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2.3.1向量数量积的定义


§ 2.3.1 向量数量积的定义
一、教学目标 1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并 能根据条件逆用等式求向量的夹角; 2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题; 3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科 学态度以及实际动手能力; 4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识. 二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用 教学难点 平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解. 三、教学过程 (l)已知两个非零向量 a 和 b ,在平面上任取一点 O ,作 OA ? a , OB ? b ,则

?AOB ?? a, b ? 叫做向量 a 与 b 的夹角.你能指出下列图中两向量的夹角吗?

① OA 与 OB 的夹角为 0? ,② OA 与 OB 的夹角为 180 ? ,③ OA 与 OB 的夹角是

?AOB ,④ OA 与 OB 的夹角是 ? .

? a, b ??[0, ? ]
当 ? a, b ??

?
2

时, a ? b

规定: 0 ? a (2)向量 b 在 a 方向上的正射影

所以 b cos? 叫做向量 b 在向量 a 上的投影

注意:1?投影也是一个数量,不是向量。 2?当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值; 当?为直角时投影为 0; 当? = 0?时投影为 |b|; 当? = 180?时投影为 ?|b|。 3、与 | a | 无关 (3)数量积定义:

a ? b cos? ,叫做向量 a 与 b 的数量积或(内积)记作 a ? b 即 a ?b ? a b c o ? s
并规定 0 ? a ? 0 向量的数量积的几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?的乘积。 例 1: (1)已知 | a |? 8, | b |? 4, ? a, b ??

? 2? ?
3 ( 3 , 2

,0, ? ) ,求 a ? b

(2)已知 a ? b ? 5, | a || b |? 10, 求 ? a, b ? (3)已知 | a |? 5 ,向量 b 在 a 方向上的正射影的数量为-6,求 a ? b (4)数量积的性质: 设 a , b 都是非零向量, e 是与 b 的方向相同的单位向量, ? 是 a 与 e 的夹角,则 ① e ? a ? a ? e ? a cos? ②a ? b ? a ?b ? 0 ③当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ,当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b 。 特别地 a ? a ? a ④ cos? ?
2

a ?b ab

⑤ a?b ? a ? b

练习: 判断下列各题是否正确 (1)若 a ? 0 ,则对任意向量 b ,有 a ? b ? 0 (2)若 a ? 0 ,则对任意非零量 b ,有 a ? b ? 0 (3)若 a ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,则 b ? 0 (4)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0
2 (5)对任意向量 a 有 a ? a 2

( ( ( ( (

) ) ) ) )

(6)若 a ? 0 ,且 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ( ) 参考答案: (l)√, (2)×, (3)×, (4)×, (5)√, (6)×. 例 2 :已知 a ? b ? 2a ? b ,且 a , b 都是非零向量,求 ? a, b ?
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