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2.3幂函数第一课时



2.3幂函数

目标引领
一、掌握幂函数的定义并学会判断一个函数是否 为幂函数。 二、研究并掌握五种幂函数的图像与性质并领会 研究一种未知函数的图像与性质的思想方法。

课题导入

我们先看下面几个具体问题: (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付 p=w元,这里p是w的函数; (2)

如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a 的函数; (3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V=a3,这里V 是a的函数; 1 (4) 如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方形的边 长 a ? S 2 ,这里a是S的函数; (5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度 v=t-1 km/s,这里v是t 的函数。

思考:这些 函数有什么 共同的特征?

他们有以下共同特点:

(1)都是函数; (2) 指数为常数.
(3) 均是以自变量为底的幂;

独立自学一
一、幂函数的定义 1.解析式:_____. y=xα 2.自变量:__ 注意:幂函数中α的可以为任意实数. x ,常数:___. α 一般地,函数y=

x a 叫做幂函数,其中x是自变量,α 是常数.

二、思考:一次函数与二次函数一定是幂函数吗? 提示:不一定.例如:一次函数y=x+1,二次函数y=x2+1等都不 是幂函数.

引导探究一
例一: 判断下列函数是否为幂函数. (1) y=x3

1 ( 2) y ? 2 x
(3) y= -x2

(4) y ? x
(5) y=2x2

1 2

(6) y=x3+2

幂函数解析式的结构特征
1.指数为常数. 2.底数是自变量,自变量的系数为1.

3.幂xα的系数为1. 4.只有1项.

独立自学二
1 对于幂函数,我们只讨论a=1、2、3、2 、

-1时的情形,那么请同学们自主研究这五种 幂函数的图像与性质,其中大家可以尝试 1 着去先判断并证明一下y=x3 和 y ? x 2 的单 调性。

引导探究二
例二:证明y=x3 在R上单调递增。 例三:证明 y ? x 在 ? ? 0, ?? ? 上单调递增。
1 2

幂函数的图象与性质
1.五种常见幂函数的图象

2.五类幂函数的性质 幂函数 y=x 定义域 值域 __ R __ R y=x2 __ R [0,+∞) ________ 偶 ___ y=x3 __ R __ R 奇 ___
y?x
1 2

y=x-1

奇 奇偶性 ___

[0,+∞) (∞,0)∪(0,+∞) _______ ______________ [0,+∞) _______________ {y|y∈R且y≠0} _______ 非奇非 _______ 奇 ___ 偶 ___ 增 ___ 减 x∈(0,+∞),___ 减 x∈(-∞,0),___

x∈[0,+∞), 增 ___ 增 增 单调性 ___ ___ x∈(-∞,0], 减 ___ 公共点

(1,1) 都经过点______

目标升华
一.判断幂函数的方法
?

一般地,函数y= 叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数。根据:

1.指数为常数. 2.底数是自变量,自变量的系数为1. 3.幂xα的系数为1. 4.只有1项.

二.通过对未知函数的单调性,奇偶性等研究函数的图像 达到对函数性质和图像紧密联系的认知,体会其中数 形结合的思想。

当堂诊学
1.下列函数中不是幂函数的是( ) x A y? x B y ?x 2 C y ?3 D

y ?x

?1

C

?? ?,0? 上为减函数的是( ) 2.下列幂函数在 1 2 A y ?x 3 B y ?x C y ?x 3 D y ?x
? 1 ?

1 2

B

3.设 ? ? ?? 1,1, 2 ,3? ,则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为 ? ? 1,3 ____ 4.已知函数 f (x ) ? ?a 2 ? 3a ? 3?x a ?5a ?5 ,a为何值时,此函数为幂函数?
2

5.已知幂函数的图象过点 ?2, 2 ? ,则它的最小值是____ 0

1 或2

提高题:1.下列命题

①幂函数的图象都经过点 ?1,1?和?0,0? ②幂函数的图象不可能在第四

y ?x 象限;③当n ? 0 时,

n

的图象是一条直线
n

y ?x ④幂函数

n



当 n ? 0 时,是增函数;⑤幂函数 y ? x
限内函数值随x 的增大而减小. 为真命题的是 ( A. ①④ ) B. ④⑤

,当 n

? 0时,在第一象

D
C. ②③ D. ②⑤

p q 2.若幂函数 y ? x 与 y ? x 的图象在第一象限内的部分关于直线

y?x

p, q 对称,则

应满足的条件是________

P与q互为倒数



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