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2012年神木中学第二次全真考试题



2012 年神木中学第二次全真考试题

数学(文科)
本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试用时 120 分钟。考试结束后,将本试 卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和 科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔

把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上. 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能 使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、演算步骤或推证过程.

第Ⅰ卷

选择题

一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? {x | 2 x ? 2 ? 0} ,则 M ? N 等于( A. (?1, 1) 2.在复平面内,复数 A.第一象限 B. (1, )

3)

C. (0, 1) ) C.第三象限 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) C.关于原点对称

D. (?1,

0)

2?i 对应的点位于( 1? i
B. 第二象限

D.第四象限

3.“cosx=1”是“sinx=0”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 4.函数 y ? 1 ? sin(? ? x) 的图象( A.关于 x ?

?
2

对称

B.关于 y 轴对称

D.关于对称 )

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,下列命题正确的是( A. 若m // n, m // ? , 则n // ? C. 若m // ? , n // ? , 则m // n B. 若? ? ? , ? ? ? , 则? // ? D. 若m ? ? , n // ? , 则m ? n

6.某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( A. 8 ?



4 3 3 2 3 3

B. 8 ?

4 2 3

C. 8 ?

D.

32 3

7. 若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的 B 等于 ( ) A. 63 开 始 A=1,B=1 A=A+1 A≤5? 否 输出 B 是 B=2B+1 B. 31 C. 15 D. 7

结 束 缚 8.已知 AB ? ?? 4,2?, C?2, a?, D?b,4? 是平面上的两个点,O 为坐标原点,若 OC // AB ,且

OD ? AB, 则 CD ?
A. ?? 1,2? B. ?2,?1? C. ?2,4? D. ?0,5?

9.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 离心率为 A.

x2 y2 ? ? 1?a >b> 0? 的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的 a 2 b2

2 5 5 5 5

B.

1 2 2 3

C.

D.

10.如图10所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形” , 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端

1 ? n≥2? ,每个数是它下一行左右相邻两数 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的和,如 ? ? , ? ? , ? ? ,?, 1 2 2 2 3 6 3 4 12
的数均为 则第7行第4个数(从左往右数)为

1 140 1 C. 60
A.

1 105 1 D. 42
B.

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 20 1 12 1 30
图 10

1 2 1 6 1 12 1 3 1 4 1 20

1 5

???????????????

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分. 11.设向量 a ? (cos? , 1), b ? (1,

? ? 3cos? ) ,且 a // b ,则 cos 2? =



12.等差数列 ?an ?前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1 ? 1, a4 ? ak ? 0 ,则 k =________.

? x ? y ? 4, ? 13. 已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ? y ? x, 点为坐标原点,那么 PO 的最小值 ? y ? 1. ?
等于______,最大值等于_____. 14.在区间 ?0,9? 上随机取一实数,则该实数满足不等式 1 ? log2 x ? 2 的概率为 15. .

(几何证明选做题)如图所示,在四边形 ABCD 中, EF ∥ BC , FG ∥ AD ,



EF FG ? 的值为________。 BC AD

15、 (坐标系与参数方程选做题)直线 ?

? x ? ?2 ? 4t , (t为参数) 被圆 ? y ? ?1 ? 3t ,

? x ? 2 ? 5cos ? , (? 为参数) 所截得的弦长为______________。 ? ? y ? 1 ? 5sin? ,

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知Δ ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m ? (a, b) ,

n?( s i B n

, , s A ip n ? () b ? 2, a ? 2) .

(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 17. (本小题满分 12 分)

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

E 是棱 DD1 的中点. 如图所示,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
(1)证明:平面 ADC1B1 ? 平面 A 1BE ; (2)在棱 C1 D1 上是否存在一点 F , 使 B1 F //平面 A1 BE ?证明你的结论. B B1 A1 C1 A C D1

E D

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ?

1 ? ,点 ? n , 2an ?1 ? an ? ? n ? N ? 在直线 y ? x 上. 2

(1)计算 a 2 , a3 , a 4 的值; (2)令 bn ? an?1 ? an ? 1 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (3)求数列 ?an ? 的通项公式.

19. (本小题满分 12 分) 我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表: (1)求出表中、 、 M 、 N 的值,并根据表中所给数据在下面给出的 坐标系中画出频率分布直方图;
0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 30 60 90 120 150 分数
频率/组距

分组

频数

频率

(0,30]
(30,60]

0.03
0.03

(60,90]
(90,120]
(120,150]
合计

37

0.37

15
M

0.15 N

(2)若我区参加本次考试的学生有 600 人,试估计这次测试中我区成绩 在 90 分以上的人数; (3)若该校教师拟从分数不超过 60 的学生中选取 2 人进行个案分析,求 被选中 2 人分数不超过 30 分的概率.

20.(本题满分 13 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 线 x2=8 3 y 的焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P(2,3) ,Q(2,-3)在椭圆上,A、B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点, ①若直线 AB 的斜率为

1 ,它的一个顶点恰好是抛物 2

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

②当 A、B 运动时,满足 ?APQ ? ?BPQ ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由。

21. (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a ln x . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 g ( x ) ?

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

高三数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

D

A

D

B

A

A

C

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. 题号 答案 11 12 13 14 15

?

1 3

10

2 , 10

2 9

注:两空的题第 1 个空 3 分,第 2 个空 2 分. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解证: (1) Q m // n,? a sin A ? b sin B,

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R ? ?ABC 为等腰三角形 u v u v (2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0
即a?

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab
2 2 2

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3
A1 F B1 C1 A B C E D D1

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明: 因为多面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体, 所以 B1C1 ? 面ABB1 A 1;

因为 A 1 B ? 面ABB1 A 1 ,所以 B 1C1 ? A 1B .

????2 分

又因为 A1B ? AB1 , B1C1 ? AB1 ? B1 ,所以 A 1B ? 面ADC1B 1 .????4 分 因为 A 1B ? 面A 1BE ,所以平面 ADC1 B 1

? 平面 A1BE .

????6 分 ????7 分

(Ⅱ)当点 F 为 C1 D1 中点时,可使 B1 F //平面 A1 BE . 以下证明之: 易知: EF //

1 1 C1 D ,且 EF = C1 D , 2 2 1 1 C1 D 且 B1O = C1 D , 2 2

????8 分

设 AB1 ? A 1B ? O ,则 B 1O //

所以 EF // B1O 且 EF =B1O , 所以四边形 B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F // OE . 又因为 B1F ? 面A 1 BE . 1BE , OE ? 面A 所以 B1 F //面 A1 BE ????12 分 ????10 分

18. (本小题满分 12 分) (1)由题意, 2a n ?1 ? a n ? n, a1 ? 同理 a 3 ?

1 , 2a 2 ? a1 ? 1, 2

3 a 2 ? . ??? 2 分 4

11 35 , a4 ? , 8 16

??? 3 分

(2)因为 2an?1 ? an ? n, 所 以 bn ?1 ? a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 ?

a n ?1 ? n ? 1 n ? a n ?1 ? 1 ? a n ?1 ? 1 ? , 2 2

? ? ? ? 4 分

bn ? an?1 ? an ? 1 ? an?1 ? (2an?1 ? n) ? 1 ? n ? an?1 ? 1 ? 2bn?1 ,
又 b1 ? a 2 ? a1 ? 1 ? ?

bn?1 1 ? ? 6分 bn 2

3 3 1 ,所以数列 ?bn ? 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列. 7 分 4 2 4

(3) 由(Ⅱ)知 bn ? ?

3 ?1? ?? ? 4 ?2?
n ?1

n ?1

??????????????? 8 分



3 ?1? an?1 ? an ?1 = ? ? ? ? 4 ? 2?



3 ?1? an?1 ? an = ? ? ? ? 4 ? 2?

n ?1

+1

????? 9 分



an ? a1 ? ? a2 ? a1 ? ? ? a3 ? a2 ? ?


? ? an ? an?1 ?
?1? ?? ? ?2?
n?2

??????????? 10 分

0 1 2 1 3 ?? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? - ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 4? ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

? ? + n -1 ? ?

=n?2?

3 2n

??????????????? 12 分

19. (本小题满分 12 分) 解: (1)由频率分布表得 M ?

3 ? 100 , 0.03

????1 分 ????2 分

所以 m ? 100 ? (3 ? 3 ? 37 ?15) ? 42 ,

n?

42 ? 0.42 , N ? 0.03 ? 0.03 ? 0.37 ? 0.42 ? 0.15 ? 1 . ????3 分 100
频率/组 0.016 距 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 30 60 90 120 150 分数 ????5 分

(2)由题意知,全区 90 分以上学生估计为

42 ? 15 ? 600 ? 342 人.???7 分 100

(3)设考试成绩在 ? 0,30? 内的 3 人分别为 A、B、C;

考试成绩在 ? 30,60? 内的 3 人分别为 a、b、c, 从不超过 60 分的 6 人中,任意抽取 2 人的结果有: (A,B),(A,C),(A ,a),(A,b),(A,c), (B,C),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a), (C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(b,c)共有 15 个. ????9 分 设抽取的 2 人的分数均不大于 30 分为事件 D. 则事件 D 含有 3 个结果: (A,B),(A,C) ,(B,C) ∴ P( D) ? ????10 分 ????12 分

3 1 ? . 15 5

21. (本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ? 2 x ?

2a 2 x 2 ? 2a ? x x

????1 分

由已知 f '(2) ? 1,解得 a ? ?3 . (II)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .

????3 分

(1)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 的单调递增区间为 (0, ??) ;??5 分 (2)当 a ? 0 时 f '( x) ?

2( x ? ?a )( x ? ?a ) . x

当变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下:

(0, ?a )
f '( x)
-

?a

( ?a , ??)
+

f ( x)

极小值

由上表可知,函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, ?a ) ; 单调递增区间是 ( ?a , ??) . (II)由 g ( x) ? ????8 分

2 2 2a ? x 2 ? 2a ln x 得 g '( x) ? ? 2 ? 2 x ? ,????9 分 x x x

由已知函数 g ( x) 为 [1, 2] 上的单调减函数, 则 g '( x) ? 0 在 [1, 2] 上恒成立,

2 2a ? 2x ? ? 0 在 [1, 2] 上恒成立. 2 x x 1 2 即 a ? ? x 在 [1, 2] 上恒成立. ????11 分 x 1 1 1 2 令 h( x) ? ? x ,在 [1, 2] 上 h '( x) ? ? 2 ? 2 x ? ?( 2 ? 2 x) ? 0 , x x x 7 所以 h( x) 在 [1, 2] 为减函数. h( x) min ? h(2) ? ? , 2 7 所以 a ? ? . ????14 分 2
即?



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