2.3.1向量数量积的定义

§ 2.3.1 向量数量积的定义
一、教学目标 1．正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并 能根据条件逆用等式求向量的夹角； 2．掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题； 3．通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科 学态度以及实际动手能力； 4．通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识. 二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用 教学难点 平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解． 三、教学过程 （l）已知两个非零向量 a 和 b ，在平面上任取一点 O ，作 OA ? a ， OB ? b ，则

?AOB ?? a, b ? 叫做向量 a 与 b 的夹角．你能指出下列图中两向量的夹角吗？

① OA 与 OB 的夹角为 0? ，② OA 与 OB 的夹角为 180 ? ，③ OA 与 OB 的夹角是

?AOB ，④ OA 与 OB 的夹角是 ? ．

? a, b ??[0, ? ]
当 ? a, b ??

?
2

时， a ? b

规定： 0 ? a （2）向量 b 在 a 方向上的正射影

所以 b cos? 叫做向量 b 在向量 a 上的投影

注意：1?投影也是一个数量，不是向量。 2?当?为锐角时投影为正值； 当?为钝角时投影为负值； 当?为直角时投影为 0； 当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|。 3、与 | a | 无关 （3）数量积定义：

a ? b cos? ，叫做向量 a 与 b 的数量积或（内积）记作 a ? b 即 a ?b ? a b c o ? s
并规定 0 ? a ? 0 向量的数量积的几何意义： 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积。 例 1： （1）已知 | a |? 8, | b |? 4, ? a, b ??

? 2? ?
3 ( 3 , 2

,0, ? ) ，求 a ? b

（2）已知 a ? b ? 5, | a || b |? 10, 求 ? a, b ? （3）已知 | a |? 5 ，向量 b 在 a 方向上的正射影的数量为-6，求 a ? b （4）数量积的性质： 设 a ， b 都是非零向量， e 是与 b 的方向相同的单位向量， ? 是 a 与 e 的夹角，则 ① e ? a ? a ? e ? a cos? ②a ? b ? a ?b ? 0 ③当 a 与 b 同向时， a ? b ? a b ，当 a 与 b 反向时， a ? b ? ? a b 。 特别地 a ? a ? a ④ cos? ?
2

a ?b ab

⑤ a?b ? a ? b

练习： 判断下列各题是否正确 （1）若 a ? 0 ，则对任意向量 b ，有 a ? b ? 0 （2）若 a ? 0 ，则对任意非零量 b ，有 a ? b ? 0 （3）若 a ? 0 ，且 a ? b ? 0 ，则 b ? 0 （4）若 a ? b ? 0 ，则 a ? 0 或 b ? 0
2 （5）对任意向量 a 有 a ? a 2

（ （ （ （ （

） ） ） ） ）

（6）若 a ? 0 ，且 a ? b ? a ? c ，则 b ? c （ ） 参考答案： （l）√， （2）×， （3）×， （4）×， （5）√， （6）×． 例 2 ：已知 a ? b ? 2a ? b ，且 a ， b 都是非零向量，求 ? a, b ?
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