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高三数学一轮复习建议-函数



对应 映射 定义

(由法则把集合A中的元素与集合B中的元素联系起来) (对应法则f将集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一 确定的元素与之对应,记作A B) 定义域 (由一个非空数集到另 一个非空数集的映射) 值域 对应法则 列表法

一一映射

一 、 函 数 知 识 结 构 :

函数概念

r />
函数

函数的表示方法

图像法 解析式法 定义域、值域

图像变换

函数的性质

单调性、奇偶性、周期性、函数零点 指数函数与对数函数、互为反函数的图像间的关系 分段函数

导数的概念 导数 导数的运算 导数的应用

导数的几何意义

基本导数公式

两个函数的和差积商的导数、符合函数的导数 函数单调性、函数的极值、函数的最值

二、近年高考动向:
从近几年来看,对本部分内容的考查形势 稳中求变,向着更灵活的的方向发展,对于函 数的概念及表示多以以下的形式出现:通过具 体问题(几何问题、实际应用题)找出变量间 的函数关系,再求出函数的定义域、值域,进 而研究函数性质,寻求问题的结果。 高考对函数概念与表示法的考查是以选择 题或填空题为主,以解答题形式出现的可能性 相对较小,本部分知识作为工具和其他知识结 合起来命题的可能性依然很大。

利用函数图象的直观性是研究函数性质的 有效载体,在已知函数解析式的基础上做出函 数图象的简图,能够迅速得到函数的有关性质。 用导数工具研究函数的单调区间问题、函数的 极值问题和函数的最值问题是解答题的命题方 向。 课堂教学中要注意函数的思维方式的教学, 要能够揭示出数学的本质,要能够从观念上启 发学生去深入的、科学的思考数学问题。

三、复习建议:
1、函数是中学数学最重要的内容之一,在复习 时要全面掌握,透彻理解每一个知识点。 2、对于二次函数问题要特别引起重视,复习时 应适当加宽加深;关于函数性质问题的考查在 高考中,使用抽象函数的约占 1/5 ,而使用具 体函数约占 4/5 ,所以在复习函数性质时,可 以多结合具体函数进行研究;函数的极值、最 值问题在高考中多次出现,是高考中的重要题 型之一;含参数函数的讨论是函数问题中的重 点,复习时应加强这方面的训练;函数应用题 仍然要引起重视。

这里主要研究运用函数的概念及函数的 性质解题,函数的性质通常是指函数的定义域、 值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、 对称性等等,在解决与函数有关的(如方程、 不等式等)问题时,巧妙利用函数及其图象的 相关性质,可以使得问题得到简化,从而达 到解决问题的目的.关于函数的有关性质,这 里不再赘述,请大家参阅高中数学教材复习, 这里以例题讲解应用为主。

1、映射的概念:

在理解映射概念时要注意: ①A中元素必须都有象且唯一; ②B中元素不一定都有原象,且原象不一定唯一。

2、函数的概念:

注意: ①函数特殊在定义域A和值域B都是非空数集!据 此可知函数图像与x轴的垂线至多有一个公共点, (3) 但与y轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。 ②构成函数的三要素是定义域,值域和对应法则。 而值域可由定义域和对应法则唯一确定,因此当 两个函数的定义域和对应法则相同时,它们一定 为同一函数。

3、求函数定义域的常用方法: 说明: ①根据解析式要求如偶次根式的被开方数大于零, ?0 log 分母不能为零,对数 中a x x ? 0, a 且 ? a? ? 1,三角形中 0 ? A ? ? , 最大角? 3 ,最小角 ? 等。 3 ②根据实际问题的要求确定自变量的范围。 ③复合函数f(x)的定义域:若已知的定义域为 [a, b],其复合函数 f [ g ( x)] 的定义域由不等式 a ? g ( x) ? b 解出即可;若已知 f [ g ( x)]的定义域为 [a, b],求f(x) 的定义域,相当于当 x ? [a, b] 时,求g(x)的值域 (即f(x)的定义域)。

4、函数的单调性
例4、已知函数 y ? x ? 1 ? x ,判断该函数在 区间 ? 0 , ? ? )上的单调性,并说明理由.

【解法1】 设 0 ? x1 ? x 2 .
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 ? 1 ? x1 ? x 2 ? 1 ? x 2
x1 ? x 2
x1 ? 1 ? x 2 ? 1
x2 ? x1 ? 1 ?

? ( x 2 ? x1 ) ?
? ( x2 ?

? ?1 ? x1 ) × ? ?

? ? x2 ? 1 ? ?
x1

0 ? x1 ? x 2 ? x1 ?

x 2 ? x 2 ? x1 ? 0

x2 ? x1 ?

x2 ? 1? ? ?? x1 ? 1 ? ?

x2 ?

x1 ?

x2 ? 1 ?

x1 ? 1

?

x2 ? x2 ? 1 ?

x1 x1 ? 1

?1
?0

? 1?

x 2 ? x1
x 2 ? 1 ? x1 ? 1

∴ f (x 1 ) > f (x 2 )
故函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x 是减函数.

【解法2】
y? x ?1 ? x ? 1 x ?1 ? x

x≥0时, x ? 1 和 ∴

x都是增函数,

x ? 1 ? x 也是增函数,
1

从而 y ?

x?1 ? x

是 ?0,?? ) 上的减函数.

例7、函数 y ? x 2 ? 4 x ? 1 的递增区间是______.
6 5

4

3

2

1

-6

-4

-2 -1

2

4

-2

-3

-4

-5

-6

-7

在y轴左侧,增减的转折点是 x=-2,且先减 后增,故[-2,0] 是递增区间; 在y轴右侧,增减的转折点是x = 2,且先减后 增,故[2,+∞) 是递增区间.

【答案】C

5、从函数的奇偶性到函数的对称性:
例10、函数y = f ( x ) 对任意实数x,总有 (1)f (a-x) = f ( b + x ),这里a,b是常 数,问函数的图像有什么性质,证明你的结 论; (2)f (a-x) =-f ( b + x ),这里a,b是 常数,问函数的图像有什么性质,证明你的 结论.

【解(1)】 设y = f (a-x) = f ( b + x )则点P (a-x, y),Q ( b + x, y) 都在函数y = f (x)的图像上.



(a ? x ) ? (b ? x ) a ? b ? 2 2

a?b ∴ PQ垂直直线 x ? ,且被其平分, 2

且P、Q两点纵坐标相等,

a?b ∴ P、Q 两点关于直线 x ? 对称 2

而P、Q又是曲线y = f (x)上的动点,

∴ 函数y = f (x)的图像关于直线
a?b x? 2

对称.

【解(2)】设 y= f (a-x)=-f (b + x ) 则点R (a- x,y),S ( b+x,-y)都在函数y = f (x) 的图像上. a?b ?b ? x ? a ? x ? ? ? 2 2 ∴ ? ?? y ? y ? 0 ? 2 ?
a?b ,0 ). ∴线段RS的中点是定点M( 2

即R、S两点关于定点M 对称, 而R、S是曲线y = f (x)上的动点.
a?b ∴ 函数y = f (x)的图像关于点 M( )对称. ,0 2

问题:当a=0,b=0函数f(x)具有什么性质?
例11、 (1)f ( x )是奇函数,x>0时,f ( x ) = x · (4 -3x),那么x<0时f ( x ) = _______.
Y
2

1

-2

2

X

-1

-2

-3

【解法1】x>0时,f ( x ) = x· (4-3x),
4 2 4 在其上取三点P1(0,0)、P2 ( , 0 )、 P3 ( , ) 3 3 3

则它们关于原点的对称点分别是Q1 (0,0),
4 2 4 Q 2 ( ? ,0) , Q3 (? ,? ) 3 3 3

2 2 4 ? ? ) ? 设x<0时, f ( x ) a( x 3 3

4 2 2 4 ∵ Q2在其上, ∴ a(? ? ) ? ? 0 3 3 3
解之,得a = 3,
2 2 4 ∴ x<0时, f ( x) ? 3( x ? ) ? ? x(3 x ? 4) 3 3

【解法2】 设x<0,则-x>0 ∴ f (-x) = (-x)· (4 + 3x) ∵ f ( x )是奇函数, ∴ f (- x ) = - f ( x ) ∴ x<0时, f ( x ) =-f (-x )=x(4+3x).
若把问题改为: f ( x )满足f ( 1+x ) = f (3- x ) , x>2时,f ( x ) = x · (4-3x),那么x<2时求 f ( x ) 的解析式.请解答.

例12、已知函数 f ( x ) 对任意实数a,b都有
a?b a?b f (a ) ? f (b) ? 2 ? f ( )? f ( ),且f(0)≠0,则f ( x )是 2 2

(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)是奇函数也是偶函数 (D)既非奇函数也非偶函数

【解法1】 ∵ f (a ) ? f (b) ? 2 f ( a ? b ) f ( a ? b ) 2 2 ∴ f (a ) ? f ( ? b ) ? 2 f ( a ? b ) f ( a ? b ) ∴ f ( b ) = f (-b )且b∈R. ∴ f ( x )是R上的偶函数. 由于f ( 0 )≠0,所以f ( x )不是奇函数. 应选(B).
2 2

【解法2】

a?b a?b )? f ( ) ∵ f (a ) ? f (b) ? 2 f ( 2 2

∴ f ( a ) + f (a ) = 2 f ( a )· f(0) ∴ 2 f ( a )[1-f ( 0 )] = 0 ∵ a∈R,f ( a )不能恒为零, ∴ f ( 0 ) = 1.
于是, f ( a )+f (-a ) = 2 f ( 0 )· f(a)=f(a) ∴ f (- a ) = f ( a ), a∈ R ∴ f ( x )是R上的偶函数. 而f ( 0 )≠0,故f ( x )不是奇函数. 应选(B).

由题意可知g(x)=f(2-x), g(x)=(2-x) e

x?2

例15、(1)设f(x)是R上的奇函数,且f(x+3)=-f(x), 当0≤x≤ 3时,f(x)=x,则f(2009)=( ) 2 A.-1 B.0 C.1 D.2009 解:f(x+6)=f(x+3+3)=-f(x+3)=f(x) ∴ f(x)的周期为6 f(2009)=f(6×335-1)=f(-1)=-f⑴=-1

问题:函数f(x)满足f(a+x) =f(b-x)且f(c+x)= f(d-x)那么f(x)是不是周期函数?为什么?若是, 周期是多少?

(2)定义在实数集上的函数f(x),对一切实数x都有 f(x+1)=f(2-x)成立,若f(x)=0仅有101个不同的实 数根,那么所有实数根的和为( ) A.150
303 B. 2

C.152

305 D. 2

解:由已知,函数f(x)的图象有对称轴x= 3 2 于是这101个根的分布也关于该对称轴对称. 即有一个根就是,其余100个根可分为50对, 每一对的两根关于x=对称 利用中点坐标公式,这100个根的和等于
3 ×100=150 2

6、函数的周期性 如果函数y=f(x)对于定义域内任意的x,存 在一个不等于0的常数T,使得f(x+T)=f(x) 恒成立,则称函数f(x)是周期函数,T是它的 一个周期. 一般情况下,如果T是函数f(x)的周期,则 kT(k∈N+)也是f(x)的周期.

例13、已知函数f ( x ),对任意实数x,有下面四 个关系式成立: (1)f ( x ) =-f (x+a)(a为非零常数); (2)f ( x ) = f (a-x)(a为非零常数); (3)f (a-x) = f (b-x)(a,b为常数且a2 + b2≠0) (4)f (a-x) =-f (b-x)(a,b为常数且a2+b2≠0) 其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______.

【解】考查(1),f ( x )=-f (x+a) 说明“两个自变数相差 a,则函数值互 为相反数”,于是相差 2a 时,函数值 相等:

f ( x )=-f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式(1)使f ( x )是周期函数, 且2a是周期;

考查(2),f ( x )=f (a-x)表明函 a 数f ( x )的图像关于直线 x ? 对称,这 2 不一定能使其为周期函数; 考查(3),f (a-x)= f (b-x)表明 自变数相差a-b时, 函数值相等, 即 f ( x ) = f (a-b+x) ∴ 等式(3)使f (x)是周期函数, 且a-b是周期.

考查(4),f (a-x) =-f (b-x)表

明自变数相差 a - b 时,函数值互为相
反数,于是相差 2(a-b)时,函数值

相等.故(4)同(1),能使 f ( x )为
周期函数,且 2(a-b)是周期.

综上所述,应填(1),(3),
(4).

例16、 f ( x )是R上的以2为周期的 周期函数,又是奇函数,且 x∈(0,1)
1 时,f ( x ) ? log 2 则f ( x ) 在(1,2) 1? x



(A)是增函数,且f ( x )>0 (B)是减函数,且f ( x )>0

(C)是增函数,且f ( x )<0
(D)是减函数,且f ( x )<0

【讲解】认识f ( x )在(1,2)上的 性质,可以把f ( x )在(1,2)上的解 析式求出来,或者由f ( x )的性质去推 断:

∵ f ( x )的周期是2. ∴ f ( x )在(1,2)和(-1,0) 的性质一致, ∵ f ( x )是奇函数, ∴ f ( x )在(-1,0)和(0,1) 上的增减性相同,但符号相反.

因此,函数 f (x)在(0 , 1)上与

( 1 , 2 )上的增减性相同,而符号相
反. 【解法1】0<x<1?0<1-x<1 1 ? ?1 1? x
1 ? log 2 ?0 1? x

在(0,1)上,1-x是减函数,
1 ? 是增函数 1? x 1 ? log 2 是增函数, 1? x

于是,f ( x )在(1,2)上是增函数,
且 f ( x )< 0 .

故选(C).

【解法2】设x∈(1,2)
则-1<x-2<0 且 f ( x ) = f (x-2),

∵ -1<x-2<0,
∴ 0< 2- x< 1
1 1 ? log 2 于是, f (2 ? x ) ? log 2 1 ? (2 ? x ) x ?1

∵ f (x) 是奇函数, ∴ f (2-x)=-f (x-2),
1 ? log 2 ( x ? 1) ∴ f ( x ) ? ? log 2 x ?1

可见,f (x) 在(1,2)上是增函数, 且 f (x )< 0 故选(C).

例17、(1)(2010安徽卷4)若f ( x )是R上的以 5为周期的奇函数,且满足f ( 1 )=1,f ( 2 )=2,则 f ( 3 )- f ( 4 )= A.-1 B. 1 C. -2 D. 2

7、幂函数、指数函数与对数函数
(3? ax) (a >0 例18、(1)已知函数 f ( x ) ? a lg

且a ≠1) 在其定义域 [-1, 1] 上是减函数,则实

数 a 的取值范围是___________.

1 (2)如果不等式 log a x <0在区间 ( 0 , ] 2 上恒成立,那么实数a的取值范围是_______.
x2-

解:(1)由a>0且a≠1知t=3-ax是减函数,

从而lg(3-ax) 也是减函数,故只有a>1时,f (x)
才是减函数;

另外, x? [-1 ,1] 时要保证 3-ax>0,
为此只须考虑最小值:

x=1时, tmin=3-a,要3-a>0,
则a<3,综上知1<a<3.

解(2)设y=x2



y=log a x ② 1 当a>1时,函数②在 ( 0 , ] 上取负值, 因此 不可能有x2< log a x 成立.
2

1 1 在 ( 0 , ]上函数①的最大值是 , 2 4 1 在 ( 0 , ]上,当0<a<1时,②的最小 2 1 值是 log a , 2 ?

1 1 ?log a ? ? 2 4 ? ? 0?a?1

1 在 ( 0 , ]上,x2<log a 2

x恒成立

1 1 ? log a 4 2
1 1 1 当0<a<1时,由 ? log a ,得 1 ? a 4 4 2 2 1 ∴ ?a?1 16

例20、(1)已知函数 f (x)=|2x -1 -1 |, a<b <c 且 f (a)>f (c)>f (b) ,则必有 (A) a<b,b<1,c<1 (B) a<1,b≥1,c>1 (C) 2-a< 2c (D) 2a+2c<4.

【解】函数 y=2x 的图像右移 1 个
单位得 y = 2x-1 ,再下移1个单位得 y = 2x-1 -1,再把 x 轴下方的部分 翻折到x 轴上方得y =| 2x-1-1|,图 像如下图

由于在 (??, 1 ] 上,f (x) 是 减函数,所 以 a, b,c 不能同时

在 (??, 1 ]上;同理,a,b,c 也
不能同时在 [1, ? ? )上.

故必有a<1且c>1.

从而2a-1<1,2c-1>1
∴ f (a)=1-2a-1,f (c)=2c-1-1

∵ f ( a ) > f (c )
∴ 1-2a-1>2c-1-1

∴ 2a+2c<4.
故选(D).

(2)

8、求函数值域(最值)的方法:

最值

求解方法

最值问题常 用解法

最值综 合问题

最值应 用问题

“恒成立”问 题“存在”问 题

(1)配方法

(2)换元法

(3)函数有界性法

(4)单调性法

(5)数形结合法

(6)判别式法

(7)不等式法

(8)导数法

9、利用导数研究函数性质;
例23、(1)

(2)

(3)

(4)

B

结束语:
高三的每一节复习课的教学定位要准确, 课堂教学一定要能够揭示出数学的本质,要能 够从观念上启发学生去深入的、科学的思考数 学问题 . 紧紧抓住“核心知识”与“核心思想” 是高考数学复习的最重要的特征;概括数学的 思维特点和方法是高考复习的主旋律.



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