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正弦定理练习题


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绝密★启用前

正弦定理练习题
第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1 .在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 3a ? 2b ,则

6.在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( ) A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B D.不能确 定 7.已知 A,B,C 是 ?ABC 的三个内角,则下列各式中化简结果一定是 0 的 是( ) A. sin( A ? B) ? sin C C. sin( A ? B) ? cos(?C ) tan C 8.已知△ABC 中, tan A ? ? A、 B. tan( A ? B) ? tan C D. cos[2( B ? C )] ? cos 2 A ) D、 ?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

2sin 2 B ? sin 2 A 的值为( sin 2 A
A. ?



1 9

B.

1 3

C.1

D.

7 2
,则 sin∠BAC=

2. (2013?天津)在△ABC 中, ( A. ) B. C. D.

12 13 1 b. 9. 在 ?ABC 中, 角 A. B. C所对的边分别是 a . 若 a ? b ,A ? 2 B , c, 2 cos B 则 等于( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 4 5 6
B、 10. 在 ?ABC 中, 若 A ? 60?, BC ? 4 3, AC ? 4 2, 则角 B 的大小为 ( A.30° B.45° D.45°或 135° C . )

12 13

5 13

5 ,则 cos A ? ( 12 5 C、 ? 13

135°

3.在△ABC 中,已知 a = 2 , b =2,B=45°,则角 A=( ) A. 30? 或 150? B. 60? 或 120? C. 60? D. 30? 4.在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 3: 4 : 5 ,则 cos A 的值为 A、

5.在△ ABC 中, a ? 2 , A ? 30? , C ? 135? ,则边 c ? A.1 B. 2 C. 2 2 D. 2 3
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页

3 5

B、

4 5

C、 0

D、 1

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明

15.( 12 分)在△ABC 中,sinA+cosA= 求① tanA 的值 ; ② △ABC 的面积.

2 ,AC=2,AB=3, 2

评卷人

得分 二、填空题

11.在 ?ABC 中, A ? 60?, b ? 4, a ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积等于___ __. 12 . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c . 已 知

bc o s C? c c o ? B s

b 2 ,则

a =________. b

2 16. (本题 12 分)在△ABC 中,a ? b ? 10 ,cosC 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的

13.[2014·北京西城区期末]在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b= 5 ,B=

一个根,求①角 C 的度数②△ABC 周长的最小值。

? ,tanC=2,则 c=________. 4

评卷人

得分 三、解答题

14.在Δ ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,且 sin B ? (1)当 A=30°时,求 a 的值; (2)当 a=2,且△ABC 的面积为 3 时,求△ABC 的周长.

3 ,b ? 2 . 5

第3页 共4页



第4页 共4页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※

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参考答案 1.D 【解析】 试题分析:由正弦定理得:

2sin 2 B ? sin 2 A 2b 2 ? a 2 b ? ? 2( ) 2 ? 1 ,又 3a ? 2b ,所以 2 2 sin A a a

2sin 2 B ? sin 2 A 9 7 ? 2 ? ? 1 ? . 选 D. 2 sin A 4 2
考点:正弦定理 2.C 【解析】∵∠ABC=
2

,AB=
2 2

,BC=3,

∴由余弦定理得:AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos∠ABC=2+9﹣6=5, ∴AC= , 则由正弦定理 故选 C 3.B 【解析】 试题分析:由正弦定理: = 得:sin∠BAC= = .

a b 1 ? ,将已知条件代入可得 sin A ? ,在 ? ABC 中, sin A sin B 2

所以 A 为 60? 或 120? 考点:正弦定理,特殊角的三角函数. 4.B 【解析】 试题分析:由正弦定理可知 a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 3 : 4 : 5, ? ?ABC 是直角三角
0 形, C ? 90

? cos A ?

b 4 ? . c 5

考点:正弦定理、余弦定理 5.C 【解析】 试题分析:由正弦定理, 考点:正弦定理 6.A 【解析】若 A.B 是锐角, y ? sin x 在 (0,

a c 2 c ? ? ? ?c?2 2 ? sin A sin C sin 30 sin 135?

?
2

) 内是增函数,由 sin A ? sin B 得 A>B.

若 B 是钝角, sin A ? sin B ? sin A ? sin(? ? B) ? A ? ? ? B ? A ? B ? ?
答案第 1 页,总 4 页

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矛盾。故选 A 7.C 【解析】 sin( A ? B) ? sin C ? sin(? ? A ? B) ? sin C ? 2sin C ? 0 当C ?

?
2

时, A ? B ?

?
2

,此时 tan( A ? B) ? tan C ? 0

sin( A ? B) ? cos(?C) tan C ? sin C ? cos C tan C ? sin C ? sin C ? 0 cos[2( B ? C )] ? cos 2 A ? cos[2? ? 2( B ? C )] ? cos 2 A ? 2cos 2 A 不一定为 0
综上可得,故选 C 8.D

5 5 得 sin A ? ? cos A ,两边平方得; 12 12 25 25 144 sin 2 A ? cos 2 A,?1 ? cos 2 A ? cos 2 A ,即 cos 2 A ? 。又 cosA<0, 144 144 169 12 ? cos A ? ? . 故选 D 13
【解析】 tan A ? 0,? A 是钝角,由 tan ? ? 9.B 【解析】

1 b a b c b ? ? 试题分析:由正弦定理 与题中条件可得 2 即 ? sin A sin B sin C sin 2 B sin B 1 1 sin B ? sin 2 B ? 2sin B cos B ,而 B 为三角形的内角,所以 sin B ? 0 ,所以 cos B ? , 2 4
故选 B. 考点:1.正弦定理;2.正弦的二倍角公式. 10.B 【解析】由正弦定理有

BC AC AC 4 2 3 2 ? , 则 sinB ? ,所以 sin A? ? ? sin A sin B BC 2 4 3 2

B ? 45? 或 B ? 135? 。当 B ? 135? 时, A ? B ? 195? ? 180? ,不符,所以 B ? 45? ,故选 B
11. 2 3 【解析】
2 试题分析:由余弦定理得: 12 ? 16 ? c ? 4c ? c ? 2 .所以 S ?

1 bc sin A ? 2 3 . 2

考点:解三角形. 12.2. 【解析】 试题分析: 将 bcosC+ccosB=2b , 利用正弦定理化简得: sinBcosC+sinCcosB=2sinB , 即 sin ( B+C ) =2sinB , ∵ sin ( B+C ) =sinA ,
答案第 2 页,总 4 页

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∴ sinA=2sinB , 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 : a=2b , 则

a ? 2 .故答案为:2 b

考点:1.正 弦 定 理 ; 2 . 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式 . 13.2 2 【解析】∵tanC=2,∴

sin C 2 2 =2,又 sin C+cos C=1, cos C

∴sin C=

2

4 b c sin C 2 5 ,∴sinC= .由正弦定理,得 = .∴c= ×b=2 2 . 5 sin B sin C sin B 5

14. (1) 【解析】

5 56 (2) 3 9

3 , b ? 2 ,A=30°, 5 1 2? b a b ? sin A 2 ?5. ? ∴由正弦定理 ,得 a ? ? 3 sin B sin A sin B 3 5 3 (2)在Δ ABC 中,∵ sin B ? , b ? 2 ,a=2,且 S ?ABC ? 3 , 5 1 1 ∴ S ?ABC ? ab sin C ? ? 2 ? 2 sin C ? 2 sin C ? 3 , 2 2 2 ∴ sin C ? , 7分 3 2 2? b ? sin C b c 3 ? 20 , ? 又由正弦定理 ,得 c ? ? 3 sin B sin C sin B 9 5 20 56 ? ∴△ABC 的周长为 a ? b ? c ? 2 ? 2 ? . 10 分 9 9
试题分析: (1)在Δ ABC 中,∵ sin B ?

4分

9分

考点:解三角形 点评:解三角形的题目主要是应用正余弦定理实现边与角的联系,本题还涉及到面积公式:

S?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

15.解:①∵sinA+cosA= 2 cos(A-45°)= ∴cos(A-45°)=

2 , 2

1 .………2 分 2

又 0°<A<180°, ∴A-45°=60°,A=105°. ……… 4 分
答案第 3 页,总 4 页

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∴tanA=tan(45°+60°)=

1? 3 1? 3

=-2- 3 .………6 分

② sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=

2? 6 .…9 分 4

∴SABC=

1 1 2? 6 3 AC·AbsinA= ·2·3· = ( 2 + 6 ).……… 12 分 2 2 4 4

(此题还有其它解法,类似给分) 【解析】略 16.解:①? 2 x ? 3x ? 2 ? 0
2
2

1 ? x1 ? 2, x 2 ? ? ……2 分 2

又? cos C 是方程 2 x ? 3x ? 2 ? 0 的一个根

? cos C ? ?

1 ,在△ABC 中∴C = 120 度…6 分 2
2 2 2

② 由余弦定理可得: c ? a ? b ? 2ab ? ? ?
2

? 1? 2 ? ? ?a ? b ? ? ab ? 2?

即: c 2 ? 100? a?10 ? a? ? ?a ? 5? ? 75 ……8 分 当 a ? 5 时,c 最小且 c ?

75 ? 5 3 此时 a ? b ? c ? 10 ? 5 3 ……10 分

? △ABC 周长的最小值为 10 ? 5 3 ……12 分
【解析】略

答案第 4 页,总 4 页


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