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高中数学教学中类比思想方法



高中数学教学中类比思想方法
古语云:授人以鱼,只供一饭。授人以渔,则终身受用无穷。学知识,更要学方法。清华网校的学习方法栏目由清华 附中名师结合多年教学经验和附中优秀学生学习心得组成,以帮助学生培养良好的学习习惯为目的,使学生在学习中能够 事半功倍。 全日制中学教学大纲指出,要重视能力的培养,使学生逐步学会分析、综合、归纳、类比等重要的思想方法。在各种 逻辑推理方法中,类比思想方法是富于创造的一种方法。这是因为它可以跨越各个种类进行不同类事物的类比,可以比较 本质的特征,也可以比较非本质的特征,因而具有较强的探索和预测作用。根据高中生的抽象逻辑思维从经验型向理论型 急剧转化的心理特点和高中数学教材的特点,教学中恰当地应用类比方法,不仅能突出问题的本质,提高教学质量,而且 有助于培养学生的创造能力等思维品质,提高认识问题和解决问题的能力。南安县教育局陈进兴老师把高中数学教学中的 类比形式分成两大类: 第一类,同构类比。

这是类比中的一种极端形式。 同构的意义是一个集合 M 和 N 之间的一一对应 f 是一个对于代数运算 O 和 N 之间的同构对应,假如在 f 之下,a∈M,b∈M,

来讲的 M 和

如果在 M、N 之间,对代数运算 O 和

,M 和 N 同构,记为 M?N。例如,坐标平面上有序实数对(x,y)所组成的集合

X 与平面上向 Z 的集合 Y 的对应 f:(x,y)→x+yi,那么 X?Y。 在中学数学中,最常见的同构类比就是数形结合、函数与图像,代数与解析几何等。

由两点间的距离公式得几何意义为点 P(X,O)到点 A(1,2)与点 B(2,3)距离之和的最小值,利用同构类比转化 如图,根据几何定理,|PA|+|PB|的最小值为 A 关于 X 轴对称点 A′(1,2)与点 B 的距离,

第二类,非同构类比。 即从对象的某些属性相同推出它们的其它属性相同,这是高中数学中大量采用类比形式,常常又可分为: 1.相对概念的类比。 数学教育家波利亚说:“类比就是一种相似。”把两个数学对象进行比较,找出它们相似的地方,从而推出这两个数 学对象的其它一些属性也有类似的地方,这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法。 例如:高中立体几何中“二面角的定义”,从模型引入二面角后可以从平面几何角的概念,类比概括二面角的定义, 见下表:

通过角的概念,由“平面?空间”、“点?线”、“线?面”进行类比得出二面角的定义,既可减少二面角的教学难 度,又可以使类比思维方法潜移默化地渗透于教学之中。 2.新旧知识的类比。 这是教材中安排得最多的类比内容,在讲授新知识的同时,经常联系旧知识,创造条件进行类比,扩展学生的思路, 养成学生进行类比推理的习惯。我们知道,平面几何的基本元素是点和直线,而立体几何的基本元素是点、直线和平面, 如果我们建立如下对应关系:平面内的点对应到空间中的点或直线,平面内的直线对应到空间中的直线或平面,那么把平 面几何某些定理中的点换作直线,或把线换作平面,就可以帮助学生“发现”一类相似的立体几何定理。

通过这样新旧知识的联系来进行类比,既有利于理解、掌握新知识,还能使旧知识得到巩固,同时拓宽视野。 3、同类事物的类比。 所谓的同类事物是指这类对象具有相同的条件、结论、问题的形式、数学方法等。同类事物的类比能使学生从感性材 料出发,认识事物的数学特征,形成积极要求探索的心理状态,引导探索一般结论,掌握从特殊到一般的认识规律,达到 寻根探源的目的。 例如,讲授重要不等式时,在推证:若 a>0, b>0, c>0, d>0,则 a +b ≥2ab 和 a +b +c ≥3abc 之后,可引 导学生进行类比,使之认清其相似特征:即不等式右边的项的因数就是左边各项的底数,不等式右边项的系数,就是左边 的项数,这样引起了学生思考,形成了要求继续下探的心理状态,于是设问:当 a>0,b>0,c>0,d>0,呢?学生很快 4 4 4 4 n n n 类比联想得不等式 a +b +c +d ≥4abcd, 顺此继续联想类比, 得出当 a1, a2, ?an 均大于 0 时, 不等式 a1 +a2 +?+an ≥na1a2??an 也要成立。当然类比只是一种猜测,还要通过严谨的论证才能成立。 关于类比,还要注意可能产生的负迁移,也就是要克服一些错误的类比,如易混概念的类比,易混性质的类比,从而 准确地掌握概念和性质的本质,有区别地认识具有某种相似性的概念。 例 2.若|4i+log0.5x|≥5,其中 i =-1,x∈R,求 x 的取值范围。
2 2 2 3 3 3

错解:原不等式可化为 4i+log0.5x≥5 或 4i+log0.5x≤-5?? 这里受实数 x, |x|≥a(a>0)?x≥-a 或 x≤-a 的影响而产生的负迁移。事实上,应该先把问题实数化,

对于复数 Z,还可能产生的迁移有(1)|Z|=Z , (2)|Z|=a?Z=±a, (3)Z =(Z ) , (4)Z =1?Z=1, (5)ax +bx+C=0 有实根 ?△≥0。教学中,通过这些易混概念性质的类比,既可纠正学生的错误,还可以使学生掌握类比的可行性、准确性、 局限性,从而科学地掌握运用类比思维方法。
2 mn m n n 2

康德说过:“每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这种方法往往能指引我们前进。”因此只要学生学会了类比这个 重要的思想方法,不仅能帮助他们理解和掌握新知识,而且还能提高他们的解题能力,促进创造性思维的培养。



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