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3 三角形的高线中线角平分线



三角形的高.中线与角平分线

兰青中心校

刘力

相关知识回顾
1.垂线的定义:
当两条直线相交所成的四个角中,有 一个角是直角时,就说这两条直线互 相垂直,其中一条直线叫做另一条直 线的垂线。

2.线段中点的定义: 3.角平分线的定义:

把一条线段分成

两条相等的线段的点。

一条射线把一个角分成两个相等的角, 这条射线叫做这个角的平分线。

三角形的高
⑴ 什么是三角形的高?(定义)
如右图,从△ABC的顶点向它所对的边 BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线 段AD叫做△ABC的边BC上的高.
A

从三角形一个顶点向它的对边所 在的直线做垂线,顶点和垂足间 的线段叫做三角形的高线,简称 三角形的高

B

D

C

三角形的高
(2)怎样画三角形的高线?(画法)
A A A

G

F D C B C B F C E D

B

E

三角形的高
①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都 有高线,三角形的三条高线所在直线相交与 一点。 ②锐角三角形的高线交于三角形的内部一点。 直角三角形高线交于直角顶点。钝角三角形 高线交于三角形外部一点。 ③三角形的高是线段,而垂线是直线。

练一练
1、下列各个图形中,哪一个图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D D C B (A) A (B) A (C) D B B B C D (D) A

C

三角形的中线
A 如左图,连接△ABC的顶点和它 所对的边BC的中点D,所得线段 AD叫做△ABC的边BC上的中线。

.
B D

C

定义:在三角形中,连接一个顶点和它的对 边中点的线段叫做三角形的中线。

A

如右图 ∵D是BC的中点 ∴BD=DC 1 而△ABD的面积= BD×AE 2 1 △ADC的面积= DC×AE 2
故△ABD的面积= △ADC的面积

B

E

D

C

也就是说:三角形的任意一条中线把这个 三角形分成了两个面积相等的三角形。

三角形的中线
请同学们自己任意画一个三角形,然后画出它的中线。 想一想可以画几条?他们有什么特点?

①任何三角形有三条中线,并且 都在三角形 的内部,交与一 点。 ②三角形的中线是一条线段。 ③三角形的任意一条中线把这个 三角形分成了两个面积相等的 三角形。


?







如图有一块三角形的菜地,现在要求 分成面积比为2:3:4三块,且图中A 处是三块菜地的共同的水源处。问: 怎样分? A
·

B

··

C

三角形的角平分线
画∠A的平分线AD, 交∠A所对的边BC于点D, 线段AD叫做ΔABC的 角平分线。 B


F●

A
● ●

E




D

C

画一画 想一想

画出ΔABC的另外两条角平分线; 观察三条角平分线,说说你的发现。

对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果?

三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点

角平分线的理解
∵BE是△ABC的角平分线

A

1 ∠ABC ∠ ABE ∠CBE ∴ ____=_____= _____ 2
∵CF是△ABC的角平分线

F

O

E

∠ACF ∠BCF B ∴∠ACB=2______=2______

D

C


? ? ? ? ? ?



1 、在ΔABC中 ,CD 是中线 , 已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长.
分析:ΔDBC的周长是DB+CD+BC ΔADC的周长是AD+CD+AC 而CD是中线 所以DB=AD 而BC-AC=5 所以ΔDBC的周长比ΔADC的周长大5cm 所以ΔADC的周长是20cm

A

D

B

C

现在做中考题
如图,在⊿ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长 BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断 下列说法那些是正确的,哪些是错误的. ①AD是⊿ABE的角平分线 (

×)
F

A 12 G E

②BE是⊿ABD边AD上的中线 ( ×) ③BE是⊿ABC边AC上的中线 ( ×) ④CH是⊿ACD边AD上的高 ( √ )

H B
D

C

三角形的高、中线与角平分线都是线段

拓展练习
1、下列各组图形中,哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C A D C B (A)

D
A (B)

B

C

B A (C) D

B C D (D) A

2、 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个 顶点,那么这个三角形是( B ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形






概念


图形 表示法 ∵ AD 是△ ABC 的 BC 上的
C

三角形的 重要线段

三角形 的高线

从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之 间的线段 三角形中,连结一 个顶点和它对边 中点的 线段 三角形一个内角 的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间 的线段

A

B

D

高线. ∴AD⊥BC ∠ADB=∠ADC=90°.
∵ AD 是△ ABC 的 BC 上的

A

三角形 的中线

B

D

C

中线. ∴ BD=CD= ?BC.
∵.AD是△ABC的∠BAC的

A
2 1

三角形的 角平分线

B

D

C

平分线 ∴ ∠1=∠2= ? ∠BAC

作业 1、书P9.第8,9,10题 2、课时练

3、预习:三角形的内角和



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