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19导数及其应用综合应用


19 导数及其应用综合应用 一、基础训练 1.函数 f ( x) ? x ? cos 2 x ,则 f ' ? 2.函数 f ( x) ? 1 ?

?? ? ?? ?4?



x ? sin x, x ? ? 0, 2? ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是 2
3 2

. . .

3.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在 ? 0, 2 ? 内单调 ,则实数 a 的取值范围是 4.若不等式 x ? 4 x ? 2 ? a ? 0 对一切 x ? R 都成立,则 a 的取值范围是
4 3

5 .已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f (1? x )成立,且当

?1? .设 a ? f (0) , b ? f ? ? , x ? (??,1) 时, ( x ? 1) f '(x ) ? 0(其中 f '( x ) 为 f ( x) 的导函数) ?2?

c ? f (3) ,则 a, b, c 的大小关系是
2



6. (2011 湖南卷)设直线 x ? t 与函数 f ( x) ? x , g ( x) ? ln x 的图像分别交于点 M , N ,则 当 MN 达到最小时 t 的值为 7.曲线 C1 : y ? ln( x ? a) 与 C2 : y ? ? 的值为 .
3 2



1 1 ? ( a ? 0 )的一条公切线过点 (?a,0) ,则实数 a x?a a

8.对于函数 f ( x) ? x ? ax ? x ? 1 的极值情况,4 位同学有下列说法:甲:该函数必有 2 个极 值;乙:该函数的极大值必大于 1;丙:该函数的极小值必小于 1;丁:方程 f ( x) ? 0 一定有 3 个不等的实数根.这四种说法中,正确的个数是 二、例题精讲 例 1.已知函数 f ( x) ? .

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ,其中 a ? 1 ,试讨论函数 f ( x) 的单调性. 2

例 2.如图,扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图,其中 ?AOB 的圆心角为 ? ,半径 OA 为 1km.为了便于游客观光休闲,拟在观光区铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路,道路由弧 AC ,线段 CD 及线段 BD 组成,其中 D 在线段 OB 上,且 CD // AO .设 ?AOC ? ? . (1)用 ? 表示 CD 的长度,并写出 ? 的取值范围; (2) ? 为何值时,观光道路最长?

2 3

例 3. (2011 辽宁卷)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a) x .
2

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)设 a ? 0 ,证明:当 0 ? x ?

1 ?1 ? ?1 ? 时, f ? ? x ? ? f ? ? x ? ; a ?a ? ?a ?

( 3 )若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A, B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0 ,证明:

f '( x0 ) ? 0 .

例 4.已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a ( a ? 0 且 a ? 1 ) .
x 2

(1)当 a ? 1 时,求证:函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; (2)若函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的取值范围; (3)若存在 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,使得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 ,试求实数 a 的取值范围.

参考例题 1.制作一个容积为 V 的无盖圆柱形桶,底面用铝板,侧壁用木板,已知每平方米铝板的价格是 木板的 5 倍,问如何确定尺寸,才能使材料费用最省?

2.已知函数 f ( x) ? e ? kx , x ? R .
x

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f

? x ? ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围.

3.设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? a ln x ? 1 .当 x ? ?1, ?? ? 时,求函数 f ( x) 的最小值.
2

三、巩固练习

1 2 . x ? ln x 在 ?1, e ? 上的最大值为 2 k 2.已知曲线 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x 2 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 相互垂直, 2 则实数 k ? . xf '( x) ? f ( x) 3.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数且 f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时, ? 0 ,则不等 x2
1.函数 f ( x) ? 式 x f ( x) 的解集是
2



4.将边长为 1m 的正三角形薄片,沿一条平行与底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记

S?

(梯形的周长) 2 ,则 S 的最小值是 梯形的面积



四、要点回顾 1.导数的综合应用有两个方面:其一是运用导数研究函数的性质,如单调性、极大值与极小值、 最大值与最小值,进而研究函数的零点、方程的根、不等式的证明、恒成立问题等;其二是导数 在实际生活中德应用,二目标函数的建立是运用导数解决最值问题的关键,注意选择恰当的自变 量,同时要注意实际背景所限定的变量取值范围. 2.要重视分类讨论、数形结合、函数与方程等基本思想的运用,尤其对含参数问题的讨论要全 面清晰.

三角函数综合作业 1.已知 f '( x) ? g ( x) , F ( x ) ? ? f ( x ) ? ,则 F '( x) ?
2



2.函数 f ( x) ?

sin 2 x ? 1 ,则 f '(0) ? ex
3

. . . 个零点.

3.函数 y ? 1 ? 3x ? x 的极大值为 M ,极小值为 N ,则 M ? N ? 4.曲线 y ? x ? ln x 上任一点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值为
2

5.若 a ? 2 ,则函数 f ( x) ?

6.将 10 ?16 的矩形的四个角各截去一个大小相同的小正方形,再将四边折起制成一个无盖的长 方体盒,则该盒的最大体积是 . 7.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? bx ? c 图像上的点 P(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 .
3 2

1 3 x ? ax 2 ? 1 在区间 (0, 2) 上恰好有 3

(1)若函数 f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x) 的表达式;

(2)若函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 0? 上单调递增,求实数 b 的取值范围.

8.设函数 f ( x) ? e ? 1 ? x ? ax .
x 2

(1)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

9. (2011 山东卷)某 企 业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器的中间 为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

80? 立方米,且 l ? 2r .假设该容 3

器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半球形部分每平方 米建造费用为 c(c ? 3) .设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r .

10.设函数 f ( x) ? x ? 3x .
3

(1)若对于区间 ? ?2, 2? 上任意两个自变量的值 x1 , x2 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? c ,求实数 c 的最小 值; (2)若过点 M (2, m) ( m ? 2 )可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.


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