9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

1.3.1函数单调性与最大(小)值(三)



1.3.1 单调性与最大(小)值

第1页 共 47 页

课前复习
1.理解函数单调性的性质.

2.能运用函数的图象求单调区间.
3.掌握判断函数单调性的一般方法. 增函数 函数 单调性 减函数
第2页 共 47 页

单调区间

一般地,设函

数f(x)的定义域为I;如果对于定义域I内某个区 x1<x2 间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当________时,都有

增函数 f(x1)<f(x2) ________,那么就说函数f(x)在区间D上是________;当 f(x1)>f(x2) x1<x2时,都有________,那么就说f(x)在区间D上是减函数;
单调区间 其中区间D称为f(x)的________.

第3页 共 47 页

1.单调性定义 函数的单调性是对于函数定义域内的某个子区间而言的.有 些函数在整个定义域内可能是单调的,如一次函数;有些函

数在定义域内的部分区间上是增函数,而在另一部分区间
上可能是减函数,如二次函数;还有的函数是非单调的,如 y=1,又如函数 y= 1(x∈Q) 0(x∈?RQ)

第4页 共 47 页

函数单调性定义中的x1,x2,有三个特征,一是同属一个单调
区间;二是任意性,即“任意取x1,x2”,“任意”二字决不能 丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;三是有 大小,通常规定x1<x2;三者缺一不可.

第5页 共 47 页

2.函数单调性可以从三个方面理解 (1)图形刻画 对于给定区间上的函数f(x),函数图象如从左向右连续上升, 则称函数在该区间上单调递增,如下图(1);函数图象如从左 向右连续下降,则称函数在该区间上单调递减,如下图(2).

第6页 共 47 页

(2)定性刻画
对于给定区间上的函数f(x),如果函数值随自变量增大而增大, 则称函数在该区间上单调递增,如果函数值随自变量增大 而减小,则称函数在该区间上单调递减. (3)定量刻画,即定义 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径.

第7页 共 47 页

3.基本初等函数的单调性 (1)一次函数y=ax+b(a≠0) 当a>0时,在(-∞,+∞)上是增函数,当a<0时,在(-∞,+∞)上是减函

k (2)反比例函数y= (k≠0) x 当k>0时,在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数;
当k<0时,在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.

数.

第8页 共 47 页

(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) b 当a>0时,在(-∞,]上是减函数,在[-b2a,+∞)上是增函数; 2a 当a<0时,在(-∞,]上是增函数,在[-b2a,+∞)上是减函数. b 2a

第9页 共 47 页

典 例 剖 析(学生用书P26)

第10页 共 47 页

题型一 函数单调性的判定或证明

1 例1:判断函数f(x)=x+ 在(0,+∞)上的单调性. x

第11页 共 47 页

解:设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则
f ( x1) ? f ( x 2) ? x1 ? ? x1 ? x 2 ? 1 1 ? ( x2 ? ) x1 x2

1 1 1 ? ? ( x1 ? x 2)1 ? . x1 x2 x1 x2

当0<x1<x2<1时,
1 x1-x2<0,1x1 x2

<0,∴f(x1)-f(x2)>0,

即f(x1)>f(x2).

∴f(x)在(0,1)上为减函数.

1 当x2>x1≥1时,x1-x2<0,1- x x >0, 1 2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

∴f(x)在[1,+∞)上为增函数.
第12页 共 47 页

综上讨论可知,函数f(x)=x+1x在区间(0,1)上为减函数,在 [1,+∞)为增函数. 规律技巧:(1)在用定义判断(或证明)函数的单调性时,其方法 步骤是:①在定义区间内任取两个值x1,x2,不妨设x1<x2;② 作差f(x1)-f(x2),变形(配方?因式分解或通分等)确定符号;③ 当符号不易确定时,要分情况讨论.

(2)该函数f(x)=x+ 1 称为对勾函数.利用图象易知.
x

f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上为增函数. 在(-1,0),(0,1)上为减函数.

第13页 共 47 页

如图:

第14页 共 47 页

将问题可以扩展到f(x)=x+ f(x)在(-∞,)上为增函数. k f(x)在(- k ,0)上为减函数. f(x)在(0, k)上为减函数. f(x)在( k,+∞)上为增函数.

k (k>0)的单调区间: x

第15页 共 47 页

变式训练1:已知f(x)=x3+x,x∈R,判断f(x)的单调性并证明.
解:设x1<x2,f(x1)-f(x2)=x31+x1-(x32+x2)=(x1x2)(x21+x1x2+x22+1) =(x1-x2)[(x1+x2 2)2+
3 x22+1]<0 4

∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2).

因此f(x)=x3+x在R上是增函数.

第16页 共 47 页

题型二 利用函数的图象求单调区间
例2:画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并写出函数的单调区间. 分析:先化简函数解析式,再画出函数的图象,根据图 象确定单调区间.

第17页 共 47 页

解:y=-x2+2|x|+3= -(x-1)2+4,(x≥0), -(x+1)2+4,(x<0).函数图象如图所示.

第18页 共 47 页

函数在(-∞,-1],上是增函数, 函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数. ∴函数的单调增区间是(-∞,-1]和,单调减区间是[-1,0]和 [1,+∞).

误区警示:(1)一个函数出现两个或两个以上单调区间时,不 能用符号“∪”连接,而应该用“和”来连接. (2)在定义域内求单调区间,单调区间应是定义域的子集.

第19页 共 47 页

变式训练2:已知函数f(x)=3|x|,求f(x)的单调区间. 解:f(x)=3|x|= 3x -3x 如下图所示: (x≥0), (x<0).

第20页 共 47 页

由图象可知,f(x)的递增区间为[0,+∞),减区间为(-∞,0].

第21页 共 47 页

题型三 函数单调性的应用
例3:已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2,在下列条件下,分别 求实数a的取值范围. (1)f(x)在区间(-∞,4]上是减函数;

(2)f(x)的增区间为[4,+∞).
分析:函数f(x)是二次函数,其图象是开口向上的抛物线,在对

称轴左侧为减函数,在对称轴右侧是增函数,因此本题找出对
称轴,便可作答.

第22页 共 47 页

解:(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2, ∴二次函数图象的对称轴为x=1-a,要使f(x)在(-∞,4]上是减函

数,只要1-a≥4,∴a≤-3.
(2)要使f(x)的增区间为[4,+∞),只有对称轴x=1-a=4,∴a=-3.

规律技巧:注意本题(1)与(2)的不同之处,(1)只要对称轴在x=4 的右侧或与其重合,而(2)中对称轴必须与x=4重合.对于此类 题目,可以画图分析正确作答.

第23页 共 47 页

变式训练3:(2010·保定一模)若函数f(x)=x2-2mx+3在(-∞,2) 上是减函数,则实数a的取值范围是( A.m>2 C.m≥2 B.m<2 D.m≤2 ) C

第24页 共 47 页

易 错 探 究(学生用书P27)

第25页 共 47 页

例4: 设(a,b)(c,d)都是函数y=f(x)的单调增区间,且

x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是(D )
A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) B.f(x1)>f(x2) D.不能确定

错解:A
错因分析:函数y=f(x)在(a,b)和(c,d)上都是增函数,但在 (a,b)∪(c,d)上不一定是增函数.如图所示.

第26页 共 47 页

第27页 共 47 页

技 能 演 练(学生用书P27)

第28页 共 47 页

1.下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是(

)D

A.

y?

1 x2

B.y=x3
D.y=x2

C.y=x0

第29页 共 47 页

2.如果函数f(x)在上是增函数,对于任意的x1?x2∈(x1≠x2),下 列结论中不正确的是( )C

f ( x1 ) ? f ( x2 ) A. ?0 x1 ? x2
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0

C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)

x1 ? x2 D. ?0 f ( x1 ) ? f ( x2 )
解析:由增函数的定义易知A?B?D正确,故选C.
第30页 共 47 页

3.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是单调增函数,则k的取 值范 围是( ) C

1 A.k ? 2 1 C.k ? ? 2

1 B.k ? 2 1 D.k ? ? 2

1 解析:2k+1>0,即 k ? ? . 2

第31页 共 47 页

4.若二次函数y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上为减函数,那么 ( ) C A.a=-2 C.a≤-2 B.a=2 D.a≥2

1? a 1? a 解析:函数的对称轴 ≥1时,函数 3 ,由题意得 3 y=3x2+2(a-1)x+b在区间(-∞,1)上为减函数,故得a≤-2. x?

第32页 共 47 页

5.已知函数f(x)在区间上具有单调性,且f(a)·f(b)<0,则方程 f(x)=0在区间上( D ) A.至少有一个实根 C.没有实根 B.至多有一个实根 D.有唯一的实根

解析:∵f(x)是单调函数,且图象是连续不断的,又f(a)f(b)<0,则
f(x)的图象必与x轴相交,因此f(x)在上必存在一点x0,使 f(x0)=0成立,故答案D正确.

第33页 共 47 页

6.已知函数f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,那么f(a2-a+1)与 3 f (a 2 ? a ? 1) ? f(34)的大小关系是__________. f ( 4 ) 解析:∵a2-a+1=a数,∴f(a2-a+1)≤f
1 3 2? ≥ 2 4

3 ( ). 4

3 又f(x)在[0,+∞)上为减函 , 4

第34页 共 47 页

7.(2010·潍坊模拟)函数y=2x2-mx+3,当x∈[-2,2]时,是增 m≤-8 函数,则m的取值范围是________.

解析:∵函数y=2x2-mx+3是开口向上的抛物线,要使x∈[-2,2] 时为增函数,只要对称轴x

?m ≤-2,即m≤-8. ?? 2? 2

第35页 共 47 页

8.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(x)<f(2x-3),

求x的取值范围.

解:由题意知 x>2x-3 x>0 2x-3>0
? {3}{2}<x<3.

第36页 共 47 页

能力提升

9.判断函数

x ?1 在(-∞,0)上的单调性,并用定义证明. f ( x) ? x ?1

解: f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 , x ?1 x ?1 x ?1

函数.

x ?1 函数 f ( x ) ? 在(-∞,0)上是单调减 x ?1

第37页 共 47 页

证明:设x1,x2是区间(-∞,0)上任意两个值,

且x1<x2,则


f ( x2) ? f ( x1) ? 1 ?

∵x1<x2<0,∴x1-x2<0,x1-1<0,x2-1<0,

2( x1 ? x2 ) 2 2 ? (1 ? )? , x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

2( x1 ? x2 ) ? 0. ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1). ∴函数

x ? 1在(-∞,0)上是单调减函数. f ( x) ? x ?1

第38页 共 47 页

10.已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,且f(x-2)>f(1-x),求x的 取值范围. 解:由题意知 -1≤x-2≤1, -1≤1-x≤1,解得1≤x≤2. ∵f(x)在[-1,1]上是增函数,且f(x-2)>f(1-x), 3 ∴x-2>1-x,∴x ? . 2 由 1≤x≤2,
x?

故满足条件的x的取值范围是

3 , 得 2

3 ? x≤2. 2

3 ? 2

x≤2.

第39页 共 47 页

品味高考 11.(湖南高考)若f(x)=-x2+2ax与g(x 减函数,则a的取值范围是( D ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1] C.(0,1) D.(0,1]

)?

a x ?1

在区间上都是

第40页 共 47 页

12.(2007·福建)已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f[JB(|
1 |]<f(1)的实数x的取值范围是( ) C x

A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

1 解析:依题意得[JB(| |]>1,∴|x|<1,且x≠0, x
∴-1<x<1且x≠0,因此答案C正确.

第41页 共 47 页



更多相关文章:
1.3.1-函数单调性与最大(小)值
用定义证明函数单调性;利用函数单调 性函数最大(小)值. 三、教学过程 师:前面,我们学习了有关函数的基本概念,下面通过函数的图象来研究函数 的一些性质...
1.3.1 单调性与最大(小)值
1.3.1 单调性与最大(小)值_数学_高中教育_教育专区。完整教案 ...证明函数的单调性. 三、学法与教学用具 1、从观察具体函数图象引入,直观认识...
1.3.1单调性与最大(小)值
1.3.1单调性与最大(小)值_数学_高中教育_教育专区。1.3 函数的基本性质 ...三、应用: 例 3、 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时 一般是期望在它...
1.3.1 单调性与最大(小)值(2)(教案)
1.3.1 【教学目标】 l.知识与技能 函数的基本性质 单调性与最大(小)值(2...[2,4]上的最大值为___,最小值为___. x+2 三、解答题 1 10.已知函数...
1.3.1 单调性与最大(小)值(三)教师版
1.3 函数及其基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值(三) 教学目标分析: 知识目标: 1.熟练掌握证明和判断函数单调性的方法; 2.掌握求简单函数最值的方法 3....
1.3.1单调性与最大(小)值
1.3.1单调性与最大(小)值_数学_高中教育_教育专区。东莞学大个性化教育发展...注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0...
1.3.1 单调性与最大(小)值(一)教师版
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值(一) 教学目标分析: 知识目标: (1)结合具体函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)能利用函数图象理解和...
1.3.1函数单调性与最大值(新)
龙华新区高中数学研学后教导学稿(必修一) 函数单调性与最大(小)值编写人:...教学目标说明:目标 3 是本节课的重点,目标 5 是难点. 三、学习内容及程序 ...
1.3.1单调性与最大(小)值_教案
博远教育 课外辅导专家 1.3 函数的基本性质 单调性与最大(小)值1...通过判断题,强调三点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和...
1.3.1 单调性与最大(小)值_练习题
1.3.1 单调性与最大(小)值_练习题_数学_高中教育_教育专区。必修一的知识...三、解答题(每题 20 分,共 40 分) 2 11.已知二次函数 f(x)=ax +4ax...
更多相关标签:
单调性与最大最小值    函数的单调性与最值    函数单调性与最值    函数的单调性与极值    三角函数单调性与最值    函数的单调性和最值    函数单调性与最值教案    利用函数单调性求最值    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图