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2012-2013学年第二学期期末高二数学(文科)试题及答案



试卷类型:A 肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第二学期统一检测试题

高二数学(文科)
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟 注意事项: 1. 答卷前, 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、 班别、 座位号、 考号 填 写在答题卷上密封线内相对应的位置上。 2. 选择题每小题选出答案后,

2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑; 用 如需要改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷或草稿纸上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再在答题区内写上新的答案;不准使用 铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知点 P 的极坐标为 ( 2, A.(1, 3 ) 2. 计算 (1 ? i) ?
2

?
3

) ,则点 P 的直角坐标为
C.( 3 ,1) D.( 3 ,-1)

B.(1,- 3 )

A. 2

B. -2
2

C. 2i

D. -2i

3. 一物体作直线运动,其运动方程为 s(t ) ? ?t ? 2t ,则 t=1 时其速度为 A. 4
2 2

B. -1

C. 1

D. 0

4. 若 ( x ? 1) ? ( x ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x= A. -1 B. 1 C. -1 或 1 D. 0

?x ? 1 ? t 2 , 5. 曲线 ? (t 为参数)与 x 轴交点的直角坐标是 ? y ? 4t ? 3
A.(1,4) 6. 设函数 f ( x) ? e A. 有最大值
2x

B.(1,-3) ,则 f (x) ? 3x ( x ? R ) B. 有最小值

C.(

25 ,0) 16

D.( ?

25 ,0) 16

C. 是增函数

D. 是减函数

高二数学(文科)试题 第 1 页 共 4 页

7. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于 60?”时,应该先 A. 假设三内角都不大于 60? C. 假设三内角至多有一个大于 60? 8. 若函数 f ( x) ? a cos x ? sin x 在 x ? A. ? 3 9. 复数 B. 3 B. 假设三内角都大于 60? D. 假设三内角至多有两个大于 60?

?
4

处取得极值,则 a 的值等于 C. -1 D. 1

1? i 与 1? 3i 在复平面上所对应的向量分别是 OA , OB ,O 为原点,则这两个向量 1? i

的夹角∠AOB= A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

10. 已知数列{ an }的通项公式 a n ?

1 ,记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 )?(1 ? an ) , (n ? 1) 2

通过计算 f (1) , f ( 2) , f (3) , f ( 4) 的值,猜想 f (n) 的值为

A.

2n ? 1 (n ? 1) 2

B.

n?2 n(n ? 1)

C.

n?2 n ?1

D.

n?2 2(n ? 1)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. i 是虚数单位,则

?1? i ? i2

▲ .

12. 若直线 l 经过点 M(1,5) ,且倾斜角为 13. 圆心在 A(1,

?
4

2? ,则直线 l 的参数方程为 ▲ . 3

) ,半径为 1 的圆的极坐标方程是 ▲ .

14. 观察下列等式: 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第五个等式应为 ▲ .

高二数学(文科)试题 第 2 页 共 4 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 某地有两所中学,为了检验两校初中毕业生的语文水平,从甲、乙两校九年级学生中各随 机抽取 20%的学生(即占各自九年级学生总数的 20%)进行语文测验. 甲校 32 人,有 21 人及 格;乙校 24 人,有 15 人及格. (1)试根据以上数据完成下列 2?2 列联表; 及格 甲 乙 合计 (2)判断两所中学初中毕业生的语文水平有无显著差别? 附: 不及格 合计

P( K 2 ? k0 )
k0
2

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

n(ad ? bc) 2 . K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

16. (本小题满分 12 分) 某产品的广告费用支出 x 与销售额 y 之间有如下的对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)求回归直线方程; (2)据此估计广告费用为 10 时销售收入 y 的值.

? ? ? ? 附:线性回归方程 y ? bx ? a 中系数计算公式 b ?

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

?(x ? x)
i ?1 i

n

?

?x y
i ?1 i

n

i

? nx ? y


2

?x
i ?1

n

2 i

? nx

2

? ? a ? y ? bx ,其中 x , y 表示样本均值.

高二数学(文科)试题 第 3 页 共 4 页

17. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x . (1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)求曲线 y ? f (x) 在点 P(-1,f(-1) )处的切线方程.

18. (本小题满分 14 分) 已知复数 z 1 满足: (1 ? 2i) z1 ? 4 ? 3i , z n?1 ? z n ? 2 ? 2i ( n ? N ).
*

(1)求复数 z 1 ; (2)求满足 | z n |? 13 的最大正整数 n.

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2n ? an ( n ? N ).
*

(1)求 a1 , a2 , a3 , a4 的值; (2)猜想 an 的表达式,并加以证明.

20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ?

a ln x a ? ln x , g ( x) ? ,x ? ?0, e? , 其中 e 是无理数且 e=2.71828?, ? R . x x

(1)若 a=1,求 f (x) 的单调区间与极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ?

1 ; 2

(3)是否存在实数 a,使 f (x) 的最小值是-1?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理 由.

高二数学(文科)试题 第 4 页 共 4 页

2012—2013 学年第二学期统一检测题 高二数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 二、填空题 1 A 2 C 3 D 4 B 5 C 6 C 7 B 8 D 9 A 10 D

11. 1-i

1 ? ?x ? 1 ? 2 t, ? 12. ? (t 为参数) (其它正确答案同样给分) ? y ? 5 ? 3 t, ? 2 ?

13. ? ? 2 cos( ? ?

?
4

) (其它正确答案同样给分)

14. 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1) 及格 甲 乙 合计 21 15 36 不及格 11 9 20 合计 32 24 56 (6 分) (2) k ?

n(ad ? bc) 2 56(21? 9 ? 11? 15) 2 ? ? 0.058. (a ? c)(b ? d )(a ? b)(c ? d ) 32 ? 24 ? 36 ? 20

(10 分) (12 分)

因为 k ? 0.058 ? 0.455 ,所以两所中学初中毕业生的语文水平无显著差别. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1) x ?

2?4?5?6?8 ? 5, 5 30 ? 40 ? 60 ? 50 ? 70 y? ? 50 , 5
5 i i

(1 分) (2 分)

?x y
i ?1 5

? 2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 60 ? 6 ? 50 ? 8 ? 70 ? 1380,

(3 分)

?x
i ?1

2 i

? 4 ? 16 ? 25 ? 36 ? 64 ? 145,
高二数学(文科)试题 第 5 页 共 4 页

(4 分)

? b?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? ? nx
2

?x
i ?1

2 i

1380? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 , 145 ? 5 ? 5 2

(6 分)

? ? a ? y ? bx ? 50 ? 6.5 ? 5 ? 17.5 ,
? 所以回归直线方程为 y ? 6.5x ? 17.5 .
(2)x=10 时,预报 y 的值为 y=6.5?10+17.5=82.5. 17. (本小题满分 14 分) 解: (1)函数 f (x) 的定义域为(-?,+?).

(8 分) (9 分) (12 分)

(1 分) (4 分) (5 分) (6 分) (7 分)

1 f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 3( x ? )( x ? 1) . 3 1 当 x ? (?? ,? ) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递增; 3 1 当 x ? (? ,1) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递减; 3
当 x ? (1,??) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递增. 所以函数 f (x) 的单调增区间为 ( ?? ,? ) 与 (1,??) ,单调减区间为 (? ,1) . (2)因为 f (?1) ? (?1) 3 ? (?1) 2 ? 1 ? ?1,

1 3

1 3

(9 分) (10 分) (12 分) (14 分)

f ?(?1) ? 3 ? (?1) 2 ? 2 ? (?1) ? 1 ? 4 ,
所以所求切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 y ? 4 x ? 3 .

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)设 z1 ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z1 ? a ? bi . 因为 (1 ? 2i)(a ? bi) ? 4 ? 3i ,所以 (a ? 2b) ? (2a ? b)i ? 4 ? 3i . (1 分) (3 分)

于是 ?

?a ? 2, ?a ? 2b ? 4, 解得 ? ?b ? 1. ?2a ? b ? 3,

(5 分)

故 z1 ? 2 ? i .
高二数学(文科)试题 第 6 页 共 4 页

(6 分)

(2)由 z n?1 ? z n ? 2 ? 2i ( n ? N )得:
*

z 2 ? z1 ? 2 ? 2i , z3 ? z 2 ? 2 ? 2i ,┅, z n ? z n?1 ? 2 ? 2i ( n ? 2 )
累加得 z n ? z1 ? 2(n ? 1) ? 2(n ? 1)i , z n ? 2n ? (2n ? 1)i ( n ? 2 ).
*

(7 分) (9 分)

因为 z1 ? 2 ? i ? 2 ? 1 ? (2 ? 1 ? 1)i ,所以 z n ? 2n ? (2n ? 1)i ( n ? N ). (10 分) 故 | z n |?

4n 2 ? (2n ? 1) 2 ? 8n 2 ? 4n ? 1
2

(11 分)

令 | z n |? 13 ,即 8n ? 4n ? 1 ? 169,解得 1 ? n ? 因此 n 的最大正整数取值是 4. 19. (本小题满分 14 分)

1 ? 337 ? 5, 4

(13 分) (14 分)

解: (1)因为 S n ? 2n ? an , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , n ? N 所以,当 n ? 1 时,有 a1 ? 2 ? a1 ,解得 a1 ? 1 ? 2 ?

*

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分) (5 分) (9 分) (10 分) (11 分) (12 分)

1 ; 20 3 1 当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? 2 ? 2 ? a2 ,解得 a 2 ? ? 2 ? 1 ; 2 2 7 1 当 n ? 3 时,有 a1 ? a2 ? a3 ? 2 ? 3 ? a3 ,解得 a 3 ? ? 2 ? 2 ; 4 2 15 1 ? 2? 3 . 当 n ? 4 时,有 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2 ? 4 ? a4 ,解得 a 4 ? 8 2 1 * (2)猜想 a n ? 2 ? n ?1 ( n ? N ) 2
* 由 S n ? 2n ? an ( n ? N ) ,得 S n?1 ? 2(n ? 1) ? an?1 ( n ? 2 ) ,

两式相减,得 an ? 2 ? an ? an?1 ,即 a n ? 两边减 2,得 a n ? 2 ?

1 a n ?1 ? 1 ( n ? 2 ). 2

1 (a n ?1 ? 2) , 2 1 所以{ an ? 2 }是以-1 为首项, 为公比的等比数列, 2 1 n ?1 故 a n ? 2 ? ?1 ? ( ) , 2 1 * 即 a n ? 2 ? n ?1 ( n ? N ). 2
高二数学(文科)试题 第 7 页 共 4 页

(13 分) (14 分)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)当 a=1 时, f ( x ) ? 令 f ?( x) ?

x ?1 ? 0 ,得 x=1. x2

1 x ?1 ? ln x , f ?( x) ? 2 , x ? ?0, e? x x

(1 分)

当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递减; 当 x ? (1, e) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递增.

(2 分) (3 分)

所以 f (x) 的单调递减区间为(0,1) ,单调递增区间为(1,e) f (x) 的极小值为 f (1) ? 1 . , (4 分) (2)由(1)知 f (x) 在 ?0, e?上的最小值为 1. 令 h( x ) ? g ( x ) ? (5 分) (6 分) (7 分)

1 ln x 1 1 ? ln x ? ? , x ? ?0, e? ,所以 h ?( x) ? . 2 x 2 x2

当 x ? (0, e) 时, h ?( x) ? 0 , h(x) 在 ?0, e?上单调递增,

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? f ( x) min . e 2 2 2 1 故在(1)的条件下, f ( x) ? g ( x) ? . 2 a (3)假设存在实数 a,使 f ( x ) ? ? ln x ( x ? ?0, e? )有最小值-1. x a 1 x?a 因为 f ?( x) ? ? 2 ? ? , x x x2
所以 h( x) max ? h(e) ?

(8 分)

(9 分)

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 在 ?0, e?上单调递增,此时 f (x) 无最小值; (10 分) ②当 0 ? a ? e 时, x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在(0, 当 a)单调递减;当 x ? (a, e) 时,

f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在(a,e)单调递增;
所以 f ( x) min ? f (a ) ?

(11 分) (12 分)

a 1 ? ln a ? ?1 ,得 a ? 2 ,满足条件; a e

③当 a ? e 时,因为 0 ? x ? e ,所以 f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在 ?0, e?上单调递减.

a ? ln e ? ?1 ,得 a ? ?2e (舍去) ; e 1 综上,存在实数 a ? 2 ,使得 f (x) 在 ?0, e?上的最小值为-1. e f ( x) min ? f (e) ?
高二数学(文科)试题 第 8 页 共 4 页

(13 分) (14 分)



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