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高中数学 必修1 模块综合检测(含答案解析)



必修 1 模块综合检测
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.集合 A={0,2,a},B={1,a2},若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 C.2 B.1 D.4 ) . ) .

2 ? ( x≤1) 1 ?1 ? 2x ) 的值为( 2.设函数

f(x)= ? 2 ,则 f ( f (3) ? ? x ? 3x ? 2 ( x>1)

127 A. 128 1 C. 8

127 B.- 128 D. 1 16 ) .

f?2x? 3.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= 的定义域是( x-1 A.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] B.[0,1) D. (0,1)

4.已知 f(x) =(m-1)x2+3mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-4, 2)上为( A.增函数 C.先递增再递减 B.减函数 D.先递减再递增 ) .

) .

5.三个数 a=0.32, b ? log2 0.3 ,c=20.3 之间的大小关系是( A.a<c<b C.b<a<c B.a<b<c D.b<c<a

6.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16) 、 (0,8) 、 (0,4) 、 (0,2)内, 那么下列命题中正确的是( ) .

A.函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数 f(x)在区间[2,16)内无零点 D.函数 f(x)在区间(1,16)内无零点 7.已知 0<a<1,则方程 a|x|=|logax|的实根个数是( A.2 C.4 B.3 D.与 a 值有关 ) . ) .

8.函数 y=1+ln(x-1) (x>1)的反函数是( A. y ? e
x ?1

? 1(x>0)

B. y ? e

x ?1

? 1(x>0)

C. y ? e x ?1 ? 1(x∈R)

D. y ? e x ?1 ? 1(x∈R)

9.函数 f(x)=x2-2ax+1 有两个零点,且分别在(0,1)与(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<1 5 C.1<a< 4 ) . B.a<-1 或 a>1 5 D.- <a<-1 4 ) .

10.函数 y=|lg(x+1)|的图象是(

11.下列 4 个函数中: ①y=2008x-1; 2 009-x ②y=loga (a>0 且 a≠1) ; 2 009+x x2 009+x2 008 ③y= ; x+1 ④y=x(

1 a
?x

1 + ) (a>0 且 a≠1) . ?1 2 ) .

其中既不是奇函数,又不是偶函数的是( A.① C.①③ B.②③ D.①④

1 1 12.设函数的集合 P={f(x)=log2(x+a)+b|a=- ,0, ,1;b=-1,0,1}, 2 2 1 1 平面上点的集合 Q={(x,y)|x=- ,0, ,1;y=-1,0,1},则在同一直角坐标系中, 2 2 P 中函数 f(x)的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是( .. A.4 C.8 B.6 D.10 ) .

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.计算:0.25×( ? ) +lg 8+3lg 5=________.

1 2

?4

14.若规定

a b c d

=|ad-bc|,则不等式 log

1 1
2

1 x

<0 的解集是____________.

15. 已知关于 x 的函数 y=log( 在[0, 1]上是减函数, 则 a 的取值范围是________. a 2-ax) 16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 x,则不等式


1 f(x)<- 的解集是______________. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)已知函数 f(x)= log 1 ( x ? 1) 的定义域为集合 A,函数 g(x)= 3m?2 x? x
2
2

-1 的值域为集合 B,且 A∪B=B,求实数 m 的取值范围.

x+a 18. (12 分)已知 f(x)= 2 是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性, x +bx+1 并证明你的结论.

19. (12 分)若非零函数 f(x)对任意实数 a,b 均有 f(a+b)=f(a)· f(b) ,且当 x <0 时,f(x)>1; (1)求证:f(x)>0; (2)求证:f(x)为减函数; 1 1 (3)当 f(4)= 时,解不等式 f(x2+x-3)· f(5-x2)≤ . 16 4

20. (12 分)我市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不 同.甲家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球 台 90 元, 超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元. 某公司准备下个月从这两家中的一家租 一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40) ,在乙家租 一张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40) ,试求 f(x)和 g(x) ; (2)选择哪家比较合算?为什么?

21. (12 分)已知函数 y=f(x)的定义域为 D,且 f(x)同时满足以下条件: ①f(x)在 D 上是单调递增或单调递减函数; ②存在闭区间[a,b] ? D(其中 a<b) ,使得当 x∈[a,b]时,f(x)的取值集合也是

?

[a,b].那么,我们称函数 y=f(x) (x∈D)是闭函数. (1)判断 f(x)=-x3 是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理 由. (2)若 f(x)=k+ x+2是闭函数,求实数 k 的取值范围. (注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出是增函数还是减函数即可)

22. (12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=ax-1.其中 a>0 且 a≠1. (1)求 f(2)+f(-2)的值; (2)求 f(x)的解析式; (3)解关于 x 的不等式-1<f(x-1)<4,结果用集合或区间表示.

必修 1 模块综合检测参考答案
1. 答案:D 解析:∵A∪B={0,1,2,a,a2}, 又∵A∪B={0,1,2,4,16},
? ?a=4, ∴? 2 即 a=4. ?a =16, ? ?a=16 ? 否则有? 2 矛盾. ? ?a =4

2. 答案:A 解析:∵f(3)=32+3× 3-2=16, ∴ 1 1 = , f?3? 16

1 1 1 2 127 ∴f( )=f( )=1-2× ( )2=1- = . 16 16 256 128 f?3? 3. 答案:B 解析:由题意得: ? 4. 答案:C 解析:∵f(x)=(m-1)x2+3mx+3 是偶函数,∴m=0,f(x)=-x2+3,函数图 象是开口向下的抛物线,顶点坐标为(0,3) ,f(x)在(-4,2)上先增后减. 5.答案:C 解析:20.3>20=1=0.30>0.32>0=log21>log20.3. 6.答案:C 解析:函数 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,故函数 f(x)在区间[2,16)内 无零点. 7. 答案:A 解析:分别画出函数 y=a|x|与 y=|logax|的图象,通过数形结合法,可知交点个数为 2.

?0≤2 x≤2 ,∴0≤x<1. ?x ? 1

8.答案:D 解析:∵函数 y=1+ln(x-1) (x>1) , ∴ln(x-1)=y-1, x ? 1 ? e 9.答案:C
y ?1

,y?e

x ?1

. ? 1(x∈R)

解析:∵f(x)=x2-2ax+1, ∴f(x)的图象是开口向上的抛物线. 1>0, ? f (0) ? 0 ? ? ? 由题意得: ? f (1) ? 0 ,即?1-2a+1<0, ? ? f (2) ? 0 ?4-4a+1>0, ? 10.答案:A 解析:将 y=lg x 的图象向左平移一个单位,然后把 x 轴下方的部分关于 x 轴对称到上 方,就得到 y=|lg(x+1)|的图象. 11.答案:C 解析:其中①不过原点,则不可能为奇函数,而且也不可能为偶函数;③中定义域不关 于原点对称,则既不是奇函数,又不是偶函数. 12.答案:B 1 1 解析:当 a=- ,f(x)=log2(x- )+b, 2 2 1 ∵x> , 2 ∴此时最多经过 Q 中的一个点; 1 当 a=0 时,f(x)=log2x 经过( ,-1) , (1,0) , 2 1 f(x)=log2x+1 经过( ,0) , (1,1) ; 2 1 当 a=1 时,f(x)=log2(x+1)+1 经过(- ,0) , (0,1) , 2 f(x)=log2(x+1)-1 经过(0,-1) , (1,0) ; 1 1 1 当 a= 时,f(x)=log2(x+ )经过(0,-1) , ( ,0) 2 2 2 1 1 f(x)=log2(x+ )+1 经过(0,0) , ( , 1) . 2 2 二、填空题 13.答案:7 解析:原式=0.25× 24+lg 8+lg 53=(0.5× 2)2× 22+lg(8× 53)=4+lg 1000=7. 14.答案: (0,1)∪(1,2) 解析:? 由 log
2

5 解得 1<a< . 4

?1 1?=|x-1|, ? ?1 x ?

x ?1 ? 0 ,得 0<|x-1|<1,

即 0<x<2,且 x≠1. 15.答案: (1,2)

解析:依题意,a>0 且 a≠1, ∴2-ax 在[0,1]上是减函数, 即当 x=1 时,2-ax 的值最小,又∵2-ax 为真数,
?a>1 ? ∴? ,解得 1<a<2. ?2-a>0 ?

16.答案: (-∞,-1) 解析:当 x>0 时,由 1 ? 2
?x

1 ?? , 2

1 3 > ,显然不成立. 2 2
当 x<0 时,-x>0. 因为该函数是奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=2x-1. 1 x ?1 由 2x-1<- ,即 2 <2 ,得 x<-1. 2 1 又因为 f(0)=0<- 不成立, 2 所以不等式的解集是(-∞,-1) .

x

三、解答题
17.解:由题意得 A={x|1<x≤2},B=(-1, ?1 ? 3 由 A∪B=B,得 A?B,即 ?1 ? 3 所以 m≥0. x+a 18.解:∵f(x)= 2 是定义在[-1,1]上的奇函数, x +bx+1 0+a ∴f(0)=0,即 2 =0, 0 +0+1 ∴a=0. 又∵f(-1)=-f(1) ,∴ x ∴b=0,∴f(x)= 2 . x +1 ∴函数 f(x)在[-1,1]上为增函数 2 证明如下: 任取-1≤x1<x2≤1, ∴x1-x2<0,-1<x1x2<1, ∴1-x1x2>0. -1 1 =- , 2-b 2+b
1? m 1? m

].

≥2 ,即 31?m≥3 ,

x x ? x ? x1 x2 ? x2 x1 x2 ∴f(x1)-f(x2)= 2 - 2 = 1 2 2 1 x1+1 x2+1 ( x1 ? 1)( x2 2 ? 1)
2 2



x1 x2 ( x2 ? x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) = <0, ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1) ( x12 ? 1)( x2 2 ? 1)

∴f(x1)<f(x2) , ∴f(x)为[-1,1]上的增函数. x x 2 x 19. (1)证明:f(x)=f( + )= f ( ) ≥0, 2 2 2 又∵f(x)≠0,∴f(x)>0. (2)证明:设 x1<x2,则 x1-x2<0, 又∵f(x)为非零函数, f?x1-x2?· f?x2? f?x1-x2+x2? f?x1? ∴f(x1-x2)= = = >1, f?x2? f?x2? f?x2? ∴f(x1)>f(x2) ,∴f(x)为减函数. 1 1 (3)解:由 f(4)= f 2 (2) = ,f(x)>0,得 f(2)= . 16 4 原不等式转化为 f(x2+x-3+5-x2)≤f(2) ,结合(2)得: x+2≥2,∴x≥0, 故不等式的解集为{x|x≥0}. 20.解: (1)f(x)=5x,15≤x≤40;

15≤ x≤30 ?90, . g ( x) ? ? ?30 ? 2 x, 30≤x≤40
(2)①当 15≤x≤30 时,5x=90,x=18, 即当 15≤x<18 时,f(x)<g(x) ; 当 x=18 时,f(x)=g(x) ; 当 18<x≤30 时,f(x)>g(x) . ②当 30<x≤40 时,f(x)>g(x) , 综上所述,当 15≤x<18 时,选甲家比较合算; 当 x=18 时,两家一样合算; 当 18<x≤40 时,选乙家比较合算. 21.解: (1)f(x)=-x3 在 R 上是减函数,满足①;
3 ? ?-a =b 设存在区间[a,b],f(x)的取值集合也是[a,b],则? 3 ,解得 a=-1,b=1, ?-b =a ?

所以存在区间[-1,1]满足②, 所以 f(x)=-x3(x∈R)是闭函数. (2)f(x)=k+ x+2是在[-2,+∞)上的增函数, 由题意知,f(x)=k+ x+2是闭函数,存在区间[a,b]满足②

?k+ a+2=a 即:? . ?k+ b+2=b
即 a,b 是方程 k+ x+2=x 的两根,化简得:x2-(2k+1)x+k2-2=0. 且 a≥k,b>k.

? ? f (k )≥0 ? 2 2 令 f(x)=x -(2k+1)x+k -2,得 ? ?>0 , ? 2k ? 1 ? >k ? 2
9 解得- <k≤-2, 4 9 所以实数 k 的取值范围为(- ,-2]. 4 22.解: (1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-2)=-f(2) ,即 f(2)+f(-2)=0. (2)当 x<0 时,-x>0, ∴ f (? x) ? a? x ?1 . 由 f(x)是奇函数,有 f(-x)=-f(x) , ∵ f (? x) ? a? x ?1 , ∴ f ( x) ? ?a? x ? 1 (x<0) .
x ? ?a ? 1 ∴所求的解析式为 f ( x) ? ? ? x ? ??a ? 1

( x≥0) ( x<0)
或?



(3)不等式等价于 ?

? x ? 1<0 ? ?1< ? a
? x ?1

? x ? 1≥0 ? ?1<a
? x ?1

? 1<4


? 1<4



即?

? x ? 1<0 ? ?3<a
? x ?1

<2

或?

? x ? 1≥0 ?0<a
? x ?1

<5

当 a>1 时,有 ?

? x<1 ? x≥1 或? , ? x>1 ? log a 2 ? x<1 ? log a 5

注意此时 loga2>0,loga5>0, 可得此时不等式的解集为(1-loga2,1+loga5) . 同理可得,当 0<a<1 时,不等式的解集为 R. 综上所述,当 a>1 时,不等式的解集为(1-loga2,1+loga5) ; 当 0<a<1 时,不等式的解集为 R.



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