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四川省成都二十中12-13学年高二10月月考数学试题



(满分 150 分,时间 120 分钟)

Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.

1.点 P 在直线 a 上,直线 a 在平面 ? 内可记为 ( ) A.P∈ a , a ? ? B.P ? a , a ? ? C.P ? a , a ∈ ?

D.P∈ a , a ∈ ? 2. 已知 ?ABC 的水平放置直观图 ?A?B?C ? 是边长为 a 的正三角形,那么原 ?ABC 的面积为
( ) A.

3 2 a 2

B.

3 2 a 4

C.

6 2 a 2

D. 6a

2

3.过空间一点作平面,使其同时与两条异面直线平行,这样的平面( ) A.不一定有 B.只有一个 C. 至多有两个 D.有无数个 4.若用一个平面去截一个正方体得到一个截面多边形,则该多边形不可能是( ... A.锐角三角形 B.直角三角形 C.菱形 D.正六边形 ) )

5.圆柱的侧面展开图是正方形,则它的侧面积与下底面积的比值是( A.3 ? B. 4 C. 3 D. 4 ?

6.如图,在正方体ABCD ? A1 B1C1 D1中,E , F ,G,H分别 为AA1,AB,BB1,B1C1,的中点,则异面直线EF与GH 所成的角等于( )

A.45?
100? cm3 3

B.60?
208? cm3 3

C.90?
500? cm3 3

D.120?
)

7. 一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面, 球心到这个平面的距离是 4cm, 则该球的体积是 ( A. B. C. D.

416 3? cm3 3

8.在体积为 15 的斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,S 是 C1C 上的一点,S-ABC 的体积 为 3,则三棱锥 S-A1B1C1 的体积为( ) A.1 C.2 B.

3 2 D.3

9.设 a ,b,g 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命 题: ①若 m ? a , n ? a , m / / b , n / / b , 则 a / / b; ② 若a / / b , l ? a , 则 l / / b; ④若 a ? g,b ? g, a / / b; 则

③ 若a ? b ? l , b ? g ? m, g ? a ? n, l / / m, 则 m / / n ; 则其中正确命题的的个数是( )

A.0

B.1

C. 2

D.3

10. 已知直线 l1 经过点 A ? 2, a ? 、B ? a ? 1,3? , 直线 l2 经过点 C ?1, 2 ? 、D ? ?2, a ? 2 ? .①若 l1 / / l2 , 则 a ? m ;②若 l1 ? l2 ,则 a ? n ,那么 m n 等于( ) A. ?9 B.

1 9

C. ?27

D. )

1 27

11. 某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积为 ( A. 10 B. 8 C. 12 D. 14

12. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ,动点 E , F 在棱 A1 B1 上.点 Q 是 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上,若 EF ? 1 , PD ? x , A1 E ? y ,则三棱锥
P ? EFQ 的体积 (

) B.与 x, y 都有关 D.与 y 无关,与 x 有关

A.与 x, y 都无关 C.与 x 无关,与 y 有关

Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.三个平面两两垂直,它们交于一点 O ,空间一点 P 到三个面的距离分别为 2 、 3 、 2 3 ,则

PO ? ____________.
14.若直线 y=x+m 与曲线 x= 2 y ? y 2 有且只有一个公共点,则实数 m 的取值范围是 15 .若直角三角形的两直角边为 a、b,斜边 c 上的高为 h,则 .

1 1 1 ? 2 ? 2. 2 h a b

类比以上性质,如图,在正方体的一角上截取三棱锥 P-ABC, PO 为棱锥的高,记 M ? M,N 的大小关系是 M _

1 1 1 1 ,那么 ,N ? ? ? 2 2 2 PO PA PB PC 2
__N (填 >,<或 =)

16. 如下图, 一个圆锥形容器的高为 a, 内装有一定量的水. 如果将容器倒置, 这时水所形成的圆锥的高恰为
a ,则原来水面的高度 2



三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分)下图是一个几何体的三视图(单位:cm) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(直尺、铅笔、斜二测方法作图,不要求写画法);

(Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积.

18. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2, ∠PDA=45°,点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. (Ⅰ)求证:AF∥平面 PCE; (Ⅱ)求三棱锥 C-BEP 的体积.

19. (本小题满分 12 分)如图,在平行四边形 OABC 中,点 O 是原点,点 A 和点 C 的坐标分别是 (3,0)(1,3) 、 ,点 D 是线段 AB 上的动点. (Ⅰ)求 AB 所在直线的一般式方程; (Ⅱ)当 D 在线段 AB 上运动时,求线段 CD 的中点 M 的轨迹方程.

20.(本小题满分 12 分)如图,已知 A?B?C?D 四点不共面,且 AB∥平面α ,CD∥平面α , AC∩α =E,AD∩α =F,BD∩α =G,BC∩α =H, (1)求证:EFGH 是一个平行四边形;

(2)若 AB=CD=a,试求四边形 EFGH 的周长.

21. (本小题满分 12 分)一个多面体的直观图和三视图如下: (其中 M , N 分别是 AF, BC 中点) (Ⅰ)求证: MN // 平面 CDEF ; (Ⅱ)求多面体 A ? CDEF 的体积.

22. (本小题满分 14 分)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P (a, b) 向圆 O 引切 线 PQ,切点为 Q,且满足 PQ ? PA . (Ⅰ) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (Ⅱ) 求线段 PQ 长的最小值; (Ⅲ) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求半径取最小值时圆 P 的方程.

成都第 20 中学校 2012—2013 学年上期月考 高 2014 级数学答案
(满分 150 分,时间 120 分钟) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。

9.设 a ,b,g 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m ? a , n ? a , m / / b , n / / b , 则 a / / b; ② 若a / / b , l ? a , 则 l / / b; ④若 a ? g,b ? g, a / / b; 则

③ 若a ? b ? l , b ? g ? m, g ? a ? n, l / / m, 则 m / / n ; 则其中正确命题的的个数是( C A.0 B.1 ) C. 2

D.3

10. 已知直线 l1 经过点 A ? 2, a ? 、B ? a ? 1,3? , 直线 l2 经过点 C ?1, 2 ? 、D ? ?2, a ? 2 ? .①若 l1 / / l2 , 则 a ? m ;②若 l1 ? l2 ,则 a ? n ,那么 m n 等于( D ) A. ?9 B.

1 9

C. ?27

D.

1 27

11. 某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积为 ( A ) A. 10 B. 8 C. 12 D. 14

12. 已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 ,动点 E , F 在棱 A1 B1 上.点 Q 是 CD 的中点,动点 P 在棱 AD 上,若 EF ? 1 , PD ? x , A1 E ? y ,则三棱锥
P ? EFQ 的体积(

D

) B.与 x, y 都有关 D.与 y 无关,与 x 有关

A.与 x, y 都无关 C.与 x 无关,与 y 有关

Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.三个平面两两垂直,它们交于一点 O ,空间一点 P 到三个面的距离分别为 2 、 3 、 2 3 , 则 PO ? ____5________. 14.若直线 y=x+m 与曲线 x= 2 y ? y 2 有且只有一个公共点,则实数 m 的取值范围是
0 ? m ≤2或m ? 1 ? 2



15 .若直角三角形的两直角边为 a、b,斜边 c 上的高为 h,则

1 1 1 ? 2 ? 2. 2 h a b

类比以上性质,如图,在正方体的一角上截取三棱锥 P-ABC, PO 为棱锥的高,记 M ?

1 1 1 1 ,那么 ,N ? ? ? 2 2 2 PO PA PB PC 2

M,N 的大小关系是 M ___N (填 >,<或 =) = 16.如图,一个圆锥形容器的高为 a,内装有一定量的水.如果将容器倒置,这时水所形成的圆 锥的高恰为
a ,则原来水面的高度 2



(第 16 题)

16.解:设水形成的“圆台”的上下底面半径分别为 r,R,高为 h,则
2

r a?h = . R a

7 π π a ?R? 则依条件得 ·h·(r2+rR+R2)= · · ? ? ,化简得(h-a)3=- a3. 3 3 2 ?2? 8
3 3

解得 h=a-

? 7? 7a 3 ? a. . 即 h= ?1 ? ? 2 ? 8 ? ?

三、解答题(本大题共 7 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 。 17. (本小题满分 12 分)下图是一个几何体的三视图(单位:cm) (1)画出这个几何体的直观图(直尺、铅笔、斜二测方法作图,不要求写画法); (2)求这个几何体的表面积及体积.
A 1 B C 1 1 A B 俯视图 A' B' B' 3 正视图 C' C 侧视图 B A' A

解.(1)略. (2)解:这个几何体是三棱柱.由于底面△ABC 的 BC 边上的高为 1,BC=2,∴ AB= 2 . 故所求全面积 S=2S△ABC+SBB′C′C+2SABB′A′=8+6 2 (cm2). 几何体的体积 V=S△ABC·BB′=
1 ×2×1×3=3(cm3). 2

18. (本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=2,∠ PDA=45°,点 E、F 分别为棱 AB、PD 的中点. (Ⅰ)求证:AF∥平面 PCE; (Ⅱ)求三棱锥 C-BEP 的体积.
P

F

E B

A C

D

(第 18 题图) 解: (Ⅰ)取 PC 的中点 G,连结 FG、EG, ∴FG 为△CDP 的中位线,∴FG
// 1 2 CD,
G P

F

E B

A C

D

∵四边形 ABCD 为矩形,E 为 AB 的中点, ∴AB //
1 CD,∴FG // AE, 2

∴四边形 AEGF 是平行四边形,∴AF∥EG, 又 EG ? 平面 PCE,AF ? 平面 PCE, ∴AF∥平面 PCE; (Ⅱ)三棱锥 C-BEP 即为三棱锥 P-BCE, PA 是三棱锥 P-BCE 的高, Rt△BCE 中,BE=1,BC=2, ∴三棱锥 C-BEP 的体积 V 三棱锥 C-BEP=V 三棱锥 P-BCE= ?

1 1 1 1 1 2 S ?BCE ? PA ? ? BE ? BC ? PA ? ? ?1? 2 ? 2 ? . 3 2 2 3 2 3

19. (本小题满分 12 分)如图,在平行四边形 OABC 中,点 O 是原点,点 A 和点 C 的坐标分别是 (3,0)(1,3) 、 ,点 D 是线段 AB 上的动点. (1)求 AB 所在直线的一般式方程; (2)当 D 在线段 AB 上运动时,求线段 CD 的中点 M 的轨迹方程.

解:(1)? AB / / OC

? AB所在直线的斜率k AB =k OC ?

? AB所在直线的方程是y-0=3(x-3)即3x-y-9=0 (2)方法一:设线段CA、CB的中点分别是点E、F, 由题意可知,点M的轨迹是?ABC的中位线EF. 由平行四边形的性质得点B的坐标是(4,), 3 由中点坐标公式可得点E的坐标是( 同理点F的坐标是(

3?0 =3 ??????2分 1? 0 ????? 4分 ??????????? 6分 ??????????? 7分

1+3 3+0 3 , ),即(2, ), 8分 ???? 2 2 2

1+4 3+3 5 , ),即( ,3), ??????????????9分 2 2 2 3 ? 线段EF的方程是y- ? 3(x-2), ??????????????10分 2 5 即6 x ? 2 y ? 9 ? 0, (2 ? x ? ) ????????????????12分 2 方法二:设点M的坐标是(x,y),点D的坐标是(x0 ,y0 ) ??????????? 5分 由平行四边形的性质得点B的坐标是(4,), 3 ? M是线段CD的中点 ?x ? x0 ? 1 y ?3 ,y? 0 2 2 于是有x0 ? 2x ? 1, y0 ? 2 y ? 3 ??????????????????????????? 7分 ??????????????????????????? 8分 ??????????????????????????? 9分 ??????? ???????????????????? 10分 ????????????12分 ??????????? 6分

?点D在线段AB上运动 ? 3x0 -y0 -9=0,(3 ? x 0 ? 4) ? 3(2x ? 1)-(2 y ? 3)-9=0, 5 即6 x ? 2 y ? 9 ? 0,(2 ? x ? ) 2

22. (本小题满分 14 分) 已知圆 O: x ? y ? 1 和定点 A(2,1),由圆 O 外一点
2 2

y
2

P(a, b) 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足 PQ ? PA .
(1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点, 试求半径取 最小值时圆 P 的方程. 解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有
0 2

A

x P

Q

y
2

PQ ? OP ? OQ .
2 2 2

A

又由已知 PQ ? PA ,故 PQ 2 ? PA 2 .
O 2

x P

Q

即: (a 2 ? b 2 ) ? 12 ? (a ? 2) 2 ? (b ? 1) 2 . 化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

6 4 2 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a ? 12a ? 8 = 5(a ? ) 2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ ? 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5. min 5 5 5

解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l:2x + y-3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ,即求点 A 到直线 l 的距离. ∴ | PQ |min = | 2×2 + 1-3 | 2 5 = 5 . 22 + 12

(3)设圆 P 的半径为 R ,

? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,
? R ? 1 ? OP ? R ? 1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ? 1 .
而 OP ? a 2 ? b 2 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 5(a ? ) 2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

6 时, OP ? 3 5. min 5 5 3 此时, b ? ?2a ? 3 ? , Rmin ? 3 5 ? 1 . 5 5 得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5
解法 2: 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的情形,而这些半径的 最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0. 3 3 5 2 -1 = 5 -1. 2 +1 又 l’:x-2y = 0, r=
2

y
2

6 ? 6 3 ?x ? 5 , x ? 2 y ? 0, 解方程组 ? ,得 ? .即 P0( 5 ,5 ). ? ? ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴ 所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5
Q

A

P0
O 2

x P

l



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