×10×50=3(人) 设[40,50)内的两人分别为 a1 , a2 ;[50,60)内的三人为 A1, A2 , A3 ,则从[40,60)的 受伤职工中随机抽取2人,基本事件有( a1 , a2 ),( a1 , A1 ),( a1 , A2 ),(

a1 , A3 ),( a2 , A1 ),( a2 , A2 ),( a2 , A3 ),( A1 , A2 ),( A1 , A3 ),
( A2 , A3 )共10种;其中2人评分都在[40,50)内的概率为
1 . 10

20.【答案】(1)单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;极小值
f ( k) ? k (1 ? ln k ) ;(2)证明 2

10

详见解析.

所以, f ( x) 的单调递减区间是 (0, k ) ,单调递增区间是 ( k , ??) ;
f ( x) 在 x ? k 处取得极小值 f ( k ) ?

k (1 ? ln k ) . 2 k (1 ? ln k ) . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) 在区间 (0, ??) 上的最小值为 f ( k ) ?
k (1 ? ln k ) ? 0 ,从而 k ? e . 2

因为 f ( x) 存在零点,所以

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (1, e ) 上单调递减,且 f ( e ) ? 0 , 所以 x ? e 是 f ( x) 在区间 (1, e ] 上的唯一零点.

11

当 k ? e 时, f ( x) 在区间 (0, e ) 上单调递减,且 f (1) ? , 所以 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点.

1 e?k ? 0 , f ( e) ? ?0 2 2

综上可知,若 f ( x) 存在零点,则 f ( x) 在区间 (1, e ] 上仅有一个零点. 21.分析: (1)先求得P点的坐标,根据PF2⊥QF2,可得QF2的方程,将 结合点Q的坐标为(4,4),即可求椭圆C的方程; (2)求出直线PQ的方程,代入椭圆C的方程,求出方程的解,即可得出结论. 代入,

解答:

解:(1)解方程组

得P点的坐标为



∴ ∵PF2⊥QF2, ∴ ,







代入上式解得y=2a,





∵Q点的坐标为(4,4),∴ ∴a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3,



12





(2)∵

,P点的坐标为













将PQ的方程代入椭圆C的方程得 ∴(b2+c2)x2+2a2cx+a4﹣a2b2=0① ∵a2=b2+c2 ∴方程①可化为a2x2+2a2cx+a2c2=0 解得x=﹣c ∴直线PQ与椭圆C只有一个公共点.



13

14



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