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选修2-3二项式定理



(选修 2-3)第一章 计数原理 1.3 二项式定理(第 1 课时)
高二数学 编号:242010 主编人:冯彦表 审核人:冯彦表
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【学习目标】
1.正确理解二项式定理,能准确地写出二项展开式,以及二项式定理的逆用 2.会区分项的系数与二项式系数

3.掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用
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【情境链接】
二项式定理是初中乘法公式的推广, 是排列组合知识的具体运用, 是学习概率的重要基 础.这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值.中学教材中的二项式定理主要包括:定 理本身,通项公式,杨辉三角,二项式系数的性质等. 通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识, 同时在求展开式、 其通项、 证恒等式、 近似计算等方面形成技能或技巧; 进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用; 重视学生 正确情感、态度和世界观的培养和形成.

【文本研读】
认真阅读课本 29---31 页,体会运用排列组合知识进行多项式乘法展开的运算,自己试着 推导(a+b)的 4 次方,5 次方,直到 n 次方。

【问题探究】
探究一: ⑴ (a ? b) ? a ? 2ab ? b ? C2 a ? C2 ab ? C2 b ;
2 2 2 0 2 1 2 2

⑵ (a ? b) ? a ? 3a b ? 3ab ? b ? C3 a ? C3 a b ? C3 ab ? C3 b
3 3 2 2 3 0 3 1 2 2 2

3 3
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⑶ (a ? b) ? (a ? b)(a ? b)(a ? b)(a ? b) 的各项都是 4 次式,
4

即展开式应有下面形式的各项: a , a b , a b , ab , b , 展开式各项的系数: 上面 4 个括号中, 每个都不取 b 的情况有 1 种, 即 C4 种, a 的系数是 C4 ; 恰有 1 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系数是 C4 ,恰有 2 个取 b 的情况有 C4 种, a b 的系 数是 C4 ,恰有 3 个取 b 的情况有 C4 种, ab 的系数是 C4 ,有 4 都取 b 的情况有 C4 种,b 的系数是 C4 , ∴ (a ? b) ? C4 a ? C4 a b ? C4 a b ? C4 a b ? C4 b .
4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 4 2 3 1 0

4

3

2 2

3

4

4

0

3

1

2

2 2

3

3

4

4

探究二:二项式定理
0 n 1 n r n ?r r n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b (n ? N ? )

⑴ ( a ? b) 的展开式的各项都是 n 次式,即展开式应有下面形式的各项:
n

a n , a nb ,?, a n?r br ,?, b n ,
⑵展开式各项的系数: 每个都不取 b 的情况有 1 种,即 Cn 种, a 的系数是 Cn ;
0 n 1 n n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cnr a n?r b r ? ? ? Cn b (n ? N ? )
n 恰 有 1 个 取 b 的 情 况 有 Cn 种 , a b 的 系 数 是 Cn , ? ? ,
1 1 0

n

0

恰有 r 个取 b 的情况有 Cn 种, a
n

r

n?r

br 的系数是 Cnr ,??,
n

有 n 都取 b 的情况有 Cn 种, b 的系数是 Cn , 这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫 ( a ? b) 的
n

n

,它有

项,各项的系数 Cn (r ? 0,1,? n) 叫
r

, .

叫二项展开式的通项,是



项,用

表示,即通项公式:
n

二项式定理中,设 a ? 1, b ? x ,则 ( x ? 1) ? 用-b 替换 b 得到: (a ? b) ?
n

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即时突破 1:求 ?x ? 2 y ? 展开式中第 5 项,第 5 项的系数与第 5 项的二项式系数。
7

即时突破 2:求 (2 x ?

3 2x

) 9 的展开式。

【思维导图】

【实战演练】
1.已知(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|等于( ) 9 9 9 A.2 B.4 C.3 D.1
? 2.设 n ? N , 则 C n ? C n 6 ? C n 6 ? ? ? C n 6
1 2 3 2 n n ?1

?

3. (2 x ?

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

4. 在(1+x)+(1+x)2+……+(1+x)6 的展开式中,x 2 项的系数是

? 1 1 ? 5.如果 ? 3x ? 的二项展开式中第 5 项的二项式系数为 35,则展开式中 3 的系数是 ? 3 2 x x ? ?
___ _____

n

6. ( x ? y )10 的展开式中, x 7 y 3 的系数与 x 3 y 7 的系数之和等于_______.

7.若 (1 ? 2)5 ? a ? b 2( a, b 为有理数) ,则 a ? b ? ( A.45 B.55 C.70 D.80



8.若 (1 ? 2 x)

2009

? a0 ? a1 x ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R ) ,则
B.0 C . ?1 D. ?2

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2009 的 2 2 22009

值为( ) A.2

9.求 0.997 的近似值为

3

(精确到 0.001)

10.设 (

2 ? x) 2 n ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ... ? a2 n ?1 x 2 n ?1 ? a2 n x 2 n ,则 a 0 ? 2

11.用二项式定理证明 26

23

? 10 能被 9 整除。

【困惑问题】

请将不懂的问题写出来,老师和你一起解决。

(选修 2-3)第一章 计数原理 1.3 二项式定理(第 2 课时)
高二数学 编号:242011 主编人:冯彦表 审核人:冯彦表

【学习目标】
1. 掌握二项式系数的性质。 2. 培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。
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3.灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题

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【情境链接】 回忆二项式定理
1.二项式定理及其特例: (1) (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? ? ? Cn a
n 0 n 1 n r
n 1 r r

n ?r

n n b r ? ? ? Cn b (n ? N ? ) ,

(2) (1 ? x) ? 1 ? Cn x ? ? ? Cn x ? ? ? x .
n

2.二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn a
r

n?r

br

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3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对 r 的限制; 求有理项时要注意到指数及项数的整数性
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【文本研读】
阅读课本第 32---35 页,认真对二项式系数的特点进行分析,总结,应用。

【思维导图】

【问题探究】
1 二项式系数表(杨辉三角)
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(a ? b) n 展开式的二项式系数,当 n 依次取 1, 2,3 ?时,
系数表,表中每行两端都是1 ,除1 以外的每一个数都等 上两个数的和
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二项式 于它肩

2.二项式系数的性质:
0 1 2 n , Cn , Cn ,?, Cn . (a ? b) n 展开式的二项式系数是 Cn

Cnr 可以看成以 r 为自变量的函数 f (r )
定义域是 {0,1, 2,?, n} ,例当 n ? 6 时,其图象是 7 个孤立的 图) (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
m n Cn ? Cn ? ) . m

点(如





直线 r ?

n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? k ? 1) k ?1 n ? k ? 1 , ? Cn ? k! k n ? k ?1 n ? k ?1 n ?1 k k ?1 ∴ Cn 相对于 C n 的增减情况由 决定, , ?1? k ? k k 2 n ?1 当k ? 时,二项式系数逐渐增大.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取 2
(2)增减性与最大值.∵ Cn ?
k

n 是图象的对称轴. 2

得最大值;
n n ?1 n ?1

当 n 是偶数时,中间一项 Cn2 取得最大值;当 n 是奇数时,中间两项 Cn 2 , Cn 2 取得最大 值.
1 r r x ? ? ? Cn x ? ? ? xn , (3)各二项式系数和:由 (1 ? x) n ? 1 ? Cn

令 x ? 1 ,得 2 ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn
n 0 1 2 r 0 2 4 1 3 5

n

令 x=-1,得 Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? 即时突破: 1.已知 ( x ? 式的常数项
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2 n ) 的展开式中,第五项与第三项的二项式系数之比为 14;3,求展开 x2

2

2.已知: ( x 3 ? 3x 2 )n 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992 . 求展开式中二项式系数最大的项;

3.已知 (3 x ? x 2 ) 2 n 的展开式的系数和比 (3 x ? 1) n 的展开式的系数和大 992,求 (2 x ? 1 ) 2n
x

的展开式中二项式系数最大的项;

【实战演练】
1.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是(
2 5
4

1 x

)

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

A. ?10
5

B. 10

C. ?5

D. 5 ) D.80

2.若 (1 ? 2) ? a ? b 2(a, b 为有理数) ,则 a ? b ? ( A.45
n

B.55

C.70

3. (1 ? ax ? by ) 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243 ,不含 y 的项的系数绝对值 的和为 32 ,则 a, b, n 的值可能为 A. a ? 2, b ? ?1, n ? 5 C. a ? ?1, b ? 2, n ? 6 4. (2 x ? B. a ? ?2, b ? ?1, n ? 6 D. a ? 1, b ? 2, n ? 5

w.w. w. k.s .5.u.c.o.m

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

(用数字作答)

5.已知(1+ax)3,=1+10x+bx2+…+a3x3,则 b=

.

6. ( x ? y ) 的展开式中, x y 的系数与 x y 的系数之和等于_____________.
10 7 3 3 7

7. ?x ? 1? ? ?x ? 1? ? ?x ? 1? ? ? ? ?x ? 1? 展开式中含x 的系数为
3 4 5 12 2

8.设 (

2 ? x)2 n ? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ... ? a2 n ?1 x 2 n ?1 ? a2 n x 2 n ,则 2

?a0 ? a2 ? a4 ? ? a2n ?2 ? ?a1 ? a3 ? a5 ? ? a2n?1 ?2 ?

9. (1+2x)3 (1-x)4 的展开式中 x2 项的系数是

10.若 x+x2+?+x =a0+a1 (1+x) +?+ a10(1+x) ,则 a =
10 10 9

【困惑问题】 请将不懂的问题写出来,老师和你一起解决。



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