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北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编:导数及其应用 Word版含答案



北京市部分区 2017 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 导数及其应用

1、 (昌平区 2017 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? ln(1 ? ax) ? bx , g ( x) ? f ( x) ? bx 2 . (Ⅰ)若 a ? 1, b ? ?1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若曲线 y ? g ( x) 在点 (1, ln 3) 处的切线与直线 11x ? 3 y ? 0 平行. (i) 求 a , b 的值; (ii)求实数 k (k ? 3) 的取值范围,使得 g ( x) ? k ( x2 ? x) 对 x ? (0, ??) 恒成立.

2、 ( 朝 阳 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 设 函 数 f ( x) ? ln( x ?1) ? ax ? x ? 1 ,
2

g ( x) ? ( x ?1)e x ? ax2 , a ? R .
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 g ( x) 有两个零点,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)证明 f ( x) ? g ( x) .

3、 (朝阳区 2017 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) ? e x ( x2 ? a) , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (?3, 0) 上单调递减,试求 a 的取值范围; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 的最小值为 ?2e ,试求 a 的值.

4、 (东城区 2017 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? (Ⅰ)若 f (0) 为 f ( x ) 的极小值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,求 a 的最大值.

ax (a ? R ) . x ?1

1

5、 (丰台区 2017 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? xe x 与函数 g ( x) ?

1 2 x ? ax 的图象在 2

0) 处有相同的切线. 点 (0,
(Ⅰ)求 a 的值;

, 2] 上的最小值. (Ⅱ)设 h ( x) ? f ( x) ? bg ( x) (b ? R) ,求函数 h ( x) 在 [1
a ?1. x (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 存在斜率为 ?1的切线,求实数 a 的取值范围;
6、 (海淀区 2017 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; x?a (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ,求证:当 ?1 ? a ? 0 时, g ( x) 在 (1, ??) 上存在极小值. ln x 7、 (海淀区 2017 届高三上学期期中)已知函数 f ( x) ? x3 ? 9 x ,函数 g ( x) ? 3x2 ? a . (Ⅰ)已知直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线,且 l 与曲线 y ? g ( x) 相切,求 a 的 值; (Ⅱ)若方程 f ( x) ? g ( x) 有三个不同实数解,求实数 a 的取值范围.

8、 (石景山区 2017 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

x ? 1 , g ( x) ? x2ea x (a ? 0) . x ?1
2

(Ⅱ)若对任意 x1 , x2 ?[0, 2] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围.

9、 (通州区 2017 届高三上学期期末)设函数 f ( x) ? e ?1? k ? R ? .
kx

(Ⅰ)当 k=1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0,f (0)) 处的切线方程;

? ?) 时, F ( x) >0. (Ⅱ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? kx ,证明:当 x∈ (0,
2

10、 (西城区 2017 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? ln x ? a ? sin ( x ?1) ,其中 a ? R . (Ⅰ)如果曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率是 ?1 ,求 a 的值; (Ⅱ)如果 f ( x ) 在区间 (0,1) 上为增函数,求 a 的取值范围.

2

11、 (北京市第四中学 2017 届高三上学期期中) 已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x ? x ≥ 0? , 1? x

其中 a ? 0 . (Ⅰ)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 的最小值为 1,求 a 的取值范围.

12 、 (北京市第四中学 2017 届高三上学期期中) 设函数 f ( x) ? ? a ln x ?

? ?

b? x ? e ,曲线 x?

y ? f ( x) 在点 P ? 1, f ? 1 ? ? 处的切线方程为 y ? e( x ? 1) ? 2 .

(Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)设 g ( x) ? xe ? x ?
2 ? x ? 0 ? ,求 g ( x) 的最大值; e

(Ⅲ)证明函数 f ( x) 的图象与直线 y ? 1 没有公共点.

参考答案 1、解: (Ⅰ)当 a ? 1, b ? ?1 时, f ( x) ? ln(1 ? x) ? x,( x ? ?1) , 则 f '( x) ?

1 ?x ?1 ? . 1? x 1? x

当 f '( x) ? 0 时, ?1 ? x ? 0 ; 当 f '( x) ? 0 时, x ? 0 ; 所以 f ( x ) 的单调增区间为 (?1, 0) ,单调减区间为 (0, ??) . (Ⅱ)(i)因为 g ( x) ? f ( x) ? bx2 ? ln(1 ? ax) ? b( x ? x2 ) , 所以 g '( x) ? ?????4 分

a ? b(1 ? 2 x) . 1 ? ax
3

? g (1) ? ln(1 ? a ), ? 依题设有 ? 11 g '(1) ? , ? 3 ?
解得 ?

?ln(1 ? a) ? ln 3, ? 即? a 11 ?b ? . ? 3 ?1 ? a
?????8 分

?a ? 2 . ?b ? ?3
2

(i i)所以 g ( x) ? ln(1 ? 2 x) ? 3( x ? x ), x ?( ? , ??) .

1 2

g ( x) ? k ( x2 ? x) 对 x ? (0, ??) 恒成立,
即 g ( x) ? k ( x2 ? x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立. 令 F ( x) ? g ( x) ? k ( x ? x) .
2

则有 F '( x) ?

4(3 ? k ) x 2 ? k ? 1 . 1 ? 2x

① 当 1 ? k ? 3 时,当 x ? (0, ??) 时, F '( x) ? 0 , 所以 F ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增. 所以 F ( x) ? F (0) ? 0 ,即当 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? k ( x2 ? x) ; ②当 k ? 1 时,当 x ? (0,

1 1? k ) 时, F '( x) ? 0 , 2 3? k

所以 F ? x ? 在 (0,

1 1? k ) 上单调递减, 2 3? k

故当 x ? (0,

1 1? k ) 时, F ( x) ? F (0) ? 0 , 2 3? k

即当 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? k ( x2 ? x) 不恒成立. 综上, k ? [1,3] . 2、解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域是 (1, ??) , f ?( x) ? ?????13 分

x(2ax ? 2a ? 1) . x ?1

当 a ? 1 时, f ?(2) ? 4a ? 2 ? 6 , f (2) ? 4a ? 3 ? 7 . 所以函数 f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 7 ? 6( x ? 2) . 即 y ? 6x ? 5 .
4

?????????????4 分

(Ⅱ)函数 g ( x) 的定义域为 R ,由已知得 g?( x) ? x(e ? 2a) .
x

①当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? ( x ?1)e 只有一个零点;
x

②当 a ? 0 ,因为 e ? 2a ? 0 ,
x

当 x ? (??,0) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, g ?( x) ? 0 . 所以函数 g ( x) 在 (??, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增. 又 g (0) ? ?1 , g (1) ? a , 因为 x ? 0 ,所以 x ?1 ? 0, e x ? 1,所以 ex ( x ?1) ? x ?1,所以 g ( x) ? ax2 ? x ? 1 取 x0 ?

?1 ? 1 ? 4a ,显然 x0 ? 0 且 g ( x0 ) ? 0 2a

所以 g (0) g (1) ? 0 , g ( x0 ) g (0) ? 0 . 由零点存在性定理及函数的单调性知,函数有两个零点. ③当 a ? 0 时,由 g?( x) ? x(e ? 2a) ? 0 ,得 x ? 0 ,或 x ? ln(?2a) .
x

ⅰ) 当 a ? ?

1 ,则 ln(?2a) ? 0 . 2

当 x 变化时, g ?( x), g ( x) 变化情况如下表:

x
g ?( x)
g ( x)

(??, 0)
+ ↗

0

(0,ln(?2a))
- ↘

ln(?2a)
0

(ln(?2a), ??)
+ ↗

0
?1

注意到 g (0) ? ?1 ,所以函数 g ( x) 至多有一个零点,不符合题意. ⅱ) 当 a ? ?

1 ,则 ln( ? 2) a ? 0 , g ( x) 在 (??, ??) 单调递增,函数 g ( x) 至多有一个零点, 2

不符合题意. 若a ? ?

1 ,则 ln(?2a) ? 0 . 2

当 x 变化时, g ?( x), g ( x) 变化情况如下表:

x

(??, ln(?2a))

ln(?2a)

(ln(?2a),0)

0

(0, ??)

5

g ?( x)

+ ↗

0

- ↘
x 2

0
?1

+ ↗

g ( x)

注意到当 x ? 0, a ? 0 时, g ( x) ? ( x ?1)e ? ax ? 0 , g (0) ? ?1 ,所以函数 g ( x) 至多 有一个零点,不符合题意. 综上, a 的取值范围是 (0, ??).
x

????????????????9 分

(Ⅲ)证明: g ( x) ? f ( x) ? ( x ?1)e ? ln( x ?1) ? x ?1. 设 h( x) ? ( x ?1)e ? ln( x ?1) ? x ?1,其定义域为 (1, ??) ,则证明 h( x) ? 0 即可.
x
x 因 为 h?( x ) ? x e ?

x 1 x ? x (e ? ), 取 x1 ? 1 ? e?3 , 则 h?( x1 ) ? x1 (ex1 ? e3 ) ? 0 , 且 x ?1 x ?1

h?( 2) ? 0.
又因为 h??( x) ? ( x ? 1)e ?
x

1 ? 0 ,所以函数 h?( x) 在 (1, ??) 上单增. ( x ? 1) 2
x0

所以 h?( x) ? 0 有唯一的实根 x0 ? (1, 2) ,且 e

?

1 . x0 ? 1

当 1 ? x ? x0 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? x0 时, h?( x) ? 0 . 所以函数 h( x) 的最小值为 h( x0 ) . 所以 h( x) ? h( x0 ) ? ( x0 ?1)e 0 ? ln( x0 ?1) ? x0 ?1
x

? 1 ? x0 ? x0 ?1 ? 0 .
所以 f ( x) ? g ( x). ????????????????????14 分

3、解:由题意可知 f ?( x) ? e x ( x2 ? 2 x ? a) . (Ⅰ)因为 a ? 1 ,则 f (0) ? ?1 , f ?(0) ? ?1 , 所以函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? (?1) ? ?( x ? 0) . 即 x ? y ?1 ? 0 . (Ⅱ)因为函数 f ( x ) 在 (?3, 0) 上单调递减, ???????3 分

6

所以当 x ? (?3, 0) 时, f ?( x) ? e x ( x2 ? 2 x ? a) ? 0 恒成立. 即当 x ? (?3, 0) 时, x ? 2 x ? a ? 0 恒成立.
2

显然,当 x ? (?3, ?1) 时,函数 g ( x) ? x2 ? 2x ? a 单调递减, 当 x ? (?1, 0) 时,函数 g ( x) ? x2 ? 2x ? a 单调递增. 所以要使得“当 x ? (?3, 0) 时, x ? 2 x ? a ? 0 恒成立” ,
2

等价于 ?

? g (?3) ? 0, ? a ? 3, 即? 所以 a ? 3 . ? g (0) ? 0. ?a ? 0.

???????8 分

(Ⅲ)设 g ( x) ? x2 ? 2x ? a ,则 ? ? 4 ? 4a . ①当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 时, g ( x) ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在 (??, ??) 单增,所以函数 f ( x ) 没有最小值.
2 ②当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? ?1 时,令 f ?( x) ? e x ( x2 ? 2 x ? a) ? 0 得 x ? 2 x ? a ? 0 ,

解得 x1 ? ?1 ? a ? 1, x2 ? ?1 ? a ? 1 随着 x 变化时,

f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:
? 1? 1? a

x
f ' ( x) f ( x)

(?? , ? 1 ? 1 ? a )

(? 1 ? 1 ? a , ? 1+ 1 ? a )

? 1+ 1 ? a

(? 1+ 1 ? a , ??)
+ ↗

+ ↗

0
极大值

- ↘

0 极小值

当 x ? (?? , ? 1 ? 1 ? a ] 时, x2 ? (? 1 ? 1 ? a )2 ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 所以 x ? a ? 2 ? 2 1 ? a ? 0 .
2

所以 f ( x) ? e x ( x 2 ? a) ? 0 . 又因为函数 f ( x ) 的最小值为 ?2e<0 , 所以函数 f ( x ) 的最小值只能在 x2 ? ?1 ? a ? 1 处取得. 所以 f (?1 ? a ?1) ? e?1? 所以 e?1?
a?1 a?1

[(?1? a ?1)2 ? a] ? 2e?1?

a?1

(1? a ?1) ? ?2e .

( a ?1 ?1) ? e .

7

易得 a ? 1 ?1 ? 1 . 解得 a ? 3 . 以下证明解的唯一性,仅供参考: 设 g (a) ? e?1?
a?1

?????????????14 分

(1 ? a ?1)

因为 a ? 0 ,所以 ? 1+ 1 ? a ? 0 , 1 ? 1 ? a ? 0 . 设 x ? ? 1+ 1 ? a ? 0 ,则 ? x ? 1 ? 1 ? a . 设 h( x) ? ? xe x ,则 h?( x) ? ?e x ( x ? 1) . 当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 ,从而易知 g (a ) 为减函数. 当 a ? (0,3) , g (a) ? 0 ;当 a ? (3, ??) , g (a) ? 0 . 所以方程 e?1?
a?1

( a ?1 ?1) ? e 只有唯一解 a ? 3 .

4、解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (?1, ??) . 因为 f ( x) ? ln( x ? 1) ? 所以 f '( x) ?

ax , x ?1

1 a ? . x ? 1 ( x ? 1) 2

因为 f (0) 为 f ( x ) 的极小值, 所以 f '(0) ? 0 ,即 所以 a ? 1 . 此时, f '( x) ?

1 a ? ?0. 0 ? 1 (0 ? 1)2

x . ( x ? 1) 2

当 x ? (?1, 0) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减; 当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增. 所以 f ( x ) 在 x ? 0 处取得极小值, 所以 a ? 1 . ???????????5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 a ? 1 时, f ( x ) 在 [0, ??) 上为单调递增函数, 所以 f ( x) ? f (0) ? 0 , 所以 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立.

8

因此,当 a ? 1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ax x ? ln( x ? 1) ? ?0, x ?1 x ?1

f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立.
当 a ? 1 时, f '( x) ?

1 a x ? (a ? 1) , ? ? 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

所以,当 x ? (0, a ? 1) 时, f '( x) ? 0 ,因为 f ( x ) 在 [0, a ? 1) 上单调递减, 所以 f (a ? 1) ? f (0) ? 0 . 所以当 a ? 1 时, f ( x) ? 0 并非对 x ? (0, ??) 恒成立. 综上, a 的最大值为 1 . ???????????13 分 ……………….2 分 ……………….4 分

5、解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? e x ? xe x ,所以 f ?(0) ? 1 . 因为 g ?( x) ? x ? a ,所以 g ?(0) ? a .

因为 f ( x) 与 g ( x) 的图象在 (0,0) 处有相同的切线, 所以 f ?(0) ? g ?(0) , 所以 a ? 1 . …….5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) ?

1 2 x ? x, 2
x

令 h( x) ? f ( x) ? bg ( x) ? xe ?
x x

1 2 bx ? bx , x ? [1, 2] , 2
x

则 h?( x) ? e ? xe ? b( x ? 1) ? ( x ? 1)(e ? b) .

……………….6 分

(1)当 b ? 0 时, ?x ?[1, 2] , h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在[1,2]上是增函数, 故 h( x) 的最小值为 h(1)=e ?

3 b; 2

……………….7 分 ……………….8 分

(2)当 b ? 0 时,由 h?( x)=0 得, x ? ln b ,

①若 ln b ? 1 ,即 0 ? b ? e ,则 ?x ?[1, 2] , h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在[1,2]上是增函 数, 故 h( x) 的最小值为 h(1)=e ?
2

3 b. 2

……………….9 分

2) , ②若 1 ? ln b ? 2 ,即 e ? b ? e ,则 ?x ? (1, lnb ), h?( x) ? 0 , ?x ? (ln b,
h?( x) ? 0 ,

2) 上是增函数, 所以 h( x) 在 (1, ln b) 上是减函数,在 (ln b,

9

故 h( x) 的最小值为 h(ln b)= ?
2

1 b ln 2 b ; 2

……………….11 分

③若 ln b ? 2 ,即 b ? e ,则 ?x ?[1,2] , h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 [1, 2] 上 是减函数, 故 h( x) 的最小值为 h(2)=2e2 ? 4b . 综上所述,当 b ? e 时, h( x) 的最小值为 h(1)=e ? 当 e ? b ? e 时, h( x) 的最小值为 ?
2

……………….12 分

3 b, 2

1 b ln 2 b , 2
…………….13 分

当 b ? e2 时, h( x) 的最小值为 2e2 ? 4b . 6、解: (Ⅰ)由 f ( x) ? ln x ?

a ?1 得 x

f '( x) ?

1 a x?a ? ? 2 ( x ? 0) . x x2 x

由已知曲线 y ? f ( x) 存在斜率为 ?1的切线, 所以 f '( x) ? ?1 存在大于零的实数根, 即 x 2 ? x ? a ? 0 存在大于零的实数根, 因为 y ? x 2 ? x ? a 在 x ? 0 时单调递增,
( -? , 0) 所以实数 a 的取值范围 .

(Ⅱ)由 f '( x) ?

x?a , x ? 0 , a ? R 可得 x2

当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 的增区间为 (0, ??) ; 当 a ? 0 时,若 x ? (?a, ??) , f '( x) ? 0 ,若 x ? (0, ?a) , f '( x) ? 0 , 所以此时函数 f ( x) 的增区间为 (?a, ??) ,减区间为 (0, ?a) .

a ?1 f ( x) x?a x (Ⅲ)由 g ( x) ? 及题设得 g '( x) ? , ? 2 (ln x) (ln x)2 ln x 由 ?1 ? a ? 0 可得 0 ? ? a ? 1 ,由(Ⅱ)可知函数 f ( x) 在 (?a, ??) 上递增, 所以 f (1) ? ?a ? 1 ? 0 , ln x ?
取 x ? e ,显然 e ? 1 ,

f (e) ? lne ?

a a ?1 ? ? ? 0 , e e

所以存在 x0 ? (1,e) 满足 f ( x0 ) ? 0 ,即 存在 x0 ? (1,e) 满足 g '( x0 ) ? 0 ,

10

所以 g ( x), g '( x) 在区间 (1, ??) 上的情况如下:

x
g '( x ) g ( x)

(1, x0 )
?

x0

( x0 , ??)

0 极 小

?
?

?

所以当 ?1 ? a ? 0 时, g ( x) 在 (1, ??) 上存在极小值. (本题所取的特殊值不唯一,注意到 7、详细分析:

?a ,因此只需要 ln x0 ? 1 即可) ? 0( x ? 1) ) x

11

8、解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 R , f ?( x) ?

(1 ? x2 ) (1 ? x)(1 ? x) .……2 分 ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2

当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, ?1)

(?1,1)

(1, ??)

?
?

?
?

?
?

f ( x)

所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间是 (?1,1) , 单调递减区间是 (??, ?1) , (1, ??) . …………5 分

(Ⅱ) 依题意, “对于任意 x1 , x2 ?[0, 2] ,f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立”等价于 “对于任意 x ? [0, 2] ,

f ( x)min ? g ( x)max 成立”.
由(Ⅰ)知,函数 f ( x ) 在 [0,1] 上单调递增,在 [1, 2] 上单调递减, 因为 f (0) ? 1 , f (2) ?

2m ? 1 ? 1 ,所以函数 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 . 5
12

所以应满足 g ( x)max ? 1.………………………………………………7 分 因为 g ( x) ? x 2eax ,所以 g ?( x) ? (ax2 + 2 x)eax .………8 分 因为 a ? 0 ,令 g ?( x) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ? ? (ⅰ)当 ?

2 . a

2 ? 2 ,即 ?1 ? a ? 0 时, a

在 [0, 2] 上 g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 在 [0, 2] 上单调递增, 所以函数 g ( x)max ? g (2) ? 4e2a . 由 4e2 a ? 1 得, a ? ? ln 2 ,所以 ?1 ? a ? ? ln 2 . ……………11 分 (ⅱ)当 0 ? ?

2 ? 2 ,即 a ? ?1 时, a 2 2 在 [0, ? ) 上 g ?( x) ? 0 ,在 (? , 2] 上 g ?( x) ? 0 , a a 2 2 所以函数 g ( x) 在 [0, ? ) 上单调递增,在 (? , 2] 上单调递减, a a 2 4 所以 g ( x) max ? g ( ? ) ? 2 2 . a ae 4 2 由 2 2 ? 1 得, a ? ? ,所以 a ? ?1 . ……………13 分 ae e
综上所述, a 的取值范围是 (??, ? ln 2] . ……………14 分

9、解:(Ⅰ) f '( x) ? e x ,……………….1 分 将 x=0 分别代入 f(x)和 f’(x)得,f’(0)=1, f(0)=0……………….3 分 所以曲线在点(0, f(0))处的切线方程为:y=x. ……………….4 分 (Ⅱ) F '( x) ? kekx ? 2x ? k ……………….6 分 令 g ( x) ? kekx ? 2 x ? k ,则 g '( x) ? k 2ekx ? 2 ……………….8 分
? ekx ? 0, k 2 ? 0 ,? g '( x) ? k 2ekx ? 2 ? 0 ……………….10 分

∴g(x)在 (0, ??) 上单调递增, ∴g(x)>g(0)=0 即 F '( x) ? 0 ,……………….11 分 ∴F(x)在 (0, ??) 上单调递增, ∴F(x)>F(0)=0……………….13 分 10、解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域是 (0, ??) ,[1 分] 导函数为 f ?( x) ?

1 ? a ? cos( x ? 1) .[2 分] x
13

因为曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率是 ?1 , 所以 f ?(1) ? ?1 ,即 1 ? a ? ?1 ,[3 分] 所以 a ? 2 .[4 分] (Ⅱ)因为 f ( x ) 在区间 (0,1) 上为增函数, 所以对于任意 x ? (0,1) ,都有 f ?( x) ? 因为 x ? (0,1) 时, cos( x ? 1) ? 0 , 所以 f ?( x) ?

1 ? a ? cos( x ? 1) ≥ 0 .[6 分] x

1 1 ? a ? cos( x ? 1) ≥ 0 ? a ≤ .[8 分] x x ? cos( x ? 1)

令 g ( x) ? x ? cos( x ? 1) ,所以 g ?( x) ? cos( x ? 1) ? x ? sin ( x ? 1) .[10 分] 因为 x ? (0,1) 时, sin ( x ? 1) ? 0 , 所以 x ? (0,1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递增, 所以 g ( x) ? g (1) ? 1 .[12 分] 所以 a ≤ 1 . 即 a 的取值范围是 (? ?,1] .[13 分] 11、解:定义域为 ?0, ??? . f ?( x) ?

a 2 ax 2 ? a ? 2 . ? ? ax ? 1 (1 ? x)2 (ax ? 1)(1 ? x)2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ?( x) ?

x2 ?1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 (舍 ?1 ). ( x ? 1)(1 ? x)2
1 0 极小值
(1, ??)

x
f ?( x )
f ( x)

(0,1)

?
?

?
?

所以 a ? 1 时, f ( x) 的单调增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1) . (Ⅱ) f ?( x) ?

ax 2 ? a ? 2 ,∵ x ? 0, a ? 0, (ax ? 1)(1 ? x)2

∴ ax ? 1 ? 0.

14

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x) 在 ?1, ?? ? 单调递增,所以

f ( x)的最小值为f (0) ? 1;
②当 0 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

2-a 2-a ), 单调增区间为( , ? ?).所 以 f ( x) 在 a a

x?

2?a 2?a 处取得最小值,注意到 f ( ) ? f (0) ? 1, ,所以不满足 a a
综上可知,若 f ( x) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??).

12、 解: (I)函数f ( x)的定义域为(0,+?),
b ?? b? b? ? ? ?a b f ?( x) ? ? a ln x ? ? e x ? ? a ln x ? ? ? e x ?? ? ? ? 2 ? a ln x ? ? e x . x? x? x? ? ? ?x x

由题意可得f (1) ? 2, f ?(1) ? e.

故a ? 1 ,b ?

2 . e

2 (Ⅱ) g ( x) ? xe? x ? , 则g '( x) ? e ? x (1 ? x) . e

所以当x ? (0,1)时g ?( x) ? 0; 当x ? (1, ??)时,g ?( x) ? 0.故g ( x)在(0,1)单调递增, 1 在(1,+?)单调递减,从而g ( x)在(0, ?)的最大值为g (1) ? ? . e
2 (Ⅲ)由(I)知f ( x) ? e x ln x ? e x ?1 , 又 f (1) ? e ln1 ? 2e0 =2 ? 1, 于是函数 f ( x) 的 x 2 图象与直线 y ? 1 没有公共点等价于 f ( x) ? 1 。 而f ( x) ? 1等价于x ln x ? xe? x ? . e

设函数h( x) ? x ln x, 则h?( x) ? ln x ? 1.
1 1 所以当x ? (0, )时,h?( x) ? 0; 当x ? ( , ??)时,h?( x) ? 0. e e

1 1 故h( x)在(0, )单调递减,在( , ??)单调递增,从而h( x)在(0,+?)的最小值为 e e 1 1 h( ) ? ? . e e

由(Ⅱ)知 综上,当x ? 0时,h( x) ? g ( x),即f ( x) ? 1.
15



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