上海市奉贤区2016年第一学期高三数学一模试卷

2016 年奉贤区高三数学一模调研测试卷

（考试时间：120 分钟，满分 150 分）

一．填空题(本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果，1-14 题每个空格填对得 4 分) 1、复数 i ?1 ? i ? （ i 是虚数单位）的虚部是__________． 2、已知点 A ? ?1,5? 和向量 a ? ? 2,3? ，若 AB ? 3a ，则点 B 的坐标为__________． 3、方程 9 ? 3 ? 6 ? 0 的实数解为__________．
x x
2 4、已知集合 M ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ， N ? x y ? lg x ，则 M ? N =__________．

?

?

?

?

?

5、若 ? x ?
?

? ?

1? 2 ? 展开式中含 x 的项的系数是__________． x?
?

8

6、若圆 x ? y ? ?x ? ? y ? ? 被直线 ?x ? y ? a ? ? 平分，则 a 的值为__________． 7、 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1的一个焦点， 则 p ? _________．
2 2 2

8、 数列 {an } 是等差数列， 则数列 {an } 的前 2015 a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根，
2

项的和为__________． 9、函数 y ? 3 cos x ? sin x ， x ? ? ?

? ? ? , ? ? 的值域是__________． ? 3 ?

3 10、已知 a , b 是常数， ab ? 0 ，若函数 f ( x) ? ax ? b arcsin x ? 3 的最大值为 10，则 f ( x)

的最小值为__________．

?? ? 则正实数 ? 的取值范围是_________． ? 在 ? , ? ? 上单调递减， 4? ?2 ? 1 5 3 12、设 ?、? 都是锐角， cos ? ? ,cos(? ? ? ) ? ，请问 cos ? 是否可以求解,若能求 7 14
11、 函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

??

解,求出答案,若不能求解简述理由________________________________________________ ______________________________________________________________________________．
2 13、不等式 ? x ? 1? x ? 4 x ? 3 ? 0 有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系

?

?

中作出 y1 ? x ? 1和 y2 ? x ? 4x ? 3 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：
2

设 a , b ? Z ，若对任意 x ? 0 ，都有 ( ax ? 2)( x ? 2b) ? 0 ，则 a ? b ? __________．
2

14、线段 AB 的长度为 2，点 A 、 B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴上滑动，

1

以线段 AB 为一边，在第一象限内作矩形 ABCD (顺时针排序)， BC ? 1 ，设 O 为坐标 原点，则 OC ? OD 的取值范围是__________． 二．选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分. 15、下面四个条件中，使 a ? b 成立的必要而不充分的条件是????（ ） ．

A. a ? 1 ? b
16、已知数列 an ? n ? sin

B. 2a ? 2b

C. a2 ? b2

D. lg a ? lg b

A. ?48 ；

n? ，则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? ????（ ） ． 2 B. ?50 ； C. ?52 ； D. ?49

17、 已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等， 那么这样的直角三角 形有????（ ） ． A. 0； B. 1； C . 2； D. 3 18、设函数 f ( x) ? min{x ? 1, x ? 1, ? x ? 1} ，其中 min{x, y, z} 表示 x, y, z 中的最小者．
2

若 f ( a ? 2) ? f ( a ) ，则实数 a 的取值范围为????（

） ．

A. ? ?1,0? ；

B. ? ?2,0? ；

C. ? ??, ?2? ? ? ?1,0? ；

D. ? ?2, ?? ?

三．解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19、 如图， 已知四边形 ABCD 是矩形， AB ? 1 ，BC ? 2 ，PD ? 平面 ABCD ， 且 PD ? 3 ， PB 的中点 E ，求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小．(用反三角表示)

P

E

D

C

A

B

2

B、 C 所对的边分别为 a, b, c ， 20、 设 ?ABC 的内角 A 、 且满足 cos
（1） 、求 ?ABC 的面积； （2） 、求 a 的最小值．

A 2 5 ，AB ? AC ? 3 ? 2 5

21、设三个数

? x ? 1?

2

? y 2 ，2，

? x ? 1?

2

? y 2 成等差数列，其中 ? x, y ? 对应点的曲线方

程是 C ． (1)、求 C 的标准方程； (2)、直线 l1 : x ? y ? m ? 0 与曲线 C 相交于不同两点 M , N ，且满足 ?MON 为钝角，其 中 O 为直角坐标原点，求出 m 的取值范围．

3

22、已知函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数，其反函数是 y ? f ?1 ? x ? ．

1? ? ?1 ? ，求 y ? f ? x ? 并写出定义域 M ； 2? ? ?1 (2)、对于（1）的 y ? f ? x ? 和 M ，设任意 x1 ? M , x2 ? M , x1 ? x2 ，
（1） 、若 y ? x 2 ? 1? x ? 求证： f （3） 、若 y ?

?x1 ? ? f ?1 ?x 2 ? ? x1 ? x 2 ； f ?x ? 和 y ? f ?1 ? x ? 有交点，那么交点一定在 y ? x 上．
?1

23、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn 若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得 Sn ? am ， 则称 ?an ? 是“H 数列” ． (1)、若数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ，判断 ?an ? 是否为“H 数列” ； （3） 、设点 ? Sn , an?1 ? 在直线 ?1 ? q ? x ? y ? r 上，其中 a1 ? 2t ? 0 ， q ? 0 ． 若 ?an ? 是“H 数列” ，求 q , r 满足的条件． （2） 、等差数列 ?an ? ，公差 d ? 0 ， a1 ? 2d ，求证： ?an ? 是“H 数列” ；

4

2016 年奉贤区高三数学一模参考答案
一、填空题（每题 4 分，56 分） 1、 1 ； 3、 log3 2 5、 56 ； 7、 2 2 ； 9、 ? ? 3, 2 ? ； 2、 B ? 5,14? ； 4、 ? 0,3? ； 6、 a ? 1 ； 8、 1209 ； 10、 ?4 ；

?

?

?1 5? ? ? 12、 ? ,? ? ? ? ? 0, ? ? ,? ? ? ? ? ,? y ? cos x 在 ? 0, ? ? 上递减，而 cos ?? ? ? ? ? cos ? ，
11、 ? , ? 2 4 所以条件错误，不可解 13、 ?1 14、 ?1,3?

二、选择题（每题 5 分，20 分） 15、 A ； 16、 B ； 17、 C ； 三、解答题(12+14+14+16+18=74 分) 19、取 BC 的中点 F ，连接 EF , AF 、 AE

18、 C ；

? E 、 F 是中点，? EF 是 ?PBD 的中位线

? EF ∥ PB ? ? AEF （或者其补角）为异面直线 AE 与 PC 所成角

3分

在 Rt ?PAB 中， PB ? 14, AE ?

14 2

5分

PC ? 10, EF ?

10 2 5 14 AF ? 2 ， AE ? ， AE ? 2 2
AE 2 ? EF 2 ? AF 2 2 AE ? EF
2

P
6分 7分

由余弦定理可知

cos ?AEF ?
2

D

E

C
F

? 14 ? ? 10 ? ? ? ?? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?? 14 10 2? ? 2 2 4 35 ??AEF ? arccos 35

? ?

2

?

4 35 35

10 分

A

B

11 分

异面直线 AE 与 PC 所成角的大小 arccos

4 35 ． 35

12 分

5

20、解： （1）因为 cos

3 A 2 5 2 A ?1 ? ， ，所以 cos A ? 2 cos ? 2 5 2 5

2分 3分 4分 5分 7分

4 5 ??? ? ??? ? 又因为 AB ? AC ? 3 ，得 bc cos A ? 3 sin A ?
bc cos A ? 3 ? bc ? 5 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 2
（2）? bc ? 5,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? 2 ? 5 ?
2 2 2 2 2

3 5

10 分 11 分 12 分

?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6

? ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ? b2 ? c 2 ? 6 ? a 2 ? 2bc ? 10 amin ? 2
当且仅当 b ? c ?

5 时 a 最小值是 2
2

14 分

21、 （1） 、依题意：

? x ?1? ? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 所以点 P ? x, y ? 对应的曲线方程 C 是椭圆

1分 2分 3分 4分 5分 6分

2a ? 4,? a ? 2 ． c ?1 ?a ? 2, c ? 1, b ? 3

x y ? ?1 4 3

2

2

?x ? y ? m ? 0 ? 2 2 （2） 、联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y ，得 7 x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3
2 ? ?6 4 m2 ? 2 ? 8 m 42 ? ? 1 2 ? 3 3? 6 m4 8?

7分

0

8分 9分

? m2 ? 7
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 )

4m 2 ? 12 得 x1 x2 ? 7
方法一 可计算 y1 y2 ?

10 分

3m 2 ? 12 7
6

11 分

由 ?MON 为钝角，则 OM ? ON ? 0 ， x1 x2 ? y1 y2 ? 0 且 m ? 0

???? ? ????

4m2 ? 12 3m2 ? 12 ? ?0 7 7
所以 m ?
2

12 分

24 7

13 分

??

2 42 2 42 且m ? 0 ?m? 7 7

14 分

方法二 或者 x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? 2x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m2 11 分

?

2 4m2 ?12 7
所以 m ?
2

?

? ? m 8m ? m
7

2

7m2 ? 24 ? ?0 7

12 分 13 分

24 7

??

2 42 2 42 且m ? 0 ?m? 7 7
?1

14 分

22、解： （1） 、f （2） 、 f
?1

?x ? ?

? 3 ? x ? 1, M ? ? ? ,?? ? ? 4 ?
x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ? x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1

3+2=5 分 7分 9分 10 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ?

3 1 3 1 ? x1 ? ? ,? x1 ? 1 ? ， x 2 ? ? ,? x 2 ? 1 ? 4 2 4 2 1 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 1，? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1

?
? f

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
?1

? x1 ? x 2
11 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ? x1 ? x2 ?1 （3） 、设 ?a, b ? 是 y ? f ?x ? 和 y ? f ? x ? 有交点 ?b ? f ?a ? 即? ，? a ? f ?b?, b ? f ?a ? ?1 ?b ? f ?a ?
当 a ? b ，显然在 y ? x 上 当 a ? b ，函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数，? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 当 a ? b ，函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数，? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 因此，若 y ? f ?x ? 和 y ? f
?1

12 分 13 分 15 分 16 分 16 分

? x? 的交点一定在 y ? x 上

7

23、解析:（1） n ? 1, a1 ? S1 ? 2

1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2 ? 2n ? 1 是奇数，2m 是偶数 m ? 2n ? 1? 2
当 n ≥ 2 时， Sn ? ∴ {an } 不是“H 数列” n(n ? 1) n(n ? 1) （2） Sn ? na1 ? d ? 2dn ? d 2 2 对任意 n ? N? ，存在 m ? N ? 使 Sn ? am ，即 na1 ?

1分 2分 3分 4分 6分
n(n ? 1) d ? a1 ? (m ? 1)d 2

m ? 2n ? 1 ?

n, n ? 1 是一奇一偶，?m 一定是自然数 （3） n ? 2 时 ?1? q? Sn ? an?1 ? r ， ?1? q? Sn?1 ? an ? r

n( n ? 1 ) 2

8分 10 分

?1? q? an ? an?1 ? an ? 0

? an?1 ? qan

11 分

?1? q? ? 2t ? a2 ? r
a2 ? r ? 2qt ? 2t
12 分 13 分

q ? 1, r ? 0, Sn ? 2t ? ? n ?1? r ? r 不恒成立 显然 ?an ? 不是“H 数列” q ? 1时 n ? 1, S1 ? a1
n ? 2 S n ? 2t ?

? ?2t ? n ? 1? ? an ? ? n?2 ? ? p ? q ? n ? 2? ? ?2t ? n ? 1? q ? 1 时， an ? ? ? ?r ? n ? 2 ? q ? 1, r ? 0, 时显然 ?an ? 是“H 数列”

14 分 15 分

，所以对任意 n ? 2 时,存在 m ? N * ?an ? 是“H 数列”

a 2 1 ? q n ?1 1? q

?

?

16 分

a2 1 ? q n?1 2t ? ? a2 q m?2 成立 1? q 2t 1 q n?1 m?2 q ? ? ? a2 q ? 1 q ? 1

?

?

q q
? r ? 0,

m?2

2t ?q ? 1? 1 q n?1 ? ? ? a2 ?q ? 1? q ? 1 q ? 1

m?2

a2 ? r 1 q n?1 ? ? ? a2 ?q ? 1? q ? 1 q ? 1
18
8

q ? 1 ? q k , k ? 0, k ? Z