9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

通向金牌之路



年第
总 第

!

期 期

中学 物 理 教 学 参 考

口 竞 赛辅 导 口

通 向 金 牌 之 路


一 竞 赛中 涉 及 的 问 题


高 中 物 理 竞 赛辅 导 讲 座
华 东

师大 二 附 中
张 大 同 ?特 级 教 师 #


第四讲
第三 讲 中主 要 讨 论 了力
(

能量 和 动 量
? 0 △1
,

?上 #
,

将 所 有小 段的 功 加 起 来 即
。3
。。

?

的瞬时 效 应
%
,

量为 阴 的物体产 生一 个 加速度

质 — 可 使其 其 大 小为 一 &
%

2



? ?

,


, ,

,4

0 △ 、一 ? 0

艺、 一 ?
(

0 、? %

一 。#

(

方 向 和 力 的方 向 相 同 这 一 讲 我 们 来 讨 论 力 的 两 种 积
累 效 应 ?所 谓积 累 效应就 是 力 对 某 一 个物 体 或 物 体 系

由 此 可 见 重 力 做 的 功 仅 仅 取 决 于 质 点 的初 始 位
置 和 终 止 位 置 而 与其运 动 路 线 无 关
(

作 用 了一 段 时 间 或 一 段 距离 后 使物 体或 物 体 系 运 动 状 态 发 生 的 总 的 变 化 # 力 主 要 有两种 积 累 效 应 一 种
,
(

凡是 做 功 量 仅 仅 由 初 始 和 终 止 位 置 决 定 而 与 运 动 途径 无 关的 力 称 为 保 守 力 万 有 引 力 库 仑 力 弹 簧
的 弹 力 等 都 是 保 守 力 而 摩擦 力 等 一 类 做 功 大 小 与 做
(

,





)

是 对 空 间 的 积 累 效 应 叫 做 功 另一 种 是 对 时 间的 积 累

,

?

效 应 叫 做 冲 量 跟 功 相 对应 的 物 体 的 运 动状 态 叫 动 ? 能 跟 冲 量 相 对应 的物 体 的运 动状 态 叫动量 下 面分别
,
(

(

功 途 径 有 关 的 力 叫做 非 保 守 力
,

(

由 于 位 移 是 相 对 参 照 系而 言 的 所 以 功 也 是 相 对
,

加 以 讨论
?一 #
(

,

的 但 一 般都 取 地 面 作 为 参 照 系 在 计 算 某 个 力 做的 功

(

功和 动 能
(


,

时 一定要 紧紧扣 住 功 的定 义 例如
(

,

:

厂 ;
3

功 是 力 对 空 间 的 积 累 效 应 如 果 一 个 恒 力 户作 用 在


个 物 体 上 物 体 发 生 的 位 移 是 了 那 么 力 户在 这段

,

有这 样一个 问题 在 倾 角 夕一 5 # 的斜 ?


)

位 移 上做 的 功 为 + 一 式 中的 的投影
(

面 顶 部 放 一 质量 为
?
,
?

& &


& & &
了尸

&# 里 毛 二
3



,

尹‘

,





<

,? . ,
)
?


?

? .

的 木 块 当 斜面
,

=

卜 一

)

>

一 ?



?

夕是

户和 万 的夹角 即

, .

在 是万

?

方 向上

水 平 向 右 匀 速 移动
,

6 7 & ?8 9 .

,

. #时

,


( (

如 果 物体 的运 动 轨 迹 % / 是
一 条曲线 力也是
“ 必 须将 /
,

,

变力 则 多 无 限 分成很 小的 小
一个
,
(

段 然 后 求 每 小 段 的功 之 和 这




,

块 沿 斜 面 匀 速 地 滑 到 底部 求 作 用 在 木 块 上 的 各 个 力 在 此 过 程 中 做的 功 由几 何 关 系 可 知
一 匕5 Χ
Χ
(

)

Β ? 一) 一7& 丫
,



了 匕? Β ?
,

一 艺。
,

因 为 木 块 做 匀 速 运 动 所 以 : 一 明0 , . ? .
(

种求 和 一 般 要 用 到 积 分 的 知 识
(

,

4 . 因此 ;一? 0 , Δ

,

但在 某些 情 况 下 也 有 比较 简 单 的 结 果 例 如 质量 为 ? 的物 体
,

重 力做 功
+


6

,,

(

(

在重 力 的 作 用 下 从
点 如图
,

%

点运 动 到 /


行址 厂丁


7

3

3

?

9 . ,
>

5Χ 一
Χ

Α

所 示 取 任 意 一 个小段 △ 了 它 在重 力 方 向上
△1
,

(

弹 力做 功


9. ,




,

4


0

?






7

?
,



的投 影 为
Ε

重 力在 这

小 段 位移 上做 的 功为
届 ?


+







? 0



7

?。

万亏

。!

一粤


? 、

(

)

?

张 大 同 老 师 曾指 导四 位 学 生 分 别 获 第 ?
(

届 ? Φ


届 中 学 生 国 际 奥林 匹 克 竟 赛 金 奖 张 老 师 也 因 此 获





政道 物 理 奖 学金

?

伯 乐奖



(

摩 擦 力做 功 ? 2 一粤
,

?

7

‘。



了 了

一令

? 、

?

质 点 动 能 定理 一 个 力 对 质 点 ?即 物体 # 做 了 功 这个 质点 的运 动 状态 就 要 发 生 变 化 如 果 一 个 恒 力 户 使 一个 质点 产生
,
(

?

(

在 这段 过 程 中
? ?

,

?
(

力做 的 功 为
)

厂、
Γ

(

银 据 动能 定理


一) 又

冬?

(

? 三Η

# 己

,

?

了位移 了 那 么 这 个恒 力 做的功就是

,

,

一 ? ?) 一 Α # 一
,

Η ?



,

+ Ι 方 向的 分量 这个力沿 丁
?
)
Α
?



(

= ?Κ %

>

。,

丫万 不 万

应 该 说 明钓 是 因 为 动能 定 理是 从 牛顿 第 二 定 律
Γ
? . , %

一?

?

Ι ? 水Λ
(

%

6 ?

, 9

一 若 矛



不叮一
Λ



Κ= ? Κ 。




’曰

? 卜合
,



?

推 导 出来 的 因 此 只 适 用 于 惯性 系 虽 然 相 对 不 同 的 惯 性 系 ? 做功 的 位 移 和 物体 的 速 度都是 不 一 样的 但 动
, , ,

(

能 定理 却 仍 然 成立
5
(

(

这 就是 质 点 的 动 能 定理 正 因 为 外 力 做 的功 和 质
. 8 ? 护 这 个 量 的 增 量 相 等 所 以 我 们规 定 点的冬 冬? 一 Ι 8 一 Ι Ι ? Ι 一Ι Ι 一 Ι ” 4 ? 扩 如果 作 叫做 一 个 质 点 的动 能 而 不 是 牛 厂 或 冬 ” ” ( 卢 ” Ν ” Ι 叭 ? Ι Ι 5 用在 一 个 质点 上 的 是 一 个 变 力 或 者 质点 做 的是 一个


质 点 系 动能 定理
,
(

”、 曰 Μ













Μ





质点 动 能 定 理 研 究 的 是 一 个 质 点 质 点 系 动 能 定 理 研 究 的 是 若 干 个 质点 质 点 系 动 能 定 理 可 由 质 点 动 能 定 理 导 出 设质 点 系 由 : 个 质 点组 成 选 取 适 当 的
(

,

,

(



‘、



Μ

Μ 切 ‘

”Μ

















’一

,

,

惯性 系 对 其 中第 Δ 个 质点 用 质 点 动能 定 理
,


曲线 运 动 则 可把 上 述 讨 论 放 到 一 个 微 小 位 移 中去进
行 因为 动能是一 个 标 量 和 速 度的 方 向无 关 所 以 最
后把 在无 数 个 微 小 位 移上所 做 的功 累 加 起 来 可 以 得 到 相同的结 论
(
(

,

,

,

内 一 碎讲 十 诈‘

万?

Δ

衅 一

万?

刃Ο , Χ

,

式中


,

? 二 矛和
Δ



? 二?

分另 。 表 示 该 质点 的 末 动 能 和 初
,

用 动能 定理 来 解决 间 题 的优越 性 是对 力 作 用 的 中 间过程 不 予 考虑 只 要 考虑 初 状 态 和 末 状 态 这就会给
,

动 能 2 外 表 示 质 点 系 以 外 的 力对该 质 点 做 的功 + 内 表 示 质 点 系 内 其 它 质点对 它 的作 用 力 做 的 功 对 所 有
Δ
(

,

解决 问 题带 来 不 少 方 便 请 看 下 面 一 个 问 题 两 个 质 量均 为 ? 的小 球 用 细 绳 连 接 起 来 置于 光 滑 平 面 上 绳 恰 好 被 拉 直 用 一 个 恒 力 ? 作 用 在连
,
, ,
(

(

)

: 个 质 点 的 动 能 定理 求 和 就 有

艺2
若 用 2
撰 艺合



Η


艺2
2
















Π

,

) Η






明Λ


?

?



Υ

?



瓜 分别表 示
,

艺2



艺2

Α





绳 中 点 ? 的 方 向 水平 且垂 直 于 ? 力拉 动 # 绳的 初 始 位 置 ?图 5
,

阅)



,

艺音
+


从Α Γ

、 则 上 式可 写 成

原 来处 于 静 止 状 态 的小 球 问 在
两 小 球 第 一 次 相撞 前 的 一 瞬 间
,

(

)



+内 一
,
,

Υ

?

一 Υ? ( .

小球 在 垂直 于

为Θ

作用 线方 向 ?设 # 向 上 方 的分 速度 多 大 Π
,
(

?

由 此 可见 对 于 质 点 系 外 力做 的 功 与内 力 做 的 功 之 和 等 于 质 点 系 动 能 的 增 量 这 就 是质 点 系 动 能 定 理 和 质
(

,

点 动 能 定 理 一 样 质 点 系 动 能 定 理 只 适 用 于 质性 系 但
,



(

由于 绳 的 张 力 和 方 向 都在 不 断 改变 因 此 两 小球 的 运 动是 比 较 复 杂 的 我 们 应 用 两
种 手段 使 复 杂 的 问 题 简 化
)
(

质 点系动能定理 中的 +
,





项 却 是 和 所 选 的参 照 系 无
,

关 的 因 为 内 力做 的 功 只 取 决 于 相对 位 移 而 相 对 位 移 和 所 选 的 参照 系 是 无 关 的 这 一 点有 时 在 解 题 时 十分
(

一 是 先 研 究 小球 在 某 一 方 向 即
?
8= Χ
, %

?

作 用 线 方 向 ?设
%

有效

(

为 Ρ 方 向 #上 的 运 动 当 绳 与 作 用 线 成 力Σ > 速度为
,

角 时 绳上 的 张

?
(

二# 势能

势 能 及 功能 原理

这 个张力使小球 产 生 的 在 Τ 方 向上 的 加
,

因 为 保 守 力做 的 功 仅 仅 取 决 于 初始 和 终 止 的 位
。. , % %

“二

Ι Σ
,

?

& 、 6 ? & ?8 ? #
,
(

(

置 而 与 运 动途 径 无 关 因 而 在 保 守 力 的 场 中可 以 讨 论


,

可见

%





无 关 即小 球 在

势 能 在 保 守 力 场 中 有 一种 仅 由质 点 的位置决 定 的 能
,

(

方 向 上做 匀 加 速 运 动

量 称 之 为 势 能 ?也 叫 位 能 # 势 能 的 增 减 与 保守 力 做 的
,
(

二 是 只 考 虑 小 球 运 动 的初



一 图

一 月 任

功 密 切 相 关 ? 保守 力 做 多 少 正 功 质 点 的 势 能 就 减 少 多
,

末两 个 状 态 设 移动 了
)
,

)

?

的作用点共
,

少 保 守 力做 多 少 负 功 ?或者说 外 力 克 服保 守 力做 多 少 功 # 质 点 的 势 能 就增 加 多 少
,
(

?

距离 则 小 球在 Ρ 方 向 ) # 的距 离 小球 碰 上 运 动了 ? 一 Α
撞 前 在 二 方 向 上 的速度为
Γ
,

严 格 地说 势 能 不 单 单 是 属 于 质 点 的 而是 质 点 和
, ,

6

% 丫8

,

?、 一 Ω# Ι



尸 ?)

一 Ω #& 阴

保 守 力 场 共有 的 例 如 质 点 的重 力 势 能 是 质点 和 重 力 场 ?或 者 说 质 点 和 地 球 # 共 有 的 如 果 地 球 消 失 了 那 重
(

(

,

,

力 势 能 也 无 从 谈 起 这 一 点 是 势 能和 动 能 的 很 大 区 别
(

(

(



,

下 面 我 们 着重 讨 论 一 下 与 万 有 引 力 及 弹 簧 的 弹 力
?这 两 种

力都 是 保 守 力 # 有关 的 势 能 弹 性 势能
,

(

? 式 中 一Ζ Ψ 和 一
3

3

,

3

(

3 3



Ζ

Ψ?

」3

,





就是 质 点 ? 分 别 在

Ι





, 、

Ι

、3

,

3


,



Α Ξ



?#

所 具 有 的 引 力 势 能 ? 因将 无 限 远 处 定 为 零 势 面 所 以 质 点 在 所有 各 处 的 引 力 势 能 都 是 负 值 # 我们平 时所用的重 力势 能
,
, 、
(

根 据 胡 克 定 律 弹簧 弹 力 变
△二

?

的 大小 和 它 产 生 的 形
?
,

成正 比 即
(

,

? 一?



(

式中

叫做 弹簧 的倔强 系

碗0 1

数 ?或 弹性 系 数 # 弹 力 ? 做 的功 可 以 用 ? 一 △Ρ 图 ?图
# 中 的面积 来表 示 比 如弹 簧 的
(

种 近 似特 例 与 引 力 势 能 一 Ζ
,

3



,

(

二 Ι



3

,

,





3

3

Ψ?

? 0 1 一。

取 地 面 为零 势面 ? 1 是从地面算起的高度# 而
,


, ,

是 引力势能 的 一 。 Ι 3 Ι 一一 有 两 点 区 别 一是
,
(

)

形变 由

Ρ



变到

Ρ

,

过 程 中 弹 力做
Ρ
,

的功 可 以 用 梯 形 积#
(

及? Β 的 面 积


,

取 无 穷远 处 为 零 势
,

瓦 二是 ?

0 ”

不 考 虑 ”‘ 力
, (
?

来 表 示 ?即 图 中 阴 影 部 分 的 面
全 兰 竺告

)

一 随



”? 卜 3 3 一 一 3 刀 一 一犷 一 的变 化 而 一 Ζ 考 虑 了 引力 随 的变 化
,

,

,

?

(



物 体系 的 功能 原 理
,





,

# 一

李 艺

?

式 一


李 艺
(



个物 体 系 来说 如 果 外 力 做 的 功 为 +
,



,

内部

式中





, 和
)





) 就是 弹簧 的

非 保 守 力做 的 功 为 +

内翎 卜 保

,

那么 有
一 △ Υ [ Η △Υ
?
(

+
式中
,



一+
△Υ
Ε
(

内非 保

形变 分 别 为 Ρ

和 Ρ Α 时 的弹 性 势 能
,

△Υ





分 别为 物 体 系 势 能 和 动 能 的增
(

?? # 引力势 能

量 即 机 械 能 的 增 量 外 力做 正 功 使物 体 系机械 能 增
Ξ

根 据 万 有 引 力定 律 在 离地 心
?

处 的 万有 引 力 为

加 而 内 部 的 非 保 守 力 做功使 物 体 系 的 机械 能 减 少
,

一 Ζ


Ξ ,



功 能 原 理 适 用 于 分 析 既 有 外 力 做 功 又 有 内部 非

,

可以 采 用 下列 方法 求
出 质 量 为 ? 的 质点 从


保 守 力 做 功 的物 体 系 请看 下 题 倔强 系 数 为 ? 的 轻 质 弹 簧水平放置 左 端 固 定 右
,
,

(

)

端连接一 个质量为

Φ

?

的木块

处移到
) ?

处 万 有
,

?图 Ν #

(

开 始 时 木 块静 止 平 衡 于
,

引 力 做 的 功 ?图 Φ #
)
(

)


Ξ ?



Ξ ?

一 位置

木 块与 水平 面 之 间 的
(



?
Ν

分 成 很 多 小段 我 们光求 出 质 点 在
(

Ξ 、

这 一小

摩擦 系 数 为

段 位 移 中万 有 引 力 所 做 的功 由于
,

Ξ ?



这 一小段

产 然后加一 个 水平 向 右 的 恒 力 于 木 块 上 ?Α # 要保
(

很 小 因 此 该 小 段 位 移 中质 点 所 受 的平 均 万 有 引 力 可

证 在 任 何 情 况 下都 能拉 动 木 块 此 恒 力
,

不 得 小于 多

近 似 的 用 小 段 中 点 的 万 有 引 力 来表 示 即
,

少+ & ,
,

(

用这 个力


?

拉 木 块 当木 块 的 速 度 再 次 为 零
,


分母 ? 去高
Ξ、

Β

一 Ζ




护刀
?
,

时 弹 簧 可 能的伸 长量 是 多 少 +
Ξ Β



Ξ ?

Β 卞 一厄一 Ξ





题 目 告 知 开 始 时 木 块 静 止 平衡 于 某 一 位置
,



,



垒# 衬互 音


?


,

Η Δ Ξ
!

? 一Ξ Β ?Ξ Ξ Β #

衬二 子星


,



未 指 明确 切 的 位 置 也就 是说 木 块 在 该 位 置 时 所 受 的

静 摩 擦 力 和 弹 簧 的 形 变 量 都 不 清 楚 因此 要 比 较 各 种
,


?

逻 业子

分 母 便是 以 Ξ , 所以 ?
一 月 ( 值 一 Μ Β

几 一 一

厂 一 刀

情 况 如 果 弹 簧 自 然 伸 展 时 木 块在 ? 点 那 么 当 木 块 在 ? 点 右 方 时 所 受 的 弹簧 的作 用 力 向 左 因 为 木 块 初 始 状 态 是 静止 的 所 以 弹 簧 的 拉力 不 能 大 于 木 块所
%

,

,

,

%

,

质点 在


??

!

这 一 段 位移 中 引 力 做的 功 为
%

受 的最大静 摩擦 力 克服
(


. / 产

%

要 将 木 块 向右 拉 动 还 需 要
/ 产
%

,

#

一 几、


?! 一


!
?

&





犷?

个 向 左 的 静 摩擦 力 .

所 以只要
%

? 妻 0. / 产

,

即 可 保 证 在 任 何情 况 下都能拉 动 木 块


八 。
?




)

,
,

设 物 体 的 初 始位 置 为 下 物 体到
?
, ,

二。

,

在 向右 的恒 力
,

?

作用

同理 可 功为

得 质点 在 。 到 #
2。

?

这 一 段 位 移中 万 有 引 力 做 的

,

处 速 度 再 次为零 在 此 过 程 中 外 部 有 力 做功 内 部 有 非 保 守 力 1 做 功 木 块 的 动 能 增 量 为
,



%

零 所 以 根 据 物 体 系 的 功 能原 理 有




3 ? 一




,

4 &








。阴 /

&

最 后 把 所 有 小段 中 引 力 做 的 功 全 部加 起 来 可得
,

?

厂一
>

。 切、




、& 工 7 8




6 5 卜合

0





、蕊

,

(

,

=

9
?

0:

一 Α

叼 ,刀





一 Α

似阴

> 、



一一 Α

材”

,

>





卜Β

? ?(



(

%

可得

Χ

, &? 一 产 . / ( 5 一6

% Δ

;<

?

因 为木 块 一 开 始 静 止 所 以 要 求
,



4

∴、



? . ,



Η
0

? 0



,

Χ 落 簇Ρ
,


(

,

? ?? Ξ 一 ? 0 #
(

此 式当

5? 0

簇?



时有意 义 当 5?


一? Ξ
Χ
Χ ,



(

可见 当木 块再 次 静 止 时 弹簧可 能 的 伸 长 是

5
(

? 夕

6

9 . , 一 ’

?Α # 6

男 左


>

Ρ

望丑全 ‘ 旦


即 小环 恰 好可 能 到 达

?



(



机械 能 守 恒 定 律 当 一 个 物 体 系 既 没 有 外 力 做 功 也 没有 内 部 的非 保守 力 做功 时 这 个 物 体 系 的 机械 能 就 守 恒 这可 以 说


5 # 小 环 在 何 处 时 速 度 最 大 Π 这 个 问题 可 用 二 种 途 ?

径解 决

)

,

(

用 上 面 速 度 的表 达 式 求
因为

,

的极 值 式

是物 体 系功 能 原理的 一 种特例
)
,

(

值 得 广 大 同 学 注 意 的 是 机械 能 守 恒 定 律 只 能 用
于物 体 系 也就是说讨论机械 能 守恒 时 至 少 有两个 物
,

中!

?

是 定 值 只要 求
#

&



? ( 艺

)

艺夕 一 二 艺? ( ? 二 又
了 尹 己

??

,

%

)

!

夕一 & +





体 有 时 我 们说 一 个 物 体 从 空 中 自由 下 落 时 机 械 能 守 恒 实 际 上 是 说这 个 物 体 和 地 球组成 的物 体 系 机 械能
,

(

极 值即 可
, ?

.?

( )

. 。一

竺/
1!

.?

( )

。一 , +0

守恒 对孤 立 的物 体 无 所谓 势能 也就 谈 不 上 机械 能 守 恒
(

(

,

一2?(

) .

。一 , 一

竺/
1 !
??

.?

( )

, 一 3+

光 滑的竖直 圆 环 半 径为

Ξ

,

自然长度也为
, ,

Ξ

的轻弹

簧一 端 固 定 在大 圆 环 的 顶 点 ?
Β
,

另 一 端 与 一 个套 在 大
!
(

4

? ( ) .

夕?

1 ! /1 !

一 ?? +

? ( )



1 ! 十 ??
21 ! / 1 !
,

一 ?? +



环 七的 质 量为 ? 的小 圆 环 相 连 如 图

先将 小 环 移 至
,

用 配 方法 可 求 出 “

) ( 5

氏一



点 使弹簧 保 持 自然 长 度 然 后 释放小 环让 其 运动 求
Φ

示练药 时
,

6

有极大 值

弹簧与竖 直 线成

角 时 小 环 的 速 度 并 讨论 小 环 的运
、 、

,

将此





值代 回到

的 表 达 式 中去 可 求 出



(

7
况8

1

!
刀止!

在 由大 环 小 环 弹簧 地 球
组成 的物 体 系 中 首 先 没 有外 力
,





一 图

4 : 叼 , Φ 钊 下 Β 妇 叹 < “ 4 卜 一 了 飞 ? 。 班 4 Γ
?

?

飞 八 认 % 、 退 Ε


9 从 分 析 小 环 的 受 力情 况 来 求
,

的极值
#

做功 其次也 没 有 内部 的 非 保 守 力做 功 & 大 环 对 小 环 的 弹 力 虽 然
,

一 开 始 小 环 的 重 力沿 大 环 切 线方 向 的 分 力大 于 弹

簧的拉 力 沿 大 环 切 线 方 向 的 分 力 小 环 一 直 加 速 当

,



是非 保 守力 但 这 个 力 不 做 功 (
,

,

所 以该 物 体 系 机械 能 守 恒

%

达 到 某 一 值 夕 时 这 两 个 力 的 切 向分 力 相 等 此 时 小 环 停 止 加 速 速 度 达 到 极 大值 再 往 后 小 环 就 要 减速
,
,
#

设 弹簧 与 竖 直 方 向成

Η



了 根 据 两 个 力 的 切 向分 力 相 等 可 列 出
,

#

时小 环 的 速 度 为
,

Ι

%

以 大 环 底部

1 !

)

: ; .夕 4


? / .? 5

( )

氏一

?

# + ) :; 氏

为零 势面 可 以 列 出 机 械 能 守 恒 的式子
Ν 、? & ‘ Μ 5
0

同样可以 解 出
? Δ Κ

夕 Λ


5 , &5
#

一 . / (



7


.
Ο
0

“, 7


/

‘ ,



“一 ? (

,

结果 同第

种方 法 是 一 样 的

合 一
,

Π 7 、 。

。Η ?

Φ。 (


由此 例 我 们 可 以 体 会 到 应 用 功 能 原 理 或 机 械 能 守
,

恒 定 律 解 题 有两 个 很 大 的 优 点 一 是 可 以 不 考 虑 中 间
ΦΗ
,

& 一 开 始 小 环 与 大 环 心 联线

与竖 直 方 向 的 夹 角 是
,

复杂 过 程 二 是 可 以 不 考虑速度的 方 向
/
&

#

当弹 簧 与竖 直 方 向 的 夹 角 是 Η 时 小 环 与 大 环 心 联 线
( 可 以 解得 与竖 直 方 向 的 夹 角 是 Η

三+
#

冲 皿 和 动=
#

冲里
,

Θ 丫/
对上述
、, 〔


上 匕

二 十
,

>

>



54

>

冲 量 是 力 对 时 间 的 积 累 效 应 如 果 一 个 恒 力 户作
Δ Κ 以

乙2

Δ Κ

艺Β

一 ???石 Ρ艺2



?(





用在一 个物体 上 作 用时 间为

=

,

那 么 力在这段 时间 内

的 表 达 式 可 作 下 列 讨论
,

4

的冲量
%



“一 。

可得 Ι ? 一

扮 念
?
%

&;一



阴/

竺Σ
%

;

,

>

? ?
,

?

# =

方 向 与 力 户的 方 向 相 同
,

即5 Σ
4

;. /

时 小 环 可达 到 大 环 的 底 部
,

点处


如 果 作 用 力 户是 一 个 变 力 则 必 须 将 时 间 分 成 很
Λ Δ

,

小环 到 不 了 以求 出环 到 达 的最 低 位 置 时 的 夕 角

& , 、如



;. /

Σ 5

%

?

点 令



多 无 限 小 的 小 段 分 别计算 出 每 一 小段 时间 内 的冲 量
,
#

,

然 后 求这 些 冲 量 之 和 这 里 要 注 意 的 是 冲 量 是 一 个 矢
,
?

ΑΒ

?

量 应 该求 各 小 段 时 间 内 冲量 的 矢 量 和
,

(

绳长 为
时间

?

(

质 点动 里 定 理
△? ?
Γ



?, Η
,

Μ #

?

又 经 过 一 段很 短 的

△∴

牛 顿 第 二 定律 的 原 始 形 式 为
#
(

以 后 左 边 绳 子 又 有长 度 为
,




Α Γ
(

Λ

。 的 一 小段 转 移至 ” 右边 去 了 我
(


, ?

山 户
] 一 ?
Γ 8

一 △ ?? 公 # 一 ?

们就 分析这 一 小段 绳 子 这 一 小 段 绳 子 受 到 两 个 力 上 面 绳 子 对 它 的拉 力
)

Σ
(

式 中 石 和 石 分别 为 起 始 时 刻 和 终 了 时 刻 的 速 度 这

和 它 本身 的 重 力


,


Λ

、、、

?、

一&
,

就 是 质 点 动 量定 理 即 合外 力 提 供 的 冲公 等 于 它 动 量 的 增 量 正 因 为 外 力 的 冲 量 和 质点 ? 石 这 个 量 的增 量
(

,

Α

为 绳 子 的 线 密 度 # 根 据 动 量 定理 设 向 上 方向为 正
?Σ 一

)



,



)



, 二 # △ , 一 。 一 ?一




Γ

。Ε

(



#

(

相 等 所 以 我 们规 定
,

?

为 一 个 质点 的 动 量 而 不 是其 石
,

,



(

由于

△∴

取 得 很 小 因 此这 一 小 段 绳 子 的重 力 相 对 于
,

Σ

质 点 动 量 定 理 是 一 个 矢 量 式 因此 可 以 写 出 它 的 分量 式
] ] ]
)

来说是 很 小 的 可 以 忽略 所 以 有
Σ 一

,

冬 ?
(


Γ8
>

、一 0


Ρ


3

,





,

6 ?
,

Γ Γ

Ρ

8

一 ?


Γ



Α

,

因 此 钉 子 对右 边 绳 端的作 用 力
,

6 ?

Θ8

4 Ω刀,

Α

)

6

, 4 ⊥

?

?

一 ?




,

? 一



Α ? 资 ?

Α

,

,

(

、一

Η



Ρ


一 &

Ι #橱 十 Σ 一 七






(



? ? Α 令 ? 场






Η



# 竿 Α





(



在应 用 动量 定 理 解 决 问 题 时 有 时研 究 对 象 不 是
一 个 明 显而 确 定 的 物 体 需 要 自己 来选 取 在 以 下 两 个
问 题 中都 要 注 意 这 一 点
)
,
(

此 题 也可 以 分 析 整 根绳 子 受 到 两个 力 重 力
和 钉 子 的拉 力
?
,

)

? 0
,

,

(


#



时 刻 ?即 左 端 下 落 了

Τ

Ρ

的时 刻 #

全绳的动量
,

,

_ 〔

问 题一 一 枚 质 量为 Ψ 的 火 箭 依 靠 向 正 下 方 喷

一 合卜
,

#,

Λ

,

气 在 空 中保 持 静 止 如 果 喷 出气体 的 速度 为 箭 发 动 机 的功 率是 多 少 Π



在 ∴Η
[

△∴
? △ #

,

那么 火

时 刻 全绳 的动量为

一合
,

Α > ?

Π



Γ 、 #Ε ?

Η

△。 #

(

选 取 在 山 时 间 内 喷 出 的 气体 为 研究对 象 设 火箭
,

在 山 时 间 内全 绳 动 量 的 增量 为
[
?, Η )
。 ,

推 气体 的力 为



,

根据 动 量定理有
?
?

一 [? Α > ?
Π

#


,

一 八?

?

Γ

,

因 为火 箭 静 止 在 空 中 所 以 根 据 牛 顿 第 三 定 律 有
? 一 对宫 得
?

材名

山 一
△?
?

△?
Γ



Ω,

,

一告 一 ? , 、、 一 合 合 一


一 △二 # 、 刀 Η


△Π #

Η

合一
“ △一

Α ?

#、



Η

公 合
)〕

山 一 2 一 工 △? 护

(

&材

(

忽 略 高阶 小 量

△二

?

△Γ

,

再 用 动量 定 理
)

对 同样 这 一 部 分 气体 用 动能 定 理

?? 一 ? 0 #△ ∴ Ι [ ?

Η

△∴ #

一 [?

3

’ 一 ]

+ 二一
凸Ξ

一 ?△ ?


Γ
?

△?




两 边 除以

么,

,

# 八甘宕

粤蜿




(

? 一? 0
Χ

合 一 并注意 丫 诬 于 瓮一 毛 瓮
(



“?Λ △ & ,

Η

了 △Π

△Π 一 ‘

,



可得

Η



众、 Η 令 ?


二、
一。

一 )川








这 个 问 题 容 易犯 的错 误 是 直 接套 用 功 率 的 公式
尸 一 ?
)


3

(



材0

Θ


,

阴0 音 。 ?

?







5二

3
(

# 岑 Α 二

这 种 做 法 错 在 忽 略 了 从 火 箭 中喷 出 来 的 是 逐渐加速 的

当全 绳 刚 拉直 即 二 一 Α 时
α

气体 且其 平 均 速 度 为
,




( # Ν

? 一 8? 0 5
(

(

问 题 二 一 根 均 匀 柔 软 绳 长 为 Α 质 量 为 脚 对折 后
)
,

质 点 系动 量 定理
,
(

两 端固 定 在一 个 钉 子上 其 中

(



端 突 然从钉子 上脱落

,

,

求 下 落 的绳 端 点 离 钉 子 的 距 离 为 一 端的 作 用 力 是 多少 Π 如图
边绳 长 为 一 一
> ,

时 钉 子对 绳 子 另
Ρ

将 质 点 动 量 定 理扩 展 到 质 点 系 即 可 得 到 质 点 系 的 动 量定 理 质 点 系 中 各 质 点 所 受 外 力 和 内力 的 总 冲
量 记为
]外
,



Ω







各质 点总 的初动 量之和 及 末动量之

所 示 当 左 边 绳 端 离 钉 子 的距 离 为

时 左
,
, ’

和 记为

万 及 矛 则必有
了外 Η 了、 一
Α

?

(

(

Μ


8

一Ρ 一


冬 ?

?, 一


二#
Ι

,



速度 Ι Ι


?



而石


“。



右边 目 Ι










,

(

β?

由牛 顿 第 三 定 律可 证 明
]


]内 Ι 。

(

因此 得
(

球 速 度 交换
扩 ?

#

#

一 [) 一 [



,;



; 一 。时 扩 且 》 〔 被 原速 弹 回 如 小球 撞 在墙 上 +



1



,

,

,

.

,

,

一 一

,

#

即质点 系 所有外 力 提 供 的 总 冲 量 等 于 质 点 系 总 动 量 的增 量 这 就 是 质 点 系动 量 定理
(
(

(

如 果 碰 撞 后 两 个 物 体 的 速 度 相 同 / 即 一 起运 动 + 那 么 可以 补 充


#

个 方程
飞少〕

?四

#

动 量 守恒 定律
,

?

飞护0

当 质点 系 所 受 外 力 的 总 冲 量 为 零 时 质 点 系 的 动 量 守恒 即
,

即可 解 得
1
义夕 0
> ,

4



4

, 尹 0 &

十 叨 & >


.



, 乙 之

[ 8 一 [, 一 ?

,

[

,

一 [)
,

(

动 量 守 恒 定 律 是 一 个矢 量式 同 样 可 以 写 出 它 的 分量式
? 户


这 种 碰 撞 可 称 为完 全 非 弹 性 碰 撞 或 范 性 碰 撞 为 了 区 己 别碰撞 的性 质 我 们 引入 恢 复 系 数 定 义 为 分 离 速 度
,

#

,

一 [

]二 ,

和 接近 速 度 的 比 值


,

[Ω 一 [、
,

Θ ,

Χ ,



Χ .
,

[)

)

6

[]

)

(

将此 定 义和 动 量 守 恒 式 联 立 即 可解 得
(

下面 着重 讨论 几个 应 用 动量 守恒定 律 的较 重要 的 问 题
(

一 /& ?
, 、 一 、



碰掩
(

厂竺 蕊

六甫



碰 撞 是 两 个质 点 之 间 的相互 作 用 因 为 一 般 碰撞
过 程很 短 暂 两 质 点互 相碰 撞 的 力 相 对 其 他 作 用力 来
(

?



说要 大 得 多 因 此 常 可忽略 碰 撞 期 间 其他 力 的作 用 于
是 由相 互 碰撞 的 两 个 质 点 组成 的 物 体 系 动量 守 恒 得



,

(

。 完 全 弹性 碰 撞 中 一

&

#

完 全 非 弹 性碰 撞 中

奇 狱
,




? (

,



。Η



Η

&时

,

称 为 非 完 全 弹 性 碰 撞 一 般 碰 撞 后 质点 系
&
, , ,


石 Η
)

4 ) ?

石 一 。 石 Η ,
) ,‘
,

?




) ,

(

机械 能的损失为
公 丈二 一 下了 乙
气工

式中 石 石 是两质点碰撞前 的速度 石 弓 是碰 撞 后 两 质点的 速 度 这是 一个 矢 鱼式 可 列 出 它 们 的分 量 式 较典 型 的 问 题 是 已 知 两 质 点 的 质 量 及 碰撞前 的速 度 要求碰 撞 后 的 速 度 此时 由 式 是无 法 解 出两 个未 知量 的 还 需要 补 充 一 个说 明 碰 撞情 况 的方 程 比 如 假
# # #



&‘

0‘



?





1
刀&
#

,

1



,



#



由 上 式 可看 出



越 小 碰撞 前 相 对 速 度 越 大 碰 撞 中

#



卞 刀

一 刁

又 卫Ι

0



口0 0

,

,

#

能 量 损失 越 多
0
,

#

范 性 过程
起 运动 了 其 些 类 型 的 两 个 物 体 的 相 互 作 用 其 特 征和 范
, , ,
#

设两 质 点 碰 撞 过 程 中 总 动 能 没 有 损 失 那 么 就 还 可 以

,

范 性碰 撞 指 两 个物 体 碰 撞 后 联 在
它 还有 一



补充一 个 方 程


1








,

1 洲‘ 一


/

6 >
#

,产 6

?


+/


1




.

9

性 碰 撞 类 似 即 相 互 作 用 后 两 个 物 体 的速 度相 同了 对 这 样 一 类相 互 作 用 的过程 我 们 可称 之 为范性 过程
,
#

这种碰撞 有时称 为 完全 弹性碰撞 将9 式整 理变 形 可得
/
,

范 性 过 程 可 长 可 短 范性 过 程 中 两 个 物 体的相 互
,

?

‘Δ

+/



,



+ “ 1

.‘

?



+

,

Ε

作 用 力可 以 是 各种性质 的 力 例 如 弹 力 摩 擦 力 万 有
,





将 式变形 可得
,
,

引力 库仑 力 等 在 范 性 过 程 中 动 能 是肯 定 不 守 恒 的
,
#



#

#

/
,

,



, ‘

+ 4

1

/二

,



.

+

,

而 且 是 各种 相 互 作 用 中 动 能 损 失 最 大 的 一 种 而 范 性

式 除 以 Φ 式 可得
,

过 程 中机 械 能 是 否 守 恒 要 看 相 互 作 用 力 的性 质 例
,

#



?


, &‘

4 一二

.

?

刀 0,

,

如 两 物 体 通 过 摩 擦 力 相 互 作 用 则机 械 能 不 守 恒 两
,

#


,

.



?

, 、

‘#

Γ
#

物 体 如 果 通 过 万 有 引 力相 互 作 用 则机 械 能 是 守 恒 的
只 是 有 一 部分 动 能 变 成 了势 能
Α
#

,

,

#

这 个结果有 时称 为 牛 顿 碰撞 定 律

.



,

是碰 撞 前
, ‘

1

相对 从 的 速 度 或者说
,



趋近
,

1

,

的速 度
1



讨是
的速

动里守恒 定 律 的 推 广
,
,

碰撞 后 1

相对
,

1

的速 度 或 者说

离开

1

由 于 一 个 质 点 系 在 不 受 外 力 的作 用 时 它 的 总 动
量 是 守 恒 的 所 以 一 个 质 点 系 的 内 力 不 能改变 它 质 心

度 将

#



Γ 式联 立 可 以 解 出
,

/1 一
/1

,

一 1
刀 乙,

.

+
州? 份

,

? 0优 0
刀 之0

0

的 运 动 状 态 这 个 讨 论 包 含 了 三 层含 意 / & + 如果 一 个 质点 系的 质心原 来 是 不 动的 那 未在无
,

#

军&

由此 结果 可 看 出 当




一 1
1
,

,

+

? 0阴
,

,

3

外 力 作用的 条件 下 它 的质 心始终 不 动 即位 置 不变 / 0 + 如 果 一 个 质 点 系 的质 心 原 来是 运 动 的 那 未在
, ,

#

,

,

? 从

无 外 力 作 用的 条 件 下 这 个 质 点 系 的 质 心 将 以 原 来 的
,

1

一1



,‘

?

,





二二 。 ,

,

即两

速 度 做匀 速 直 线运 动

#

?

2&



& ; ( 如果

一 个 质 点 系 的质 心 在 某一 个 外 力的 作 咐
,
%

所以

?

,

?
%

下做 某 种 运 动 那 么 内力 不 能 改 变 质心 的这 种 运 功 比
如 某 一 物 体 原 来 做 抛 体 运 动 如果 突 然 炸 成 两块 那 么
,

件边 展 行端 时





,

的 位 侈 为
ΠΠ(
4

&



Φ

一 , 一

才 卜

了 丁 !

这 两块的质 心 仍然 继 续 做 原 来的抛 体 运 动 如 果一个质量为
,
%

%

.

!

的半 圆型 槽 ! 原 来静 比 在 水平
”4 ?

面 上 圆槽 半径 为 ) 将 一 个质 量为

的 滑 块 ? 由静 止



二二

0.
Ν , 八


Ρ



,

Ν Υ。

释放 & 图
,

Π 。(

,

若 不计

一切



如 果 原来 一 起 以速 度

!
4



?

擦 问 ! 的最大 位移为 多少 + 由 于 ! 做 的是 较 复 杂
的 变 加 速 运 动 因此 很 难 用
,



牛 顿 定 律 来 解 由水 平 方 向
动 量守 恒和 机 械能 守恒 可
,

%

知 ? 一 定能 到达 槽
,

!

右边





右 运动
上端
,

,

用胶水

将 ? 粘在 槽 ! 左
图 ΠΠ 某一 时刻 胶 水 突 然 失 效 ? 开 始 滑 落 仍 然 忽 略 一 切 摩擦 设 从
, ,
%


,

ΠΗ

?

脱 落到


?

的最高 端 而且这 一瞬 间 !
,

?

相 对 静止 因 为
,

!



?



时间 内
?

再 次 与 ! 相对 静止 的 时 间 是 运 动 了多 少 距 离 +
,
,
,

Ψ

,

那 么 这段

成 的 体系 原 来 在水 平 方 向 的 动 量 为零 所 以 它 的 质 心
位 置 应 该 不 变 因 为初 始状 态 点 的水 平距 离 ? 4 Ω
‘(
% % & 、


!
?



?

的质 心 离 圆 槽 最 低

脱 落 后 ! 开 始 做 变 加 速运 动 但 ! ? 两 物 体 4 公 的 质 仍 然 以 速度 向右 运 动 所 以 在 Ψ 时 间 内 ! 运




飞 Ξ兴猛




砚 动的湃 离为

4

Ρ Λ 川一

,,Ν

?
?

切 八7 .

二》

%

Σ 》%



3》 %

&

(

%

石(

%

》 《二 %

(

%

Σ



,

Σ

Ζ %



士,

%

&

江% 二

‘(

%

《(

%

Σ 》 一3

% ‘

, 二

%

》 《空 %

Σ 二 夕 %

& 二,





%

&

(

%





,

%

&

(

%



二,

%

仗(

%



(

%

《》 一 之

Λ

%

‘少%

& (

二仁

》%

气》

%

‘(

%

‘(

%



公%

‘》 %



之、 % ‘》 %



之李 一 二(

%

‘(

%

?

科技 文摘

?

计 算机 进 入 照 相术 这对 传统 的胶卷 生 产商 冲洗 设备生 产 商和 相 机 生 产商提 出 了 巨大挑 战 同 时对 计算机厂 商提 出
,

,



照相术将告别底片与相纸
随着光盘 个人 电脑和 高性能 打 印机 的广泛应 用 照 相犬
开 始告别 底片与
,
%

了新课题 据统计 目 前全 世 界每年洗 印 Φ Η Η 亿 张 彩色 照 片
%

,

,

这 一 巨大 的市场 无疑使这 一 领域 的竞争 日益 激烈


%



,

在这 一 领域 领导世界 潮流的莫过于 美国胶 片制造商柯达
? ? 微软公司和 苹果 电脑公 司 了 柯达公 公 司和 计算机 厂 商 Μ
%

相纸 一

与照 相术相关的产 业 结构 面 临一 次大

调整 并将演变成 一 个照相术 与现 代信息技术交叉 的新型 产


司汁划 在照 片冲洗店安 装数字照 片洗印设 备 可让 用户 复制
,



放 大和 编辑 照 片 该 公 司 还 同 美国 惠普公 司联 合 研 制

%



种高

高昂 的成 本 笨重的 设 备 不能忽 视的污 染 是 底 片与相
纸生产 和 冲印过 程 中的严重 缺陷 体积大 不能水 久保存和 查
,






,

质 童 低价格 的喷墨打 印机 可供 家庭使用 用 户 可把相机 中的
,

,

光盘 插人 打 印机 后 打 出 照 片 也 可把光 盘插 到 电 脑 中编辑打
,

找困 难是 底片和 相纸 给人 们带来的不 便 但引进 计算 机 技术
后 照 相术 就少 了 这 些 麻烦
,
、 、
% %

%

印照 片
为 了扩大市场 柯达公司打 算放弃它 自己 的 数字 相机 标
,

%

体积 小 容量大 保真度 高 可水 久 保存 是 光 盘代替底 片 的基 本特 点 新式数字 相机 将被 摄物体 的光 信 号转化 成数字 信 号后 就 可直接存在 光盘 中一 张 巴 掌大的 允盘 可存贮儿 亿 位的信息 用它 代替底片可贮存 成 于上万 张照 片 目 前数字相
, ,
%

,

%

准 而 采 旧世 界诵 用的 个 人 电脑 标准 这 样 一 来 美 国 微软公
,

%

%

司 苹果 电脑 公司和 Μ ? ? 公司 以 及 日本相 机 生 产 商佳能 公司



都有意 向与柯达 公 司合作 共同开 发这 一 技术和 市场
,
,

%

为了适 应这股 潮 流 笼 国 微软 公司 计 划 向市场投放 一 系
列 家 用照 片编辑软件 可使用 户 方 便地 印制 编辑照 片 并能
,

机 已经 问世 尽 管 只能 贮存 Φ Η 张 照 片 但它 仍成为专业 摄影
, ,

,



记 者 手中的心 爱之物 目前 美国柯达 公司正 在 与计算机厂 商

%

,

合作 计 划 在 今后
,

,

年内推 出家庭 用 数 宇照 相机 价格 不到
, , ,

将照 片制成 日历 贺卡和 新 闻稿等 用户 叮直接 用 一 种专用的 扫 描 器把 普通 的照 片输 Θ 电脑 也 可到 数 字 照 片洗印 点将 它

,



%

Τ。 。

美元

%

经计算 机 技术改进 后 照相 术减少 了冲卷的麻 烦 可以 直

输入 到 光盘 中再 输 入 电脑 美国和 欧洲将 于今年下半年设立 数字 照 片洗 印点 它 们
,

%

接用 电脑 打 印机 打印出照 片 光盘 中的照 片可 用 计算机 处 理 查找 传输 和 印刷十分 方便 并且 可以 很 容易地 驶进未 来 的 信
,


,

,

的经 营者是美 国 柯达 公 司和 微软公司 用户 只要 花七 八 美元 就可编辑和 印制一 张彩 色图 片
,
%



息高速 公路 另 外 成本低廉 是 数字照 相术的 一 大 优势 一 张 Η 美分 冲印设 备只 需 一 台电脑 一 台高级打 光盘 成 本不到 Π
,


%

,

专家 认为 数字 照 相术在 近 年 内将获得 巨 大 发 展 其商 = 卜
, ,

化浪 潮将 使洗 印 彩色 照 片不 再是 一 件神秘 的事情 数字 照 相
,

印机 即 可
∴,

%

术将步入 千家万 户

,

[Τ 摘 自《 中国商报 》

%

∴ <
%

姜瑞 厂 文



更多相关文章:
高中化学竞赛用书推荐
《决战四月:浙江 省高中化学竞赛教程(通向金牌之路)》 《金版奥赛化学教程》 (高一、高二、· 综合)都是近年来体系、选题新颖的竞赛资料,足 见浙江省对化学竞赛...
高中化学竞赛用书推荐
《决 战四月:浙江省高中化学竞赛教程(通向金牌之路)》 《金版奥赛化学教程》 (高一、高二、· 综合)都是近年来体系、选题新 颖的竞赛资料,足见浙江省对化学...
最新高中物理竞赛讲义(完整版)
通向金牌之路》 ,陕西师范大学出版社(版本逐年更新) ;③ 湖南省奥林匹克竞赛委员会物理分会编《物理奥林匹克竞赛教程》 ,湖南 师范大学出版社,1993 年 6 ...
奥赛讲义《静力学》
通向金牌之路》 ,陕西师范大学出版社(版本逐年更新) ;③ 湖南省奥林匹克竞赛委员会物理分会编《物理奥林匹克竞赛教程》 ,湖南师范大学出版社,1993 1 年 6 ...
物理竞赛指导
范小辉的第六版的新编奥赛指导,张大同的通向金牌之路,不过很难受,我刚学,求指导。 建议从普通大学物理看起。 。。 非物理专业的大学物理学比较通俗, 没有过多...
高中物理竞赛讲义(超级完整版)(1)
通向金牌之路》 ,陕西师范大学出版社(版本逐年更新) ;③ 湖南省奥林匹克竞赛委员会物理分会编《物理奥林匹克竞赛教程》 ,湖南 师范大学出版社,1993 年 6 ...
高中物理竞赛讲义(超级完整版)(1)
通向金牌之路》 ,陕西师范大学出版社(版本逐年更新) ;③ 湖南省奥林匹克竞赛委员会物理分会编《物理奥林匹克竞赛教程》 ,湖南 师范大学出版社,1993 年 6 ...
高中化学竞赛用书
《高中化学竞赛解题方法》、《决战四月:浙江省高中化学竞赛教程(通向金牌之路)》《金版 奥赛化学教程》(高一、高二、?综合)都是近年来体系、选题新颖的竞赛资料,...
从05年高考试题谈中学物理教学
通向金牌之路_高中物理竞赛... 7页 免费 华理高数第8章答案 30页 免费 华理高数答案(下) 134页 免费 2002高考物理试题上海卷 7页 免费 09上海高考数学(理)...
奥赛培训讲义《力&物体的平衡》
通向金牌之路》 ,陕西师范大学出版社(版本逐年更新) ;③ 湖南省奥林匹克竞赛委员会物理分会编《物理奥林匹克竞赛教程》 ,湖南师范大学出版社,1993 1 奥赛...
更多相关标签:
孙维维    通向金牌之路物理    张大同    绿水英雄    通向金牌之路 张大同    金牌之路 张大同    通向金牌之路怎么样    通向金牌之路好吗    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图