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山东省淄博市淄川第一中学2016届高三数学下学期第一次月考试题 理



山东省淄博市淄川第一中学 2016 届高三数学下学期第一次月考试题 理
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 50 分. 1.设 i 为虚数单位,复数 A. ? 1 ? i

2i 等于 1? i
C. 1 ? i D. 1 ? i

B. ? 1 ? i

/>2.设全集 I ? R ,集合 A ? {y | y ? log 2 x, x ? 2}, B ?{x | y ? x ?1} ,则 A. A ? B B. A ? B ? A C. A ? B ? ? D. A ? (C I B) ? ?
7 8 9 9 4 4 4 6 7 3 第 3 题图

3.在“魅力中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图,去掉一个最高分和一个最低分后,所 剩数据的平均数和方差分别为 A. 5 和 1.6 B. 85 和 1.6 C. 85 和 0.4 D. 5 和 0.4

4.“ ?n ? N* ,2an?1 ? an ? an? 2 ”是“数列 {an } 为等差数列”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必 要条件

5.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 ,则 正视图中的 x 的值是
x
2
正视图

9 3 A. 2 B. C. D. 3 2 2 [来 2 2 x y 6 .已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 a b
l : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线方程为
A.

1
侧视图

1

俯视图

第 5 题图

x2 y2 ? ?1 20 5

B.

x2 y2 ? ?1 5 20

C.

3x 2 3 y 2 ? ?1 25 100

D.

3x 2 3 y 2 ? ?1 100 25

7.设 m, n 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? ? ?
x

B.若 m / /? , n ? ? , m ? n ,则 ? / / ? D.若 m / /? , n ? ? , m / / n ,则 ? / / ?

8.函数 y ? 4cos x ? e ( e 为自然对数的底数)的图象可能是

1

9.对于函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) ,下列说法正确的是
B.函数图象关于直线 x ?

A.函数图象关于点 ( ,0) 对称

?

3

5? 对称 6

C.将它的图象向左平移

?
6

个单位,得到 y ? sin 2 x 的图象

1 ? 倍,得到 y ? sin( x ? ) 的图象 2 6 ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 10.已知点 G 是 ?ABC 的外心,GA, GB, GC 是三个单位向量,且 2GA ? AB ? AC ? 0 ,如图所示,?ABC 的
D.将它的图象上 各点的横坐标缩小为原来的

??? ? 顶点 B, C 分别在 x 轴的非负半轴和 y 轴的非负半轴上移动, O 是坐标原点,则 OA 的最大值为

y

A. 2

B. 3

C. 2

D. 3

C

A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知函数 f ( x) ? tan x ? sin x ? 2015 ,若 f (m) ? 2 , 则 f ( ? m) ? ; ;

O
第 10 题图

B

x 开始
i ? 12, s ? 1
i ? 11?
是 否 输出 s 结束

12.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是

1 13.设 a ? ? (3x ? 2 x)dx ,则二项式 (ax ? )6 展开 x
2 1 2

2

式中的第 6 项的系数为

;

s ? s ?i
i ? i ?1

第 12 题图 ?2 x ? y ? 1 ? 14.若目标函数 z ? kx ? 2 y 在约束条件 ? x ? y ? 2 下当且仅当在点 (1,1) 处取得 最小值,则实数 k 的取值范 ?y ? x ? 2 ?

围是

;

15.若 X 是一个集合, ? 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:① X 属于 ? ,空集 ? 属于 ? ; ② ? 中任意多个元素的并集属于 ? ;③ ? 中任意多个元素的交集属于 ? . 则称 ? 是集合 X 上的一个拓扑.已知集合 X ? {a, b, c} ,对于 下面给出的四个集合 ? : ① ? ? {?,{a},{c},{a, b, c}} ; ③ ? ? {?,{a},{a, b},{a, c}} ; ② ? ? {?,{b},{c},{b, c},{a, b, c}} ; ④ ? ? {?,{a, c},{b, c},{c},{a, b, c}} . .
2

其中是集合 X 上的一个拓扑的集合 ? 的所有序号是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. ( 本 小 题 满 分 12 分 )

, C所 对 的 边 分 别 为 a, b , c, 已 知 设 ?ABC 的 内 角 A, B

a?b a?c ,b ? 3 . ? sin( A ? B ) sin A ? sin B
(Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 sin A ?

3 ,求 ?ABC 的面积. 3

17.(本小题满分 12 分)某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请 20 名来自本校机 械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示: 学院 人数 机械工程学院 海洋学 院
6

医学院

经济学院
6

4

4

(Ⅰ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,求这 3 名学生中任意两个均不属于同一学院的概率; (Ⅱ)从这 20 名学生中随机选出 3 名学生发言,设来自医学院的学生数为 ? ,求随机变量 ? 的概率分布列 和数学期望. 18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是 直角梯形, AD / / BC , ?BAD ? 90? , AD ? AA1 ? 3 , BC ? 1 , E1 为 A1 B1 中点. (Ⅰ)证明: B1 D / / 平面 AD1E1 ; (Ⅱ) 若 AC ? BD , 求平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角 (锐 弦值.

E1
B1

A1
C1

D1

角) 的余

A B
19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 是等差数列, Sn 为
C

D
{an } 的

前 n 项和,且 a10 ? 19 , S10 ? 100 ;数列 {bn } 对任意 n ? N? ,总有 b1 ? b2 ? b3 ?bn?1 ? bn ? an ? 2 成立. (Ⅰ) 求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;(Ⅱ)记 cn ? ( ?1) n

4n ? bn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . (2 n ? 1) 2

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C : 圆 O : x2 ? y 2 ?

x2 ? y 2 ? 1 与直线 l : y ? kx ? m 相交于 E 、 F 两不同点,且直线 l 与 2

2 相切于点 W ( O 为坐标原点). 3

(Ⅰ)证明: OE ? OF ; (Ⅱ)设 ? ?

EW FW

, 求实数 ? 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)
3

已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? kx ? 1 , g ( x) ? ( x ? 1)ln( x ? 1) , h( x) ? f ( x) ? g ?( x) . 2

(Ⅰ)若函数 g ( x) 的图象在原点处的切线 l 与函数 f ( x) 的 图象相切,求实数 k 的值; (Ⅱ)若 h( x) 在 [0, 2] 上单调递减,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)若对于 ?t ?[0, e ? 1] ,总存在 x1 , x2 ? (?1,4) ,且 x1 ? x2 满 f ( xi ) ? g (t ) (i ? 1,2) ,其中 e 为自然对 数的底数,求实数 k 的取值范围.

4

一、选择题: D A B C D 二、填空题:11. 4028

A C A B C 12. 132 13. ?24

14. (?4, 2)

15.②④ ???2 分

三、解答题:16. 解:(Ⅰ)?

a?b a?c ? sin( A ? B ) sin A ? sin B

?

a?b a?c ? c a ?b

? a 2 ? b 2 ? ac ? c 2 ? cos B ?
? B ? (0, ? ) ,? B ?

?
3

a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? ????????????5 分 2ac 2ac 2
?????????????????????6 分

a b 3 ? , ,得 a ? 2 ???????????7 分 sin A sin B 3 6 由 a ? b 得 A ? B ,从而 cos A ? , ????????????????9 分 3 3 ?3 2 故 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ???????10 分 6 1 3 ?3 2 所以 ?ABC 的面积为 S ? ab sin C ? . ???????????12 分 2 2 3 17.解:(Ⅰ)从 20 名学生随机选出 3 名的方法数为 C20 ,选出 3 人中任意两个均不属于同一学院的方法
(Ⅱ)由 b ? 3 , sin A ?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 数为 C4 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C4 ? C6 ? C6 ? C4 ? C6

????????4 分 ???????6 分

所以 P ?

C ?C ?C ? C ?C ?C ? C ?C ?C ? C ?C ?C 8 ? 3 C20 19
1 4 1 6 1 4 1 4 1 6 1 6 1 4 1 4 1 6 1 6 1 4 1 6

(Ⅱ) ? 可能的取值为 0,1, 2,3

P(? ? 0) ?

3 2 1 C16 C16 C4 8 ?15 ? 4 5 ? 7 ?16 28 8 ? ? , P ( ? ? 1) ? ? ? , 3 3 C20 3 ? 20 ?19 57 C20 3 ? 20 ?19 19 1 2 3 C16 C4 C4 16 ? 6 8 4 1 ????10 分 ? ? , P ( ? ? 3) ? ? ? 3 3 C20 3 ? 20 ?19 95 C20 3 ? 20 ?19 285 z

P(? ? 2) ?

所以 ? 的分布列为

B1

E1

A1 C1
G

D1

?
P

0

1

2

3

28 57

8 19

8 95

1 285

28 8 8 1 57 B E (? ) ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ?3 ? ?????????????? C 12 分 x 57 19 95 285 95
18.(本小题满分 12 分) 证明:(Ⅰ)连结 A1D 交 AD1 于 G ,因为 ABCD ? A1B1C1D1 为四棱柱, 所以四边形 ADD1 A1 为平行四边形,所以 G 为 A1D 的中点, 又 E1 为 A1B1 中点,所以 E1G 为 ?A 1B 1D 的中位线,

A H

D

y

5

从而 B1D / / E1G 又因为 B1D ? 平面 AD1E1 , E1G ? 平面 AD1E1 , 所以 B1D / / 平面 AD1E1 . ??????????5 分 (Ⅱ)因为 AA1 ? 底面 ABCD , AB ? 面 ABCD , AD ? 面 ABCD ,
0 所以 AA 1 ? AB, AA 1 ? AD, 又 ?BAD ? 90 ,所以 AB, AD, AA 1 两两垂直. ?????6 分

如图, 以 A 为坐标原点,AB, AD, AA1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系. 设 AB ? t , 则 A? 0,0,0? , B ? t ,0,0 ? , C ? t ,1,0? , D ? 0,3,0? , C1 ?t,1,3? , D1 ? 0,3,3? . 从而 AC ? (t ,1,0) , BD ? (?t , 3,0) .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? ? ??? ? 所以 AD1 ? (0,3,3) , AC ? ( 3,1,0) .

2 因为 AC ? BD ,所以 AC ? BD ? ?t ? 3 ? 0 ? 0 ,解得 t ? 3 .

????????8 分

???? ?? ?? ? AC ? n1 ? 0, ? ? 3 x1 ? y1 ? 0 ? 设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 ACD1 的一个法向量,则 ? ???? 即? ? ?? ? ? 3 y1 ? 3 z1 ? 0 ? AD1 ? n1 ? 0. ? ?? ???? ? ??? ? 令 x1 ? 1 ,则 n1 ? (1, ? 3, 3) . 又 CC1 ? (0,0,3) , CD ? (? 3, 2,0) . ???? ? ?? ? ?? ? ? z2 ? 0 ? ?CC1 ? n2 ? 0, ? 设 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) 是平面 CDD1C1 的一个法向量,则 ? ??? 即? ? ?? ? ? ? ? 3 x2 ? 2 y2 ? 0 ?CD ? n2 ? 0. ?

?? ?? ? 3 |1?1 ? ? (? 3) ? 3 ? 0 | n1 ? n2 ?? ?? ? 1 2 ? ? ? ? cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? 7 3 n1 ? n2 1? 3 ? 3 ? 1? ? 0 4 1 ? 平面 ACD1 和平面 CDD1C1 所成角(锐角)的余弦值 . ???????????12 分 7 10 ? 9 ? d ? 100 19.解:(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,则 a10 ? a1 ? 9d ? 19, S10 ? 10a1 ? 2 解得 a1 ? 1, d ? 2 ,所以 an ? 2n ? 1 所以 b1 ? b2 ? b3 ?bn?1 ? bn ? 2n ? 1 ?? ① 当 n ?1 时, b1 ? 3 当n ? 2时, b1 ? b2 ? b3 ?bn?1 ? 2n ?1 ??② 2n ? 1 2n ? 1 (n ? N? ) ①②两式相除得 bn ? 时, b1 ? 3 适合上式,所以 bn ? (n ? 2) 因为当 n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 4n 1 1 n 4n ? bn n ? (?1)n ( ? ) (Ⅱ)由已知 cn ? (?1) ,得 cn ? (?1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ) 则 Tn ? c1 ? c2 ? c 3 ?? ? cn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (?1) ( 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 当 n 为偶数时, 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (?1) n ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? ? ( ? ) ? ?1 ? ?? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 当 n 为奇数时, 1 1 1 1 1 1 1 Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? (?1) n ( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? 2 ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? ? (? ? ) ? ?1 ? ?? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

?? ? 3 令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, , 0) . 2

6

? 2n ? , n为偶数 ? ? 2n ? 1 综上: Tn ? ? ? ?????????????????????12 分 ?? 2n ? 2 , n为奇数 ? 2n ? 1 ? 20.解:(Ⅰ)因为直线 l 与圆 O 相切 m 2 2 2 2 2 2 2 所以圆 x ? y ? 的圆心到直线 l 的距离 d ? ,从而 m ? (1 ? k ) ?2 分 ? 2 3 3 3 1? k

? x2 ? ? y2 ? 1 由? 2 可得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ? y ? kx ? m ? 4km 2m 2 ? 2 设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ??? ? ??? ? 所以 OE ? OF ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m)
2 2 2

???????4 分

2m 2 ? 2 ?4k 2 m 2 ? (1 ? k ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m ? (1 ? k ) ? ? m2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 2 2 3m ? 2k ? 2 2(1 ? k ) ? 2k ? 2 ? ? ?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 所以 OE ? OF ??????????????????????????????6 分
(Ⅱ)? 直线 l 与圆 O 相切于 W ,
2 2

x12 x2 ? y12 ? 1, 2 ? y2 2 ? 1, 2 2

x12 1 2 ? OE ? r EW 3 2 3 ????????????8 分 ? ? ? ?? ? 2 2 2 FW 2 x2 1 2 2 OF ? r x2 ? y2 ? ? 3 2 3 2 2 2 由(Ⅰ)知 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , ? x1 x2 ? ? y1 y2 ,即 x1 x2 ? y12 y2 x12 ? y12 ?
从而 x1 x2 ? (1 ?
2 2

x12 x2 4 ? 2 x12 2 )(1 ? 2 ) ,即 x2 ? 2 2 2 ? 3x12

x12 1 ? 1 2 ? 3x12 因为 ? 2 ? x1 ? 2 ,所以 ? ? [ , 2] ?????13 分 ?? ? 2 3 ? 2 2 4 x2 1 ? 2 3 ? ? 21.解:(Ⅰ)? 原函数定义域为 (?1, ??) , g ( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ,则 g (0) ? 0 , g (0) ? 1 ,?l : y ? x 1 2 ? ? y ? x ? kx ? 1 ? x 2 ? 2(k ? 1) x ? 2 ? 0 ? l 与函数 f ( x) 的图象相切, 由? 2 ? y?x ?

?? ? 4(k ?1)2 ? 8 ? 0 ? k ? 1 ? 2 ?????????????????????4分 1 2 1 (Ⅱ)由题 h( x) ? x ? kx ? 1 ? ln( x ? 1) ? 1, h?( x ) ? x ? k ? 2 x ?1 1 x( x ? 2) 1 ? ? 0 对 x ? [0, 2] 恒成立, 令 ? ( x) ? x ? k ? , 因为 ? ?( x) ? 1 ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 x ?1 1 7 所以 ? ( x ) ? x ? k ? ,即 h?( x) 在 [0, 2] 上为增函数 ? h?( x) max ? h?(2) ? k ? x ?1 3
7

? h( x) 在 [0, 2] 上单调递减? h?( x) ? 0 对 x ? [0, 2] 恒成立,即 h?( x) max ? k ?
?k ? ?

7 ?0 3

7 ???????????????????????????????8分 3 (Ⅲ)当 x ?[0, e ?1] 时, g ?( x) ? ln( x ? 1) ? 1 ? 0

? g ( x) ? ( x ? 1) ln( x ? 1) 在区间 [0, e ?1] 上为增函数, ? x ?[0, e ?1] 时, 0 ? g ( x) ?

1 e 2

1 2 x ? kx ? 1的对称轴为: x ? ? k ,? 为满足题意,必须 ?1 ? ?k ? 4 ??11分 2 1 2 此时 f ( x) min ? f ( ? k ) ? 1 ? k , f ( x ) 的值恒小于 f (?1) 和 f (4) 中最大的一个 2 ? 对于 ?t ?[0, e ?1] ,总存在 x1 , x2 ? (?1, 4) ,且 x1 ? x2 满足 f ( xi ) ? g (t ) (i ? 1, 2) , 1 ?[0, e ] ? ( f ( x) min , min{ f ( ?1), f (4)}) 2 ? ?4 ? k ? 1 ? ?1 ? ? k ? 4 ? ? f ( x) ? 0 ? 1? 1 k 2 ? 0 min ? 2 ? 1 9 ? ? ? ? 1 e ? f (4) ? ? 1 e ? ? k ? ? 2 ??????14分 ???13分? 8 4 ?2 ? 2 e ? 4k ? 9 ?1 ? ? e ? f (?1) ? 1 e ? 3 ? k ?2 ? ?2 2

? f ( x) ?

8



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