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高中竞赛专题:染色问题与染色方法q


练习二十九 1.将1、4行染红色、2、5行染黄色、3、6行染蓝色,然后就弯角板盖住板 面的不同情况分类讨论. 2.设第一张纸上的黑格A与第二张纸上的红格A′重合.如果在第一张纸上A所 在的列中,其余的黑格(奇数个)均与第二张纸的黑格重合,那么由第二张纸上这 一列的黑格个数为偶数,知必有一黑格与第一张纸上的红格重合,即在这一列,第 一张纸上有一方格B与第二张纸上不同颜色的方格B′重合.同理在A、B所在行 上各有一个方格C、D,第二张纸上与它们重合的方格C′、D′的颜色分别与C、 D不同. 3.把9名数学家用点A1,A2,…,A9表示.两人能通话,就用线连结,并涂某 种颜色,以表示不同语种。两人不通话,就不连线. (1)果任两点都有连线并涂有颜色,那么必有一点如A1,以其为一端点的8条线 段中至少有两条同色,比如A1A2、A1A3.可见A1,A2,A3之间可用同一语 言通话.②如情况①不发生,则至少有两点不连线,比如A1、A2.由题设任三点 必有一条连线知,其余七点必与A1或A2有连线.这时七条线中,必有四条是从某 一点如A1引出的.而这四条线中又必有二条同色,则问题得证. 4.结论不成立,如图所示(图中每条线旁都有一个数字,以表示不同语种).

5.类似于第3题证明. 6.用点A1、A2、…、A100表示客人,红、蓝的连线分别表示两人相识或不相识, 因为由一个顶点引出的蓝色的线段最多有32条,所以其中至少有三点之间连红 线.这三个点(设为A1、A2、A3)引出的蓝色线段最多为96条.去掉所有这些 蓝色的线段(连同每条线段上的一个端点AI,I≠1,2,3),这样,在图中至 少还剩下四个点,除A1、A2、A3外,设第四点为A4,这四个点中A1,A2,A 3每一个点与其它的点都以红色的线段相连,于是客人A1、A2、A3、A4彼此两两 相识. 7.先利用右图证明"若平面上有两个异色的点距离为2,地么必定可以找到符合 题意的三角形".再找长为2端点异色的线段.以O(白色)为圆心,4为半径作

圆.如圆内皆白点,问题已证.否则圆内有一黑点P,以OP为底作腰长为2的三 角形OPR,则R至少与O、P中一点异色,这样的线段找到.


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