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1.4.3-正切函数的图像与性质



北京师范大学(珠海)附属高级中学 2014 级 高一年级(数学)备课组教案

第(16)课时

1.4.3 正切函数的图象与性质
(一)知识与技能 (1) 理解用单位圆中的正切线作正切函数的图象的方法; (2) 用正切函数图象解决正切型函数有关的性质的问题。 (二)过程与方法 通过由图像研究正切函数的性质的过程,体会数形结合的思想

;通过正切型函数的性质的探讨体会 化归与转化的数学思想。 (三) 情感态度与价值观 激发学生学习数学的兴趣和积极性,感受事物普遍联系的唯物主义观点。

重点:正切函数的性质的探讨. 难点:用单位圆中的正切线作正切函数图象 教学方法:合作探究
教学过程: 一、复习引入: 问题:1、正弦曲线是怎样画的?

教学工具:多媒体设备

2、练习:画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数的图象. 二、讲解新课: 1.正切函数 y ? tan x 的定义域是什么? 2.正切函数是不是周期函数?

? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ? ?
? ? ,k ? , z ?

? ? ?t a n n ? R 且, ? x ?k ? ? x ? ? ? ? t ax ? x 2 ?
∴ ? 是 y ? tan x ? x ? R, 且x ? k? ?

? ?

?

? , k ? z ? 的一个周期。 2 ?

? 是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。
3.作 y ? tan x , x ? ? ?

? ? ?? , ? 的图象 ? 2 2?

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 ? 小,正切函数的最小正周期是 ? ;
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北京师范大学(珠海)附属高级中学 2014 级 高一年级(数学)备课组教案
(2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

第(16)课时

y ? tan x x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的图象,称“正切曲线” 。
y
y

3 ? ? 2

?? ?

?
2

O
0

? 2

?

3 ? x 2

x

(3)正切曲线是由被相互平行的直线 x ? k? ? 4.正切函数的性质 引导学生观察,共同获得:

?
2

? k ? Z ? 所隔开的无穷多支曲线组成的。

(1)定义域: ? x | x ? (2)值域:R

? ?

?

? ? k? , k ? z ? ; 2 ?
?
2
? ??? ?k ? z ? , x ? ?? k? ? 时, tan x ?? 2

观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于

?
2

?? ? k? ?k ? z ? , x ?

?
2

?? ?? 。 ? k? 时, tan x ?

(3)周期性: T ? ? ; (4)奇偶性:由 tan?? x ? ? ? tan x 知,正切函数是奇函数;

? ? ? (5)单调性:在开区间 ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 内,函数单调递增。 2 ? 2 ? 5.讲解范例:
例 1 比较 tan? ?

? 13? ? ? 17? ? 与 tan? ? ? 4 ? ? 5

? ? 的大小 ?

王新敞
奎屯

新疆

解:? tan? ?

? 2? ? 2? ? 13? ? ? 17? ? ? ?? , y ? tan x在? 0, ? 内单调递增, ? ? ? tan , tan? ? ? ? ? tan , 0 ? ? 4 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ? ? 2?

? tan

?
4

? tan

2? ? 2? ? 13 ? ? 17 ? ,? ? tan ? ? tan ,即 tan? ? ? ? ? tan? ? ? ? 5 4 5 ? 4 ? ? 5 ?

王新敞
奎屯

新疆

例 2:求下列函数的周期: ?? ? (1) y ? 3tan ? x ? ? 答: T ? ? 。 5? ?
说明:函数

?? ? (2) y ? tan ? 3x ? ? 6? ?
的周期 T ?

答: T ?

?
3



y ? A tan ?? x ? ? ?? A ? 0,? ? 0?

? . ?

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北京师范大学(珠海)附属高级中学 2014 级 高一年级(数学)备课组教案
例 3:求函数 y ? tan? 3x ?

第(16)课时

?? ? ? 的定义域、值域,指出它的周期性、单调性, 3? ? ? ? k? 5? ? 解:1、由 3 x ? ? k? ? 得 x ? ,所求定义域为 3 2 3 18 k? 5? ? ? ? , k ? z? ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ? ? 2、值域为 R,周期 T ? , 3 ? k? ? k? 5? ? 3、在区间 ? ? , ? ??k ? z ? 上是增函数。 ? 3 18 3 18 ?
?? ?? x ? ? 的定义域、周期性、奇偶性、单调性。 3? ?2

练习 1:求函数 y ? tan?

练习 2:P45 6(1) 四、小结:本节课学习了以下内容:

1. 因 为 正 切 函 数 y ? t a nx 的 定 义 域 是 {x | x ? R, x ? k? ?
x??

?
2

, k ? Z} , 所 以 它 的 图 象 被

?

3 ,? ? , . . . . .. 等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。 2 2

2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π /2,π /2)的区间内的函数 的图象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π 个单位,就可以得 到整个正切函数的图象。
五、作业 P46 A 组 6、7、8 ; B 组 2

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