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22.2.1二次函数与一元二次方程课件



22.2.1二次函数与一元二次方程

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回顾旧知
二次函数的一般式:

y ? ax ? bx ? c (a≠0)
2

x 是自变量,____ y 是____ x 的函数。 ______
当 y = 0 时,

/>ax? + bx + c = 0
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ax? + bx + c = 0
这是什么方程? 一元二次方程与二 次函数有什么关系?

九年级上册 中我们学习了 “一元二次方程”
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教学目标
【知识与能力】
总结出二次函数与x轴交点的个数与一 元二次方程的根的个数之间的关系,表述 何时方程有两个不等的实根、两个相等的 实数和没有实根。 会利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似解。

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实际问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方 向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t 2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要 多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要 多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么? (4)球从飞出到落地要用多少时间?

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解:(1)当 h = 15 时, 20 t – 5 t 2 = 15 t 2 - 4 t +3 = 0 t 1 = 1, t 2 = 3

当球飞行 1s 和 3s 时,它的高度为 15m .

15 m
1s 3s

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20 m
2s (2)当 h = 20 时, 20 t – 5 t 2 = 20 t 2 - 4 t +4 = 0 t1=t2=2 当球飞行 2s 时,它的高度为 20m .
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(3)当 h = 20.5 时, 20 t – 5 t 2 = 20.5 t 2 - 4 t +4.1 = 0 因为(-4)2-4×4.1 < 0 ,所以方程无实根。 球的飞行高度达不到 20.5 m.

20.5 m

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0s (4)当 h = 0 时, 20 t – 5 t 2 = 0 t 2- 4 t = 0

4s

0m

t 1 = 0, t 2 = 4
当球飞行 0s 和 4s 时,它的高度为 0m ,即 0s时,球从地面飞出,4s 时球落回地面。
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二次函数与一元二次方程的关系(1)

已知二次函数,求自变量的值

解一元二次方程的根

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探究
下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有,求出交点坐标. y (1) y = 2x2+x-3 (2) y = 4x2 -4x +1
( 3) y = x2 – x+ 1 o x

令 y= 0,解一元二次方程的根
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y

(1) y = 2x2+x-3 解:当 y = 0 时, 2x2+x-3 = 0 (2x+3)(x-1) = 0 3 x 1 =- ,x 2 = 1 2 x 所以与 x 轴有交点,有两个交点。 二次函数的两点式

o

y =a(x-x1)(x- x 1)
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y

(2) y = 4x2 -4x +1
解:当 y = 0 时, 4x2 -4x +1 = 0

o

x

( 2x - 1) 2 = 0 1 x1=x2= 2 所以与 x 轴有一个交点。

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y

( 3) y = x2 – x+ 1
解:当 y = 0 时, x2 – x+ 1 = 0 因为(-1)2-4×1×1 = -3 < 0

o

x

所以与 x 轴没有交点。

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二次函数与一元二次方程的关系(2)

确定二次函数图象与 x 轴的位置关系

解一元二次方程的根

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二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 的三种情况与一元二次方程根的关系 y=ax2+bx+c 的图象与x轴 ax2+bx+c = 0 的根

?有两个交点 ?有一个交点 ?没有交点

?有两个根 b2 – 4ac > 0 ?有一个根 (两个相同的根) b2 – 4ac = 0 ?没有根 b2 – 4ac < 0

若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点,则 b2 – 4ac ≥ 0 ________________ 。
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△ = b2 – 4ac y △<0 △=0

△>0

o

x
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课堂小结
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点 的三种情况与一元二次方程根的关系:
二次函数 一元二次方程 一元二次方程 2 2+bx+c= 0根的判 y=ax +bx+c的图 ax ax2+bx+c= 0的根 象和x轴交点 别式Δ=b2-4ac 有两个交点 只有一个交点 没有交点 有两个不相 等的实数根 有两个相等的 实数根

b2 – 4ac > 0 b2 – 4ac = 0

没有实数根

b2 – 4ac < 0

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随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A. y = 2x2 – 3 C. y= -x2 – 3x B. y=-2 x2 + 3 D. y=-2(x+1)2 -3

2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0,当 a>0,c<0时,图 象与x轴交点情况是( C ) A. 无交点 C. 有两个交点 B. 只有一个交点 D. 不能确定

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3. 如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两

1 个相等的实数根,则m=___,此时抛物线 y=x2-
1 2x+m与x轴有__个交点 .
4.已知抛物线 y=x2 – 8x + c的顶点在 x轴上,

16 . 则 c =__
5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方 程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是_____ b2-4ac < 0.

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6.抛物线 y=2x2-3x-5 与y轴交于点____, (0,-5) 与x轴交于点

(5/2,0) (-1,0)

.

7.一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1-2 ,
x2=5/3,那么二次函数 y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐

(-2,0) (5/3,0). 标是________

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8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c-3 = 0根的情况是( A ) A. 有两个不相等的实数根

B. 有两个异号的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 y 3 . -1 o 1.3 x

x =- 1
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9.根据下列表格的对应值:

x
y=ax2+bx+c

3.23
-0.06

3.24
-0.02

3.25
0.03

3.26
0.09

判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x 的范围是( C )

A. 3< x < 3.23
C. 3.24 <x< 3.25

B. 3.23 < x < 3.24
D. 3.25 <x< 3.26

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10. 已知抛物线 y1 ? 2x 2 ? 8x ? k ? 8 和直线 y2 ? mx? 1相交于点P(3,4m)。 (1)求这两个函数的关系式;

(2)当x取何值时,抛物线与直线相交,并求
交点坐标。

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解:(1)因为点P(3,4m)在直线 y2 ? mx? 1 上,所以 4m ? 3m ? 1 ,解得m=1 所以 y1 ? x ? 1 ,P(3,4)。因为点P(3,4) 2 y ? 2 x ? 8x ? k ? 8 上,所以有4=18- 在抛物线 1 24+k+8 解得 k=2 2 所以 y1 ? 2 x ? 8x ? 10 ? y ? x ?1 ? (2)依题意,得 ? y ? 2 x ? 8 x ? 10 ? x ? 3 ?x ? 1.5 解这个方程组,得 ? y ? 4 ? y ? 2.5 ? ? 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3, 4),(1.5,2.5)。
2
1

2

1

2

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例:利用函数图象求方 程x2-2x-2=0的实数根 (精确到0.1)
y ? x2 ? 2x ? 2 图象(右

y ? x2 ? 2 x ? 2
(-0.7,0)
(2.7,0)

1 2 3

解:作的 我们还可以通过不断缩小根 图),它与x轴的公共点的横 所在的范围估计一元二次方 程的根。 坐标大约是 ?0.7, 2.7. 所以方程 x2 ? 2 x ? 2 ? 0的实数根为
x1 ? ?0.7, x2 ? 2.7
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x=2时,y<0 x=3时,y>0 ∴根在2到3之间

1

2

3

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已知x=3,y>0 x=2.5时,y<0
∴根在2.5到3之间
2.5

1

2

3

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已知x=2.5时,y<0
x=2.75时,y>0 ∴根在2.5到2.75之间
1 2 2.75
2.5

3

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小结
重复上述步骤,我们逐步得到:这个根在 2.625,2.75之间,在2.6875,2.75之间……可以得 到: 根所在的范围越来越小,根所在的范围的 两端的值越来越接近根的值,因而可以作为 根的近似值,例如,当要求根的近似值与根 的准确值的差的绝对值小于0.1时,由于 |2.6875-2.75|=0.0625<0.1,我们可以将2.6875 作为根的近似值。

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