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江苏省扬州师大附中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题



扬州大学附属中学 2012~2013 学年度第二学期

高一数学期中试题
责任命题、审核: 本 试 卷 共 计 : 考 试 时 间 :

2013.04.25
160 分 120 分钟

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卷相应的位置上 . ......

... 1. cos 15? ? sin 15? ? _____________.
2 2

2.在 ?ABC 中,

sin A cos B ? ,则 ? B = _____________. a b

3.在数列 {an } 中, a1 =1, an?1 ? an ? 4 ,则 a100 的值为_____________. 4.已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 解集为 {x | 3 ? x ? 4} ,则实数 a ?
2



5.已知 sin ? cos ? =

3 ? ?? 且 ? ? ? 0, ? ,则 cos ? ? sin ? 的值是________. 8 ? 4?

6.在等差数列 {an } 中, Sn 为它的前 n 项和,且 S4 ? 2 , S8 ? 6 ,则 S12 ? ________. 7.已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为________. x y

8.等差数列 {an } 中, a2 ? 6, a6 ? 2 ,则数列 {an } 前 n 项和 Sn 取最大值时的 n 的值为________. 9.已知等比数列 {an } 中, a1 ? 0 ,且 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25, ,则 a3 ? a5 =_________. 10.某校在体育场举行升旗仪式.如图,在坡度为 15° 的观礼台上,某一列座 位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位 A 和最后 一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60° 和 30° ,且座位 A、B 的距 离为 10 6米,则旗杆的高度为________. 11.已知 sin(

?
3

??) ?

1 ? ,则 cos( ? 2? ) ? ________. 3 3

12 . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 若 1 ? _________.

tan A 2c ? ,则角 A 的大小为 tan B b

13.不等式 mx ? 2 x ? m ? 0 对任意 x ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是________.
2

14.定义函数 f ( x ) ? ? ? x ? x ?? ? ,其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, 如: 1.5 =1,

? ?

??1.3? =-2.当 x ? ?0, n ? ? n ? N ? ? 时,设函数 f ( x) 的值域为 A,记集合 A 中的元
素个数构成一个数列 {an } ,则数列 {an } 的通项公式为_________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
? x ? (a ? 5) ? 2 ? 0, ? . 设全集为 R , A ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 , B ? ? x x?a ? ? (1)当 a ? ?2 时,求 A ? B ;

?

?

(2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin( x ?

?
3

) cos x ? 3 .

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? , 上的最大值和最小值及取得最大、最小值时对应的 x 值. ? 4 3? ?

17. (本小题满分 14 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a5 ?a7 ? 2 4 , S3 ?1 2 前 n 项和为 K n 且 b1 ? 1 , K3 ? 7 . (1)求数列 ?an ? , {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . ; 等比数列 {bn } 中, 公比 q ? 0 ,

18. (本小题满分 16 分) 作为扬州市 2013 年 4.18 系列活动之一的花卉展在瘦西湖万花园举行. 现有一占地 1800 平方 米的矩形地块,中间三个矩形设计为花圃(如图) ,种植有不同品种的观赏花卉,周围则均是宽为 1 米的赏花小径,设花圃占地面积为 s 平方米,矩形一边的长为 x 米(如图所示) (1)试将 s 表示为 x 的函数; (2)问应该如何设计矩形地块的边长,使花圃占地面积 s 取得最大值.

19. (本小题满分 16 分) 已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 3 cos 12. (1)求角 C ; (2)求 ?ABC 面积的最大值.

A? B ? sin C ,?ABC 周长为 2

20. (本小题满分 16 分) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ;数列 {bn } 满足

6n2 ? (t ? 3bn )n ? 2bn ? 0(t ? R, n ? N ? ) .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)①试确定 t 的值,使得数列 {bn } 为等差数列; ②在①结论下,若对每个正整数 k ,在 ak 与 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列

{cn } .设 Tn 是数列 {cn } 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m .

高一数学期中参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卷相应的位置上 . ......... 1. cos 15? ? sin 15? ? _____________.
2 2

3 2

2.在 ?ABC 中,

sin A cos B ? ? ,则 ? B = _____________. a b 4

3.在数列 {an } 中, a1 =1, an?1 ? an ? 4 ,则 a100 的值为_____________.397

4.已知不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 解集为 {x | 3 ? x ? 4} ,则实数 a ?
2

.?

1 12

5.已知 sin ? cos ? =

3 1 ? ?? 且 ? ? ? 0, ? ,则 cos ? ? sin ? 的值是________. 8 2 ? 4?

6.在等差数列 {an } 中, Sn 为它的前 n 项和,且 S4 ? 2 , S8 ? 6 ,则 S12 ? ______.12 7.已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为________. 3 ? 2 2 x y

8.等差数列 {an } 中, a2 ? 6, a6 ? 2 ,则前 n 项和 Sn 取最大值时的 n 的值为________.7 或 8 9.已知等比数列 {an } 中, a1 ? 0 ,且 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4a6 ? 25, ,则 a3 ? a5 =_________.5 10.某校在体育场举行升旗仪式.如图,在坡度为 15° 的观礼台上,某一列座位所在直线 AB 与旗 杆所在直线 MN 共面,在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60° 和 30° ,且座位 A、B 的距离为 10 6米,则旗杆的高度为________.30 米 11.已知 sin(

?
3

??) ?

1 ? 7 ,则 cos( ? 2? ) ? ________. ? 3 3 9

12. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 1 ?

tan A 2c ? , 则角 A tan B b

? 3 2 13. 不等式 mx ? 2 x ? m ? 0 对任意 x ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是________. m ? 1
的大小为_________. 14. 定义函数 f ( x ) ? ? 其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数, 如: 当 ?1.5? =1,??1.3? =-2. ? x ? x ?? ?,

x ? ? 0, n ? ? n ? N ? ? 时,设函数 f ( x) 的值域为 A,记集合 A 中的元素个数构成一个数列 {an } ,则
数列 {an } 的通项公式为_________. an =1+

n(n ? 1) 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卷指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明或演算步骤.
? x ? (a ? 5) ? 2 ? 0, ? . 15. 设全集为 R , A ? x | x ? 3 x ? 4 ? 0 , B ? ? x x ? a ? ? (1)当 a ? ?2 时,求 A ? B ;

?

?

(2)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围. 15.解:由已知得: A ? ?x ? 1 ?x ? 4? , B ? ?x x ? a ? 5或x ? a? . (1) A ? B ? ??1, ?2? ? ?3,4? ; (2) a ? 4或a ? ?6 .

16.已知函数 f ( x) ? 4sin( x ? ⑴ 求 f ( x ) 的最小正周期; ⑵ 求 f ( x ) 在区间 ? ?

?
3

) cos x ? 3 .

? ? ?? , 上的最大值和最小值及取得最大最小值时 x 的值. ? 4 3? ? 1 2 3 cos x) ? 3 ? 2sin x cos x ? 2 3 cos 2 x ? 3 2

解: f ( x) ? 4cos x( sin x ?

? ? sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ? ) 3
(1) 周期为 ? ; (2)

2x ?

?

? ? ? ? 2? ? ? ?? , ? ,则 x ? 时有最大值 3 ;则 x ? ? 时最小值-2. 3 12 3 ? 6 3 ?
; 等比数列 {bn } 中, 公比 q ? 0 ,

17. 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 且 a5 ?a7 ? 2 4 , S3 ?1 2 前 n 项和为 K n 且 b1 ? 1 , K3 ? 7 . (1)求数列 ?an ? , {bn } 的通项公式; (2)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . 解:(1) an ? 2n; , bn ? 2n?1 ,(2) Tn ? (2n ? 2)2n ? 2

18.作为扬州市 2013 年 4.18 系列活动之一的花卉展在瘦西湖万花园举行. 现有一占地 1800 平方米 的矩形地块,中间三个矩形设计为花圃(如图) ,种植有不同品种的观赏花卉,周围则均是宽为 1 米的赏花小径, 设花圃占地面积为 s 平方米,设矩形一边的长为 x (如图 所示) (1)试将 s 表示为 x 的函数; (2)问应该如何设计矩形地块的边长,使花圃占地面积 s 取得最大值. 解: 由题知 s ? a( x ? 2) ? 2a( x ? 3) ? a(3x ? 8) , 又 3a ? 3 ?

1800 ,则 x

600 600 4800 ? 1, 所以 s ? ( ? 1)(3x ? 8) ? 1808 ? 3x ? ; x x x 4800 1600 ? 1808 ? 3( x ? ) ? 1808 ? 240 ? 1568 . (2) s ? 1808 ? 3 x ? x x (当且仅当 x ? 40 时取等号),此时另一边长为 45 米. 答:当 x ? 40 米,另一边长为 45 米时花圃占地面积 s 取得最大值 1568 平方米. a?
19.已知 ?ABC 的周长为 12,且 3 cos

A? B ? sin C . 2

(1)求角 C ; (2)求 ?ABC 面积的最大值. (1)

3 cos

A? B ? ?C C C C ? 3 cos ? 3 sin ? 2sin cos 2 2 2 2 2



cos

C 3 ? 2 2





0?C ?? ,

C ? ? ? ,C ? . 2 6 3
2 2 2

(2) 由余弦定理得 a ? b ? ab ? c ,又 a ? b ? c ? 12 则有 a ? b ? ab ? (12 ? a ? b) ,化简得
2 2 2

8a ? 8b ? ab ? 48 , 8a ? 8b ? ab ? 48 ? 16 ab ,可得 ab ? 12 或 ab ? 4 ,即 ab ? 144 或
ab ? 16 , 又 ab ? 144 时 a ? b ? 24 与 a ? b ? c ? 12 矛 盾 , 故 ab ? 16 . 所 以

1 3 S?ABC ? ab sin C ? ab ? 4 3. 即 ?ABC 面积的最大值为 4 3. . 2 4
20. 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 2n?1 ? 2 ;数列 {bn } 满足

6n2 ? (t ? 3bn )n ? 2bn ? 0(t ? R, n ? N ? ) .
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)①试确定 t 的值,使得数列 {bn } 为等差数列; ②在①结论下,若对每个正整数 k ,在 ak 与 ak ?1 之间插入 bk 个 2,得到一个新数列

{cn } .设 Tn 是数列 {cn } 的前 n 项和,试求满足 Tm ? 2cm?1 的所有正整数 m .
20.解: (1) an ? 2n (n ? N * ) (2)当 n ? 1 时,得 b1 ? 6 ? t , n ? 2 时,得 b2 ? 6 ?

1 54 ? 3t t ; n ? 3 时,得 b3 ? , 2 7

则由 b1 ? b3 ? 2b2 ,得 t ? 4 .而当 t ? 4 时,由 6n2 ? (t ? 3bn )n ? 2bn ? 0 得 bn ? 2n . 由 bn?1 ? bn ? 2 ,知此时数列 ?bn ? 为等差数列. (本题也可用恒成立求解) (3)由题意知, c1 ? a1 ? 2, c2 ? c3 ? 2, c4 ? a2 ? 4, c5 ? c6 ? c7 ? c8 ? 2, c9 ? a3 ? 8,? 则当 m ? 1 时, T1 ? 2 ? 2c2 ? 4 ,不合题意,舍去; 当 m ? 2 时, T2 ? c1 ? c2 ? 4 ? 2c3 ,所以 m ? 2 成立; 当 m ? 3 时, 若 cm?1 ? 2 , 则 Tm ? 2cm?1 , 不合题意, 舍去; 从而 cm?1 必是数列 ?an ? 中的某一项 ak ?1 ,



Tm ? a1 ? 2 ?? ? 2 ? a2 ? 2 ?? ? 2 ? a3 ? 2 ?? ? 2 ? a4 ? ?? ak ? 2 ?? ? 2 ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ?
b1个 b2个 b3个 bk 个

? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 2k ) ? 2(b1 ? b2 ? b3 ? ?? bk )
? 2(2k ? 1) ? 2 ? (2 ? 2k )k ? 2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 2


2cm?1 ? 2ak ?1 ? 2 ? 2k ?1







2k ?1 ? 2k 2 ? 2k ? 2 ? 2 ? 2k ?1 ,
即 2 ? k ? k ? 1 ? 0 ,所以 2k ? 1 ? k 2 ? k ? k (k ? 1)
k 2

因为 2k ? 1 (k ? N * ) 为奇数,而 k 2 ? k ? k (k ? 1) 为偶数,所以上式无解. 即当 m ? 3 时, Tm ? 2cm?1 综上所述,满足题意的正整数仅有 m ? 2 .

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