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江西省赣中南五校2016届高三数学下学期第一次联考(2月)试题 理



2016 江西省赣中南五校高三下学期考学第一次考试数学 (理)试题部分
一. 选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一是 符合题目要求的. 1.已知集合 M ? y y ? 2 x , x ? 0 , N ? ? x y ? lg x? ,则 M ? N 为

?

?

A. (0,+ ? )
[1,+ ? )

B. (1,+ ? )

C. [2,+ ? )

D.

2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 1 的正方形,如图所示,则它的体积为

A.

1 6 2 3

B.

1 3 5 6
正视图 侧视图

C.

D.

3.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直, 则 cos(

2015? ? 2? ) 的值为 2

俯视图

A.
?

4 5

B. ?

4 5

C. 2

D.

1 2 4.已知 m, n 是两条不同 的直线, ? , ? , ? 是三个不同 的平面,则下列命题中正确的是 .. ..

A. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? C. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ?

B. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? D. 若 m / / n, m / /? , 则n / /?

5.如图所示, 点 P 是函数 y ? 2sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0) 图象的最 ???? ? ???? 高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 等于

A. 8
C.

B.
D.

?

?
4

8

?
2

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 6. ?ABC 外接圆圆心O,半径为1, 2 AO ? AB ? AC 且 OA ? AB ,则向量 BA 在向量 BC 方

向的投影为

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

?

3 2

1

7.若非零向量 a, b 满足 a ?

? ?

?

A. ?
8.不等式组 ?

? ? ? ? ? ? 2 2 ? b ,且 (a ? b) ? (3a ? 2b) ,则 a 与 b 的夹角为 3 ? 3? ? B . C. D. 2 4 4

??2 ? x ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0 表示的点集记为 M,不等式组 ? 表示的点集记为 N,在 2 ? 0? y?4 ? y?x

M 中任取 一点 P,则 P∈N 的概率为 A.

7 32

B.

9 32

C.

9 16

D.

7 16
9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,若该球的体积是 棱柱的体积是

32? ,则这个三 3
D.

A. 96 3

B. 16 3

C. 24 3

48 3
10.已知函数 f n ( x) ? x n ?1 ,n∈N 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴
*

交点的横 坐标 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为

A. 1 D. -1
11. 已知函数 f ( x) ? ? 2

B. 1 - log20132012

C. -lo g20132012

?1 x 2 ? 1, x ? 0 ? , 若函数 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个零点 ,则 k ? ?? ln(1 ? x), x ? 0

的取值范围为

A. (0,1) D. (1, ??)

B. (0, )

1 2

C. ( ,1)

1 2

12. 已 知 函 数 y ? f ( x) 对 任 意 的 x ? (?

? ?

, ) 满 足 f ?( x) cos x ? f ( x ) sin x ? 0 ( 其 中 2 2

f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数),则下列不等式成立的是 ? ? ? ? A. 2 f (? ) ? f (? ) B. 2 f ( ) ? f ( ) 3 4 3 4 ?
? C. f (0) ? 2 f ( ) 3

D. f (0) ? 2 f ( ) 4

2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知数列 ?an ? 为等差数列,a1 ? a2 ? a3 ? 3 ,a5 ? a6 ? a7 ? 9 ,则 a4 ? .

4 1 的最小值为 . ? a b ?1 15.已知数列 ?an ? 满足 an ? 3an ?1 ? 3n ? 1( n ? N *, n ? 2) ,且 a1 ? 5 ,则 an ?
14.设 a ? 0, b ? ? ,若 a ? b ? 2,则 16.有下列 4 个命题: ①若函数 f ( x) 定义域为 R,则 g ( x) ? ② 若 函 数 数, ?x ? R ,

.

f ( x) ? f (? x) 是奇函数;
R
上 的 奇 函

f ( x) 是 定 义 在

f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,则 f ( x) 图像关于 x=1 对称;

③ 已 知 x1 和 x2 是 函 数 定 义 域 内 的 两 个 值 (x1<x2), 若

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在定义域内单调递减;
④若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f ( x ? 2) 也是奇函数,则

f ( x) 是以 4 为周期的周期函数.
其中,正确命题是 (把所有正确结论的序号都填上).

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N .设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和,已知 b1≠0, 2bn–b1=S1?Sn,n∈N . (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? bn ? lon3 an ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; (Ⅲ)证明:对任意 n∈N 且 n≥2,有
* * *

1 1 1 3 + +?+ < . 2 a 2 ? b2 a3 ? b3 a n ? bn

18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD‖BC,

?ADC ? 90? ,平面

PAD ⊥底面 ABCD ,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=AD=2,BC=1,CD= 3 . (Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; ? (Ⅱ)若二面角 M-BQ-C 为 30 ,设 PM=t ? MC,试确定 t 的值.
19.(本小题满分 12 分) 心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关, 某数学兴趣小组为了 验 证这个结论, 从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学 (男 30 女 20) , 给所有同学几何题和 代数题各一题, 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位: 人)

3

(Ⅰ)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟,乙每次解答一道 几何题所用 的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (Ⅲ)现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记 甲、 乙两女 生被抽到的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 附表及公式

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : 角形, 直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 为椭圆 C 上一点,若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T, ??? ? ??? ? ??? ? 满足 OS ? OT ? tOP (O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. 21.(本小题满分 12 分)
3 2 已知函数 f(x)= x ? 3x ? x ln a ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三 a 2 b2

的横坐标 为-2. (Ⅰ)求 a; (Ⅱ)当 k ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点,求 x 的取值范围.

四.请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1: 几何证明选讲

C
D
E

?O
A

4

B

P

如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,过点 A 作⊙ O 的切线 E P 交 CB 的延长线于 P,已知 ?EAD ? ?PCA . 证明(Ⅰ) AD ? AB ; (Ⅱ) DA2 ? DC ? BP . 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系与参数方程 已知平面直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
C1

1 ? x ? ?1 ? t ? 2 ( t 为参数) 方程为 ? ? 2sin ? . C2 的参数方程为 ? . ? ?y ? 3 t ? ? 2
(Ⅰ)写出曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (Ⅱ)设点 P 为曲线 C1 上的任意一点,求点 P 到曲线 C2 距离的取值范围. 24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.
2 2

已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ,其解集为 x ? ?0, 4? .

5

江西五校联考 2016 高三下(2 月)数学(理)试题 解析版
x 1.已知集合 M ? y y ? 2 , x ? 0 , N ? x y ? lg x ,则 M ? N 为 B

?

?

?

?

A. (0,+ ? )
则它的体积为 D

B. (1,+ ? )

C. [2,+ ? )

D.[1,+ ? )

2.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 1 的正方形,如图所示,

A.

1 6

B.

1 3

正视图

侧视图

C.

2015? ? 2? ) 的值为 B 3.已知倾斜角为 ? 的直线 l 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 cos( 2 4 4 A. B. ? C. 2 D. 5 5 1 ? 2 4.已知 m, n 是两条不同 的直线, ? , ? , ? 是三个不同 的平面,则下列命题中正确的是 C .. ..
A. 若 ? ? ? , ? ? ? , 则? / / ? C. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? B. 若 m / / n, m ? ? , n ? ? , 则? / / ? D. 若 m / / n, m / /? , 则n / /?

2 3

D.

5 6

俯视图

5.如图所示,点 P 是函数 y ? 2sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0) 图象的最高点, M 、 N 是图象 与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则 ? 等于 C

???? ? ????

A. 8

B.

?

C.

?
4

D.

?

8

2

??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 6. ?ABC 的外接圆的圆心为O,半径为1, 2 AO ? AB ? AC 且 OA ? AB ,则向量 BA 在向量

??? ? BC 方向上的投影为 A

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

?

3 2
? ?

7.若非零向量 a, b 满足 a ?

?

A. ?

? ? ? ? ? ? 2 2 ? b ,且 (a ? b) ? (3a ? 2b) ,则 a 与 b 的夹角为 D 3 ? 3? ? B. C. D. 2 4 4
6

8.不等式组 ?

??2 ? x ? 2 ?x ? y ? 2 ? 0 表示的点集记为 M,不等式组 ? 表示的点集记为 N,在 2 ? 0? y?4 ? y?x
9 32 9 16

M 中任取一点 P,则 P∈N 的概率为 B A.

7 32

B.

C.

D.

7 16
9.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 这个三棱柱的体积是 D

32? ,那么 3
D.

A. 96 3

B. 16 3

C. 24 3

48 3
10.已知函数 f n ( x)=x n +1 ,n∈N 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与 x 轴
*

交点的横坐标为 x n ,则 log2013 x1 + log2013 x2 +?+ log2013 x2012 的值为 D

A. 1 D. -1
11.已知函数 f ( x) ? ? 2

B. 1 - log20132012

C. -log20132012

?1 x 2 ? 1, x ? 0 ? ,若函数 F ( x) ? f ( x) ? kx 有且只有两个零点,则 k ? ?? ln(1 ? x), x ? 0

的取值范围为 C

A. (0,1) D. (1, ??)

B. (0, )

1 2

C. ( ,1)

1 2

12. 已 知 函 数 y ? f ( x) 对 任 意 的 x ? (?

? ?

, ) 满 足 f ?( x) cos x ? f ( x ) sin x ? 0 ( 其 中 2 2

D. f (0) ? 2 f ( ) 4

f ?( x) 是函数 f ( x) 的导 函数),则下列不等式成立的是 A ? ? ? ? ? A. 2 f (? ) ? f (? ) B. 2 f ( ) ? f ( ) C. f (0) ? 2 f ( ) 3 4 3 4 3 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知数列 ?an ? 为等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 3 , a5 ? a6 ? a7 ? 9 ,则 a4 ? 14.设 a ? 0, b ? ? ,若 a ? b ? 2,则 15. 已 知 数 列 2 .

4 1 的最小值为 ? a b ?1

9

?an ?

满 足 an ? 3an ?1 ? 3n ? 1(n ? N *, n ? 2) , 且 a1 ? 5 , 则

7

1? 1 ? an ? 3n ? n ? ? ? . 2? 2 ?
16.有下列 4 个命题: ①若函数 f ( x) 定义域为 R,则 g ( x) ?

f ( x) ? f (? x) 是奇函数; f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,则 f ( x) 图像关于 x=1

②若函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, ?x ? R , 对称;

③已知 x1 和 x2 是函数定义域内的两个值(x1<x2),若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x) 在定义域内单调 递减; ④若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f ( x ? 2) 也是奇函数,则 f ( x) 是以 4 为周期的周期函 数. 其中,正确命题是 (1)(4) (把所有正确结论的序号都填上).

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) * 设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an,n∈N .设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和,已知 b1≠0, * 2bn–b1=S1?Sn,n∈N . (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=bn?log3an,求数列{cn}的前 n 项和 Tn; (Ⅲ)证明:对任意 n∈N 且 n≥2,有
*

1 1 1 3 + +?+ < . 2 a 2 ? b2 a3 ? b3 a n ? bn

解: (Ⅰ)∵an+1=3an,∴{an}是公比为 3,首项 a1=1 的等比数列, n–1 ∴通项公式为 an=3 . ∵2bn–b1=S1?Sn,∴当 n=1 时,2b1–b1=S1?S1, ∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1. ∴当 n>1 时,bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1,∴bn=2bn–1, n–1 ∴{bn}是公比为 2,首项 a1=1 的等比数列,∴通项公式为 bn=2 . ????4 分 n–1 n–1 n–1 (Ⅱ)cn=bn ?log3an=2 log33 =(n–1)2 , Tn=0?20+1?21+2?22+?+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ??① 1 2 3 n–1 n 2Tn= 0?2 +1?2 +2?2 +??+(n–2)2 +(n–1) 2 ??② 0 1 2 3 n–1 n ①–②得:–Tn=0?2 +2 +2 +2 +??+2 –(n–1)2 n n n =2 –2–(n–1)2 =–2–(n–2)2 n ∴Tn=(n–2)2 +2. ???? 8 分 (Ⅲ)

1 1 1 1 1 = n ?1 = = n ?2 ≤ n ?2 n ?2 n ?2 n ?1 n ?2 n ?1 3? 3 ? 2 a n ? bn 3 ? 2 3 ? 2( 3 ? 2 ) 3 1 1 ? ( ) n ?1 1 1 1 1 1 1 3 + +?+ < 0 + 1 +?+ n ? 2 = 1 3 a 2 ? b2 a3 ? b3 a n ? bn 3 3 1? 3

8

=

1 3 3 (1– n ?1 )< . 2 2 3

????12 分

18.(本小题满分 12 分)

?ADC ? 90? ,平 面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=AD=2,BC=1,CD= 3 .
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD‖BC, (Ⅰ)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若二面角 M-BQ-C 为 30 ,设 PM=t ? MC,试确定 t 的值.
?

1

解: (1)证法一:∵AD∥BC,BC= 2 AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ? 平面 PQB,∴平面 PQB⊥平面 PAD.
1 证法二:AD∥BC,BC= 2 AD,Q

???????6 分

为 AD 的中点,∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD∥BQ. ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°,即 QB⊥AD. ∵PA=PD,∴PQ⊥ AD. ∵PQ∩BQ=Q PQ、BQ ? 平面PBQ , ∴AD⊥平面 PBQ. ∵AD? 平面 PAD,∴平面 PQB⊥平面 PAD. ????????????????6 分 (2)法一:∵PA=PD,Q 为 AD 的中点,∴PQ⊥AD. ∵面 PAD⊥面 ABCD,且面 PAD∩面 ABCD=AD,∴PQ⊥面 ABCD. 如 图 , 以 Q 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 . 则 平 面 BQC 的 法 向 量 为

? n ? (0, 0,1) ;

Q(0, 0, 0) , P(0, 0, 3) , B(0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) . 设 M ( x, y, z ) ,则 ???? ? ???? ? PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z )
t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ? y ? t ( 3 ? y) ? ? y ? 1? t ? ? ? z ? 3 ? t (? z ) ? 3 ? z? 1? t ?
???? ? ? ?

???? ? ???? ? ? PM ? t ? MC ,∴,

t 3t 3 ??? ? QM ? ? ? , , ? ? 1? t 1? t 1? t ? QB ? (0, 3, 0) ? ?, 在平面 MBQ 中, , ?? ∴平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0, t ) .

M ? BQ ? C 二 面 角 ? ?? n?m t 3 cos 30? ? ? ?? ? ? 2 2 n?m 3? 0?t ,




30°





得 t ? 3 ????????????????????????12 分
9

法二:过点 M 作 MO // PQ 交 QC 于点 O ,过 O 作 OE ⊥ QB 交于点 E ,连接 ME , 因为 PQ ? 面 ABCD ,所以 MO ⊥面 ABCD ,由三垂线定理知 ME ⊥ QB , 则 ?MEO 为二面角 M ? BQ ? C 的平面角。 (没有证明扣 2 分) 设 CM ? a ,则 PM ? a ? t , PC ?
MO CM 1 3a ? ? MO ? 1 ?t 7 ? PQ CP , ?

7,

E E

O

OE ⊥ QB , BC ⊥ QB ,且三线都共面,所以 BC // OE
EO QO PM t t ?a ? ? ? EO ? BC QC PC 1 ? t 7 ? ,?

在 Rt?MOE 中

tan ?MEO ? tan 30 ? ?

MO EO ,

?

MO 3 3 ? ? EO t 3

解得 t ? 3

?????12 分

19.(本小题满分 12 分) 心理学家分析发现视觉和空间能力 与性别有关, 某数学兴趣小组为了 验证这个结 论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取 50 名同 学 (男 30 女 20) , 给所有同学几何题和 代数题各一题, 让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表: (单位: 人)

(Ⅰ)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关? (Ⅱ)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在 5—7 分钟,乙每次解答一道 几何题所用的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率. (Ⅲ) 现从选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究, 记甲、 乙两女生被抽到的人数为 X, 求 X 的分布列及数学期望 E(X) . 附表及公式

50 ? ? 22 ?12 ? 8 ? 8 ? 50 解:(Ⅰ)由表中数据得 K 的观测值 K ? ? ? 5.556 ? 5.024 30 ? 20 ? 30 ? 20 9 所以根据统计有 97.5% 的把握认为视觉和空间能力与性别有关.) (Ⅱ)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则基本事件满足的区域为 ?5 ? x ? 7 (如图所示) ? ?6 ? y ? 8
2

2

2

10

设事件 A 为“乙比甲先做完此道题” 则满足的区域为 x ? y

y

1 ? 1? 1 1 2 ? ? 由几何概型 P ( A) ? 2? 2 8

即乙比甲先解答完的概率为

1 . 8
1 O 1 x

(Ⅲ)由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人,抽取方法有 C8 2 ? 28 种,其中甲、乙两人没有一个人被抽到有 C6 2 ? 15 种;恰有一人被 抽到有 C21 ? C61 =12 种;两人都被抽到有 C2 2 ? 1 种

? X 可能取值为 0,1, 2 , P( X ? 0) ?
X 的分布列为:

15 12 3 1 , P ( X ? 1) ? ? , P( X ? 2) ? 28 28 7 28

15 12 1 1 ? E ( X ) ? 0 ? +1 ? +2 ? ? 28 28 28 2 . 2 考点: K 检验,几何概型,超几何分布
20.(本小题满分 12 分)

X
P

0 15 28

1

12 28

2 1 28

x2 y 2 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 a b 三角形,直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相
切. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设 P 为椭圆 C 上一点, 若过点 M (2,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T , 满足 OS ? OT ? tOP ( O 为坐标原点) ,求实数 t 的取值范围. 解: (Ⅰ)由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

??? ? ??? ?

??? ?

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 ,
∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 2

? a (*)????????????1 分
2b ? 2 ,

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴b ? c ,a ?

2b ? 2c ,
2

代入(*)式得 b ? c ? 1 , ∴ a ?

x ? y 2 ? 1. ????????????????????4 分 2 (Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P ? x0 , y0 ? ,
故所求椭圆方程为 将直线方程代入椭圆方程得: 1 ? 2k 2 x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,

?

?

1 . 2 2 8k 8k 2 ? 2 , x x ? 设 S ?x1 , y1 ? , T ?x 2 , y 2 ? ,则 x1 ? x2 ? , 1 2 2 2 1 ? 2 k 1 ? 2 k ??? ? ??? ? ??? ? 由 OS ? OT ? tOP , 当 t ? 0 ,直线 l 为 x 轴, P 点在椭圆上适合题意;
∴ ? ? 64k 4 ? 4 1 ? 2k 2 8k 2 ? 2 ? ?16k 2 ? 8 ? 0 ,∴ k 2 ? 当

?

??

?

t?0





11

? 8k 2 tx ? x ? x ? 1 2 ? 1 ?4 k 1 8k 2 ? 0 1 ? 2k 2 x ? ? , y0 ? ? ∴ . ? 0 2 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k ?ty ? y ? y ? k ( x ? x ? 4) ? ?4k 0 1 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ? 32k 4 16k 2 将上式代入椭圆方程得: 2 ? ? 1, t (1 ? 2k 2 ) 2 t 2 (1 ? 2k 2 ) 2
16k 2 1 2 ,由 k 2 ? 知, 0 ? t ? 4 ,所以 t ? ? ?2,0? ? (0, 2) , 2 1 ? 2k 2 综上可得 t ? (?2,, 2) . ?????????????????????12
整理得: t ?
2

分 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= x3 ? 3x 2 ? x ln a ? 2 ,曲线 y ? f ( x) 在点(0,2)处的切线与 x 轴交点 的横坐标为-2. (I)求 a; (II)当 k ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点,求 x 的取值范围. 解: (I)由 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? ln a ,知 f ?(0) ? ln a , 而曲线 y ? f ( x) 在点 (0, 2) 处的切线过点 (?2, 0) , a ? e ?????6 分 k ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点, (II)法一
3 2 ? k ? 1 时方程 x ? 3x ? x ? 2 ? kx ? 2 有唯一解,

ln a ?

2?0 0?2 ,

即 x3 ? 3x2 ? x ? 4 ? kx(k ? 1) 有唯一解. 当 x=0 时,显然无解.

4 ? k (k ? 1) ,??????????????① x 4 4 ( x ? 2)(2 x 2 ? x ? 2) 令 h( x) ? x 2 ? 3 x ? 1 ? ( x ? 0) ,由 h?( x) ? 2 x ? 3 ? 2 ? , x x x2 知 x ? 2 时 h?( x) ? 0 , h( x) 为增函数, 0 ? x ? 2 时 h?( x) ? 0 , h( x) 为减函数, 故 x ? (0, ??) 时, h( x) ? h(2) ? 1 .而 k ? 1 ,故方程①无解. 若 x ? 0 , h?( x) ? 0 , h( x) 为减函数,且 h(?1) ? 1 , 即 ?1 ? x ? 0 时 h( x) ? 1 ,故 ?1 ? x ? 0 时,方程①有唯一解, 综上知,所求 x 的取值范围是 x ? (?1, 0) .??????????????????12 分 k ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? kx ? 2 只有一个交点, 法二 3 2 ? 时方程 x ? 3x ? x ? 2 ? kx ? 2 ( k ? 1 )有唯一解, 当 x=0 时,显然无解. x3 ? 3x 2 ? x ? 4 当 x ? 0 时,变形为 ? k (k ? 1) , x x3 ? 3x 2 ? x ? 4 ( x ? 2)2 ( x ? 1) x3 ? 3x 2 ? 4 解 ?1? ?0? ?0 x x x 得 - 1< x < 0 . x3 ? 3x 2 ? 4 ( x ? 2)(2 x 2 ? x ? 2) ? 令 h( x ) ? ,知 h ( x ) ? , x2 x
当 x ? 0 时,变形为 x 2 ? 3 x ? 1 ?

12

当 - 1 < x < 0 ,时 h?( x) ? 0 , h( x) 在 (- 1, 0) ,单调递减,

x3 ? 3x 2 ? x ? 4 ? k (k ? 1) ,有唯一解. x 综上知,所求 x 的取植范围是 x ? ( 1,0) .??????????? ?????12
故 - 1< x < 0 , 分 四.请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. C 22.(本小题满分 10 分) 选修 4—1: 几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O ,过点 A 作⊙ O 的切线 EP 交 CB ?O 的延长线于 P ,已知 ?EAD ? ?PCA . D 证明(Ⅰ) AD ? AB ; (Ⅱ) DA ? DC ? BP .
2

B

E

A

P

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4: 坐标系 与参数方程 已知平面直角坐标系 xoy 中, 以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C1

1 ? x ? ?1 ? t ? 2 ( t 为参数) 方程为 ? ? 2sin ? , C2 的参数方程为 ? . ? ?y ? 3 t ? ? 2
(I)写出曲线 C1 的直角坐标方程和 C2 的普通方程; (II)设点 P 为曲线 C1 上的任意一点,求点 P 到曲线 C2 距离的取值范围. 24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a , b 均为正实数,且满足 a ? b ? m ,求 a ? b 的最小值.
2 2

已知关于 x 的不等式 m? | x ? 2 | ?1 ,其解集为 x ? ?0, 4? .

22.(本小题满分 10 分)解: (Ⅰ)∵ EP 与⊙ O 相切于点 A , ∴ ?EAD ? ?DCA . ???????2 分 又 ?EAD ? ?PCA , ∴ ?DCA ? ?PCA , ∴ AD ? AB . ??????????5 分 (Ⅱ)∵四边形 ABCD 内接于⊙ O , ∴ ?D ? ?PBA , 又 ?DCA ? ?PCA ? ?PAB , ∴ ?ADC ∽ ?PBA . ∴

C
D
E

?O
A

B P

DA DC DA DC 2 ? ? ,即 ,∴ DA ? DC ? BP . ?????????10 分 BP BA BP DA

23. (本小题满分 10 分)
2 (I) C1 的直角坐标方程: x ? ? y ? 1? ? 1 , 2

(II)由(I)知, C1 为以 ? 0,1? 为圆心, r ? 1 为半径的圆,

C2 的普通方程: 3x ? y ? 3 ? 0 .

5分

13

C1 的圆心 ? 0,1? 到 C2 的距离为 d ?

?1 ? 3 3 ?1

?

3 ?1 ? 1,则 C1 与 C2 相交, 2

P 到曲线 C2 距离最小值为 0,最大值为 d ? r ?
围为 ? 0,

3 ?1 ,则点 P 到曲线 C2 距离的取值范 2

? ?

3 ? 1? ?. 2 ?

?????????????????????10 分

24.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)不等式 m? | x ? 2 | ?1 可化为 | x ? 2 | ? m ? 1 , ???1 分 ∴ 1 ? m ? x ? 2 ? m ? 1 ,即 3 ? m ? x ? m ? 1 ,

?3 ? m ? 0 , m ? 3 . ???????????????5 分 ?m ? 1 ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a ? b ? 3 ,
∵其解集为 [0, 4] ,∴ ? (方法一:利用基本不等式) ∵ (a ? b) ? a ? b ? 2ab ? (a2 ? b2 ) ? (a2 ? b2 ) ? 2(a2 ? b2 ) ,
2 2 2

∴ a ?b ?
2 2

9 3 9 2 2 ,∴当且仅当 a ? b ? 时, a ? b 取最小值为 .?????10 分 2 2 2

. (方法二:利用柯西不等式) ∵ (a2 ? b2 ) ? (12 ? 12 ) ? (a ?1 ? b ?1)2 ? (a ? b)2 ? 9 , ∴ a ?b ?
2 2

9 3 9 2 2 ,∴当且仅当 a ? b ? 时, a ? b 取最小值为 .?????10 分 2 2 2

(方法三:消元法求二次函数的最值) ∵ a ? b ? 3 ,∴ b ? 3 ? a , ∴ a ? b ? a ? (3 ? a ) ? 2a ? 6a ? 9 ? 2(a ? ) ?
2 2 2 2 2 2

3 2

9 9 ? , 2 2

∴当且仅当 a ? b ?

3 9 2 2 时, a ? b 取最小值为 .????????????10 分 2 2

14



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