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1.1.1《集合的含义与表示》教学设计(人教A版必修1)



1.1.1《集合的含义与表示》教案 【教学目标】 1.了解集合、元素的概念,体会集合中元素的三个特征; 2. 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系; 3. 掌握常用数集及其记法; 4.了解集合的表示方法; 5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感 受集合语言的意义和作用. 【导入新课】 一、实例引入: 军训前学校通知:8 月 20 日 8 点,高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的 对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里, 集合是我们常用的一个词语, 我们感兴趣的是问题中某些特定 (是高一而不是高二、 高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,即是一 些研究对象的总体. 二、问题情境引入:我们高一(一)班一共 52 人,其中班长张三,现有以下问题: ⑴ 52 人组成的班集体能否组成一个整体? ⑵ 张三和 52 人所组成的班集体是什么关系? ⑶ 假设李四是相邻班的学生,问他与高一·一班是什么关系? 新授课阶段 (一)集合的有关概念 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们 能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体. 一般地,我们把研究对象统称为元素(element) ,一些元素组成的总体叫集合(set) ,也简 称集.[ 思考 1:判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: 大于 3 小于 11 的偶数; 我国的小河流; 非负奇数; 方程的解; 某校 2012 级新生; 血压很高的人; 著名的数学家; 平面直角坐标系内所有第三象限的点; 全班成绩好的学生. 对学生的解答予以讨论、点评,进而讲解下面的问题. 关于集合的元素的特征 (1)确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素,或者不 是 A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立. (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象) ,因此, 同一集合中不应重复出现同一元素. (3)无序性:给定一个集合与集合里面元素的顺序无关.

(4)集合相等:构成两个集合的元素完全一样. (二) 元素与集合的关系 1. (1)如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于(belong to)A,记作:a∈A; (2)如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于(not belong to)A,记作:aA, 例如,我们 A 表示“1~20 以内的所有质数”组成的集合,则有 3∈A, , 4A,等等. 2.集合与元素的字母表示: 集合通常用大写的拉丁字母 A,B,C?表示,集合的元素用小 写的拉丁字母 a,b,c,?表示. 3.常用的数集及记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R. 例 1 若集合 A 为所以大于 1 二小于 3 的实数组成的集合,则下面说法正确的为( ) A. B. C. D. 解析:根据元素与集合的关系可得,答案 C. 答案: C 例 2 用“∈”或“”符号填空: (1)8 N; (2)0 N; (3)-3 Z; (4) Q; (5)设 A 为所有亚洲国家组成的集合,则中国 A,美国 A,印度 A,英 国 A. 答案: 例 3 判断下列各句的说法是否正确: (1) 所有在 N 中的元素都在 N*中 ( ) (2) 所有在 N 中的元素都在 Z 中 ( ) (3) 所有不在 N*中的数都不在 Z 中 ( ) (4) 所有不在 Q 中的实数都在 R 中 ( ) (5) 由既在 R 中又在 N 中的数组成的集合中一定包含数 0 ( ) (6) 不在 N 中的数不能使方程 4x=8 成立 ( ) 答案: ×,√,×,√,×,√ 例 4 已知集合 P 的元素为, 若且-1P,求实数 m 的值 解:根据,得若 此时不满足题意;若解得 此时或(舍) ,综上 符合条件的 . 点评:本题综合运用集合的定义和元素与集合的关系解题,注意集合的性质的运用. (三)集合的表示方法 我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合, 但这将给我们带来很多不便, 除此之外还 常用列举法和描述法来表示集合 (1) 列举法:把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举 法. 如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},? 说明:1.集合中的元素具有无序性,所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序. 2.各个元素之间要用逗号隔开; 3.元素不能重复;

4.集合中的元素可以数,点,代数式等; 5.对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方 能用省略号,象自然数集N用列举法表示为. 例 5 用列举法表示下列集合: (1)x2-4 的一次因式组成的集合. (2){y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}. (3)方程 x2+6x+9=0 的解集. (4){20 以内的质数}. (5){(x,y)|x2+y2=1,x∈Z,y∈Z}. (6){大于 0 小于 3 的整数} (7){x∈R|x2+5x-14=0}. (8){(x,y)}|x∈N,且 1≤x<4,y-2x=0}. (9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}. 分析:用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素,要注意不重不漏,不计次序地用 “, ”隔开放在大括号内. 解:(1)因 x2-4=(x-2) (x+2) ,故符合题意的集合为{x-2,x+2}. (2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即 y≤4,又 y∈N,∴y=0,1,2,3,4. 故{y|y=-x2-2x+3,x∈R,y∈N}={0,1,2,3,4}. (3)由 x2+6x+9=0 得 x1=x2=-3,∴方程 x2+6x+9=0 的解集为{-3}. (4){20 以内的质数}={2,3,5,7,11,13,17,19}. (5)因 x∈Z , y∈Z ,则 x=-1,0,1 时,y=0,1,-1. 那么{(x,y)|x2+y2=1,x∈Z ,y∈Z}={(-1,0) , (0,1) , (0,-1) , (1,0)}. (6){大于 0 小于 3 的整数}={1,2}. (7)因 x2+5x-14=0 的解为 x1=-7,x2=2,则{x∈R|x2+5x-14=0}={-7,2}. (8)当 x∈N 且 1≤x<4 时,x=1,2,3,此时 y=2x,即 y=2,4,6. 那么{(x,y)|x∈N 且 1≤x<4,y-2x=0}={(1,2) , (2,4) , (3,6)}. (9){(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N}={(0,6) (1,5) , (2,4) , (3,3) , (4 , 2 ) , (5 , 1) , (6,0)}. (2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在花括号{ }内. 具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一 条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 一般格式: 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{x︳直角三角形},?; 说明: 1.课本 P5 最后一段话; 2.描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的 两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{x︳整数},即代表整数集 Z. 辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},{R} 也是错误的. 说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集 合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法. 例 6 用描述法表示下列集合: (1)方程 2x+y=5 的解集. (2)小于 10 的所有非负整数的集合. (3)方程 ax+by=0(ab≠0)的解. (4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合. (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.

(6)方程组的解的集合. (7){1,3,5,7,?}. (8)x 轴上所有点的集合. (9)非负偶数. (10)能被 3 整除的整数. 分析:用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性,确定代表元素,公共属性可 以用文字直接表述,也可用数学关系表示,但要抓住其实质. 解:(1){(x,y)|2x+y=5}. (2)小于 10 的所有非负整数的集合用描述法表示为{x|0≤x<10,x∈Z}. (3)方程 ax+by=0(ab≠0)的解用描述法表示为{(x,y)|ax+by=0(ab≠0)}. (4)数轴上离开原点的距离大于 3 的点的集合用描述法表示为{x|x>3}. (5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{(x,y)|xy<0}. (6)方程组的解的集合用描述法表示为{(x,y)|}. (7){1,3,5,7,?}用描述法表示为{x|x=2k-1,k∈N*}. (8)x 轴上所有点的集合用描述法表示为{(x,y)|x∈R,y=0}. (9)非负偶数用描述法表示为{x|x=2k,k∈N}. (10)能被 3 整除的整数用描述法表示为{x|x=3k,k∈Z}. (3)文恩图法:集合的表示除了列举法和描述法外,还有恩韦图(文氏图)叙述如下: 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.如图: 表示任意一个集合 A

边界用直线还是曲线, 用实线还是虚线都无关紧要, 只要封闭并把有关元素和子集统统包含 在里边就行,但不能理解成圈内每个点都是集合的元素. 例 7 设集合 A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z},又 有 a∈A,b∈B,判断元素 a+b 与集合 A、B 和 C 的关系. 解:因 A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},则集合 A 由偶数构成,集合 B 由奇 数构成. 即 a 是偶数,b 是奇数 设 a=2m,b=2n+1(m∈Z ,n∈Z) 则 a+b=2(m+n)+1 是奇数,那么 a+bA,a+b∈B. 又 C={x|x=4k+1,k∈Z}是由部分奇数构成且 x=4k+1=2·2k+1. 故 m+n 是偶数时,a+b∈C;m+n 不是偶数时,a+bC 综上 a+bA,a+b∈B,a+bC. 课堂小结 1.集合的概念中, “某些指定的对象” , 可以是任意的具体确定的事物, 例如数、 式、 点、 形、 物等. 2.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性,要能熟练运用之. 3. 集合的常用表示方法,包括列举法、描述法. 作业 1.习题 1.1,第 1- 2 题; 2.预习集合的表示方法. 拓展提升 1.用集合符号表示下列集合,并写出集合中的元素: (1)所有绝对值等于 8 的数的集合 A; (2)所有绝对值小于 8 的整数的集合 B.

2.下列各组对象不能形成集合的是( ) A.大于 6 的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被 3 除余 2 的所有整数 D.函数 y=图象上所有的点 3.下列条件能形成集合的是( ) A.充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人 C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程 4.集合 A 的元素由 kx2-3x+2=0 的解构成,其中 k∈R,若 A 中的元素至多有一个,求 k 值的范围.

5.若 x∈R,则{3,x,x2-2x}中的元素 x 应满足什么条件?

6.方程 ax2+5x+c=0 的解集是{,},则 a=_______,c=_______.

7.集合 A 的元素是由 x=a+b (a∈Z,b∈Z) 组成, 判断下列元素 x 与集合 A 之间的关系: 0, , .

参考答案 1. 分析:由集合定义:一组确定对象的全体形成集合,所以能否形成集合,就看所提对象 是否确定;其次集合元素的特征也是解决问题依据所在. 解:(1)A={绝对值等于 8 的数} 其元素为:-8,8 (2)B={绝对值小于 8 的整数} 其元素为:-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7. 2. 解:综观四个选择支,A、C、D 的对象是确定的,惟有 B 中的对象不确定,故不能形成 集合的是 B. 3 解:综观该题的四个选择支,A、B、C 的对象不确定,惟有 D 某校某班某一天所有课程的 对象确定,故能形成集合的是 D. 4. 解:由题 A 中元素即方程 kx2-3x+2=0(k∈R)的根 若 k=0,则 x=,知 A 中有一个元素,符合题设[ 若 k≠0,则方程为一元二次方程. 当Δ =9-8k=0 即 k=时,kx2-3x+2=0 有两相等的实数根,此时 A 中有一个元素.又当 9 -8k<0 即 k>时,kx2-3x+2=0 无解. 此时 A 中无任何元素,即 A=也符合条件 综上所述 k=0 或 k≥ 评述:解决涉及一元二次方程问题,先看二次项系数是否确定,若不确定,如该题,则须分 类讨论.其次至多有一个元素,决定了这样的集合或者含一个元素,或者不含元素,分两种 情况. 5. 解:集合元素的特征说明{3,x,x2-2x}中元素应满足关系式 即 也就是 即 x≠-1,0,3 满足条件. 6. 解:方程 ax2+5x+c=0 的解集是{,},那么、是方程两根 即有得 那么 a=-6,c=-1 7.解:因 x=a+b,a∈Z ,b∈Z 则当 a=b=0 时,x=0 又=+1=1+ 当 a=b=1 时,x=1+ 又=+ 当 a=,b=1 时,a+b=+ 而此时 Z,故有:A, 故 0∈A,∈A,A. 8.解:若 x 是整数,则有 x+x=15,x=与 x 是整数相矛盾,若 x 不是整数,则 x 必在两个 连续整数之间 设 n<x<n+1 则有 n+(n+1)=15,2n=14,n=7 即 7<x<8 ∴x∈(7,8)



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