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高中数学人教A版必修1课件:2.3 幂函数



2.3 幂函数

-1-

1.了解幂函数的概念 ,会求幂函数的解析式 . 2.结合幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y =
2 3

1 ,y =

1 2 的图象,掌握它们的性

质. 3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 .

幂函数 (1)定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
名师点拨幂函数与指数函数的区别与联系 函数 表达式 相同点 不同点

y=ax(a>0, 指数函数 且 a≠1) 幂函数 y=x (α∈R)
α

右边都是 指数是自变量 ,底数是常数 幂的形式 底数是自变量 ,指数是常数

【做一做 1】 下列函数:①y=x ;②y=
3

1 ; ③y=4x2; ④y=x5+1; 2

⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a>1).其中幂函数的个数为(

)

A.1 B.2 C.3 D.4 解析:②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤ 中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B. 答案:B

(2)对于幂函数,我们只讨论 α=1,2,3, ,-1 时的情形. (3)图象:在同一坐标系中,幂函数 y=x,y=x ,y=x ,y = 图象如图.
2 3 1 2 ,y=x-1 的

1 2

归纳总结幂函数在第一象限内的指数变化规律:在第一象限内直 线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小,即指数大的在上 边.

(4)五种常见幂函数的性质,列表如下:
定义域 y=x R 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 在 R 上是增函数 在(-∞,0)上是减函数; 在[0,+∞)上是增函数 在 R 上是增函数 在(-∞,0)和(0,+∞) 上均是减函数 (1,1) 公共点

y=x2 R y=x3 R y= [0,+∞) y=x
-1
1 2

非奇非偶 在[0,+∞)上是增函数

(-∞,0)∪ (-∞,0)∪ 奇 (0,+∞) (0,+∞)

知识拓展幂函数有如下性质: (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有意义,图象都通过点(1,1),并且幂 函数的图象都不过第四象限. (2)当α>0时,幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1),并且在[0,+∞)上都 是增函数.当α<0时,幂函数的图象都通过点(1,1),在(0,+∞)上都是减 函数,在第一象限内,函数图象向上与y轴无限接近,向右与x轴无限 接近.

【做一做2】 下列结论中正确的是( ) A.幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1) B.幂函数的图象可以出现在第四象限 1 C.当幂指数 α 取 1,3, 时, 幂函数y=xα 在定义域上是增函数 2 D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数 解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A 不正确; 因为所有的幂函数在区间(0,+∞)内都有定义,且y=xα(α∈R),y>0, 所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确; 当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)内是减函数,但在它的定义 域上不是减函数,故选项D不正确.故选C. 答案:C

1.利用图象归纳幂函数的性质 剖析 :(1)函数图象上所有点的横坐标的取值范围是函数的定义 域 .例如幂函数 y=
1 2 的图象,观察到图象上点的横坐标的取值范围

是 [0,+∞),则其定义域就是[0,+∞). (2)函数图象上所有点的纵坐标的取值范围是函数的值域.例如 幂函数 y=
1 2 的图象,观察到图象上点的纵坐标的取值范围是[0,+∞),

则其值域就是[0,+∞).

(3)图象关于 y 轴对称的函数是偶函数 ,图象关于原点对称的函 数是奇函数 ,图象关于原点和 y 轴均不对称的函数是非奇非偶函数. 例如幂函数 y= 则 y=
1 2 的图象,观察到其图象关于原点和

y 轴均不对称 ,

1 2 为非奇非偶函数.

(4)图象在区间 D 上是上升的函数在 D 上是增函数 ,图象在区间 D 上是下降的函数在 D 上是减函数 .例如幂函数 y= 到其图象在 [0,+∞)内是上升的 ,则 y=
1 2 的图象,观察 1 2 在[0,+∞)内是增函数 .

2.求幂函数的定义域 剖析 :在幂函数 y=xα 中 ,α 的取值不一样 ,幂函数的定义域也不一 样. (1)当 α 是正整数时 ,幂函数的定义域为 R;当 α 是负整数时 ,幂函 数的定义域为 {x|x≠0,且 x∈R};当 α 为 0 时 ,幂函数的定义域为 {x|x≠0, 且 x∈R}. (2)当 α 是一个正分数时 ,设 y=
q

(p,q

是互质的正整数 ,q>1),其

定义域是使 x p 有意义的实数x 的集合 . (3)当 α 是一个负分数时 ,设 y= x 其定义域是使
1 xp
p q (p,q

是互质的正整数 ,q>1),则

有意义的实数x 的集合 .

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

幂函数的概念问题

【例1】 已知函数f(x)=(m2-m+1)xm是幂函数,则实数m的值等 于 . 解析:由于函数f(x)是幂函数,则m2-m+1=1,解得m=0或1. 答案:0或1 反思幂函数y=xα(α∈R),其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为 自变量,指数α为常数(也可以为0).这是判断一个函数是否为幂函数 的重要依据和唯一标准.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 1】 已知函数 y=(m2+2m-2)xm+2+ 2n-3 是幂函数,求 m,n 的值. 解 :∵函数 y=(m2+2m-2)xm+2+ 2n-3 是幂函数 , 2 + 2-2 = 1, ∴由幂函数的定义,得 2-3 = 0, 解得 m=-3 或 1,n= .
3 2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

求幂函数的解析式

【例2】 已知幂函数f(x)的图象过点(3,2),则f(x)=

.

解析:设 f(x)=xα(α∈R),则 3α=2, ∴α=log32.∴f(x ) = lo g 3 2 . 答案: lo g 3 2
反思已知幂函数f(x)的图象过点(a,b),求f(x)的解析式时,常用待定 系数法,设f(x)=xα(α∈R),则aα=b,转化为解关于α的方程.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 已知幂函数 f(x)=x 的图象过点 2, 则f(4)= .
α 1 2 , ∴f(4)

α

2 2

,

解析 :由已知得 2 =

2 1 , ∴α=? , 2 2
1 2 -

∴f(x) =
1 答案: 2

-

=4 = 21 =

1 . 2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三
1 2 1 2

比较幂的大小

【例 3】 比较下列各组数中两个数的大小: (1) (2) (3)
2 5



1 3

;

2 -1 与 3 1 2
3 4

3 -1 ; 5
1 2



3 4

.
1 2 的单调性比较;(2)利用

分析 :(1)利用 y= 大小 ;(3)利用中间量

y=x-1 的单调性比较

1 2

1 2

比较大小.

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :(1)∵幂函数 y=

1 2 2 在[0,+∞)内是增函数 ,又

5

> ,∴

1 3

2 5

1 2

>

1 3

1 2

.

(2)∵幂函数 y=x-1 在(-∞,0)内是减函数,

2 3 2 又 ? < ? ,∴ 3 5 3
(3)∵函数 y1 =

-1

3 1 1 又 > ,∴ 4 2 2
又函数 y2 =
1 2 1 2

1 在 R 上为减函数 , 2 1 3 2 1 4

3 > 5

-1

.

>

2
1 2

.

1 3 2 在[0,+∞)内是增函数 ,且

3 ∴ 4

1 > 2

3 .∴ 4

1 > . 2

3 4

4

> ,

1 2

题型一

题型二

题型三

题型四

反思通常利用函数的单调性来比较幂的大小,如本题(1)和(2);不 能直接借助函数的单调性的,可插入中间量进行比较,如本题(3).

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 3】 比较下列各组数的大小: (1)3
5 2和

3. 1

-

5 2;

(2) ? (3) -

7 8 8和

?

2 -3 3

2

1 9 6

7 8

; ;

和 -

π -3

2

2 2 3 (4)4. 15 , 3. 8 3 和(-1.9) 5 .

题型一

题型二

题型三

题型四
5 2 在(0,+∞)内为减函数 ,又 7 8

解 :(1)因为函数 y= (2)因为 ?
1 8
7 8 7 88 7 8

-

3<3.1,所以 3 > 3. 1
1 8

-

5 2

-

5 2.

=?

1 8

, 函数y= <?
2

7 8 在(0,+∞)内为增函数 ,又 7 8 2

>

1 ,则 9

>
3

(3) -

2 -3

2

1 9

, 从而 ?
2 -3 3
2

7 88

1 9 6

. .
2 3

=

, 2 3

π -3 6

=

π -3

因为函数 y=

2 3 在(0,+∞)内为减函数 , -

2 π 2 又 > , 所以 3 6 3
(4)因为
2 4. 15

π < 6

2 3

2 ,即 3
2 3

-

π < 6

-

2 3

.

>

2 15

= 1,0<3. 8 < 1 = 1, (-1.9) < 0,
2 3 2 4. 15 .

-

2 3

-

3 5

所以 (-1.9) < 3. 8 <

-

3 5

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易混易错题

易错点

指数函数和幂函数的概念
1 3 , 求实数a 2

【例 4】 已知 a2 >
x

的取值范围.
1 3

错解 :设 f(x)=a ,则 f(2)=a ,

=

1 3 . 由于

2 > ,f(2)>

1 3

1 3

,

则f(x)在 R 上是增函数 ,则 a>1,即实数 a 的取值范围是(1,+∞). 错因分析 :错解中构造指数函数 f(x)=ax,就缩小了 a 的取值范围 , 因此不能构造指数函数来解决,应借助幂函数的图象来解决.

题型一

题型二

题型三

题型四

正解 :设 y=x ,y=
2

1 3 , 在同一平面直角坐标系中,作出函数

y=x2

和 y=

1 3 的图象,如图所示 . 1 3 的值时,函数

当 x 取满足 x2 >

y=x 的图象在函数 y=
2

1 3

图象的上方.由图象可得 ,满足 x2 >

1 3 的x

的取值范围是 x<0 或 x>1,

即实数 a 的取值范围是 a<0 或 a>1,也就是 (-∞,0)∪(1,+∞).

题型一

题型二

题型三

题型四

反思已知xm与xn的大小,求x的取值范围时,不能用指数函数来解 决,应借助幂函数y=xm与y=xn的图象,利用数形结合的方法来解决.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 4】 为 . 解析 :因为 y=

1 若(3-2)2

>

1 (m+1)2 , 则实数 m

的取值范围

1 2 在定义域[0,+∞)上是增函数 ,

3-2 ≥ 0, 2 所以 + 1 ≥ 0, 解得-1≤m < . 3 3-2 > + 1, 故实数 m 的取值范围为 答案:
2 -1, 3 2 -1, 3

.



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