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南通市2013届高三第一次调研测试数学



南通市 2013 届高三第一次调研测试数学 I
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1.已知全集 U=R,集合 A ? ?x x ? 1 ? 0? ,则 ?U A ? ▲ . 象限. .

2.已知复数 z= 3 ? 2i (i 是虚数单位),则复数 z 所对应的点位于复平面的第 ▲ i 3.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,这个正四棱锥的侧面积是 ▲

4. 定义在 R 上的函数 f ( x) , 对任意 x∈R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) , x ? (?2, 0) 时, f ( x) ? 4 x , 当 则 f (2013) ? ▲ .

5.已知命题 p : “正数 a 的平方不等于 0” ,命题 q : “若 a 不是正数,则它的平方等于 0” , 则 p 是q的 ▲ . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)

2 y2 6.已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与圆 x2+y2-10x=0 的圆心重合,且双曲线的离心率等 a b

于 5 ,则该双曲线的标准方程为





开始 输入 x n←1 n←n+1 x←2x+1 n≤3 N 输出 x
(第 8 题)

7.若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=-36,S13=-104, 则 a5 与 a7 的等比中项为 ▲ .

8.已知实数 x∈[1,9],执行如右图所示的流程图, ▲ . ??? ???? ??? ? ? 9.在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3 , | AB ? AC |?| BC| , ??? ??? ? ? BA ? BC = ▲ ? 则 ??? . | BC | 10.已知 0 ? a ? 1 ,若 log a (2 x ? y ? 1) ? log a (3 y ? x ? 2) , 且 ? ? x ? y ,则 ? 的最大值为 O
(第 12 题)

则输出的 x 不小于 55 的概率为

Y





结束

11.曲线 f ( x) ?

f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x2 在点(1,f(1))处的切线方程为 e 2





12.如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅为 3cm, 周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.则该物体 5s 时刻的位移 为 ▲ cm.

13. 已知直线 y=ax+3 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 ? 0 相交于 A, 两点, P( x0 , y0 ) 在直线 y=2x 上, B 点 且 PA=PB,则 x0 的取值范围为 ▲ .

14.设 P(x,y)为函数 y ? x2 ? 1 ( x ? 3) 图象上一动点,记 m ? m 最小时,点 P 的坐标为 ▲ .

3x ? y ? 5 x ? 3 y ? 7 ,则当 ? x ?1 y?2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点,F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点,D 是棱 BC 的中点.求证: (1) EF // 平面 ABC; (2)平面 AEF⊥平面 A1AD. B1 E F A B C C1 A1

D
(第 15 题)

16.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b2 的取值范围.

17.(本题满分 14 分) 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板, 其周长为 4 米, 这种薄板须沿其对 角线折叠后使用.如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形薄板,沿 AC 折叠后, AB? 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形 ACB ?PD 的面积最大时制冷效果 最好. (1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?

B?
D P C

A
(第 17 题)

B

18.(本题满分 16 分) 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

n(an ? a1 ) . 2

an?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列? 3n

若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由.

19.(本题满分 16 分) 已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1,1)分别作斜率为 k1,k2 的 3 椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标.

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax( x ? 0 且 x≠1). ln x (1)若函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,求实数 a 的最小值; (2)若 ?x1 , x2 ?[e,e2 ] ,使 f(x1)≤ f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

南通市 2013 届高三第一次调研测试数学 I 参考答案与评分标准
(考试时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1.已知全集 U=R,集合 A ? ?x x ? 1 ? 0? ,则 ?U A ? 答案: (??, ?1] . 2.已知复数 z= 3 ? 2i (i 是虚数单位),则复数 z 所对应的点位于复平面的第 i 答案:三. 3.已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7 ,这个正四棱锥的侧面积是 答案:48. 4. 定义在 R 上的函数 f ( x) , 对任意 x∈R 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) , x ? (?2, 0) 时, f ( x) ? 4 x , 当 则 f (2013) ? 答案: ▲ . ▲ . ▲ 象限. ▲ .

1 . 4

5.已知命题 p : “正数 a 的平方不等于 0” ,命题 q : “若 a 不是正数,则它的平方等于 0” , 则 p 是q的 ▲ . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空) 开始
2 y2 6.已知双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与圆 x2+y2-10x=0 的圆心重合, a b

答案:否命题.

输入 x n←1 n←n+1 x←2x+1 n≤3 N 输出 x
(第 8 题)

且双曲线的离心率等于 5 ,则该双曲线的标准方程为





y 答案: x ? ? 1. 5 20
2

2

7.若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S9=-36,S13=-104, 则 a5 与 a7 的等比中项为 答案: ?4 2 . 8.已知实数 x∈[1,9],执行如右图所示的流程图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为 ▲ . ▲ . Y

结束

3 答案: . 8
??? ??? ? ? ??? ???? ??? ? ? ??? ? 9.在△ABC 中,若 AB=1,AC= 3 , | AB ? AC |?| BC| ,则 BA ? BC = | BC |





答案:

1 . 2

10 . 已 知 0 ? a ? 1 , 若 log a (2 x ? y ? 1) ? log a (3 y ? x ? 2) , 且 ? ? x ? y , 则 ? 的 最 大 值 为 ▲ .

答案:-2. 11.曲线 f ( x) ?

f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x2 在点(1,f(1))处的切线方程为 e 2 1 . 2





答案: y ? ex ?

12.如图,点 O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅 为 3cm,周期为 3s,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.则该 物体 5s 时刻的位移为 答案:-1.5. 13. 已知直线 y=ax+3 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 8 ? 0 相交于 A, 两点, P( x0 , y0 ) 在直线 y=2x 上, B 点 且 PA=PB,则 x0 的取值范围为 答案: (?1, 0) ? (0, 2) . 14.设 P(x,y)为函数 y ? x2 ? 1 ( x ? 3) 图象上一动点,记 m ? m 最小时,点 P 的坐标为 答案:(2,3). 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位 置上.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E 是侧面 AA1B1B 对角线的交点, F 是侧面 AA1C1C 对角线的交点,D 是棱 BC 的中点.求证: (1) EF // 平面 ABC; (2)平面 AEF⊥平面 A1AD. B D
(第 15 题)

O
(第 12 题)



cm.





3x ? y ? 5 x ? 3 y ? 7 ,则当 ? x ?1 y?2





A1 B1 E F A C A1 C1 E F A C1

解: (1)连结 A1 B和A1C . 因为 E、 F 分别是侧面 AA1 B1 B 和侧面 AA1C1C 的对角线的交点, 所以 E、 F 分别是 A1 B和A1C 的中点. 所以 EF // BC . ?????????????????3 分 B D
(第 15 题)

B1

又 BC ? 平面 ABC 中, EF ? 平面 ABC 中, 故 EF // 平面 ABC . ?????????????6 分

C

(2)因为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 为正三棱柱, 所以 A1 A ? 平面 ABC ,所以 BC ? A1 A . 故由 EF // BC ,得 EF ? A1 A . ???????????????8 分

又因为 D 是棱 BC 的中点,且 ?ABC 为正三角形,所以 BC ? AD . 故由 EF // BC ,得 EF ? AD . 而
A1 A1 A ? AD ? A

???????10 分 平 面
A1 A , D



A1 A, AD ?





EF ?





A.?????????????12 分 D

又 EF ? 平面 AEF ,故平面 AEF ? 平面 A1 AD .??????14 分

16.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? sin A ? sin B . cos A ? cos B (1)求角 C 的大小; (2)若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a 2 ? b2 的取值范围. 解:(1)因为 tan C ? sin A ? sin B ,即 sin C ? sin A ? sin B , cos A ? cos B cos C cos A ? cos B 所以 sin C cos A ? sin C cos B ? cos C sin A ? cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A ? cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) ? sin( B ? C ) . ?????????????????????4 分 所以 C ? A ? B ? C ,或 C ? A ? ? ? ( B ? C ) (不成立). 即 2C ? A ? B , 得 C ? ? . 3 ????????????7 分

(2)由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , ?????????????8 分

故 a 2 ? b2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . ???????11 分 ? 2? 3 3 2 ? ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , 3 3 3 3
3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 .???14 分 4 2 ? 1 ? cos 2? ≤1 2



故 D P

B?
C

17.(本题满分 14 分) 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为 4 米,这 种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示, ABCD( AB ? AD) 为长方形 A
(第 17 题)

B

薄板,沿 AC 折叠后, AB? 交 DC 于点 P.当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形

ACB ?PD 的面积最大时制冷效果最好.

(1)设 AB=x 米,用 x 表示图中 DP 的长度,并写出 x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?

解: (1)由题意, AB ? x , BC ? 2 ? x .因 x ? 2 ? x ,故 1 ? x ? 2 . 设 DP ? y ,则 PC ? x ? y . 因△ ADP ≌△ CB ?P ,故 PA ? PC ? x ? y . 由
2 2 P A ? A D? 2 D ,得 P

????2 分

2 2 ( x ? y) ? ( 2? x 2 ) ? y ? y ? 2 (11?,1)? x ? 2 .??5 分 x

(2)记△ ADP 的面积为 S1 ,则
S1 ? (1 ? 1 )(2 ? x) x

??????????????????6 分

? 3 ? (x ? 2) ? 2 ? 2 2 , x

当且仅当 x ? 2 ∈(1,2)时,S1 取得最大值.?????????????8 分 故当薄板长为 2 米,宽为 2 ? 2 米时,节能效果最好. (3)记△ ADP 的面积为 S2 ,则
S2 ? 1 x(2 ? x) ? (1 ? 1 )(2 ? x) ? 3 ? 1 ( x 2 ? 4 ) , 1 ? x ? 2 .??????????10 分 2 x 2 x
3 于是, S2? ? ? 1 (2x ? 4 ) ? ? x 2? 2 ? 0 ? x ? 3 2 .????????11 分 2 2 x x

???????9 分

关于 x 的函数 S2 在 (1, 3 2) 上递增,在 ( 3 2, 2) 上递减. 所以当 x ? 3 2 时, S2 取得最大值. ????????13 分 ???????14 分

故当薄板长为 3 2 米,宽为 2 ? 3 2 米时,制冷效果最好.

18.(本题满分 16 分) 已知数列{an}中,a2=1,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1; (2)证明数列{an}为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

n(an ? a1 ) . 2

an?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列? 3n

若存在,求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由. 解:(1)令 n=1,则 a1=S1=

1(a1 ? a1 ) =0. 2

????????????3 分

(2)由 Sn ? 得

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2

① ② ③ ④ ?????????7 分

Sn?1 ?

(n ? 1an?1 ) . 2
(n ? 1an ?1 ? nan . )

②-①,得

于是, nan? 2 ? (n ? 1)an?1 . ③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1.

????????????????????9 分

(3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数 列, 于是,

2p 1 q ? ? . 3p 3 3q

?????????????????11 分

所以, q ? 3q (

2p 1 ? ) (☆). 3p 3

易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解. ??????????13 分 当 p≥3,且 p∈N*时, 于是

2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }(p≥3)为递减数列, 3p ?1 3 3 3

2p 1 2?3 1 ? ≤ 3 ? <0,所以此时方程(☆)无正整数解. 3 3 3p 3

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列. ???16 分 注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,

亦相应评分.但在做除法过程中未对 n≥2 的情形予以说明的,扣 1 分.

19.(本题满分 16 分) 已知左焦点为 F(-1,0)的椭圆过点 E(1, 2 3 ).过点 P(1,1)分别作斜率为 k1,k2 的 3 椭圆的动弦 AB,CD,设 M,N 分别为线段 AB,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 P 为线段 AB 的中点,求 k1; (3)若 k1+k2=1,求证直线 MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:依题设 c=1,且右焦点 F? (1,0).

? ? 所以,2a= EF ? EF? = (1 ? 1)2 ? ? 2 3 ? ? 2 3 ? 2 3 ,b2=a2-c2=2, 3 ? 3 ?

2

2 y2 故所求的椭圆的标准方程为 x ? ?1. 3 2

???????????4 分

(2)设 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y2 ),则 ②-①,得 所以,k1=

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1 ①, 2 ? 2 ? 1 ②. 3 2 3 2

( x2 ? x 1 ) x 2 x 1 ) y ( ?2 y y) ? y ( ? ) 1 ( 2 ? ?1 . 0 3 2

y2 ? y1 2( x2 ? x1 ) 4x ?? ? ? P ? ? 2 . ????????????9 分 x2 ? x1 3( y2 ? y1 ) 6 yP 3

(3)依题设,k1≠k2. 设 M( xM , yM ),直线 AB 的方程为 y-1=k1(x-1),即 y=k1x+(1-k1),亦即 y=k1x+k2, 代入椭圆方程并化简得 于是, xM ? 同理, xN ?
( 2? k12 x2 ? 6 k x 32 ? 6 . 0 3 ) k 2 ? 2k ? 1

?3k1k2 2k2 , yM ? . 2 ? 3k12 2 ? 3k12
?3k1k2 2k1 , yN ? . 2 2 2 ? 3k2 2 ? 3k2

?????????????11 分

当 k1k2≠0 时, 直线 MN 的斜率 k=

yM ? yN 4 ? 6(k22 ? k2 k1 ? k12 ) 10 ? 6k2 k1 = .??????13 分 ? ?9k2 k1 (k2 ? k1 ) ?9k2 k1 xM ? xN
2k2 10 ? 6k2 k1 ?3k1k2 ? (x ? ), ?9k2 k1 2 ? 3k12 2 ? 3k12

直线 MN 的方程为 y ? 即 亦即
y?

10 ? 6k2 k 1 10 ? 6k k 1 3k k 1 2 2k 2 x?( ? ? )2, ?9k2 k1 ?9k2 k1 2 ? 3k12 2 ? 3k12

y?

10 ? 6k2 k1 x? 2 . ?9k2 k1 3

此时直线过定点 (0, ? 2 ) . ?????????????????15 分 3 当 k1k2=0 时,直线 MN 即为 y 轴,此时亦过点 (0, ? 2 ) . 3 综上,直线 MN 恒过定点,且坐标为 (0, ? 2 ) . 3 ???????????16 分

20.(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax( x ? 0 且 x≠1). ln x (1)若函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为减函数,求实数 a 的最小值; (2)若 ?x1 , x2 ?[e,e2 ] ,使 f(x1)≤ f ?( x2 ) ? a 成立,求实数 a 的取值范围.

1 解 : 1 ) 因 f(x) 在 (1, ??) 上 为 减 函 数 , 故 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? 0 在 (1, ??) 上 恒 成 ( (ln x)

立.

??????2 分

所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x)max ? 0 .
1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ? a ? ? 1 ln x (ln x)

? ? ? ln1x ? a ? ? ? ln1x ? 1 ? ? 1 ? a , 2 4
2

2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e 2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . 4 ln x 2 所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . 4 4 4 ???????????6 分

(2)命题“若 ?x1 , x2 ?[e,e2 ], 使 f ( x1 ) ? f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “当 x ? [e,e2 ] 时,有 f ( x)min ? f ? ? x ?max ? a ”. ???????????7 分

由(1) ,当 x ? [e,e2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,? f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 问题等价于:“当 x ? [e,e2 ] 时,有 f ( x)min ? 1 ”. 4
10 当 a ? 1 时,由(1) f ( x) 在 [e,e2 ] 上为减函数, , 4
2 则 f ( x)min = f (e2 ) ? e ? ae2 ? 1 ,故 a ? 1 ? 1 2 . 2 4 2 4e

??????????8 分

?????????10 分
2

2 0 当 a ? 1 时,由于 f ?( x) ? ? 1 ? 1 4 ln x 2

?

? ? 1 ? a 在 [e,e ] 上为增函数, 4
2

故 f ?( x) 的值域为 [ f ?(e), f ?(e2 )] ,即 [?a, 1 ? a] . 4 (i)若 ? a ? 0 ,即 a ? 0 , f ?( x) ? 0 在 [e,e2 ] 恒成立,故 f ( x) 在 [e,e2 ] 上为增函数, 于是, f ( x)min = f (e) ? e ? ae ? e> 1 ,不合. 4 ??????????12 分

(ii)若 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) 的单调性和值域知, 4

? 唯一 x0 ? (e,e2 ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 ,且满足:
当 x ? (e, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;当 x ? ( x0 ,e2 ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为增函 数; 所以, f ( x)min = f ( x0 ) ?

x0 ? ax0 ? 1 , x0 ? (e,e2 ) . ln x0 4

所以, a ? 1 ? 1 ? 1 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合. ???15 分 4 ln x0 4 x0 ln e 4e 2 4 4 综上,得 a ? 1 ? 1 2 . 2 4e ???????????????????16 分

南通市 2013 届高三第一次调研测试数学附加题 参考答案与评分标准
(考试时间:30 分钟 满分:40 分)

21. 【选做题】本题包括 A,B,C,D 共 4 小题,请从这 4 题中选做 2 小题,每小题 10 分, 共 20 分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲
? 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,若 AD 是△ABC 的高,AE 是⊙O 的直径,F 是 BC

的中点.求证: (1) AB ? AC ? AE ? AD ; (2) ?FAE ? ?FAD . B 证明: (1)连 BE ,则 ?E ? ?C ,又 ?ABE ? ?ADC ? Rt? , 所以△ABE∽△ADC,所以 AB ? AE . AD AC ∴ AB ? AC ? AE ? AD . ????????????????????????5 分
? (2)连 OF ,∵ F 是 BC 的中点,∴ ?BAF ? ?CAF .

A

O D E
(第 21A 题)

C

F

由(1),得 ?BAE ? ?CAD ,∴ ?FAE ? ?FAD .

?????????????10 分

B.选修 4-2:矩阵与变换
?1 0 ? 已知曲线 C : y 2 ? 2 x ,在矩阵 M ? ? ? 对应的变换作用下得到曲线 C1 , C1 在矩阵 ?0 2? ?0 ?1? N? ? ? 对应的变换作用下得到曲线 C2 ,求曲线 C2 的方程. ?1 0 ? ?0 ?1? ?1 0 ? ?0 ?2? 解:设 A=NM,则 A ? ? ?? ??? ?, ?1 0 ? ? 0 2 ? ? 1 0 ?

?????????????3 分

设 P ? x ', y '? 是曲线 C 上任一点,在两次变换下,在曲线 C2 上的对应的点为 P ? x, y ? , 则
x ' ? y, 2 ? x ? ?0 ? 2 ? x ?' ? ? y ? ' ? x ? ?2 y ', ? ? ? ?? ?? , 即? ∴? ? y ? 1 0 ? ? y '? ? 1 ? ? ? ?x ' ? ? ? ? ? y ? x ', ? y ' ? ? 2 x. ?

?????7 分

又点 P ? x ', y '? 在曲线 C : y 2 ? 2 x 上,∴ (? 1 x)2 ? 2 y ,即 y ? 1 x 2 .????10 分 2 8

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的极坐

? x ? ? 3t , ? 标方程为 ? 2 cos2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数,t∈R).试 ?y ?1? t ?
在曲线 C 上求一点 M,使它到直线 l 的距离最大. 解:曲线 C 的普通方程是

x2 ? y2 ? 1 . 3

??????????????2 分

直线 l 的普通方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 .

???????????????4 分

设点 M 的直角坐标是 ( 3 cos? ,sin ? ) ,则点 M 到直线 l 的距离是

d?

3 cos? ? 3 sin ? ? 3 2

π 3 2 sin(? ? ) ? 1 4 . ????????????7 分 ? 2

因为 ? 2 ? 2 sin(? ? ) ? 2 ,所以 4

?

π π π 3π 当 sin(? ? ) ? ?1 ,即 ? ? ? 2kπ ? (k ? Z),即 ? ? 2kπ ? (k ? Z)时,d 取得最大值. 4 4 2 4
此时 3 cos ? ? ?
6 2 ,sin ? ? ? . 2 2

综 上 , 点 M 的 极 坐 标 为 ( 2, 大. 注 ????????10 分 凡给出点 M 的直角坐标为 (?

7π ) 时 , 该 点 到 直 线 l 的 距 离 最 6

6 2 ,? ) ,不扣分. 2 2

D.选修 4-5:不等式选讲 已知 a ? 0, b ? 0, 且 2a ? b ? 1 ,求 S ? 2 ab ? 4a2 ? b2 的最大值. 解:? a ? 0, b ? 0, 2a ? b ? 1, ∴ 4a2 ? b2 ? (2a ? b)2 ? 4ab ? 1 ? 4ab , ???????????????2 分 ?????????????5 分

且 1 ? 2a ? b ? 2 2ab ,即 ab ? 2 , ab ? 1 , 8 4

∴ S ? 2 ab ? 4a2 ? b2 ? 2 ab ? (1 ? 4ab) ? 2 ab ? 4ab ? 1 ? 2 ? 1 , 2 当且仅当 a ? 1 , b ? 1 时,等号成立. ???????????????10 分 4 2

22.(本小题满分 10 分).解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 如图,已知定点 R(0,-3),动点 P,Q 分别在 x 轴和 y 轴上移动,延长 PQ ??? ? ???? ? ??? ???? ? ? 至点 M,使 PQ ? 1 QM ,且 PR ? PM ? 0 . 2 (1)求动点 M 的轨迹 C1; (2)圆 C2: x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,过点(0,1)的直线 l 依次交 C1 于 A,D 两点

M

y

Q x O R P

(第 22 题)

??? ??? ? ? (从左到右) ,交 C2 于 B,C 两点(从左到右) ,求证: AB ? CD 为定值.

??? ???? ? ? ??? 1 ???? ? ? 解: (1)法一:设 M(x,y),P(x1,0),Q(0,y2),则由 PR ? PM ? 0, PQ ? QM 及 R(0,-3), 2 得
? ?? x1 ( x ? x1 ) ? (?3) y ? 0, ? 1 ? 化简,得 x 2 ? 4 y . ??????????????4 分 ?? x1 ? x, 2 ? 1 1 ? ? y2 ? 2 y ? 2 y2 . ?

所以,动点 M 的轨迹 C1 是顶点在原点,开口向上的抛物线. ????????5 分 法二:设 M(x,y).

??? 1 ???? ? ? 由 PQ ? QM ,得 2

P( ?

x , 0 Q, ) 2

y ( 0. ) , 3

??? ? x ???? ? 3x 所以, PR ? ( , ?3), PM ? ( , y) . 2 2
??? ???? ? ? 由 PR?PM ? 0 ,得

x 3 3 ( ,? 3?) (x y ,? ) ,即 x2 ? 3 y ? 0 .化简得 x 2 ? 4 y . ?4 分 0 2 2 4

所以,动点 M 的轨迹 C1 是顶点在原点,开口向上的抛物线. ????????5 分 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ,⊙C (2)证明:由题意,得 A B? C D A B C D 2 的圆心即为抛物线 C1 的焦点 F. 设 A( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 AB ? FA ? FB ? y1 ? 1 ? 1 ? y1 . 同理
C D? 2 . y

????????7 分

设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1) .

? x ? k ( y ? 1), 1 2 ? 2 2 2 2 2 由? 1 2 得 y ? k ( y ? 1) ,即 k y ? (2k ? 4) y ? k ? 0 . 4 ? y? 4x , ?
??? ??? ? ? 所以, AB ? CD ? AB ? CD ? y1 y2 ? 1 .
?????????????10 分

23.(本小题满分 10 分).解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知数列{an}满足: a1 ? 2a ? 2, an?1 ? aan ?1 ? 1(n ? N* ) . (1)若 a ? ?1 ,求数列{an}的通项公式; (2)若 a ? 3 ,试证明:对 ?n ? N* ,an 是 4 的倍数. 解:(1)当 a ? ?1 时, a1 ? ?4, an?1 ? (?1)an ?1 ? 1 . 令 bn ? an ? 1 ,则 b1 ? ?5, bn?1 ? (?1)bn . 因 b1 ? ?5 为奇数, bn 也是奇数且只能为 ?1 ,
??5, n ? 1, ??4, n ? 1, 所以, bn ? ? 即 an ? ? ??1, n ? 2, ?0, n ? 2.

????????????3 分

(2)当 a ? 3 时, a1 ? 4, an?1 ? 3an ?1 ? 1 .

???????????????4 分

下面利用数学归纳法来证明:an 是 4 的倍数. 当 n ? 1 时, a1 ? 4 ? 4 ?1 ,命题成立; 设当 n ? k (k ? N* ) 时,命题成立,则存在 t ? N*,使得 ak ? 4t ,
? ak ?1 ? 3ak ?1 ? 1 ? 34t ?1 ? 1 ? 27 ? (4 ? 1)4(t ?1) ? 1 ? 27 ? (4m ? 1) ? 1 ? 4(27m ? 7) ,
r 3 其中, 4m ? 44(t ?1) ? C1 t ?1) ? 44t ?5 ? ? ? (?1)r C4(t ?1) ? 44t ?4?r ? ? ? C4t t??1) ? 4 , 4( 4(

? m ? Z ,? 当 n ? k ? 1 时,命题成立.

? 由数学归纳法原理知命题对 ?n ? N* 成立.

???????????10 分

南通市 2013 届高三第一次调研测试 数学Ⅰ 讲评建议
第 1 题 考查集合运算.注意集合的规范表示法,重视集合的交并补的运算. 第 2 题 考查复数的基本概念及几何意义.对复数的概念宜适当疏理,防止出现知识盲点. 第 3 题 考查常见几何体的表面积与体积的计算.应熟练掌握常见几何体的表面积的计算, 灵活应用等体积法计算点面距. 第 4 题 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用. 第 5 题 本题考查简易逻辑的知识. 应注意四种命题及其关系, 注意全称命题与特称性命题 的转换. 第 6 题 本题考查双曲线的标准方程、 简单性质与圆的有关知识. 对双曲线的讲评不宜过分 引申. 第 7 题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算. 法一 用性质.S9=9a5= -36,S13= 13a7= -104,于是 a5= -4,a7= -8,等比中项为

?4 2 .

法二 法一.

用基本量.S9=9a1+36d= -36,S13=13a1+78d= -104,解得 a1=4,d= -2.下同

第 8 题 本题主要考查算法及几何概型等知识. 法一 当输入 x=1 时,可输出 x=15;当输入 x=9 时,可输出 y=79.于是当输入 x

的取值范围为[1,9]时,输出 x 的取值范围为[15,79],所求概率为 法二 输出值为 8 x ? 7 .由题意: 8 x ? 7 ≥ 55 ,故 6 ≤ x ≤ 9 .

79 ? 55 3 ? . 79 ? 15 8

第 9 题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识. ??? ???? ??? ? ? 满足 | AB ? AC |?| BC| 的 A,B,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A 为直角,于
??? ??? ??? 2 ? ? ? 是 BA ? BC = BA =1.

第 10 题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算.讲评时应强调对数的真数 应大于 0.强调对数函数的单调性与底数 a 之间的关系. 第 11 题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义.

f ?( x) ?

f ?(1) x f ?(1) 1 e ? f (0) ? x ? f ?(1) ? e ? f (0) ? 1 ? f (0) ? 1 . e e f ?(1) x 1 e ? f (0) x ? x2 中,令 x=0,则得 f ?(1) ? e . e 2

在方程 f ( x) ?

讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别. 第 12 题 本题主要考查三角函数及其应用.考题取自教材的例题.教学中应关注课本,以及

有关重要数学模型的应用,讲评时还要强调单位书写等问题.

10 ? S(t)= 3sin( ?t ? ) ,求 S(5)= -1.5 即可. 3 2
第 13 题 本题主要考查直线与圆的有关知识. 圆心 C(-1,0)到直线 l:y=ax+3 的距离为 d ?
|3?a| 1? a
2

? 3 ,解得 a>0 或 a< ?

3 . 4

1 由 PA=PB,CA=CB,得 PC⊥l,于是 kPC ? ? ,进而可求出 x0 的取值范围. a
第 14 题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力,考查运用基本不等式解决问 题.讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养. 法一

m?

3x ? x2 ? 6 x ? 3x2 ? 10 x2 ? 3 x ? 1 . ? ?6? ? x ?1 x2 ? 3 x ? 1 x2 ? 3

当且仅当 法二

x2 ? 3 x ? 1 ,即 x ? 2 时 m 取得最小,此时点 P 的坐标为 (2,3) . ? x ? 1 x2 ? 3 3 x ? 3? y ? 2 x ? ? y3 1 ? 6 y ? 2 x ?1 m? ? ?6? ? . x ?1 y?2 x ?1 y ? 2
y ? 2 x ?1 ? 时 m 取得最小值.下略. x ?1 y ? 2

当且仅当

第 15 题 本题主要考查空间点线面的位置关系,考查逻辑推理能力以及空间想象能力.讲 评时应注意强调规范化的表达.注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、 公理、定理等. 第 16 题 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识,涉及两角和与差的三角公式、正 余弦定理等.讲评时,应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略, 同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用, 例如两边之和大于第三边, sin(A+B)=sinC,面积公式及等积变换等. (2)法一:由 C ? π , 设A ? π ? ? , B ? π ? ? , 0 ? A, B ? 2π , 知- π ? ? ? π . 3 3 3 3 3 3 因 a ? 2 R sin A ? sin A, b ? 2 R sin B ? sin B , 故 a 2 ? b2 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? cos 2 A ? 1 ? cos 2B 2 2 = 1 ? 1 ?cos( 2π ? 2? ) ? cos( 2π ? 2? ) ? ? 1 ? 1 cos 2? . ? 2? 3 3 2 ? ?
由- π ? ? ? π , 知- 2π ? 2? ? 2π , ? 1 ? cos 2? ≤1 ,故 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 . 2 4 2 3 3 3 3

法二:由正弦定理得: c ? 2R sin C ? 3 . 2 由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ,故 a 2 ? b2 ? 3 ? ab . 4

因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 a 2 ? b2 ? 3 . 4
2 2 2 2 又 ab ≤ a ? b ,故 a 2 ? b2 ≤ 3 ? a ? b ,得 a 2 ? b 2 ≤ 3 . 2 2 4 2

因此, 3 ? a 2 ? b 2 ≤ 3 . 4 2 第 17 题 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形 为载体,再现对基本不等式、导数等的考查.讲评时,应注意强调解决应用问题 的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理,在学 生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心. 在使用基本不等式应注意验证取等号的条件,使用导数时应谨慎决断最值的取值 情况. 第 18 题 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个 基本数列属 C 能要求,属高考必考之内容,属各级各类考试之重点. 第(3)问中,若数列{an}为等差数列,则数列{ k an }(k>0 且 k≠1)为等比数列;反之 若数列{an}为等比数列,则数列{ log a an }(a>0 且 a≠1)为等差数列. 第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数 m,p,q(其中 m<p<q),使 bm,bp, bq 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(m,p,q);若不存在,说明理 由. ”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解题时,只须添加当 m≥2 时,说 明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同. 对于第(2)问,在得到关系式: (n ? 1)an ?1 ? nan 后,亦可将其变形为

an?1 ? n , an n ?1

并进而使用累乘法(迭乘法),先行得到数列{an}的通项公式, 最后使用等差数列的 定义证明其为等差数列亦可.但需要说明 n≥2. 考虑到这是全市的第一次大考,又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的 第一次大规模的检测, 因而在评分标准的制定上, 始终本着让学生多得分的原则, 例如本题中的第(1)问 4 分,不设置任何的障碍,基本让学生能得分. 第 19 题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识,考查计算能力与独立分析问题与解决问题 的能力.讲评本题时,要注意对学生耐挫能力的培养. 第(2)问,亦可设所求直线方程为 y-1=k1(x-1),与椭圆方程联立,消去一个变 量或 x 或 y,然后利用根与系数的关系,求出中点坐标与 k1 的关系,进而求出 k1 的值. 第(3)问,可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则 两动弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两 中点所在直线的斜率的最值.

近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算” ,少考一点“想” . 第 20 题 本题主要考查函数与导数的知识,考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的 能力. 第(2)可另解为: 命题“若 ?x1 , x2 ?[e,e2 ], 使 f ( x1 ) ≤ f ? ? x2 ? ? a 成立”等价于 “ ?x1 ?[e,e2 ] ,使 f ( x1 ) ≤ f ? ? x ?max ? a ” . 由(1) ,当 x ? [e,e2 ] 时, f ?( x)max ? 1 ? a ,于是 f ? ? x ?max ? a ? 1 . 4 4 故 ?x1 ?[e,e2 ] ,使 f ( x1 ) ? 所以当 x ? [e,e2 ] 时, a ≥

x1 ? ax1 ≤ 1 ,即 ?x1 ?[e,e2 ] ,使 a ≥ 1 ? 1 . ln x1 4 x1 ln x1 4

? ln1x ? 41x ?


min

?4 x ? (ln x) 2 记 g ( x) ? 1 ? 1 , x ? [e,e2 ] ,则 g ?( x) ? ?1 2 ? 1 2 ? . ln x 4 x x(ln x) 4x 4 x 2 ? (ln x)2

因 x ? [e,e2 ] ,故 4 x ?[4e,4e2 ],(ln x)2 ?[1,4] ,于是 g ?( x) ? 0, ?x ?[e,e2 ] 恒成立. 所以, g ( x) ? 1 ? 1 在 [e,e2 ] 上为减函数, ln x 4 x 所以, g ( x)min ? 1 2 ? 12 ? 1 ? 12 . 2 4e ln e 4e 所以, a ≥ 1 ? 12 . 2 4e



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