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2013年高考数学模拟试题(文科)及答案



文科数学
一、选择题: 1.已知全集 U ? R, 且 A ? x | x ? 1 ? 2 , B ? x | x ? 6 x ? 8 ? 0 , 则 (CU A) ? B 等于
2

?

?

?

?

(A) [?1, 4)

(B) (2,3]

(C) (2,3)

(D) (?1, 4)

2.已知 (3 ? 3i ) ? z ? ?2 3i ( i 是虚数单位) ,那么复数 z 对应的点位于复平面内的 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

3.下列有关命题的说法正确的是 (A)命题“若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为: “若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 ” . (B) x ? ?1 ”是“ x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件. “ (C)命题“ ?x ? R , 使得 x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R ,均有 x2 ? x ? 1 ? 0 ” “ . (D)命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 4.某人骑自行车沿直线匀速旅行,先前进了 a 千米,休息了一段时间,又沿原路返回 b 千米( b ? a) ,再前进 c 千米, 则此人离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是

(A) 5.已知 f ( x) ? ?

(B)

(C)

(D)

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ?log a x, x ? 1
(B) (0,

(A) ? , ?

?1 1 ? ?7 3?

1 ) 3

(C) (0,1)

(D) ? ,1?

?1 ? ?7 ?

6.如图是一个算法程序框图,当输入的 x 值为 3 时,输出的结果恰好是 (A) y ? 3
?x

1 ,则空白框处的关系式可以是 3
(D) y ? x
1 3

(B) y ? 3

x

(C) y ? x

?

1 3

7.底面边长为 2 ,各侧面均为直角三角形的正三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为 (A) 4? (B) 4? 3 (C) 2? (D) 3?

8.若 x ? (0,2? ] ,则使 cos x ? sin x ? tan x ? cot x 成立的 x 取值范围是 (A) (

? ?
4 , 2



(B) (

3 ?,?) 4

(C) ? , ? ) (

5 4

(D) ? , 2? ) (

7 4

9. 设 S n 是等差数列{an}的前 n 项和,若

S S4 1 ? ,则 8 等于 S8 3 S16
(C)

(A)

3 10
1 3

(B)

1 3

1 9

(D)

1 8

10. 已知函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x , 正实数 a 、b 、c 满足 f (c) ? 0 ? f (a) ? f (b) ,若实数 d 是函数 f ( x) 的一个零点, 那么下列四个判断: ① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c . 其中可能成立的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

11.已知 O 是 △ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么

(A) AO ? OD

????

????

(B) AO ? 2OD

????

????

(C) AO ? 3OD

????

????

(D) 2AO ? OD

????

????

12.函数 f (x) 、 g (x) 都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 x ? f ?g (x)?=0 有实根,则函数 g ? f (x)? 的解析式可能 是 (A) x 2 ? 4 x ? 3 (B) x 2 ? 4 x ? 5 (C) x 2 ? 2 x ? 3 (D) x 2 ? 3x ? 5

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 2 2 x?0 13.若在区域 ? 内任取一点 P ,则点 P 落在单位圆 x ? y ? 1内的概率为 ? y?0 ?
2 2 2 2



14. 过 圆 x ? y ? 6 x ? 4 ? 0 与 x ? y ? 6 y ? 28 ? 0 的 交 点 , 并 且 圆 心 在 直 线 x ? y ? 4 ? 0 上 的 圆 的 方 程 是 .

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, P 是椭圆上的动点(不能重合于长轴的两端点) I 是 ?PF1 F2 的内心, 15.设 F1 , F2 是椭圆 , 25 16
直线 PI 交 x 轴于点 D ,则

PI ? ID

.

16.老师给出一个函数 y ? f (x) ,四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质:甲:对于 x ? R ,都有

f (1 ? x) ? f (1 ? x) ;乙:在 ?? ?,0? 上函数递减;丙:在 ?0,??? 上函数递增;丁:函数的最小值为0.如果其中恰有
三人说得正确,请写出一个这样的函数 .

三.解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ), A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? 的图象的一部分如图 (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式 ; (Ⅱ)求函数 g (x) 的解析式,使得函数 f (x) 与 g (x) 的图象关于 (

?
4

,1) 对称.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A1, C1 , B 三点的平面截 去长方体的一个角后得到几何体 ABCD ? A1C1 D1 ,且这个几何体的体积为 (Ⅰ)证明:直线 A1B // CDD1C1; (Ⅱ)求 A1 A 的长; (Ⅲ)求经过 A1、C1、B、D 四点的球的表面积.

40 . 3

19. (本小题满分 12 分) 某学校举行“科普与环保知识竞赛” ,并从中抽取了部分学生的成绩 (均为整数) ,所得数据的分布直方图如图.已知图中从左至右前 3 个小组 的频率之比为 1: 3, 4 小组与第 5 小组的频率分别是 0.175 和 0.075, 2: 第 第 2 小组的频数为 10. (Ⅰ)求所抽取学生的总人数,并估计这次竞赛的优秀率(分数大于 80 分) ; (Ⅱ)从成绩落在 50.5,6 0.5) 和 (90.5,100 .5) 的学生中任选两人,求 ( 他们的成绩在同一组的概率.

20. (本小题满分 12 分)
* 已知数列 {an } 中, 1 ? 3 , 对于 n ? N , an , an ?1 为系数的一元二次方程 an x ? 2an ?1 x ? 1 ? 0 都有实数根 ?,? , 以 a
2

且满足 (? ? 1)( ? ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求证:数列 {an ? } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求 {an } 的前 n 项和 S n .

1 3

21. (本小题满分 12 分) 已知点 B(?1,0), C (1,0) , P 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)直线 l 过点(-4,4 3 )且与动点 P 的轨迹交于不同两点 M 、 N ,直线 OM 、 ON ( O 是坐标原点)的 倾斜角分别为 ? 、 ? .求 ? ? ? 的值.

22. (本小题满分 14 分) 若 存 在 实 常 数 k 和 b , 使 函 数 f (x) 和 g (x) 对 于 其 定 义 域 上 的 任 意 实 数 x 分 别 满 足 f ( x) ? kx ? b 和

g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为曲线 f (x) 和 g (x) 的“隔离直线”.已知函数 h( x) ? x 2 ,? ( x) ? 2e ln x ( e
为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数 F ( x) ? h( x) ? ? ( x) 的极值; (Ⅱ)函数 h(x ) 和 ? (x) 是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线;若不存在,请说明理由.

参考答案
1. B 解析: | x ? 1 |? 2 ? ?1 ? x ? 3 ; x ? 6 x ? 8 ? 0 ? 2 ? x ? 4 , (CU A) ? B = (2,3] .选 B. 2. C 解析: z ?

? 2 3i 1 3i ?? ? ,故选 C. 2 2 3 ? 3i

3. D 解析: “若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”为真命题,∴其逆否命题为真命题.故选 D. 4. C 解析:匀速沿直线前进,图象应为斜率为正的直线;休息的一段时间 s 应为常数,沿原路返回,图象应为斜率为 负的直线;再前进,图象应为斜率为正的直线.故选 C.

? 0 ? a ?1 1 1 ? 5. A 解析:要使函数 f (x) 在 (??, ??) 上是减函数,需满足 ? 3a ? 1 ? 0 ,解得 ? a ? ,故选 A. 7 3 ?3a ? 1 ? 4a ? 0 ?

6. B 解析:根据框图,空白框处函数一个满足 f (?1) ?

1 ,故选 B. 3 3 ? 3? .故选 D. 4

7. D 解析:底面边长为 2 ,则侧棱长为 1.三棱锥的外接球,即为棱长为 1 的正方体的外接球,设外接球的半径为 R,则 2 R ? 1 ? 1 ? 1 ?
2 2 2

3 ,此球的表面积为 S = 4?R 2 ? 4? ?

8. C 解析:4 个选项逐一验证,可知应选 C. 9. A 解 析 :

S4 1 ? , 得 S 4 : ( S 8 ? S 4 ) ? 1 : 2 , ? S 4 , ( S 8 ? S 4 ), ( S12 ? S 8 ), ( S16 ? S12 ) 成 等 差 数 列 , S8 3 S8 1? 2 3 = ? ,故选 A. S16 1 ? 2 ? 3 ? 4 10
x

? S 4 : (S 8 ? S 4 ) : (S12 ? S 8 ) : ( S16 ? S12 ) ? 1 : 2 : 3 : 4 ,
1 3

x 10. A 解析:如图,由在同一个坐标系内 y ? ( ) 和 y ? log 2 图象可知,正实数 a 、 b 、 c 与 d 的大小关系应为,

b ? a ? d ? c ,②③成立.故选 B.

11. A 解析: D 为 BC 边中点,? OB ? OC ? 2OD ,? 2OA ? OB ? OC ? 0 ,? OA ? OD ? 0 ,即 AO ? OD , 故选 A.

????

????

12. B 解析:设 x1 是 x ? f ?g (x)?=0 的实数根,即 x1 ? f ?g ( x1 )?,则有 g ( x1 ) ? g ? f ?g ( x1 )??.令 g ( x1 ) ? x2 , 则 x2 ? g ? f ( x2 )? ,?方程 x ? g ? f ( x)? ? 0 有实根,故选 B.

13.

S1 3? 3? ? 解析: 如图 ,设阴影部分的面积为 S 1 , 则所求的概率为 . S ?AOB 32 32
x 2 ? y 2 ? x ? 7 y ? 192 ? 0
解析:由题意,可把所求圆的方程设为

14.

x 2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? ?(x 2 ? y 2 ? 6 y ? 28) 0 , ?
即 x ?y ?
2 2

?

3 3? ? ? 4 ? 0 ,解得 ? ? ?7 ,?所求圆的方程 S 是 x 2 ? y 2 ? x ? 7 y ? 192 ? 0 1? ? 1? ?
5 3
解析: I 是 ?PF1 F2 的内心,

6 6? 3 3? x? y ? 4 ? 28? ? 0 , 其 圆 心 坐 标 为 (? , ? ) , 代 入 x? y?4 ?0 得 1? ? 1? ? 1? ? 1? ?

15.

PF1 PI PF2 PF1 ? PF2 2a 5 PI PI ? ? ? ? . ; .? ? F1 D ID F2 D ID ID F1 D ? F2 D 2c 3

16. f ( x) ?| x ? 2 x | 解析:若甲、乙、丁正确,丙不正确的一个函数可以是 f ( x) ?| x ? 2 x | ;若乙、丙、丁正确,
2 2

甲不正确可以是 f ( x) ? x .答案不唯一,写出一个即可.
2

17. 解: (Ⅰ)根据图象, A ? 1.5 ,

-------------------------------------------------------------------------------------------1 分

T ? 2?(

5? ? 2? 2? ? ) ? ? ,? ? ? ? 2 ,---------------------------------------------------------------------------------------3 分 6 3 T ? ? 2? 于是, f ( x) ? 1.5 sin( 2 x ? ? ) ,2 ? ? ? ? 2k? , k ? z , ? ? 2k? ? , k ? z ,-----------------------------5 分 3 3 2? 2? .函数 f (x) 的解析式为 f ( x) ? 1.5 sin( 2 x ? ?| ? |? ? ,?? ? ? ) .-------------------------------------------6 分 3 3

(Ⅱ)设点 P( x, y) 是函数 g (x) 图象上任意一点,点 P 关于直线 x ?

?

4

对称的点为 P ( x , y ) ,------------------7 分

'

'

'

x ? x' ? y ? y ' ? ? , ? 1 , x ' ? ? x, y ' ? 2 ? y .-------------------------------------------------------------------------------9 分 2 4 2 2

? 2? ? ? P ' ( x ' , y ' ) 在函数 f (x) 的图象上,? 2 ? y ? 1.5 sin[ 2( ? x) ? ] ,化简得 y ? 1.5 sin( 2 x ? ) ? 2 . 2 3 3 ? ?函数 g (x) 的解析式为 g ( x) ? 1.5 sin( 2 x ? ) ? 2 .---------------------------------------------------------------------------12 分 3
18.解: (Ⅰ)法一: ABCD? A1 B1C1 D1 是长方体, ? 平面 A1 AB // 平面 CDD C1 , ? A1 B ? 平面A1 AB , 1

A1 B ? 平面CDD1C1 ,?直线 A1B//平面 CDD1C1.---------------------------------------------------------------------------3 分
法二:连接 CD1 , ABCD ? A1 B1C1 D1 是长方体,? A1 D1 // AD // BC ,且

A1 D1 ? AD ? BC

,

? 四 边 形

是 A1 B C D 平 行 四 边 形 , 1

? A1 B //CD1 . A1 B ? 平面CDD1C1 , CD1 ? 平面CDD1C1 ,?直线 A1B //平面 CDD1C1 .
----------------------------------------------------------------------------------------------------3 分 (Ⅱ)设 A1 A ? h ,?几何体 ABCD - A1C1D1 的体积是

40 . 3

?V ABCD ? AC1D1 ? V ABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ?
即 2? 2? h ?

40 ,------------------------------------------------------------------------------5 分 3

1 1 40 ,解得 h ? 4 .--------------------------------------------------------------------------7 分 ? ? 2? 2? h ? 3 2 3

(Ⅲ)法一:如图,连接 D1 B ,设 D1 B 的中点为 O ,连 OA1 , OC1 , OD ,

? ABCD - A1B1C1D1 是长方体,? A1 D1 ? 平面 A1 AB , ? A1 B ? 平面A1 AB ,? A1 D1 ? A1 B .----------------------------------------------------8 分
? OA1 ? 1 1 D1 B .同理 OD ? OC1 ? D1 B ,? OA1 ? OD ? OC1 ? OB . 2 2

?经过 A1、C1、B、D 的球的球心为点 O .---------------------------------------------------10 分

? D1 B 2 ? A1 D1 ? A1 A 2 ? AB 2 ? 2 2 ? 4 2 ? 2 2 ? 24 .
2

? S 球 ? 4? (OD1 ) 2 ? 4? ? (

D1 B 2 ) ? 24? .-------------------------------------------------------------------------------12 分 2

法二:A1、C1、B、D 四点同时在长方体 ABCD - A1B1C1D1 的外接球上,而空间四边形 A1C1 BD 的外接球是唯一的. 所以经过 A1、C1、B、D 的球,就是长方体 ABCD - A1B1C1D1 的外接球.--------------------------------------------10 分 设长方体外接球的半径为 R ,则 2 R ?

2 2 ? 2 2 ? 4 2 ? 24 .

? S 球 ? 4?R 2 ? 24? .-------------------------------------------------------------------------------------------------------12 分

19. 解: (Ⅰ)设第一小组的频率为 x ,则 x ? 2x ? 3x ? 0.175 ? 0.075 ? 1,解得 x ? 0.125 . 第二小组的频数为 10 ,得抽取顾客的总人数为

10 ? 40 人.------------------------------------------3 分 2 ? 0.125

依题意,分数大于 80 分的学生所在的第四、第五小组的频率和为

0.175 ? 0.075 ? 0.25 ,所以估计本次竞赛的优秀率为 25% .----------------------------------------------------6 分
(Ⅱ)落在 50.5,6 0.5) 和 (90.5,100 .5) 的学生数分别为 0.125 ? 40 ? 5 ; 0.075 ? 40 ? 3 .-----------------7 分 ( 落在 50.5,6 0.5) 的学生设为: Ai (i ? 1,2,3,4,5) ;落在 (90.5,100 .5) 的学生设为: B j ( j ? 1,2,3) , ( 则从这 8 人中任取两人的基本事件为: ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ),

( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , B3 ), ( A4 , B1 ), ( A4 , B2 ), ( A4 , B3 ), ( A5 , B1 ), ( A5 , B2 ), ( A5 , B3 ) , ( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A2 , A3 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B1 , B5 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B2 , B5 ), ( B3 , B4 ), ( B3 , B5 ), ( B4 , B5 ), 共 28 个基本事件;
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10 分 其中“成绩落在同一组”包括 ( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A2 , A3 ),

( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B1 , B5 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B2 , B5 ), ( B3 , B4 ), ( B3 , B5 ), ( B4 , B5 ), 共包含 13 个基本事件,
故所求概率为

13 .----------------------------------------------12 分 28

20. 解: (Ⅰ)由题意得: ? ? ? ?

2an ?1 1 ,? ? ? ? ,代入 (? ? 1)( ? ? 1) ? 2 整理得: an an

1 1 1 an?1 ? ? ? (an ? ) ,---------------------------------------------------------------------------------------------------4 分 3 2 3

1 1 时方程无实数根,∴ an ? , 3 3 1 1 8 1 由等比数列的定义知: {an ? } 是以 a1 ? ? 为首项,公比为 ? 的等比数列.-----------------------6 分 3 3 3 2
当 an ?1 ? an ?

1 8 1 (Ⅱ)由(1)知 an ? ? ? (? )n?1 , 3 3 2
∴ an ?

8 1 1 ? (? )n?1 ? . 3 2 3

-------------------------------------------------------------------------9 分

8 1 1 1 n (Ⅲ) S n ? [1 ? (? ) ? (? ) 2 ? ? ? (? ) n?1 ] ? 3 2 2 2 3

?

16 16 1 n ? ? (? ) n ? . 9 9 2 3

-------------------------------------------------------------------------12 分

21. 解: (Ⅰ)设 P( x, y) ,则 PC ? (1 ? x,? y ) , BC ? (2,0) , PB ? (?1 ? x,? y ) , CB ? (?2,0) ,---------1 分

? | PC | ? | BC |? PB ? CB ,? (1 ? x) 2 ? (? y ) 2 ? 2 ? 2 ? (1 ? x) ,----------------------------------------------------------------4 分
化简得动点 P 的轨迹方程是: y ? 4 x .-----------------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
2 2 (Ⅱ)由于直线 l 过点(-4,4 3 ) ,且与抛物线 y ? 4 x 交于两个不同点,所以直线 l 的斜率一定存在,且不为 0.

设 l : y ? 4 3 ? k ( x ? 4)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 分

? y ? 4 3 ? k ( x ? 4) 2 ,消去 x 得, ky ? 4 y ? (16 k ? 16 3 ) ? 0 , ? 2 y ? 4x ?

? ? 42 ? 4k (16 k ? 16 3 ) ? 0 ,

?2? 3 2? 3 ?k? ,且 k ? 0 . 2 2

y1 ? y2 ?

4 16 3 , y1 y2 ? 16 ? .---------------------------------------------------------------------------------------------------------8 分 k k

y1 y2 4 4 16 ? ? tan? ? tan ? 3 x1 x2 y1 y2 4( y1 ? y2 ) k tan(? ? ? ) ? ? ? ? ? ? , 1 ? tan? tan ? 1 ? y1 y2 1 ? 16 y1 y2 ? 16 3 16 3 16 ? ? 16 x1 x2 y1 y2 k
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11 分

? 0 ? ?,? ? ? ,? 0 ? ? ? ? ? 2? ,
所以 ? ? ? ?

?
6



7? .--------------------------------------------------------------------------------------------------12 分 6

2e 2 x 2 ? 2e 22. 解: (Ⅰ) F ( x) ? h( x) ? ? ( x) ? x ? 2e ln x , F ( x) ? 2 x ? , ? x x
2

'

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分

F ' ( x) ?

2 x 2 ? 2e ? 0 ,解得 x ? e , x ? ? e (舍)----------------------------------------------------2 分 x

x
F ' ( x)

(0, e )
_


e
0 极小值

( e ,??)
+ 增

F (x)

?当 x ? e 时, F (x) 取得极小值, F (x) 极小值= F ( e ) ? e ? e ? 0 --------------------------------------------5 分
(Ⅱ) 若函数 h(x ) 和 ? (x) 存在隔离直线 l : y ? kx ? b , h( x) ? kx ? b ? ? ( x) , (1) ?当 x ? 则 由 知

e 时,F (x)

取得极小值 0.? h( e ) ? ? ( e ) ? e ,点 ( e , e) 在 l : y ? kx ? b 上.-------------------------------------------------6 分

? y ? e ? k ( x ? e ), ? y ? kx ? e ? k e , h( x) ? kx ? b ,即 x 2 ? kx ? e ? k e ? 0 在 x ? (??,??) 上恒成立. ? ? ? k 2 ? 4(?e ? k e ) ? (k ? 2 e ) 2 ? 0 ,? k ? 2 e .---------------------------------------------------------8 分
代入 l : y ? kx ? e ? k e 得, l : y = 2 e x ? 2e .----------------------------------------------------------------------9 分 即 kx ? b ? ? (x) , 2 e x ? 2e ? 2e ln x 在 x ? (0,??) 上恒成立.即 2e ln x ? 2 e x ? 2e ? 0 在 x ? (0,??) 上恒成立. 令 g (x) ? 2e ln x ? 2 e x ? 2e , g ( x) ?
'

2e 2 e ( e ? x) ?2 e ? , 易 知 当 x ? (0, e ) 时 g (x) 递 增 , 当 x x

x ? ( e ,??) 时 g (x) 递减,当 x ? e 时, g (x) 在 (0,??) 取最大值,-----------------------------------------------11 分

g ( x) max ? g ( e ) ? e ? 2e ? e ? 0 ,即 2e ln x ? 2 e x ? 2e ? 0 在 x ? (0,??) 上恒成立.-----------------------13 分
综上所述:函数 h(x ) 和 ? (x) 存在隔离直线 y = 2 e x ? 2e .------------------------------------------------------14 分



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