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宁夏银川一中2009届高三年级上学期第一次月考数学试卷


宁夏银川一中 2009 届高三年级第一次月考测试 数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 II 卷第 22 题为选考题, 其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹 清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑.

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U 是实数集 R , M ? { x | x ? ?2或x ? 2}, N ? { x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} ,则图中阴影部 分所表示的集合是 A. { x | ?2 ? x ? 1} C. { x | 1 ? x ? 2} 2.函数 f ( x ) ?
3x 2 1? x

( B. { x | ?2 ? x ? 2} D. { x | x ? 2} (



? lg(3 x ? 1) 的定义域是



1 1 1 1 1 A. ( ? ,? ?) B. (? ,1) C. (? , ) D. (? ?,? ) 3 3 3 3 3 3.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是 ( )

s

s

s

s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

4.已知两个函数 f ( x ) 和 g( x ) 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:
x
f ( x)

1 2

2 3

3 1

x
g( x )

1 3 D. ?

2 2

3 1 ( )

则方程 g[ f ( x )] ? x 的解集为 A.{1} B.{2} C.{3} 5.设函数 f ( x ) 的定义域为 R ,有下列三个命题:

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①若存在常数 M ,使得对任意 x ? R, 有 f ( x ) ? M , 则 M 是函数 f ( x ) 的最大值; ②若存在 x 0 ? R, 使得对任意 x ? R, x ? x 0 , 有 f ( x ) ? f ( x 0 ), 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的最 大值; ③若存在 x 0 ? R, 使得对任意 x ? R, 有 f ( x ) ? f ( x 0 ), 则 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的最大值. 这些命题中,真命题的个数是 ( ) A. 0 B.1 C.2 D.3 6.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,其图像关于原点对称,且当 x >0 时, f ( x ) ? 2 x ? 3 ,则 f ( ?2) ? ( ) 1 11 A.1 B.-1 C. D. ? 4 4 7.函数 f ( x ) ? a x ? loga ( x ? 1) 在区间 [0,1] 上的最大值与最小值之和为 a ,则 a = ( ) 1 1 A. B. C. 2 D. 4 4 2 8.下列函数中,在其定义域是减函数的 ( ) 1 A. f ( x ) ? ? x 2 ? x ? 1 B. f ( x ) ? x 1 C. f ( x ) ? ( )| x| D. f ( x ) ? ln(2 ? x ) 3
? x 2 ? bx ? c , x ? 0 ? 9.设函数 f ( x ) ? ? ,若 f ( ?4) ? f (0), f ( ?2) ? ?2 ,则关于 x 的方程 f ( x ) ? x ?2, x?0 ?

的解的个数是 A.1 B.2 C.3 a b 10.已知实数 a, b 满足等式 2 ? 3 ,下列五个关系式: ① 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b;

( D.4



2 0 ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 0 其中可能成立的关系式有 ( ) 8 A.①②③ B.①②⑤ C.①③⑤ D.③④⑤ 0 f ( x ) ? f (? x ) 11.设奇函数 f ( x ) 在(0,+∞)上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 ? 0 的解集 9 x 2 为 ( )3 A.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-1,0)∪(0,1)

12.函数 y ? e |ln x| ? | x ? 1 | 的图像大致是





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第Ⅱ卷
2 0 本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 0 答,第 22 题为选考题,考生根据要求做答. 8 0 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. m ?1 512 m 9 ? 2 ? 10 ,则 m ? 13.若正整数 m 满足 10 .( lg 2 ? 0.3010 ) 2 1 14 . 函 数 f ( x ) 对 于 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f ( x ? 2) ? , 若 f (1) ? ?5 , 则 3 f ( x)
f ( f (5)) =_________.

15.对于函数 f ( x ) 定义域中任意的 x1 , x 2 ( x 1 ? x 2 ) ,有如下结论: ① f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; ② f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?0; ③ ④f ( 1 . )? x1 ? x 2 2 2 当 f ( x ) ? lg x 时,上述结论中正确结论的序号是 . 16.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题.若函数 f ( x ) ? 3 ? log2 x 的图像与 g ( x ) 的图像关于 对称,则函数 g( x ) = . (注:填上你认为可以成为真命题的一种情形即可,不必考虑所有可能的情形) 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17.(本题满分 12 分)已知集合 A ? { x |
6 ? 1, x ? R}, B ? { x | x 2 ? 2 x ? m ? 0}. x ?1

(1)当 m =3 时,求 A ? (C R B ) ; (2)若 A ? B ? { x | ?1 ? x ? 4} ,求实数 m 的值.

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19.(本题满分 12 分) (1)当 a ?

? 2 ? x ? (4a ? 1) x ? 8a ? 4, x ? 1. 设函数 f ( x ) ? ? ? loga x , x ? 1. ?

1 时,求函数 f ( x ) 的值域; 2 (2)若函数 f ( x ) 是(- ? ,+ ? )上的减函数,求实数 a 的取值范围.

20.(本题满分 12 分)设函数 f ( x ) ? ax ?

1 3 ( a , b 为常数),且方程 f ( x ) ? x 有两 x?b 2

个实根为 x1 ? ?1, x 2 ? 2 . (1)求 y ? f ( x ) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x ) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心.

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21. (本题满分 12 分)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x 的最大值为 g(a ) . (1)设 t ? 1 ? x ? 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f ( x ) 表示为 t 的函数 m(t ) ; (2)求 g(a ) ; (3)试求满足 g(a ) ? g( ) 的所有实数 a .
1 a

22.选做题.(本小题满分 10 分.请考生在 A、B、C 三题中任选一题作答,如果多做,则按 所做的第一题记分.作答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.) A.选修 4-1:几何证明选讲. 如图,AB 是⊙ 的直径,C,F 是⊙ 上的点,OC 垂直于直径 AB,过 F 点作⊙ 的切 O O O 线交 AB 的延长线于 D.连结 CF 交 AB 于 E 点. C (1)求证: DE 2 ? DB ? DA ; (2)若⊙ O的半径为 2 3 ,OB= 3 OE,求EF的长.
A E O B D

F

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B.选修 4-4:坐标系与参数方程. 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴
? 2 t ?1 ?x ? ? 2 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? ( t 是参数). 2 ? ?y ? 2 t ?

(1)将曲线 C 的极坐标方程转化为普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,试求线段 AB 的长.

C.选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x ) ?| 2 x ? 2 | ? | x ? 3 | . (1)解不等式 f ( x ) ? 6 ; (2)若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| 2a ? 1 | 的解集不是空集,试求 a 的取值范围.

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参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 10 B 11 D 12 D C B A C C B B D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13. m ? 155.

2 0 0 15.②③. 8 0 16.①x 轴, ? 3 ? log2 x ; ②y 轴, 3 ? log2 (? x) ; 9 x ?3 2 ③原点, ? 3 ? log2 (? x) ; ④直线 y ? x,2 . 3 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。

1 14. ? . 5

17.解:由

6 x?5 ? 1, 得 ? 0, x ?1 x ?1 ? ?1 ? x ? 5

? A ? {x | ?1 ? x ? 5} ,………………2 分
(Ⅰ)当 m=3 时, B ? {x | ?1 ? x ? 3} , 则 C R B ? {x | x ? ?1或x ? 3} ……………………4 分

? A ? (CR B) ? {x | 3 ? x ? 5} ………………6 分
(II)? A ? {x | ?1 ? x ? 5}, A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4}, ………………8 分

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? 有4 2 ? 2 ? 4 ? m ? 0, 解得m ? 8 ,………………11 分
此时 B ? {x | ?2 ? x ? 4} ,符合题意,故实数 m 的值为 8.………………12 分 18.解:(Ⅰ)

………………6 分 (II)方程 f ( x) ? 5 的解分别是 2 ? 14, 0, 4 和 2 ? 14 ,………………8 分 由于 f (x) 在 ( ? ?, ? 1 ] 和 [ 2, 5 ] 上单调递减,在 [ ? 1, 2 ] 和 [ 5, ? ? ) 上单调递增,因此

A ? ? ?, 2 ? 14 ? [ 0, 4 ] ? 2 ? 14, ? ? . ………………10 分
由于 2 ? 14 ? 6,

?

?

?

?

2 ? 14 ? ?2, ? B ? A . ………………12 分
?

? 2 1 ? x ? 3x, x ? 1. 19.解:(Ⅰ) a ? 时, f ( x) ? ? 2 ?log 1 x, x ? 1. ? 2
当 x ? 1 时, f ( x) ? x 2 ? 3x 是减函数,所以 f ( x) ? f (1) ? ?2 ,即 x ? 1 时, f (x) 的值域 是 (?2,??) .………………3 分 当 x ? 1 时, f ( x ) ? log 1 x 是减函数,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 时, f (x) 的值域是
2

(??,0] .………………5 分
于是函数 f (x) 的值域是 (??,0] ? (?2,??) ? R .………………6 分 (Ⅱ 若函数 f (x) 是(- ? ,+ ? )上的减函数,则下列①②③三个条件同时成立: )
2 ①当 x ? 1 , f ( x) ? x ? (4a ? 1) x ? 8a ? 4 是减函数, 于是

4a ? 1 ? 1, 2

则a ?

1 . 4

…………… 8 分

② x ? 1 时, f ( x ) ? log 1 x 是减函数,则 0 ? a ? 1. ……10 分
2

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③ 12 ? (4a ? 1) ? 1 ? 8a ? 4 ? 0 ,则 a ?

1 . 3

于是实数 a 的取值范围是 [ , ] .………………12 分

1 1 4 3

1 3 ? ?a? ?? , ? ?1? b 2 解得 ?a ? 1, 20.解:(Ⅰ)由 ? ? 1 ?b ? ?1, ? 2a ? ?3 2?b ? 1 故 f ( x) ? x ? .………………6 分 x ?1 1 (II)证明:已知函数 y1 ? x , y2 ? 都是奇函数. x 1 所以函数 g ( x ) ? x ? 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形.……9 分 x 1 ?1 . 而 f ( x) ? x ? 1 ? x ?1
可知,函数 g ( x) 的图像沿 x 轴方向向右平移 1 个单位,再沿 y 轴方向向上平移 1 个单

, 位,即得到函数 f ( x ) 的图像,故函数 f ( x ) 的图像是以点 (11) 为中心的中心对称图形.
……………12 分 21.解:(Ⅰ) t ? 1 ? x ? 1 ? x , 要使有 t 意义,必须 1 ? x ? 0, 且 1 ? x ? 0 ,即 ? 1 ? x ? 1 , ∴ t 2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ? [0,2] ∴ t 的取值范围是 [? 2 , 2 ] . 由①得 1 ? x ? 1 ?
2

① ………………2 分

1 2 t , 2

1 2 1 t ) ? t ? ? at 2 ? t ? a , t ? [? 2 , 2 ] .………………4 分 2 2 1 2 (Ⅱ)由题意知 g (a ) 即为函数 m(t ) ? ? at ? t ? a, t ? [? 2 , 2 ] 的最大值. 2 1 1 2 注意到直线 t ? 是抛物线 m(t ) ? ? at ? t ? a 的对称轴, a 2
∴ m(t ) ? a (1 ? 分以下几种情况讨论. (1)当 a ? 0 时, ①由 0 ?

1 1 1 2 ? 2 ,即 a ? ? a. ………………5 分 时, g (a ) ? m( ) ? a a 2a 2

②由

1 1 2 2 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, m(t ) ? ? at ? t ? a 在 t ? [? 2 , 2 ] 单调递增, a 2 2
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g (a) ? m( 2 ) ? 2. ………………6 分
(2)当 a ? 0 时, m(t ) ? t , t ? [? 2 , 2 ] ,∴ g (a) ? m( 2 ) ?

2. ………………7 分

? 1 2 ? a, a ? . ? ? 2a 2 综上有 g ( a ) ? ? ………………8 分 2 ? 2, 0?a? . ? 2 ?
(III) 分以下几种情形讨论: 情形①:当 a ? 得

2 1 2 2 1 时,即 ,且 ? ? a ? 2 时,由 g (a) ? g ( ) , a 2 a 2 2

1 a 1 ? a ? ? ,解得 a ? 1 .………………9 分 2a 2 a

情形②: 当 a ?

2 1 2 1 时,即 a ? 2 时,由 g (a) ? g ( ) , ,且0 ? ? a 2 a 2



1 2 ? a ? 2 ,解得 a ? (舍) ………………10 分 2a 2

情形③: 当 0 ? a ?

2 1 2 1 时,即 a ? ? 时, g (a) ? g ( ) 不成立. ,且 0 ? ? a 2 a 2 2 2 1 2 1 ,且 ? 时, 即 0 ? a ? 时, 由 g (a) ? g ( ) , a 2 2 a 2

情形④:当 0 ? a ? 得

a 1 ? ? 2 ,解得 a ? 2 (舍) 2 a

1 综上有 a ? 1 ,满足 g (a) ? g ( ) .………………12 分 a

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

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CE ? CO 2 ? OE 2 ? 4 .
∵ EF= AE· CE· EB= ( 2 3 +2)( 2 3 -2)=8, ∴EF=2.-----------------------10 分 22.B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为:

x 2 ? y 2 ? 4x ? 0

-------------------------------------4 分

? 2 t ?1 ?x ? ? 2 (Ⅱ )(法一)把 ? ( t 是参数)代入方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , ? y? 2t ? ? 2
得 t ? 2t ? 3 ? 0 ,?t1 ? t 2 ?
2

2, t1t 2 ? ?3 .

? 线段 AB 的长为 | AB |?| t1 ? t 2 |? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 14 . …………10 分
? 2 t ?1 ?x ? ? 2 (法二)由 ? ( t 是参数),得 l 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 , ? y? 2t ? ? 2
由(Ⅰ )知:圆心的坐标为(2,0),圆的半径 R=2,

? 圆心到直线 l 的距离 d ?

| 2 ? 0 ?1| 2

?

2 , 2

? | AB |? 2 R 2 ? d 2 ? 14 .-----------------------------------10 分
22.解:(Ⅰ )令 y ?| 2 x ? 2 | ? | x ? 3 | ,则

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? ? 3x ? 1, x ? ?3, ? y ? ?? x ? 5,?3 ? x ? 1, . . . . . . . . .......3 ? 3x ? 1, x ? 1 ?



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