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第二十讲专题5 立体几何



专题五

立体几何

1.下列命题中,假命题的个数为( ) ①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边;②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边; ③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在平面. A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,点 A∈α,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥α

,m∥β,则下 列四种位置关系中,不一定成立的是( ) A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β 3.m,n 表示直线,α,β,γ 表示平面,给出下列四个命题,其中真命题为( ) (1)a∩β=m,n?α,n⊥m,则 α⊥β; (2)α⊥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则 n⊥m; (3)α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则 m⊥α; (4)m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β. A.(1),(2) B.(3),(4) C.(2),(3) D.(2),(4) 4. 在矩形 ABCD 中, AB=1, BC= 2, PA⊥平面 ABCD, PA=1, PC 与平面 ABCD 所成的角是( 则 ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.某几何体的三视图如图 K5-1 所示,则它的体积是( )

\ 图 K5-1 2π π 2π A.8- B.8- C.8-2π D. 3 3 3 6.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 7.若圆锥的侧面积为 2π,底面积为 π,则该圆锥的体积为________. 8.设 x,y,z 是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“x⊥z 且 y⊥z?x∥y”为真命题的是 ________(填序号). ①x,y,z 是直线;②x,y 是直线,z 是平面;③z 是直线,x,y 是平面;④x,y,z 是平面. 10.如图 K5-3,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD;四边形 ABCD 是菱形,边长为 2,∠BCD =60° ,经过 AC 作与 PD 平行的平面交 PB 与点 E,ABCD 的两对角线交点为 F. (1)求证:AC⊥DE; (2)若 EF= 3,求点 D 到平面 PBC 的距离.

图 K5-3

专题五

立体几何
4.A 5.A 6.C 7. 3 π 8.②③ 3

1.B 2.D 3.B

10.(1)证明:连接 DE,如图 D66.

图 D66 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC⊥BD. 又因为 PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABC, 所以 PD⊥AC. 而 PD∩BD=D,所以 AC⊥平面 PBD. DE?平面 PBD,所以 AC⊥DE. (2)连接 EF(如图 2).设点 D 到平面 PBC 的距离为 h, 由题知 PD∥平面 ACE,又因为平面 ACE∩平面 PDB=EF, 所以 PD∥EF. 1 点 F 是 BD 中点,则 EF 是△PBD 的中位线,则 EF= PD. 2 因为 EF= 3,故 PD=2 3. 3 正三角形 BCD 的面积 S△BCD= ×22= 3. 4 1 由(1),知 PD⊥平面 BCD,VP-BCD= S△BCD· PD 3 1 = × 3×2 3=2, 3 1 又 VP-BCD=VD-BCP= S△BCP· h,易求得 PC=PB=4, 3 1 S△BCP= ×2× 15= 15. 2 15 2 15 所以 · h=2,即 h= . 3 3 2 15 故点 D 到平面 PBC 的距离为 . 3



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