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2013高中数学高考题详细分类考点50 离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量的均值与方差


考点 50 离散型随机变量及其分布列、离散型随 机变量的均值与方差
一、选择题 1. (2013·广东高考理科·T4)已知离散型随机变量 X 的分布列为

X p

1
3 5

2
3 10

3
1 10

则 X 的数学期望 E(x)=( ) A.
3 错误!未找到引用源。 2

B. 2

C.

5 D 2

3

【解题指南】本题考查离散型随机变量的期望公式,可以直接代入计算 . 【解析】选 A. E ( x ) ? 1? ? 2?
3 5 3 1 15 3 ? 3? ? ? . 10 10 10 2

2. ( 2013 ·湖北高考理科·T 9)如图,将一个各面都凃了油漆的正方体, 切割为 125 个同样大小的小正方体, 经过搅拌后, 从中随机取一个小正方体, 记它的油漆面数为 X,则 X 的均 E(X)= ( )

A.

126 125

B.

6 5

C.

168 125

D

7 5

【解题指南】先求分布列,再求 E(X) 。 【解析】选 B. p ? 3? ? 二、填空题 3.( 2013 ·上海高考理科· T10 )设非零常数 d 是等差数列 x1, x2 , x3 , , x19 的公 差,随机变量 ? 等可能地取值 x1, x2 , x3 , , x19 ,则方差 D? ? _______
8 ; 125 p ? 2? ? 36 54 24 72 54 6 ; p ?1? ? ; E(X)= ? ? ? . 125 125 125 12 125 5

【解析】 E? ? x10 , D? ? d (92 ? 82 ?
19

2

? 12 ? 02 ? 12 ?

? 92 ) ? 30d 2 .

【答案】 30d 2 . 4.( 2013 ·上海高考文科·T6 )某学校高一年级男生人数占该年级学生人数 的 40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别是 75、 80,则这次考试该年 级学生平均分数为 【解析】 平均成绩 ? 【答案】 78. 三、解答题 5. ( 2013 ·四川高考理科·T 18 ) 某算法的程序框图如图所示 ,其中输入 的变量 x 在 1,2,3,? ,24 这 24 个整数中等可能随机产生. .
40 60 ? 75 ? ? 80 ? 78 100 100

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确 编 程运行时输出 y 的值为 i 的概率

Pi(i=1,2,3) ;
(Ⅱ )甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解 , 各自编写程序重复运行

n 次后 ,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3) 的频数.以下是甲、乙所作频
数统计表的部分数据. 甲的频数统计表 ( 部分 )

运行

输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值

次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 ? 2 100 14 ? 1 027 6 ? 376 10 ? 697

乙的频数统计表 ( 部分 ) 运行 次数 n 30 ? 2 100 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 12 ? 1 051 11 ? 696 7 ? 353

当 n=2100 时 ,根据表中的数据 ,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3) 的频率 (用分数表示 ), 并判断两位同学中哪一位所编写程序符合 算法要求的可能性较大 . (Ⅲ )将按程序框图正确编写的程序运行 3 次 ,求输出 y 的值为 2 的次数 ξ 的 分布列及数学期望 . 【解题指南】 求解本题的关键是理解题意 ,并且弄清框图的功能 ,找到随机变 量可能的取值 ,列出分布列再求数学期望 . 【解析】 (Ⅰ )变量 x 是在 1,2,3,? ,24 这 24 个整数中随机产生的一个数 , 共有 24 种可能 . 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时 ,输出的

y=1,故 P1= ;

1 2

1 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时 , 输出的 y=2,故 P 2= ; 3 1 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时 ,输出的 y=3, 故 P3= . 6 1 1 所以输出 y 的值为 1 的概率是 ,输出 y 的值为 2 的概率是 ,输出 y 的值为 3 2 3 1 的概率是 . 6 (Ⅱ ) 当 n=2100 时 ,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i( i=1,2,3) 的频率如 下: 输出 y 的值为 1 的频率 输出 y 的值为 2 的频率 输出 y 的值为 1 的频率 甲 乙 1027 2100 1051 2100 376 2100 696 2100 697 2100 353 2100

比较频率趋势与概率 ,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 . (Ⅲ )随机变量 ?的所有可能取值为 0,1,2,3.

P(?=0)=C30( )0( )3=
1 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3

1 3

2 3

8 , 27 4 9 2 9

P(?=1)=C31( )1( )2= , P(?=2)=C32( )2( )1= , P(?=3)=C33( )3( )0=
故 ?的分布列为 1 . 27

?

0

1

2

3

P
所以 ,E?=0?

8 27

4 9

2 9

1 27

8 4 2 1 +1 ? +2? +3? =1,即 ?的数学期望为 1. 27 9 9 27

6. ( 2013 ·四川高考文科·T 18 ) 某算法的程序框图如图所示,其中输入 的变量 x 在 1, 2,3, ???, 24 这 24 个整数中等可能随机产生。

(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi (i ? 1, 2, 3); (Ⅱ )甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解 ,各自编写程序重复运行 n 次 后 ,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3) 的频数.以下是甲、乙所作频数统 计表的部分数据. 甲的频数统计表 ( 部分 ) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值

次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 ? 2 100 14 ? 1 027 6 ? 376 10 ? 697

乙的频数统计表 ( 部分 ) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值

次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数

30 ? 2 100

12 ? 1 051

11 ? 696

7 ? 353

当 n ? 2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合 i(i ? 1, 2, 3) 算法要求的可能性较大。 【解题指南】求解本题的关键是证明理解题意,并且弄清框图的功能,在第 (Ⅱ )问中应比较频率的趋势与概率进行判断 . 【解析】 (Ⅰ )变量 x 是在 1,2,3,? ,24 这 24 个整数中随机产生的一个数 , 共有 24 种可能 . 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时 ,输出 y 的值 1 为 1,故 P1= ; 2 1 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时 , 输出 y 的值为 2, 故 P 2= ; 3 1 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时 ,输出 y 的值为 3,故 P3= . 6 1 1 所以输出 y 的值为 1 的概率是 ,输出 y 的值为 2 的概率是 ,输出 y 的值为 3 2 3 1 的概率是 . 6 (Ⅱ ) 当 n=2100 时 ,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i( i=1,2,3) 的频率如 下: 输出 y 的值为 1 的频率 甲 1027 2100 输出 y 的值为 2 的频率 376 2100 输出 y 的值为 1 的频率 697 2100



1051 2100

696 2100

353 2100

比较频率趋势与概率 ,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大 . 7.(2013 ·天津高考理科·T16) 一个盒子里装有 7 张卡片 ,其中有红色卡片 4 张 ,编号分别为 1,2,3,4; 白色卡片 3 张 ,编号分别为 2,3,4. 从盒子中任取 4 张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同 ). (1)求取出的 4 张卡片中 ,含有编号为 3 的卡片的概率 . (2)在取出的 4 张卡片中 ,红色卡片编号的最大值设为 X,求随机变量 X 的分 布列和数学期望 . 【解题指南】 (1) 根据组合数原理求出符合条件的取法及总取法 ,再求概率 . (2)根据随机变量 X 所有可能取值列出分布列 ,求数学期望 . 【解析】 (1)设“取出的 4 张卡片中 , 含有编号为 3 的卡片”为事件 A,则
1 3 2 2 C2 C5 ? C2 C5 6 P( A) ? ? . 4 C7 7

所以,取出的 4 张卡片中 , 含有编号为 3 的卡片的概率为 . (2)设随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.
P( X ? 1) ?
3 3 3 3 C3 C5 C6 C4 1 4 2 4 ? , P ( X ? 2) ? ? , P ( X ? 3) ? ? , P ( X ? 4) ? ? , 4 4 4 4 C7 35 C7 35 C7 7 C7 7

6 7

所以随机变量 X 的分布列是 X P 1
1 35

2
4 35

3
2 7

4
4 7

随机变量 X 的分布列和数学期望 1?

1 4 2 4 17 ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? . 35 35 7 7 5

8.(2013 ·浙江高考理科· T19) 设袋子中装有 a 个红球 ,b 个黄球 ,c 个蓝球 , 且规定 :取出一个红球得 1 分 ,取出一个黄球得 2 分 ,取出一个蓝球得 3 分 .

(1)当 a=3,b=2,c=1 时 ,从该袋子中任取 ( 有放回 , 且每球取到的机会均等 )2 个球 ,记随机变量 ξ 为取出此 2 球所得分数之和 ,求 ξ 的分布列 . (2) 从该袋子中任取 ( 每球取到的机会均等 )1 个球 , 记随机变量 η 为取出此 球所得分数 .若 E( η )=错误! 未找到引用源。 ,D( η )=错误! 未找到引用源。 , 求 a∶ b∶ c. 【解题指南】 (1) 在分析取到两球的颜色时 ,要注意是有放回地抽取 , 即同一 个 球 可 能 两 次 都 能 抽 到 ;(2) 根 据 计 算 数 学 期 望 与 方 差 的 公 式 计 算 , 寻 找 a,b,c 之间的关系 . 【解析】 (1)由题意得 ,ξ =2,3,4,5,6, 故
3? 3 1 ? , 6? 6 4 2 ? 3? 2 1 P ?? ? 3? ? ? , 6? 6 3 2 ? 3 ?1 ? 2 ? 2 5 P ?? ? 4 ? ? ? , 6?6 18 2 ? 2 ?1 1 P ?? ? 5 ? ? ? , 6?6 9 1? 1 1 P ?? ? 6 ? ? ? 6 ? 6 36 P ?? ? 2 ? ?

所以 ? 的分布列为
?
P

2
1 4

3
1 3

4
5 18

5
1 9

6
1 36

(Ⅱ)由题意知 ? 的分布列为
?
P

1
a a?b?c

2

3

所以
2

b c a?b?c a?b?c a 2b 3c 5 E ?? ? ? ? ? ? a ? b ? c a ? b ? c a ? b? c 3
2 2

a 5? b c 5 ? 5? ? ? 5? D ?? ? ? ?1 ? ? ? ??2? ? ? ? ?3? ? ? ? 3? a ?b?c ? 3? a ?b?c 9 ? 3? a ?b?c ?

化简得 ?

? 2a ? b ? 4 c ? 0 ,解得 a ? 3c, b ? 2 c ?a ? 4b ? 11c ? 0

所以 a : b : c ? 3 : 2 : 1 . 9. ( 2013 ·重庆高考理科·T 18 )某商场举行的“三色球”购物摸奖活动 规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球,再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球,根据摸出 4 个球中红球与篮球的个数,设一、二、三等奖如下: 奖级 一等奖 二等奖 三等奖 摸出红、蓝球个数 获奖金额 3红1蓝 3红0蓝 2红1蓝 200 元 50 元 10 元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级. (Ⅰ)求一次摸球恰好摸到 1 个红球的概率; (Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 X 的分布列与期望 E( X ) . 【解题指南】首先设出相应的事件 , 根据古典概型的公式求出恰好摸到一个 红球的概率 ,然后再求出相应事件的概率列出分布列求出期望 . 【 解 析 】 设 Ai 表 示 摸 到 i 个 红 球 , B j 表 示 摸 到 j 个 蓝 球 , 则 Ai (i ? 0,1,2,3) 与
B j ( j ? 0,1) 独立 .

(Ⅰ)恰好摸到 1 个红球的概率为 P( A1 ) ? (Ⅱ) X 的所有可能值为 0,10,50,200,且
P( X ? 200) ? P( A3 B1 ) ? P( A3 ) P( B1 ) ? P( X ? 50) ? P( A3 B0 ) ? P( A3 ) P( B0 ) ?
3 C3 1 1 ? ? 3 C7 3 105

1 2 C3 C4 18 ? 3 35 C7

3 C3 2 2 ? ? 3 C7 3 105

1 1 2 4 6 C32C4 1 12 4 P( X ? 0) ? 1 ? ? ? ? P( X ? 10) ? P( A2 B1 ) ? P( A2 ) P( B1 ) ? ? ? ? 3 105 105 35 7 3 105 35 C7

综上知 , X 的分布列为
X
P

200

50

10

0

6 2 4 35 7 105 6 4 2 1 ? 200? ? 4 ( 元 ). 从而有 E ( X ) ? 0 ? ? 10 ? ? 50 ? 7 35 105 105

1 105

10. ( 2013 ·湖南高考理科·T 18 )某人在如图所示的直角边长为 4 米的三 角形地块的每个格点 (指纵、 横直线的交叉点以及三角形的顶点 )处都种了一 株相同品种的作物 . 根据历年的种植经验 , 一株该种作物的年收获量 Y( 单 位 :kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示 : X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里 ,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米 . (1) 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物 , 求它们恰好“相 近”的概率 ; (2)从所种作物中随机选取一株 ,求它的年收获量的分布列与数学期望 .

【解题指南】 (1) 本三角形地共有 15 株作物 ,其中内部 3 株 ,边界 12 株 ,结合 题意求解相应概率 . (2)先弄清 15 株满足相应年产量的各有多少株 ,然后求出对应的概率 , 写出 分布列再求期望 .

【解析】 (1)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15, 其中三角形地块内部的作物 株数为 3, 边界上的作物株数为 12, 从三角形地块的内部和边界上分别随机
1 1 选取一株的不同结果有 C3 C12 ? 36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结

果有 3+3+2=8 种 . 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物 ,它们恰好“相近” 的概率为
8 2 ? . 36 9

(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y 的分布列 . 因为 P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4) 即可 ,记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的 作物株数 (k=1,2,3,4), 则 n1=2,n 2=4,n3=6,n4=3. 由 P(X=k)= 错误! 未找到引用源。得 P(X=1)=错误! 未找到引用源。 ,P(X=2)= 错误!未找到引用源。 ,P(X=3)= 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用 源。 ,P(X=4)= 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 , 故所求的分布列为 Y P 所求的数学期望为
E(Y) ? 51? 2 4 2 1 34 ? 64 ? 90 ? 42 ? 48 ? ? 45 ? ? 42 ? ? = 46 . 15 15 5 5 5

51
2 15

48
4 15

45
2 5

42
1 5

11. ( 2013 ·江西高考理科·T 18 )小波以游戏方式决定是参加学校合唱团 还是参加学校排球队,游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1, A2, A3, A4 , A5 , A6, A7, A8 (如图)这 8 个点中任取两点分别分终点得到两个向量,记这两 个向量的数量积为 X.若 X=0 就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队 .

(1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望 . 【解题指南】(1) 将基本事件总数求出,然后找所求概率事件的基本事件数, 由古典概型公式求得结果;( 2)先确定 X 的可能取值,然后再计算各个概 率值即得分布列,最后计算期望值 .
2 X?0 【解析】 ( 1) 从 8 个点中任取两点为向量终点的不同取法共有 C8 ? 28 种,

时,两向量夹角为直角共有 8 种情形 . 所以小波参加学校合唱团的概率为
P(X ? 0) ? 8 2 ? . 28 7

(2)两向量数量积 X 的所有可能取值为 -2, -1,0,1.
X ? ?2 时,共有

2 种情形, X ? ?1 时,有 10 种情形, X ? 1 有 8 种情形 .

所以 X 的分布列为 X P
?2 ?1

0
2 7

1
2 7

1 5 14 14 1 5 2 2 3 EX ? (?2) ? ? (?1) ? ? 0 ? ? 1? ? ? . 14 14 7 7 14

12. ( 2013 ·山东高考理科·T 19 )甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利, 比赛随即结束 .除第五局甲队获胜的概率是 外, 其 余每局比赛甲队获胜的概率是
2 .假设每局比赛结果互相独立 . 3 1 2

(Ⅰ)分别求甲队以 3: 0, 3: 1, 3: 2 胜利的概率

(Ⅱ)若比赛结果为 3: 0 或 3: 1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分;若比 赛结果为 3: 2,则胜利方得 2 分、对方得 1 分,求乙队得分 X 的分布列及 数学期望 . 【解题指南】(Ⅰ)本题考查了相互独立事件的概率;(Ⅱ)本题考查的是 随机变量的分布列及数学期望,先列出 X 的所有值,并求出每个 X 值所对应 的概率,列出分布列,然后根据公式求出数学期望 . 【解析】(Ⅰ)记“甲队以 3:0 胜利”为事件 A1 ,“甲队以 3:1 胜利”为事 件 A2,“甲队以 3:2 胜利”为事件 A 3 ,由题意,各局比赛结果相互独立,
2? 8 2? ? 2? 2 8 2? ? 2? 1 4 故 P? A1 ? ? ? , P? A2 ? ? C32 ? , P? A3 ? ? C42 ? , ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 3? 27 ? 3? ? 3? 3 27 ?3? ? 3? 2 27
3 2 2 2

所以甲队以 3:0 胜利、以 3:1 胜利的概率都为 为
4 . 27

8 ,甲队以 3:2 胜利的概率 27

(Ⅱ)设“乙队以 3:2 胜利”为事件 A4,由题意,各局比赛结果相互独立,
2? ? 2? ? 1? 4 所以 P? A4 ? ? C42 ? . ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3? ? 3? ? 2? 27
2 2

由题意,随机变量 ? 的所有可能的取值为 0,1,2,3 , 根据事件的互斥性得
P?? ? 0? ? P? A1 ? A2 ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? 16 , 27

又 P?? ? 1? ? P? A3 ? ?
P ?? ? 2 ? ? P ? A4 ? ? 4 27

4 , 27

P?? ? 3? ? 1 ? P?? ? 0? ? P?? ? 1? ? P?? ? 2? ?

3 , 27

故 ? 的分布列为

?

0

1

2

3

P 所以 E ? = 0 ?

16 27

4 27

4 27

3 27

16 4 4 3 7 ? 1? ? 2? ? 3? ? . 27 27 27 27 9

13.( 2013 ·北京高考理科·T 16)下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量 指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到 达该市,并停留 2 天

( 1)求此人到达当日空气重度污染的概率 ( 2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列与数学期望。 ( 3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要 求证明) 【解题指南】( 1 )这是古典概型的概率计算问题,分别求出基本事件空间 的基本事件总数、所求事件包含的基本事件总数,作比即可求出概率。 ( 2)天数的可能取值为 0, 1, 2,列出分布列,再求期望。 ( 3)从图中找一找哪三天的波动最大,则方差也就最大。 【解析】( 1)某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市,共 有 13 种可能。到达当日空气重度污染有 2 种可能。所以概率为 ( 2) X 可能取值为 0, 1, 2.分布列如下
2 。 13

X

0

1

2

P
E( X ) ? 0 ? 5 4 4 12 ? 1? ? 2 ? ? 。 13 13 13 13

5 13

4 13

4 13

( 3) 5, 6, 7 三天。 14.(2013 · 福建高考理科· T16) 某联欢晚会举行抽奖活动 ,举办方设置了甲、 乙两种抽奖方案 , 方案甲的中奖率为错误!未找到引用源。,中奖可以获得 2 分 ;方案乙的中奖率为错误!未找到引用源。 ,中奖可以获得 3 分 ;未中奖则 不得分 .每人有且只有一次抽奖机会 ,每次抽奖中奖与否互不影响 ,晚会结束 后凭分数兑换奖品 . (1) 若小明选择方案甲抽奖 , 小红选择方案乙抽奖 , 记他们的累计得分为 X, 求 X≤ 3 的概率 . (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖 ,问 : 他们选择 何种方案抽奖 ,累计得分的数学期望较大 ? 【解析】 (1)由已知得 :小明中奖的概率为错误!未找到引用源。 ,小红中奖 的概率为错误!未找到引用源。,且两人中奖与否互不影响 ,记“这 2 人的累 计得分 X≤ 3”的事件为 A,则 A 事件的对立事件为“ X=5” , 因为 P( X ? 5) ? ? ?
2 2 3 5 4 , 15

所以 P(A)=1-P(X=5)= 错误!未找到引用源。 , 所以这两人的累计得分 X≤ 3 的概率为错误!未找到引用源。 . (2)设小明、 小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X 1,都选择方案乙抽奖中奖 的次数为 X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X 1),选择 方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X 2), 由已知 : X 1 ~ B (2, ) , X 2 ~ B(2, ) ,
2 3
2 5

所以 E ( X 1 ) ? 2 ? ? , E ( X 2 ) ? 2 ? ? , 所以 E(2X1)=2E(X 1)=错误!未找到引用源。,E(3X 2)=3E(X 2)=错误!未找到引 用源。 , 因为 E(2X1)>E(3X 2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时 , 累计得分的数学期望最大 . 15. ( 2013 ·陕西高考理科·T 19 )在一场娱乐晚会上 ,有 5 位民间歌手 (1 至 5 号 )登台演唱 , 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 .各位观众须彼 此独立地在选票上选 3 名歌手 ,其中观众甲是 1 号歌手的歌迷 ,他必选 1 号 , 不选 2 号 ,另在 3 至 5 号中随机选 2 名 .观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏 爱 ,因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手 . (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率 . (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和 ,求 X 的分布列和数学期 望. 【解题指南】利用相互独立事件的概率乘法公式即可得解 ;通过确定随机变 量 X 的取值 ,求随机变量 X 的分布列 ,求随机变量 X 的数学期望三步完成 . 【解析】 (1) 手。 观众甲选中 3 号歌手的概率为 , 观众乙未选中 3 号歌手的概率为 1 - 。 所以 P(A) =
2 3 4 ( ? 1- ) ? . 3 5 15 4 . 15
2 3 3 5

2 3

4 3

2 5

4 5

设事件 A 表示 :观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌

因此,观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为 (2)

X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,则 X 可取 0,1,2,3.
2 3 3 5

观众甲选中 3 号歌手的概率为 , 观众乙、丙选中 3 号歌手的概率为 。

当观众甲、乙、丙均未选中 3 号歌手时,这时 X=0 , P(X = 0) =
2 3 4 (1 ? ) ? (1 ? ) 2 ? . 3 5 75

当观众甲、乙、丙中只有 1 人选中 3 号歌手时,这时 X=1 , P(X = 1) =
2 3 2 3 3 2 3 3 8 ? 6 ? 6 20 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? . 3 5 3 5 5 3 5 5 75 75

当观众甲、乙、丙中只有 2 人选中 3 号歌手时,这时 X=2 , P(X = 2) =
2 3 3 2 3 3 2 3 3 12 ? 9 ? 12 33 ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? ? (1 ? ) ? ? ? . 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 75

当观众甲、乙、丙均选中 3 号歌手时,这时 X=3, P(X =3) =

2 3 2 18 ?( ) ? . 3 5 75

X 的分布列如下表: X
P 0 1 2
33 75

3
18 75

20 4 75 75 4 20 33 18 20 ? 66 ? 54 28 Ex ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ? 75 75 75 75 75 15 28 所以,数学期望 EX ? . 15

16. ( 2013 ·新课标全国Ⅱ高考理科·T 19)经销商经销某种农产品 ,在一 个销售季度内 ,每售出 1t 该产品获利润 500 元 ,未售出的产品 ,每 1t 亏损 300 元 .根据历史资料 , 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 , 如图所示 . 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品 .以 X( 单位 :t,100≤ X≤ 150) 表示下一个销售季度内的市场需求量 .T(单位 :元 ) 表示下一个销售季度内经 销该农产品的利润 .

( 1)将 T 表示为 x 的函数

( 2)根据直方图估计利润 T,不少于 57000 元的概率; ( 3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x ??100,110? )则取 x=105,且 x=105 的概率等于需求量落入 ?100,110? 的频率), 求 T 的数学期望。 【解题指南】( 1 )依题意,可求得 T 关于 x 的分段函数 ; (2)由频率分布直方图可知, 知利润 T 不少于 57000 元当且仅当 120 ? X ? 150. 用 频率估计概率,可概率的估计值; ( 3)由分布列,代入期望公式,得所求 . 【解析】( 1)当 X ? [100,130) 时, T ? 500X ? 300 , X ? 39000 ? 130? X ? ? ? 800 当 X ??130,150? 时, T ? 500? 130 ? 65000. 所以
? X ? 130, ?800X ? 39000,100 T ?? ? X ? 150. ?65000,130

( 2)由( 1)知利润 T 不少于 57000 元当且仅当 120 ? X ? 150. 由直方图知需求量 X ??120,150? 的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为

T P

45000 0.1

53000 0.2

61000 0.3

65000 0.4

所以 ET= 45000 ? 0.1 ? 53000 ? 0.2 ? 61000 ? 0.3 ? 65000 ? 0.4 ? 59400. 17. ( 2013 ·新课标Ⅰ高考理科·T 19 )一批产品需要进行质量检验 , 检验 方案是 :先从这批产品中任取 4 件作检验 ,这 4 件产品中优质品的件数记为

n.如果 n=3, 再从这批产品中任取 4 件作检验 ,若都为优质品 ,则这批产品通 过检验 ;如果 n=4, 再从这批产品中任取 1 件作检验 ,若为优质品 ,则这批产品 通过检验 ;其他情况下 ,这批产品都不能通过检验 . 假设这批产品的优质品率为 50% ,即取出的产品是优质品的概率都为 , 且各件产品是否为优质品相互独立 (Ⅰ)求这批产品通过检验的概率; (Ⅱ) 已知每件产品检验费用为 100 元 ,且抽取的每件产品都需要检验 , 对这 批产品作质量检验所需的费用记为 X( 单位 :元 ),求 X 的分布列及数学期望 . 【解题指南】(Ⅰ)由事件的独立性和互斥性,并结合产品通过检验的情形 确定这批产品通过检验的概率; (Ⅱ)根据题意,先确定 X 的可能取值,然后求出相应的概率,列出分布列 利用期望公式求出期望 . 【解析】(Ⅰ)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1 ,第一 次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A1 , 第二次取出的 4 件产品全是优质品 为事件 B1 ,第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2 ,这批产品通过检验为 事件 A .依题意有 A ? ( A1 B1 ) ? ( A2 B2 ) ,且 A1B1 与 A2B 2 互斥 ,所以
1 1 3 1 1 1 4 1 1 1 3 ? ( )3 ? ? ( ) 4 ? ( ) 4 ? ? ? ? ? ? . P( A) ? P( A1 B1 ) ? P( A2 B2 ) ? C 4 2 2 16 16 16 2 64 2 2 2 1 (Ⅱ) X 的可能取值为 400 , 500 , 800 , P( X ? 500 ) ? 16 1 P( X ? 800 ) ? 4 4 1 11 P( X ? 400 ) ? 1 ? ? ? 16 16 16 1 2

所以 X 的分布列为
X
P

400

500

800

11 16

1 16

1 4

EX ? 400 ?

11 1 1 ? 500 ? ? 800 ? ? 506 .25 (元) 16 16 4

18.( 2013 ·大纲版全国卷高考理科·T 20)甲、乙、丙三人进行羽毛球练 习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局 当裁判, 设各局中双方获胜的概率均为 , 各局比赛的结果都相互独立, 第1局 甲当裁判 . ( I)求第 4 局甲当裁判的概率; ( II) X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望 . 【解析】( I)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜”,
A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负”,
1 2

A 表示事件“第 4 局甲当裁判” . 则 A ? A1 ? A2 . P( A) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?

1 . 4

方法一:( II) X 的可能值为 0,1,2 记 A3 表示事件“第 3 局乙和丙参加比赛时,结果为乙胜丙”,
B1 表示事件“第 1 局结果为乙胜丙”, B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,

B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙负”,
1 P( X ? 0) ? P( B1 B2 A3 ) ? P( B1 ) P( B2 ) P( A3 ) ? , 8 1 P( X ? 2) ? P( B1 ? B3 ) ? P( B1 ) P( B3 ) ? , 4 1 1 5 P( X ? 1) ? 1 ? ? ? , 8 4 8 1 5 1 9 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 8 8 4 8

方法二:(II)由于第一局甲当裁判,乙可能当裁判次数 X 的可能值为 0,1,2 当裁判次数为 0: 乙第一局,第二局与第三局赢,第四局决定第五局裁判权,所以不用管第四局 输赢.

所以 P( X ? 0) ? ? ? ? . 当裁判次数为 1:有三种情况
1 1 1 2 2 4 1 1 1 第一局乙赢,第二局乙输,第三局当裁判,概率为 ? ? 2 2 4

1 1 1 2 2 2

1 8

第一局乙输,第二局乙当裁判,第三局乙赢,概率为 ? ? ;

第一局乙赢,第二局乙赢,第三局乙输,第四局当裁判概率为 ? ? ? 。 所以 P( X ? 1) ?
1 1 1 5 ? ? ? .当裁判次数为 2: 4 4 8 8

1 1 1 2 2 2

1 8

第一局乙输,第二局当裁判,第三局乙输,第四局当裁判. 所以 P( X ? 2) ? ? ? .
X

1 1 2 2

1 4

的分布列为
X
P

0

1

2

1 8

5 8

1 4

所以 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 19.( 2013 ·辽宁高考理科·T 19 )现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙 类题,张同学从中任取 3 道题解答。
(?) 求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (?? ) 已知所取到的 3 道题中有 2 道甲类题, 1 道乙类题。设张同学答对每道

1 8

5 8

1 4

9 8

甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互 独立。用 X 表示张同学答对题的个数,求 X 的分布列和数学期望。 【解题指南】诸如“至少有一个”等问题,可以结合对立事件的概率来求解; 对于随机变量 X 的研究, 需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值时对应 的事件及其概率,列出其分布列,正确应用均值公式进行计算 【解析】 (?) 记事件 A ? “张同学所取的 3 道题至少取到 1 道乙类题”;则 A ? “张同学所取的 3 道题全为甲类题”;

3 5

4 5

事件 A ? “张同学所取的 3 道题全为甲类题”共有 C63 ? 20 种取法;而“从 10
3 道题中任取 3 道题”共有 C10 ? 120 种取法;

所以 P( A) ?

20 1 5 ? . 故 P( A) ? 1 ? P( A) ? . 120 6 6
5 6

所以张同学至少取到 1 道乙类题的概率为 .
(?? ) 张同学答对题的个数 X 的可能值为 0 , 1 , 2 , 3.

3 4 4 0 3 0 X ? 0 表示张同学没有答对一道题, P ( X ? 0) ? C2 ; ( ) (1 ? ) 2 (1 ? ) ? 5 5 5 125
X ? 1 表示张同学答对一道题, 包含以下两种可能, “答对一道甲类题” 、 “答

对一道乙类题”,
1 0 因此 P( X ? 1) ? C2 ( )1 (1 ? )1 (1 ? ) ? C2 ( ) 0 (1 ? ) 2 ?

3 5

3 5

4 5

3 5

3 5

4 5

28 ; 125

X ? 2 表示张同学答对二道题,包含以下两种可能,“答对二道甲类题”、

“答对一道甲类题和一道乙类题”,
1 因此 P( X ? 2) ? C22 ( ) 2 (1 ? )0 (1 ? ) ? C2 ( )1 (1 ? )1 ?

3 5

3 5

4 5

3 5

3 4 5 5

57 ; 125

X ? 3 表示张同学所取得的三道题全部答对,

因此 P( X ? 3) ? C22 ( )2 (1 ? )0 ? 所以 X 的分布列为

3 5

3 5

4 5

36 ; 125

X p

0

1

2

3

4 28 57 36 125 125 125 125 4 28 57 36 ? 1? ? 2? ? 3? ? 2. 故 X 的数学期望为 E ( X ) ? 0 ? 125 125 125 125



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