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2016年上海市高三数学一模浦东、奉贤、青浦、长宁、普陀、闸北、崇明试卷和答案


上海市浦东新区 2016 届高三一模数学试卷
一. 填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 1. 已知集合 A ? {x | x ? 3} , B ? {x | x ? 2} ,则 A ? CR B ? ; 2. 已知向量 a ? (?2,1) , b ? (1, m) 平行,则 m ? ; 3. 关于 x , y 的一元二次方程组 ? 4. 计算: lim

?

?

?2 x ? 3 y ? 1 的系数矩阵; ?x ? 2 y ? 2

3n ?1 ? 2n ?; n ?? 3n ? 2 n ?1

5. 若复数 z 满足

1 i ,则 | z | ? ; ? 0 ( i 为虚数单位) 1 ? 2i z

6. (2 x ? 1)10 的二项展开式中的第八项为; 7. 某船在海平面 A 处测得灯塔 B 在北偏东 30 方向,与 A 相距 6.0 海里,船由 A 向正北方 向航行 8.1 海里达到 C 处,这时灯塔 B 与船相距海里; (精确到 0.1 海里) 8. 已知 cos(
?

?

3 ? ? ? ? ) ? , ? ? ( , ? ) ,则 sin(? ? ) ? ; 2 5 2 3

9. 如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , AA 1 ?2,

E 为棱 CC1 的中点,则 AE 与平面 B1BCC1 所成的角
为; (结果用反三角表示) 10. 已知函数 f ( x ) 的图像与 g ( x) ? 2x 的图像关于直 线 y ? x 对称, h( x) ? f (1? | x |) ,则关于函数 h( x) 有下列命题:① h( x) 的图像关于原点对称;② h( x) 的图像关于 y 轴对称;③ h( x) 的最大值为 0;④ h( x) 在区间 (?1,1) 上单调递增; 其中正确命题的序号为; (写出所有正确命题的序号) 11. 有一列向量 {an } : a1 ? ( x1 , y1 ) , a2 ? ( x2 , y2 ) ,?, an ? ( xn , yn ) ,如果从第二项起,每一项与 前一项的差都等于同一个向量,那么这列向量称为等差向量列,已知等差向量列 {an } ,满足

?? ?

??

?? ?

?? ?

?? ?

?? ?? ? ?? ? a1 ? (?20,13) , a3 ? (?18,15) ,那么这列向量 {an } 中模最小的向量的序号 n ? ;
12. 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x , g ( x) ?
3

x ?1 ,则函数 f ( x) 与 g ( x) 图像交点的横坐标之和为;

二. 选择题(本大题共 12 题,每题 3 分,共 36 分) 13. 如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式中不正确的是() A.

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a b

C. ab ? b

2

D. a ? ab
2

14. 设 ? : x ? 1 且 y ? 2 , ? : x ? y ? 3 , ? 是 ? 成立的() A. 充分非必要条件 C. 充要条件 B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

15. 方程 kx2 ? 4 y 2 ? 4k 表示焦点在 x 轴的椭圆,则实数 k 的取值范围是() A. k ? 4 B. k ? 4 C. k ? 4 D. 0 ? k ? 4

16. 甲、乙、丙、丁四人排成一排,其中甲、乙两人相邻的概率是() A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

1 6

17. 直线 ax ? by ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? ax ? by ? 0 的位置关系是() A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定

18. 某人 5 次上班途中所花的时间 (单位: 分钟) 分别为 x, y,10,11,9 , 已知这组数据的平均数为 10, 方差为 2,则 | x ? y | 的值为() A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 19. 设函数 f ( x ) ( x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x ,当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则

f(

23? ) ? () 6 1 A. 2

B.

3 2

C. 0

D. ?

1 2

20. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S ,那么圆柱的体积等于() A.

S S 2

B.

S S 2 ?

C.

S S 4

D.

S S 4 ?

?1 ?1 21. 已知函数 f ( x ) 存在反函数 f ( x) ,若函数 y ? f ( x ? 1) 过点 (3,3) ,则函数 f ( x) 恒过点()

A. (4,3)

B. (3, 4)

C. (3, 2)

D. (2,3)

22. 一个弹性小球从 10 米高处自由落下,着地后反弹到原来高度的 弹回到上一次高度的 A. 50

4 处,再自由落下,又 5

4 处, 这个小球能无限次反弹, 则这个小球在这次运动中所经过的总路程为 () 5
C. 90 D. 100

B. 80

23. 符合以下性质的函数称为“ S 函数” :①定义域为 R ;② f ( x ) 是奇函数;③ f ( x) ? a (常数 a ? 0 ) ;④ f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增;⑤对任意一个小于 a 的正数 d ,至少存 在一个自变量 x0 ,使 f ( x0 ) ? d ;下列四个函数中: f1 ( x) ?

2a

?

arctan x , f 2 ( x) ?

ax | x | , x2 ? 1

? 1 ?a ? x , x ? 0 ? 2x ? 1 f3 ( x) ? ?0, x ? 0 ) 中“ S 函数”的个数为() , f 4 ( x) ? a ? ( x 2 ?1 ? 1 ??a ? , x ? 0 x ?
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

24. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成 的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星, 如图所示的正六角星的中心为点 O ,其中 x 、 y 分别为点

?

? ?

O 到两个顶点的向量;若将点 O 到正六角星 12 个顶点的向 ? ? ? 量,都写成 ax ? by 的形式,则 a ? b 的最大值为()
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

三. 解答题(本大题共 8 题,共 8+8+8+10+14+6+12+12=78 分)

// 1 OB , E 、 F 分别为 BC 、 OC 的中点; 25. 已知 OA 、 OB 、 OC 交于点 O , AD ?
2
求证: DE ∥平面 AOC ;

26. 已知函数 f ( x) ? 2sin x ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移 到原来的

? 个单位,再把横坐标缩短 6

1 (纵坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 的解析式,并写 2

出它的单调递增区间;

27. 已知两个向量 a ? (1 ? log2 x,log2 x) , b ? (log2 x,1) ; (1)若 a ? b ,求实数 x 的值; (2)求函数 f ( x) ? a ? b , x ? [ , 2] 的值域;

?

?

?

?

? ?

1 4

28. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? (1)求 {an } 的通项公式; (2)当 n ? 2 时, an ?1 ?

3 2 1 n ? n (n ? N * ) ; 2 2

?
an

? ? 恒成立,求实数 ? 的取值范围;

29.

在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 对 于 点 P( x0 , y0 ) , 直 线 l : ax ? by ? c ? 0 , 我 们 称

??

ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2

为点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : ax ? by ? c ? 0 的方向距离;

x2 ? y 2 ? 1上的任意一点 P( x, y ) 到直线 l1 : x ? 2 y ? 0 、 l2 : x ? 2 y ? 0 的方向 (1)设椭圆 4
距离分别为 ? 1 、 ? 2 ,求 ?1? 2 的取值范围; (2)设点 E (?t ,0) 、 F (t , 0) 到直线 l : x cos ? ? 2 y sin ? ? 2 ? 0 的方向距离分别为?1 、?2 , 试问是否存在实数 t ,对任意的 ? 都有?? 1 2 ? 1 成立?若存在,求出 t 的值;若不存在,请 说明理由; (3)已知直线 l : mx ? y ? n ? 0 和椭圆 H :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) ,设椭圆 H 的两个焦点 a 2 b2 F1 、 F2 到直线 l 的方向距离分别为 ?1 、 ?2 满足 ?1?2 ? b2 ,且直线 l 与 x 轴的交点为 A ,与

y 轴的交点为 B ,试比较 | AB | 的长与 a ? b 的大小;

30. 如图,点 A(?1,0) 、 B(1, 0) ,点 C 在 x 轴正半轴上,过线段 BC 的 n 等分点 Di (i ? 1, 2,

3,..., n ? 1) 作与 BC 垂直的射线 li ,在 li 上的动点 P 使 ?APB 取得最大值的位置记作 Pi ;是否存在
一条圆锥曲线,对任意的正整数 n ? 2 ,点 Pi 都在这条曲线上?说明理由;

31. 定义符号函数 sgn( x) ? ?

?1, x ? 0 ,已知 a, b ? R , f ( x) ? x | x ? a | sgn( x ? 1) ? b ; ? 1, x ? 0 ?

(1)求 f (2) ? f (1) 关于 a 的表达式,并求 f (2) ? f (1) 的最小值; (2)当 b ?

1 时,函数 f ( x ) 在 (0,1) 上有唯一零点,求 a 的取值范围; 2

(3)已知存在 a ,使得 f ( x) ? 0 对任意的 x ? [1, 2] 恒成立,求 b 的取值范围;

?b1 ? ?1 ?a1 ? 1 ? * 32. 已知两个无穷数列 {an } 、 {bn } 分别满足 ? 、 ? bn ?1 ,其中 n ? N , | | ? 2 | a ? a | ? 2 ? n ?1 n ? b ? n 设数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 、 Tn ;

(1)若数列 {an } 、 {bn } 都为递增数列,求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式; (2) 若数列 {cn } 满足:存在唯一的正整数 k (k ? 2) ,使得 ck ? ck ?1 ,称数列 {cn } 为“ k 坠点数列” ; ①若数列 {an } 为“5 坠点数列” ,求 Sn ; ②若数列 {an } 为“ p 坠点数列” ,数列 {bn } 为“ q 坠点数列” ,是否存在正整数 m ,使得 Sm?1 ? Tm , 若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由;

浦东新区 2015 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷(含答案) 2016.1
注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 32 道试题,满分 150 分,考试时间 130 分钟. 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否则一律 得零分. 注:填写其他等价形式则得分 1.已知集合 A= x x ? 3 , B ? x x ? 2 ,则 A I CR B ? ? 2,3? 2.已知向量 a ? ? ?2,1? , b ? (1, m) 平行,则 m ? ? 3.关于 x , y 的一元二次方程组 ?

?

?
r

?

?

r

1 2

?2 x ? 3 y ? 1 ?2 3 ? 的系数矩阵 ? ? ? x ? 2y ? 2 ? 1 ?2 ?

3n ?1 ? 2n ?3 4.计算: lim n n ?? 3 ? 2 n ?1 1 i 5.若复数 z 满足 ,则 z ? 5 ? 0 ( i 为虚数单位) 1 ? 2i z
6. ? 2 x ? 1? 的二项展开式中的第八项为 960 x
10

3

7. 某船在海平面 A 处测得灯塔 B 在北偏东 30 ? 方向, 与 A 相距 6.0 海里.船由 A 向正北方向航行 8.1 海里达到 C 处,这时灯塔 B 与船相距_____ 4.2 ______海里(精确到 0.1 海里) 8.已知 cos(

?

3 ? ? 3?4 3 ?? ? ? ? ? ) ? , ? ? ? , ? ? ,则 sin ? ? ? ? ? 10 2 5 3? ?2 ? ?

9.如图,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 , AA 1 ? 2 , E 为棱 CC1 的 中 点 , 则 AE 与 平 面 B1 B C1 C 所 成 的 角 为

D1
A1

C1

B1
D

E

C
B

A

arctan

2 5 i c s a r . (n 5

2 5 , arccos ) (结果用反三角表示) 3 3

10.已知函数 f ( x ) 的图像与 g ( x) ? 2x 的图像关于直线 y ? x 对称,令 h( x) ? f (1 ? x ) ,则关于函 数 h( x) 有下列命题: ① h( x) 的图像关于原点对称;② h( x) 的图像关于 y 轴对称; ③ h( x) 的最大值为 0 ;④ h( x) 在区间 (?1,1) 上单调递增。 其中正确命题的序号为____②③_____(写出所有正确命题的序号) 。 11.有一列向量 an : a1 ? ( x1 , y1 ), a2 ? ( x2 , y2 ),L , an ? ( xn , yn ), 如果从第二项起,每一项与前一 项的差都等于同一个向量, 那么这列向量称为等差向量列。 已知等差向量列 an , 满足 a1 ? (?20,13) ,

? ?

u u r

u r

u u r

u u r

ur u u r a3 ? (?18,15) ,那么这列向量 an 中模最小的向量的序号 n ? __ 4 或 5 __。

? ?
3

? ?

u u r

u r

12.已知 f ? x ? ? 2sin ? x, g ? x ? ?

x ?1, 则 f ? x ? 与 g ? x ? 图像交点的横坐标之和为__17___.

二、选择题(本大题共有 12 题,满分 36 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项是正确 的,选对得 3 分,否则一律得零分. 13.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式中不 正确的是?????????????( B ) .

1 1 1 1 ? ( B ) ? (C ) ab ? b2 ( D) a 2 ? ab a b a b 14.设 ? : x ? 1 且 y ? 2 , ? : x ? y ? 3 , ? 是 ? 成立的??????????( A ( A) 充分非必要条件 ( B ) 必要非充分条件 (C ) 充要条件 ( D) 既非充分又非必要条件

( A)



15.方程 kx ? 4 y ? 4k 表示焦点在 x 轴的椭圆,则实数 k 的取值范围是????( D )
2 2

( A) k ? 4 ( B ) k ? 4 (C ) k ? 4 ( D ) 0 ? k ? 4
16.甲、乙、丙、丁四人排成一排,其中甲、乙两人相邻的概率是????( C )

( A)

1 1 ( B) 4 3

(C )

1 2
2 2

( D)

1 6


17.直线 ax ? by ? 0 与圆 x ? y ? ax ? by ? 0 的位置关系是?????????( B

( A) 相交 ( B ) 相切

(C ) 相离

( D) 不能确定

18. 某人 5 次上班途中所花的时间 (单位: 分钟) 分别为 x, y,10,11,9 , 已知这组数据的平均数为 10, 方差为 2,则 x ? y 的值为????????????????????( A )

( A) 4 ( B ) 3 (C ) 2 ( D ) 1
19.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? ? ) ? f ( x) ? sin x ,当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 0 ,则

f(

23? ) ? ????????????????????????????????( A ) 6

( A)

1 1 3 ( B) (C ) 0 ( D ) ? 2 2 2

20.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 S ,那么圆柱的体积等于????? ( D )

( A)

S S S S S S (C ) S ( B) S ( D) 2 4 2 ? 4 ?

21 .已知函数 f ( x ) 存在反函数 f ?1 ( x) ,若函数 y ? f ? x ? 1? 过点 ? 3, 3? ,则函数 f ?1 ? x ? 恒过 点??????????????????????????????????( B )

( A) ? 4,3? ( B ) ? 3, 4 ? (C ) ? 3, 2 ? ( D) ? 2,3?
22.一个弹性小球从 10 米自由落下,着地后反弹到原来高度的 高度的

4 处,再自由落下,又弹回到上一次 5

4 处,假设这个小球能无限次反弹,则这个小球在这次运动中所经过的总路程 5


为???????????????????????????????????( C ( A) 50 ( B ) 80 (C ) 90 ( D) 100

23. 符合以下性质的函数称为 “ S 函数” : ①定义域为 R , ② f ( x ) 是奇函数, ③ f ( x) ? a (常数 a ? 0 ) , ④ f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,⑤对任意一个小于 a 的正数 d ,至少存在一个自变量 x0 ,使

1 ? ? a? x ax x ? 2a arctan x , f 2 ( x) ? 2 , f3 ( x) ? ? 0 f ( x0 ) ? d 。下列四个函数中 f1 ( x) ? ? x ?1 ? 1 ?? a ? x ?

x?0 x ? 0, x?0

? 2x ? 1 ? f 4 ( x) ? a ? ? x ? 中“ S 函数”的个数为????( C ) ? 2 ?1 ?
( A) 1 个 ( B ) 2 个 (C ) 3 个 ( D ) 4 个
24.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成的两个正三角 形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星,如图所示的正六角星的中心

为点 O , 其中 x, y 分别为点 O 到两个顶点的向量. 若将点 O 到正六角星 12 个顶点的向量, 都写成为

r u r

r u r ax ? by 的形式,则 a ? b 的最大值为( C ) ( A) 3 ( B ) 4 (C ) 5 ( D ) 6

三、解答题(本大题共有 8 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 注:其他解法相应给分 C 25. (本题满分 8 分) 已知 OA ,OB ,OC 交与点 O , AD // 为 BC ,OC 的中点. 求证: DE // 平面 AOC . 证明: 在 ?OBC 中, 因为 E , F 分别为 BC ,OC 的中点, 所以 FE / /

1 OB , E , F 分别 2

F

E

O

B

A

D

1 OB ?????????????????????????????2 分 2 1 又因为 AD / / OB ,所以由平行公理和等量代换知, FE / / AD , 2 所以四边形 ADEF 是平行四边形????????????????????4 分 所以 DE // AF ????????????????????????????6 分
又因为 AF ? 平面 AOC ,所以 DE // 平面 AOC ?????????????8 分 26. (本题满分 8 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移

? 个单位,再把横坐标缩短到原来的 6

1 (纵坐标不变) ,得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x) 的解析式,并写出它的单调递增区 2
间.

? ? 个单位,得 y ? 2sin( x ? ) ??2 分 6 6 1 ? 再把横坐标缩短到原的 (纵坐标不变) ,得到 g ( x) ? 2sin(2 x ? ) 。???????4 分 2 6 ? ? ? ? ? 由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,可得 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z 2 6 2 6 3
解:由 y ? f ( x) ,将函数 y ? f ( x) 的图像向右平移 所以 y ? g ( x) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

, k ? Z ????????????8 分

27. (本题满分 8 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 4 分) 已知两个向量 a ? ?1 ? log 2 x, log 2 x ? , b ? ? log 2 x,1?

r

r

(1)若 a ? b ,求实数 x 的值; (2)求函数 f ( x) ? a ? b, x ? ? , 2 ? 的值域。 4 解: (1) Q a ? b,? ?1 ? log 2 x ? ? log 2 x ? log 2 x ? 0

r

r

r r

?1 ?

? ?

r

r

? log2 x ? (log2 x ? 2) ? 0 ?log2 x ? 0或 log2 x ? ?2
经检验 x ? 1或x ?

1 为所求的解;??????????????????4 分 4
2

(2)由条件知 f ( x) ? log 2 x ? (log 2 x ? 2) ? ? log 2 x ? 1? ? 1

?1 ? Q x ? ? , 2? ,? log 2 x ? ? ?2,1? ?4 ?
? log 2 x ? 1 ? ? ?1, 2? ? ? log 2 x ? 1? ? ? 0, 4?
2

所以值域为 ? ?1,3? 。????????????????????????8 分 28. (本题满分 10 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? (1)求 ?an ? 的通项公式 an ; (2)当 n ? 2 时, a n ?1 ?

3 2 1 n ? n, 2 2

? ? 恒成立,求 ? 的取值范围. an 3 2 1 解:(1) Q S n ? n ? n 2 2 ? an ? S n ? S n?1 ? 3n ? 2 ?n ? 2? ????????????????2 分 当 n ? 1 时也成立, a1 ? 1

?

? an ? 3n ? 2 ?3n ? 1??3n ? 2? ? ? ? ? ?? ? (2) a n ?1 ? ? ? ? 3n ? 1 ? 3n ? 2 3(n ? 1) an ?3n ? 1??3n ? 2? 设 bn ? 3(n ? 1) ?3n ? 1??3n ? 4? ? ?3n ? 1??3n ? 2? ? ?3n ? 1??3n ? 2? ? 0 bn?1 ? bn ? 3n 3(n ? 1) 3n?n ? 1? 28 28 ,? ? ? . ? bn 的最小值为 b2 ? 3 3

29. (本题满分 14 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 5 分、第 3 小题 5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 对于点 P( x0 , y0 ) 、 直线 l : ax ? by ? c ? 0 , 我们称 ? ? 为点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : ax ? by ? c ? 0 的方向距离。 (1)设椭圆

ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2

距离分别为 ? 1 、 ? 2 ,求 ? 1? 2 的取值范围。

x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点 P ( x , y) 到直线 l1 : x ? 2 y ? 0 , l 2 : x ? 2 y ? 0 的方向 4

试问是否存在实数 t ,对任意的 ? 都有?1? 2 ? 1 成立?若存在,求出 t 的值;不存在,说明理由。 (3)已知直线 l : mx ? y ? n ? 0 和椭圆 E :

(2)设点 E (?t ,0) 、 F (t ,0) 到直线 l : x cos? ? 2 y sin ? ? 2 ? 0 的方向距离分别为 ?1 、 ? 2 ,

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) ,设椭圆 E 的两个焦 a2 b2 点 F1 , F2 到直线 l 的方向距离分别为 ?1 、 ?2 满足 ?1?2 ? b 2 ,且直线 l 与 x 轴的交点为 A 、与 y 轴的 交点为 B ,试比较 AB 的长与 a ? b 的大小。
x2 x2 2 2 ? y ? 1 上,所以 y ? 1 ? 解答: (1)由点 P ( x , y) 在椭圆 4 4 2 2 2 x ? 4y 2x ? 4 x ? 2y x ? 2y ? 由题意 ? 1 ? 、? 2 ? ,于是 ? 1? 2 ? ??????2 分 5 5 5 5 4 4 2 又 ? 2 ? x ? 2 得 0 ? x ? 4 ,即 ? ? ? 1? 2 ? ????????????????4 分 5 5 2 2 4 4 2( x ? 4 y ) 8 2 2 ? ,再利用基本不等式易得 ? ? ? 1? 2 ? ) (也可以先求出 ? 1 ? ? 2 ? 5 5 5 5
(2)假设存在实数 t ,满足题设, 由题意?1 ?

? t cos? ? 2
2

cos ? ? 4 sin ? cos2 ? ? 4 sin 2 ? (t cos ? ? 2)( ?t cos ? ? 2) ? 1 ??????????????????6 分 于是?1? 2 ? cos 2 ? ? 4 sin 2 ? 4 ? t 2 cos2 ? ? cos2 ? ? 4 sin 2 ? ? (3 ? t 2 ) cos2 ? ? 0 对任意的 ? 都成立
2

?2 ?

t cos? ? 2



只要 3 ? t ? 0 即可,所以 t ? ? 3
2

故存在实数 t , t ? ? 3 ,对任意的 ? 都有?1? 2 ? 1 成立。???????????9 分 (学生通过联想, 判断直线 x cos? ? 2 y sin ? ? 2 ? 0 是椭圆 从而得到 t ? ? 3 也给分) (3)设 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0) 、 (c,0) ,于是 c ? a ? b
2 2 2

x2 2 ? y 2 ? 1 的切线, 又证明?1? 2 ? b 4

n 2 ? m2c 2 ? b 2 ? n2 ? b2 ? m2 a 2 、 ?2 ? 于是 ?1?2 ? ?1 ? 2 2 2 1? m 1? m 1? m n n2 2 2 又 A(? ,0) , B (0, n) 即 | AB | ? 2 ? n ?????????????????12 分 m m

? m c? n

m c? n

n2 b2 2 2 ? n ? a ? ? b 2 ? m 2 a 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2 2 2 m m 综上 AB ? a ? b ????????????????????????????14 分
所以 30. (本题满分 6 分) 如图,点 A(?1,0) 、 B(1, 0) ,点 C 在 x 轴正半轴上,过线段 BC 的 n 等分点 Di 作与 BC 垂直的 射 线 li , 在 li 上 的 动 点 P 使

?APB 取 得最 大值 的位 置记
作 Pi( i ? 1, 2,3,L , n ? 1 ) 。是 否存在一条圆锥曲线,对任意 的 正 整 数 n?2 , 点 条) P i 1? , 2? ,n 都 , 在 这1 i( ? 曲线上?说明理由。 解:存在一条双曲线,对任意 的正整数 n ? 2 ,点 P i (i ? 1, 2,?, n ?1) 都在这条双曲线上??1 分 y

Li Pi

O A(?1,0) B(1, 0) D1 D2 D3 ? Di ? Dn?1 C

x

如图所示, A(?1,0), B(1,0) ,设 | BC |? b , P( x, y ) ,则 x ? 1, y ? 0 , x ?

i b, n

?APB ? ?PBC ? ?PAC y y tan ?PAC ? , tan ?PBC ? x ?1 x ?1

y y ? ?1 所以 tan ?APB ? x ? 1 x 2 y 1? ( x ? 1)( x ? 1)
? 2 ????????3 分 ( x ? 1)( x ? 1) ?y y
i | BC | 为常数 n

当 i ? 1,2,3,?, n ? 1 一定时, x ?

所以

( x ? 1)( x ? 1) ? y ? 2 ( x ? 1)( x ? 2) 此时 tan ?APB 取得最大值,?????5 分 y ( x ? 1)( x ? 1) ? y 时等号成立, y

当且仅当

故 x 2 ? y 2 ? 1, x ? 1, y ? 0 , Pi 在一条双曲线上。????6 分 31.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分、第 2 小题 4 分、第 3 小题 5 分) 定义符号函数 sgn ? x ? ? ?

?1, x ? 0 . 已知 a, b ? R, f ? x ? ? x x ? a sgn ? x ?1? ? b. ??1, x ? 0

(1)求 f ? 2? ? f (1) 关于 a 的表达式,并求 f ? 2? ? f (1) 的最小值. (2)当 b ?

1 时,函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上有唯一零点,求 a 的取值范围. 2

(3)已知存在 a ,使得 f ? x ? ? 0 对任意的 x ??1, 2? 恒成立,求 b 的取值范围.

?a ? 3, a ? 2 ? 解: (1) Q f (2) ? f (1) ? 2 2 ? a ? b ? 1 ? a ? b ? 2 2 ? a ? 1 ? a ? ??3a ? 5,1 ? a ? 2 , ?3 ? a, a ? 1 ?
所以 f ? 2? ? f (1) 最小值为 ?1 。??????????????????????3 分

1 ? x x ? a ? , x ?1 ? 1 1 ? 2 (2)当 b ? 时, f ? x ? ? ? 。当 x ? ? 0,1? 时, f ? x ? ? ? x x ? a ? 。 2 2 ?? x x ? a ? 1 , x ? 1 ? ? 2
1 1 1 ? 0 ? x x ? a ? 。? x ? a ? ??????5 分 2 2 2x 1 令 g ? x ? ? x ? a , h( x ) ? 。在同一坐标系中分别作出这两个函数在 ? 0,1? 上的图像。 2x
所以由 f ? x ? ? ? x x ? a ? 由图像可得 a ? ? ??, ? ?

? ?

1? 2?

3 ? , ?? ? .????????????????7 分 ? 2? ? ? ? ?2 ?
b , x

(3)当 x ??1,2? 时, f ? x ? ? x x ? a ? b .由 f ? x ? ? 0 得 x ? a ? ? 所以 b ? 0 且

b b ? x ? a ? ? 对任意的 x ??1, 2? 恒成立, x x

b b ? a ? x ? 对任意的 x ??1, 2? 恒成立, x x b b 从而只需求 g ( x ) ? x ? 在 x ??1, 2? 的最大值和 h( x ) ? x ? 在 x ??1, 2? 的最小值, 而且要满足 x x
即x?

g ? x ?max ? h ? x ?min 。
b b Q b ? 0,? g ? x ? ? x ? 在 x ??1, 2? 上单调递增,所以 g ? x ?max ? g ? 2 ? ? 2 ? 。 x 2

对于函数 h( x ) ? x ?

b , x ??1, 2? 时, h ? x ? min x

? ?1 ? b, ?1 ? b ? 0 ? ? ?2 ?b , ?4 ? b ? ?1 .??10 分 ? b ?2 ? , b ? ?4 ? 2

??1 ? b ? 0 2? ? ? ? b ? ? ?1, ? ? (i) ? b 3? 2 ? ? 1? b ? ? ? 2 ??4 ? b ? ?1 ? ? ?4 ? b ? ?1 (ii) ? b 2 ? ? 2 ?b ? ? 2 ?b ? ?4 ? (iii) ? b b ? b ? ?4 2 ? ? 2 ? ? ? 2 2
综上, b ? ? ??, ?

? ?

2? ? 。????????????????????????12 分 3?

32.(本题满分 12 分,第 1 小题 4 分、第 2 题第①问 3 分、第 2 题第②问 5 分)

? b1 ? ?1 ? a1 ? 1 ? 已知两个无穷数列 ?an ? , ?bn ? 分别满足 ? , ? bn ?1 ,其中 n ? N * ,设数列 a ? a ? 2 ? 2 ? n ?1 n ? b ? n

?an?,?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn , Tn ,
(1)若数列 ?an ? , ?bn ? 都为递增数列,求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?cn ? 满足:存在唯一的正整数 k ( k ? 2 ),使得 ck ? ck ?1 ,称数列 ?cn ? 为“ k 坠点数

列” ①若数列 ?an ? 为“5 坠点数列”,求 Sn ; ②若数列 ?an ? 为 “ p 坠点数列” , 数列 ?bn ? 为 “ q 坠点数列” , 是否存在正整数 m , 使得 Sm?1 ? Tm , 若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由。 解答: (1)数列 ?an ? , ?bn ? 都为递增数列,∴ an?1 ? an ? 2 , b2 ? ?2b1 , bn?2 ? 2bn?1 , n ? N ? , ∴ an ? 2n ? 1,????????????????????????????2 分

??1, n ? 1 ;???????????????????????????4 分 bn ? ? n ?1 ?2 , n ? 2
(2)①∵数列 ?an ? 满足:存在唯一的正整数 k =5 ,使得 ak ? ak ?1 ,且 an?1 ? an ? 2 , ∴数列 ?an ? 必为 1,3,5, 7,5, 7,9,11, ??? ,即前 4 项为首项为 1,公差为 2 的等差数列,从第 5 项 开始为首项 5,公差为 2 的等差数列,??????????????5 分 故 Sn ? ?
2 ? ?n , n ? 4 ;?????????????????????7 分 2 n ? 4 n ? 15, n ? 5 ? ?

2 2 ②∵ bn | bn |? 2n?1 ?1 ? 4bn ,即 bn ?1 ? ?2bn ,?

而数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”且 b1 ? ?1 ,∴数列 ?bn ? 中有且只有两个负项. 假设存在正整数 m ,使得 Sm +1 ? Tm ,显然 m ? 1 ,且 Tm 为奇数,而 ?an ? 中各项均为奇数,∴ m 必为偶数.????????????????????????????9 分

Sm?1 ? 1 ? 3 ????? ? 2m ? 1? ? (m ? 1)2
i.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? 2m ? 3 当 m ? 6 时, 2 ? 3 ? (m ? 1) ,故不存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立
m 2

ii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ???? ? 2m?2 ? 2m?1 ? ?3 ? 0 显然不存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立
1 m ?3 ? ?2m? 2 ? 2m?1 ? 2m?1 ? 3 iii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 2 ? ??? ? +2

?

? ?

?

当2

m?1

? 3 ? (m ? 1)2 时,才存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立

所以 m ? 6

当 m ? 6 时, q ? 6 ,构造: ?an ? 为 1,3,1,3,5, 7,9, ??? , ?bn ? 为 ?1, 2, 4,8, ?16,32, ??? 此时 p ? 3 , q ? 5 , 所以 m 的最大值为 6 。???????????????12 分

2016 奉贤区高三数学一模试卷和答案
2016.1 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一.填空题(本大题满分 56 分本大题,共有 14 题) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果,1-14 题每个空格填对得 4 分 1、复数 i ?1 ? i ? ( i 是虚数单位)的虚部是__________. 2、已知点 A ? ?1,5? 和向量 a ? ? 2,3? ,若 AB ? 3a ,则点 B 的坐标为__________. 3、方程 9 ? 3 ? 6 ? 0 的实数解为__________.
x x
2 4、已知集合 M ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 , N ? x y ? lg x ,则 M ? N =__________.

?

?

?

?

?

1? ? 2 5、若 ? x ? ? 展开式中含 x 的项的系数是__________. x? ?
6、若圆 x ? y ? ?x ? ? y ? ? 被直线 ?x ? y ? a ? ? 平分,则 a 的值为__________.
2 2 2 7、若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1的一个焦点,则 p ? _________.
? ?

8

8、数列 {an } 是等差数列, a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根,则数列 {an } 的前 2015 项的
2

和为__________. 9、函数 y ? 3 cos x ? sin x , x ? ? ?

? ? ? , ? 的值域是__________. ? 3 ? ?

3 10、已知 a , b 是常数, ab ? 0 ,若函数 f ( x) ? ax ? b arcsin x ? 3 的最大值为 10,则 f ( x) 的最小

值为__________.

?? ? ? 在 ? , ? ? 上单调递减,则正实数 ? 的取值范围是_________. 4? ?2 ? 1 5 3 12、设 ?、? 都是锐角, cos ? ? ,cos(? ? ? ) ? ,请问 cos ? 是否可以求解,若能求解,求出 7 14
11、函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

??

答 案 , 若 不 能 求 解 简 述 ________________________________________________________________________





_________________________________________________.
2 13、不等式 ? x ? 1? x ? 4 x ? 3 ? 0 有多种解法,其中有一种方法如下,在同一直角坐标系中作出

?

?

y1 ? x ? 1和 y2 ? x2 ? 4x ? 3 的图像然后进行求解,请类比求解以下问题:
设 a , b ? Z ,若对任意 x ? 0 ,都有 ( ax ? 2)( x ? 2b) ? 0 ,则 a ? b ? __________.
2

14、线段 AB 的长度为 2,点 A 、 B 分别在 x 非负半轴和 y 非负半轴上滑动,以线 段 AB 为一边,在第一象限内作矩形 ABCD (顺时针排序), BC ? 1 ,设 O 为坐 标原点,则 OC ? OD 的取值范围是__________. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、下面四个条件中,使 a b 成立的必要而不充分的条件是????() .

A. a ? 1 ? b

B. 2a ? 2b

C. a2 ? b2

D. lg a ? lg b

16、已知数列 an ? n ? sin

n? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? ????() . 2 A. ?48 ; B. ?50 ; C. ?52 ; D. ?49

17、已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等,那么这样的直角三角形有? () . A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 18、设函数

f ( x) ? min{x 2 ? 1, x ? 1, ? x ? 1} ,其中 min{x, y, z} 表示 x, y, z 中的最小者.

若 f ( a ? 2) ? f ( a ) ,则实数 a 的取值范围为????() .

A. ? ?1,0? ; B. ? ?2,0? ; C. ? ??, ?2? ? ? ?1,0? ; D. ? ?2, ?? ?

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19、如图,已知四边形 ABCD 是矩形, AB ? 1 , BC ? 2 , PD ? 平面 ABCD ,且 PD ? 3 , PB 的中点 E ,求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小.(用反三角表示)

P

E

D

C

20、设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos (1) 、求 ?ABC 的面积; (2) 、求 a 的最小值.

A 2 5 ? , AB ? AC ? 3 2 5

21、设三个数

? x ? 1?

2

? y 2 ,2,

? x ? 1?

2

? y 2 成等差数列,其中 ? x, y ? 对应点的曲线方程是 C .

(1)、求 C 的标准方程; (2)、直线 l1 : x ? y ? m ? 0 与曲线 C 相交于不同两点 M , N ,且满足 ?MON 为钝角,其中 O 为 直角坐标原点,求出 m 的取值范围.

22、已知函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,其反函数是 y ? f ?1 ? x ? . (1) 、若 y ? x ? 1? x ?
2

1? ?1 ? ,求 y ? f ? x ? 并写出定义域 M ; 2? (2)、对于(1)的 y ? f ?1 ? x ? 和 M ,设任意 x1 ? M , x2 ? M , x1 ? x2 ,
求证: f

? ?

(3) 、若 y ?

?x 2 ? ? x1 ? x 2 ; f ?x ?和 y ? f ?1 ? x ? 有交点,那么交点一定在 y ? x 上.
?1

?x1 ? ?

f

?1

23、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn 若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得 Sn ? am , 则称 ?an ? 是“H 数列” . (1)、若数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ,判断 ?an ? 是否为“H 数列” ; (2) 、等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 ? 2d ,求证: ?an ? 是“H 数列” ; (3) 、设点 ? Sn , an?1 ? 在直线 ?1 ? q ? x ? y ? r 上,其中 a1 ? 2t ? 0 , q ? 0 . 若 ?an ? 是“H 数列” ,求 q , r 满足的条件.

2016 年奉贤区高三数学一模参考答案
一、填空题(每题 4 分,56 分) 1、 1 ; 3、 log3 2 5、 56 ; 7、 2 2 ; 9、 ? ? 3, 2 ? ; 2、 B ? 5,14? ; 4、 ? 0,3? ; 6、 a ? 1 ; 8、 1209 ; 10、 ?4 ;

?

?

?1 5? ? ? 12、 ? ,? ? ? ? ? 0, ? ? ,? ? ? ? ? ,? y ? cos x 在 ? 0, ? ? 上递减,而 cos ?? ? ? ? ? cos ? ,所以条件
11、 ? , ? 2 4 错误,不可解 13、 ?1 14、 ?1,3?

二、选择题(每题 5 分,20 分) 15、 A ; 16、 B ; 17、 C ; 三、解答题(12+14+14+16+18=74 分) 19、取 BC 的中点 F ,连接 EF , AF 、 AE

18、 C ;

? E 、 F 是中点,? EF 是 ?PBD 的中位线

? EF ∥ PB ? ?AEF (或者其补角)为异面直线 AE 与 PC 所成角 3 分 14 在 Rt ?PAB 中, PB ? 14, AE ? 5分 2 10 PC ? 10, EF ? 6分 2 5 14 AF ? 2 , AE ? , AE ? 7分 2 2
由余弦定理可知

P

D

E

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 cos ?AEF ? 2 AE ? EF

C
F

A

B

? 14 ? ? 10 ? ? ? ?? ? ? 2 2 2 ? ? ? ?? 14 10 2? ? 2 2 4 35 ??AEF ? arccos 35

2

2

? ?

2

?

4 35 35

10 分

11 分

异面直线 AE 与 PC 所成角的大小 arccos

4 35 . 35

12 分

20、解: (1)因为 cos

3 A 2 5 2 A ?1 ? , ? ,所以 cos A ? 2 cos 2 5 2 5
3分

2分

sin A ?

4 5
又因为 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3

??? ? ??? ?

4分 5分 7分

bc cos A ? 3 ? bc ? 5 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? 2 2
(2)? bc ? 5,? a ? b ? c ? 2bc cos A ? b ? c ? 2 ? 5 ?
2 2 2 2 2

3 5

10 分 11 分 12 分

?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6

? ?

a 2 ? b2 ? c 2 ? 6 ? b2 ? c 2 ? 6 ? a 2 ? 2bc ? 10 amin ? 2
5 时 a 最小值是 2
14 分

当且仅当 b ? c ?

21、 (1) 、依题意:

? x ?1?

2

? y 2 ? ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4
2分 3分

1分

所以点 P ? x, y ? 对应的曲线方程 C 是椭圆

2a ? 4,? a ? 2 . c ?1 4 分 ?a ? 2, c ? 1, b ? 3 5 分
x2 y 2 ? ?1 4 3
6分

?x ? y ? m ? 0 ? 2 2 (2) 、联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,得 7 x ? 8mx ? 4m ? 12 ? 0 ?1 ? ? ?4 3
? ? 64m 2 ? 28 ? 4m 2 ? 12 ? ? 336 ? 48m 2 ? 0

7分

8分 9分

? m2 ? 7
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 得 x1 x2 ? 方法一

4m 2 ? 12 7

10 分

3m 2 ? 12 可计算 y1 y2 ? 7
由 ?MON 为钝角,则 OM ? ON ? 0 , x1 x2 ? y1 y2 ? 0

11 分

???? ? ????

4m2 ? 12 3m2 ? 12 ? ?0 7 7
所以 m ?
2

12 分

24 7

13 分

??

2 42 2 42 ?m? 7 7

14 分

方法二 或者 x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ? x1 ? m?? x2 ? m? ? 2x1x2 ? m ? x1 ? x2 ? ? m2 11 分

?

2 4m2 ?12 7
所以 m ?
2

?

? ? m 8m ? m
7

2

7m2 ? 24 ? ?0 7
13 分

12 分

24 7

??

2 42 2 42 ?m? , 7 7
?1

14 分

22、解: (1) 、f

?x ? ?

? 3 ? x ? 1, M ? ? ? ,?? ? ? 4 ?

3+2=5 分

(2) 、 f

?1

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ?

x1 ? 1 ? x 2 ? 1 ?

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1

7分 9分 10 分

3 1 3 1 ? x1 ? ? ,? x1 ? 1 ? , x 2 ? ? ,? x 2 ? 1 ? 4 2 4 2 1 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 1,? 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 1
?
? f

x1 ? x 2 x1 ? 1 ? x 2 ? 1
?1

? x1 ? x 2
11 分

?x1 ? ? f ?1 ?x2 ? ? x1 ? x2 (3) 、设 ?a, b ? 是 y ? f ?x ? 和 y ? f ?1 ? x ? 有交点 ?b ? f ?a ? 即? ,? a ? f ?b?, b ? f ?a ? ?1 ? ? b ? f a ?
当 a ? b ,显然在 y ? x 上 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 当 a ? b ,函数 y ? f ?x ? 是单调递增函数,? f (a) ? f ?b?,? b ? a 矛盾 因此,若 y ? f ?x ?和 y ? f
?1

12 分 13 分 15 分 16 分 16 分

? x? 的交点一定在 y ? x 上

23、解析:(1) n ? 1, a1 ? S1 ? 2

1 ? 2n ? 2n ? 1 当 n ≥ 2 时, Sn ? 1? 2 n ? 2 ? 1 是奇数, 2m 是偶数 ? 2n ? 1 ? 2m
∴ {an } 不是“H 数列” n(n ? 1) n(n ? 1) (2) Sn ? na1 ? d ? 2dn ? d 2 2 对任意 n ? N? ,存在 m ? N? 使 Sn ? am ,即 na1 ?

1分 2分 3分 4分 6分
n(n ? 1) d ? a1 ? (m ? 1)d 2

m ? 2n ? 1 ?

n, n ? 1 是一奇一偶,?m 一定是自然数 10 分 (3) n ? 2 时 ?1? q? Sn ? an?1 ? r , ?1? q? Sn?1 ? an ? r

n(n ? 1) 2

8分

?1? q? an ? an?1 ? an ? 0
? an?1 ? qan
12 分

?1? q? ? 2t ? a2 ? r
a2 ? r ? 2qt ? 2t ? p
13 分

? ?2t ? n ? 1? 14 分 ? an ? ? n?2 p ? q n ? 2 ? ? ? ? ? ?2t ? n ? 1? q ? 1 时, an ? ? ? ?r ? n ? 2 ? Sn ? 2t ? ? n ?1? r ? r 不恒成立显然 ?an ? 不是“H 数列” q ? 1时
S n ? 2t ? p 1 ? q n ?1 1? q

15 分

?

? ? 2t ?

p pq n ?1 ? 1? q 1? q

16 分

,所以对任意 n ? 2 时,存在 m ? N * 成立 ?an ? 是“H 数列”

n ? 1, S1 ? a1

p pq n?1 ? Sn ? 2t ? ? ? pq m?2 1? q 1? q ? q ? 2 , p ? 2t ,? r ? 4t ? 2t ? 2t , r ? 0 ? q ? 2, r ? 0, t ? 0 的正实数

18 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

2016 上海市青浦区高三一模数学试卷和答案
(满分 150 分,答题时间 120 分钟)

2016.01.05

一.填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.方程组 ?

?3x ? 5 y ? 6 ? 0 的增广矩阵是_____________. ?4 x ? 3 y ? 7 ? 0

2.已知 3i ? 2 是关于 x 的方程 2 x 2 ? px ? q ? 0 的一个根,则实数 p ? q ? _____________.

?1 x ?1 , x ? 0 ? ?2 f ( x ) ? 3.函数 若 f (a ) ? a ,则实数 a 的取值范围是. ? , ?1 ,x?0 ? ?x
4.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 0 ? ? ? ? 图像的一条对称轴是直线 x ? 5.函数 f ( x) ? lg(2 ? 3 ) 的定义域为.
x x

?
8

,则 ? ? .

6.已知函数 f ( x) ? x ? 2 ,若 f (a ) ? f (b) ,且 0 ? a ? b ,则 ab 的取值范围是 .
2

B ? {( x, y ) y ? 3 ? 4 x ? x } , 7.已知 A ? {( x, y ) y ? x ? b} ,
2

开始

满足 A ? B ? ? ,则实数 b 的取值范围是. 8.执行如图所示的程序框图,输出结果为. 9.平面直角坐标系中,方程 x ? y ? 1 的曲线围成的封闭图形 绕 y 轴旋转一周所形成的几何体的体积为. 10.将两颗质地均匀的骰子抛掷一次,记第一颗骰子出现的点 n≤2015 是 否 输出 S 结束 n=1,S=0

? 数是 m , 记第二颗骰子出现的点数是 n , 向量 a ? ? m ? 2, 2 ? n ? , ? ? ? 向量 b ? ?1,1? ,则向量 a ? b 的概率 是. ..
??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 11 . 已 知 平 面 向 量 OA 、 OB 、 OC 满 足 OA ? OB ? 0 , 且 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OC ? 1 , OB ? 3 ,则 CA ? CB 的最大值是.
12.如图,将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中, 使其满足条件:①每个自然数“放置”在一个“整点” (横纵坐

1 S?S? n(n ? 2)

n←n+2 第8题

标均为整数的点)上;② 0 在原点,1 在 ? 0,1? 点, 2 在 ?1,1? 点, 3 在 ?1,0 ? 点, 4 在 ?1, ?1? 点, 5 在

? 0, ?1? 点, ? ,即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“ 0 ”为中心的“桩”上,则放置数字
? 2n ? 1?
2

, n ? N * 的整点坐标是.

13.设 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边 a 、 b 、 c 成等比数列,则 14.若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时 f ( x) ?

b a ? 的取值范围_______. a b

1 ( x ? a 2 ? x ? 2a 2 ? 3a 2 ) , 2

若对任意的 x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围是________________. 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. a ?

1 是“直线 (a ? 1) x ? 3ay ? 1 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? ( a ? 1) y ? 3 ? 0 相互垂直”的 4
).

?????????????????????????????????( (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 16.复数 z ?

a ?i a?R i ( , 是虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于???(). 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(A)第一象限

17.已知 ?an ? 是等比数列, 给出以下四个命题: ① ?2a3n?1? 是等比数列; ② ?an ? an?1? 是等比数列; ③

?anan?1?

是 等 比 数 列 ; ④

?lg a ?
n

是 等 比 数 列 , 下 列 命 题 中 正 确 的 个 数 ).

是?????????????????????????????????( (A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个

x2 y 2 18.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 有相同的焦点 F ,点 A 是两曲 a b
2

线的一个交点,且 AF ? x 轴,若 l 为双曲线一、三象限的一条渐近线,则 l 的倾斜角所在的区间可 能是?????????????????????????( ). (A) ? 0,

? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? (B) ? , ? (C) ? , ? (D) ? , ? ? 6? ?6 4? ?4 3? ?3 2?

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域

内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分. 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中,AB ? 平面PAD ,AB ∥ CD 且 2 AB ? CD , PD ? PA , 点 H 为 线 段 AD 的 中 点 , 若

P

PH ? 1, AD ? 2 , PB 与平面 ABCD 所成角的大小为 45? .
(1)证明: PH ? 平面 ABCD ; (2)求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

D H A
第 19 题图

C

B

20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴,且抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点,以 F 为圆心, 以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l:x ? 2 2 y ? 2 ? 0 相切. (1)求椭圆 M 的方程; (2)已知直线 y ? x ? m 与椭圆 M 交于 A、B 两点,且椭圆 M 上存在点 P 满足 OP ? OA ? OB , 求 m 的值.

??? ?

??? ? ??? ?

21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 10 分. 如图,有一块平行四边形绿地 ABCD ,经测量 BC ? 2 百米 , CD ? 1 百米 , ?BCD ? 120? ,拟过

线段 BC 上一点 E 设计一条直路 EF (点 F 在四边形 ABCD 的边上,不计路的宽度) ,将绿地分为 面积之比为 1 ︰ 3 的左右两部分,分别种植不同的花卉,设 EC ? x百米 , EF ? y百米 . (1)当点 F 与点 D 重合时,试确定点 E 的位置; (2)试求 x 的值,使路 EF 的长度 y 最短.
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22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分.
* 设数列 ?an ? 的所有项都是不等于 1 的正数,?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知点 P 在 n (an , Sn ), n ? N

直线 y ? kx ? b 上(其中常数 k ? 0 ,且 k ? 1 )数列,又 bn ? log 1 an .
2

(1)求证数列 ?an ? 是等比数列; (2)如果 bn ? 3 ? n ,求实数 k、 b 的值; (3)若果存在 t , s ? N * , s ? t 使得点 ?t, bs ? 和 ? s, bt ? 都在直线在 y ? 2 x ? 1 上,是否存在自然数

M ,当 n ? M ( n ? N * )时, an ? 1 恒成立?若存在,求出 M 的最小值;若不存在,请说明理由.

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数. (1)设 f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

,求 g ( x) 的解析式;

(2)设计一个函数 f ( x) 及一个 ? 的值,使得 g ( x) ? 2cos x(cos x ? 3sin x) ; (3)当 f (x) ? sin x ? cos x ,? ? 成立,求 x1 ? x2 的最小值.

?
2

时,存在 x1 , x2 ? R ,对任意 x ? R , g ( x1 ) ? g ( x) ? g ( x2 ) 恒

青浦区 2015 学年第一学期高三期终学习质量调研测试
参考答案及评分标准 2016.01

一.填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ?

? 3 5 ?6 ? ?; 4 3 7 ? ?

2. 34 ;

3. (??, ?1) ;

4.

? ; 5. ( ??, 0) 6. (0, 2) ; 4

7. 1 ? 2 2 ? b ? 3 ; 14. ?

8.

2 1008 ;9. ? ; 2017 3

10.

1 ;11. 3 ;12. ? ?n, n ? 1? ; 13. [2, 5) ; 6

6 6 . ?a? 6 6

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. A ;16. A ; 17. B ;18.

D.

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 12 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分. 19.解: (1)证明:? AB ? 平面PAD , PH ? 平面PAD , AB ? PH 又 ?PAD 中, PD ? PA,点 H 为线段 AD 的中点, PH ? AD

? PH ? AD ? ? ? PH ? AB ? PH ? 平面ABCD ? AD ? AB ? A ?
(2)? PH ? 1, AD ? 2 ? AH ? DH ?

2 6 ,又 PH ? AD ,? PA ? PD ? , 2 2

连结 BH ,可得 ?PBH 是 PB 与平面 ABCD 所成角,又 PB 与平面 ABCD 所成角的大小为 45? ,

?BH ? 1, 在 Rt ?ABH 中, AB ?

2 , 2

1 1 1 1 ?VP? ABCD ? S梯形ABCD PH ? ? ( AB ? CD) ? AD ? PH ? .分 3 3 2 2
20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 解: (1)因为抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 是椭圆 M 的一个焦点,即 F (1, 0)
2

又椭圆 M 的对称轴为坐标轴,所以设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1, a ? b ? 0 ,且 a 2 ? b2 ? 1 a 2 b2

又以 F 为圆心,以椭圆 M 的短半轴长为半径的圆与直线 l:x ? 2 2 y ? 2 ? 0 相切

即b ?

1? 0 ? 2 1 ? (2 2) 2

? 1,所以椭圆 M 的方程是
?y ? x ? m ?x ? 2 y ? 2
2 2

x2 ? y2 ? 1 2

(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ?

? 3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0

? ? (4m)2 ?12(2m2 ? 2) ? ?8m2 ? 24 ? 0 ? ? 3 ? m ? 3

??? ? ??? ? ??? ? 4 2 4 2 ?OP ? OA ? OB,? P( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 又 x1 ? x2 ? ? m, y1 ? y2 ? m ,即 P (? m, m) 在椭圆 3 3 3 3
x2 4 2 3 ? y 2 ? 1上,即 (? m)2 ? 2( m)2 ? 2 ? m ? ? 2 3 3 2
21.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 10 分. 解: (1)? S? ABCD ? 2 ? ? 1? 2sin120? ? 3 当点 F 与点 D 重合时,由已知 S? CDE ?

1 2

1 3 , S? ABCD ? 4 4

又? S? CDE ?

1 3 3 CE ? CD ? sin120? ? x? ? x ? 1 , E 是 BC 的中点 2 4 4
1 , x

(2)①当点 F 在 CD 上,即 1 ? x ? 2 时,利用面积关系可得 CF ? 再由余弦定理可得 y ?

x2 ?

1 ? 1 ? 3 ;当且仅当 x ? 1 时取等号 x2

②当点 F 在 DA 上时,即 0 ? x ? 1 时,利用面积关系可得 DF ? 1 ? x , (ⅰ)当 CE ? DF 时,过 E 作 EG ∥ CD 交 DA 于 G ,在 ?EGF 中,

EG ? 1, GF ? 1 ? 2x, ?EGF ? 60? ,利用余弦定理得 y ? 4 x 2 ? 2 x ? 1
(ⅱ)同理当 CE ? DF ,过 E 作 EG ∥ CD 交 DA 于 G ,在 ?EGF 中,

EG ? 1, GF ? 2x ?1, ?EGF ? 120? ,利用余弦定理得 y ? 4 x 2 ? 2 x ? 1
由(ⅰ) 、 (ⅱ)可得 y ?

4x2 ? 2x ? 1 , 0 ? x ? 1

1 3 1 3 ,当且仅当 x ? 时取等号 ,由 ? y ? 4 x 2 ? 2 x ? 1 ? 4( x ? )2 ? ,? 0 ? x ? 1 ,? ymin ? 2 2 2 4
①②可知当 x ?

1 3 时,路 EF 的长度最短为 . 2 2

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22.(本题满分 16 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分.
* 解: (1)因为 P 都在直线 y ? kx ? b 上,所以 n (an , Sn ) 、 P n ?1 (an ?1 , Sn ?1 ), n ? N

Sn?1 ? Sn ?k, an?1 ? an

即 (k ? 1)an?1 ? kan ,又 k ? 0 ,且 k ? 1 ,所以

an?1 k 为非零常数,所以数列 ?an ? 是等比数列 ? an k ?1

(2)由 bn ? log 1 an 得 an ? ( )
2

1 2

bn

? 2 n ?3 ,即

k ? 2得k ? 2. k ?1

* n ?1得 由P n (an , Sn ), n ? N 在直线 y ? kx ? b 上得 Sn ? kan ? b 上,令

1 4 (3)由 bn ? log 1 an 知 an ? 1 恒成立等价于 bn ? 0 恒成立. b ? S1 ? 2a1 ? ? a1 ? ?
2

因为存在 t , s ? N * , s ? t 使得点 ?t, bs ? 和 ? s, bt ? 都在直线在 y ? 2 x ? 1 上,所以 bs ? 2t ? 1 ,

bt ? 2s ? 1 即 bt ? bs ? 2(s ? t ) ,另 s ? t ? 1, t ? 2 ,易证 bt ? bt ?1 ? 2(t ?1 ? t ) ? ?2 ,又 bs ? b1 ? (s ?1)(?2) ? 2t ? 1 ? b1 ? 2(t ? s) ?1 ? 0 ,
即 ?bn ? 是首项为正,公差为 ?2 的等差数列. 所以一定存在自然数 M ,使 ?

?bM ? 0 ?2(t ? s) ? 1 ? ( M ? 1)(?2) ? 0 即? ,解得 ?bM ?1 ? 0 ?2(t ? s) ? 1 ? M (?2) ? 0

t?s?

1 1 ? M ? t ? s ? ,? M ? N * ,? M ? t ? s .存在自然数 M ,其最小值为 t ? s 使得当 n ? M 2 2

( n ? N * )时, an ? 1 恒成立时, an ? 1 恒成立. 23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 解: (1)? f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

? f ( x ? ? ) ? cos x ? sin x ;

? g ( x) ? cos2 x
(2)? g ( x) ? 2 cos x(cos x ? 3 sin x) ? 4 cos x cos( x ? 若 f ( x) ? 2cos x ,则 f ( x ? ? ) ? f ( x ?

?
3

),

?

??? ? ?

?
3

(取? ? 2k? ?

?
3

) ? 2 cos( x ? ) 3 3

?

,k ? Z中一个都可以) , f ( x) ? 2cos x

(3)

? f ( x) ? sin x ? cos x

,

? g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ?

( sin x ? cos x)

( cos x ? sin x)

? ?? ? ?cos 2 x x ? ? 2k? , 2k? ? 2 ? , ? ? ? ? ? ? ? ?? sin 2 x ? 1 x ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? , 2 ? ? ? ?? k ?Z 3 ? ? ? ?? cos 2 x x ? 2k? ? ? , 2k? ? , ? ? 2 ? ? ? ? 3? ? ? ?1 ? 2sin 2 x x ? ? 2 k? ? , 2k? ? 2? ? . ? 2 ? ? ?
显然, g ( x ? 2? ) ? g ( x) 即 y ? g ( x) 的最小正周期是 2? , 因为存在 x1 , x2 ? R ,对任意 x ? R , g ( x1 ) ? g ( x) ? g ( x2 ) 恒成立, 所以当 x1 ? 2k? ? ? 或 x1 ? 2k? ? 当 x2 ? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时, g ( x) ? g ( x1 ) ? ?1

7? , k ? Z 时, g ( x) ? g ( x2 ) ? 2 4

所以 x1 ? x2 ? 2k1? ? ? ? (2k2? ?

7? ) , k1、k2 ? Z 4

或 x1 ? x2 ? 2k1? ? 所以 x1 ? x2 的最小值是

?
2

? (2k2? ?

7? ) , k1、k2 ? Z 4

3? . 4

说明:写出分段函数后画出一个或多个周期上的函数图像,用数形结合的方法解同样给分

上海市普陀区 2016 届高三一模数学试卷
2015.12 生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟

一. 填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分) 1. 若全集 U ? R ,集合 M ? {x | x( x ? 2) ? 0} , N ? {1, 2,3, 4} ,则 N ? CU M ? ; 2. 若函数 f ( x) ? 1 ? x , g ( x) ? 1 ? x ? x ,则 f ( x) ? g ( x) ? ; 3. 在 (2 x ? 1) 的二项展开式中,第四项的系数是;
7

4. 若 ?

?
4

?x?

?
4

,则函数 y ? tan x 的值域为;

1 } 的各项和为; an 1 * (理)若数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 (n ? N ) ,则 { } 的各项和为; 1 ? an
5.(文)若数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an (n ? N * ) ,则 { 6. 若函数 f ( x) ?
3

x ( x ? 0) 的反函数 f ?1 ( x) ,则不等式 f ?1 ( x) ? f ( x) 的解集为;
1 ? 0 与曲线 ? : 1 ? x 2 ? y ? 0 相交于 A 、 B 点,则扇 2

7. 设 O 为坐标原点,若直线 l : y ? 形 AOB 的面积为;

8. 若正六棱柱的底面边长为 10 ,侧面积为 180 ,则这个棱柱的体积为; 9. 若在北纬 45 的纬线圈上有 A 、 B 两地,经度差为 90 ,则 A 、 B 两地的球面距离与地 球半径的比值为; 10. 方程 log2 (4x ? 5) ? 2 ? log2 (2x ? 2) 的解 x ? ;
? ?

x2 y 2 ? ? 1 上的动点,若 P 到两条渐 4 2 近线的距离分别为 d1 、 d2 ,则 d1d2 ? ;
11. 设 P 是双曲线 12. 如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,若在其 12 条棱中随机地取 3 条,则这三条棱两两是异面直线的概 率为; (结果用最简分数表示)
2 13. 若 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,点 Pi (i ? 1, 2,3,...,100) 在抛物线上,且 PF ? P2 F ? ... 1

???? ???? ?

????? ? ? ???? ???? ? ????? ? ?P 100 F ? 0 ,则 | PF 1 | ?| P 2 F | ?...? | P 100 F | ? ;

14. 若函数 f ( x) ? | sin x ?

2 ? t | ( x, t ? R) 的最大值记为 g (t ) ,则函数 g (t ) 的最小 3 ? sin x

值为;

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 15. 下列命题中的假命题是() A. 若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ? a b
4 4

C. 若 a ? b ? 0 ,则 a ? b 16. 若集合 A ? {x | y ? “ x ? B ”成立的() A. 充分非必要条件 C. 充要条件

1 ? 1 ,则 0 ? a ? 1 a 1 D. 若 a ? 1 ,则 ? 1 a
B. 若

x , x ? R} , B ? {x | lg | 2x ? 3| ? 0, x ? R} ,则“ x ? A ”是 3? x
B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件

17.(文)如图,在四面体 ABCD 中, AB ? CD , M 、 N 分别是 BC 、 AD 的中点,若 AB 与 CD 所成的角的大小为 60 ,则 MN 与 CD 所成的角的大小为() A. 30
? ?

B. 60

?

C. 30 或 60

?

?

D. 60 或 15

?

?

? (理)如图,在四面体 ABCD 中, AB ? BD , CD ? DB ,若 AB 与 CD 所成的角的大小为 60 ,

则二面角 C ? BD ? A 的大小为() A. 60 或 90
? ?

B. 60

?

C. 60 或 120

?

?

D. 30 或 150

?

?

?lg(| x | ?1) | x | ? 1 ? 2 18. 若函数 f ( x) ? ? ,关于 x 的方程 f ( x) ? (a ? 1) f ( x) ? a ? 0 ,给出 ? a sin( x) | x | ? 1 ? ? 2 下列结论:①存在这样的实数 a ,使得方程有 3 个不同的实根;②不存在这样的实数 a ,使得方程有
4 个不同的实根;③存在这样的实数 a ,使得方程有 5 个不同的实根;④不存在这样的实数 a ,使得 方程有 6 个不同的实根;其中正确的个数是() A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

三. 解答题(本大题共 5 题,共 12+14+14+16+18=74 分)

x2 y 2 ? ? 1 的左、右两个焦点分别为 F1 、 F2 , A 为椭圆的右顶点,点 P 在 25 9 7 椭圆上且 cos ?PF1 F2 ? ; 8 (1)计算 | PF1 | 的值; (2)求△ PF1 A 的面积;
19. 如图,椭圆 20. 某种“笼具”由内、外两层组成,无下底面,内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱,其中圆柱 和圆锥的底面周长相等,圆柱有上底面,制作时需要将圆锥的顶端剪去,剪去部分和接头忽略不计, 已知圆柱的底面周长为 24? cm ,高为 30cm ,圆锥的母线长为 20cm ; (1)求这种“笼具”的体积; (结果精确到 0.1cm ) (2)现要使用一种纱网材料制作 50 个“笼具” ,该材料造价为每平方米 8 元,共需多少元?
3

21. 已知 f ( x) ? 2sin x ? sin 2 x ?1 ;
2

(1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2) (文)设 f ( (理)设 f (

x0 ? ? ) ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin 2 ? ,求 sin 2 x0 的值; 2 6 6

x0 ? ? ) ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin 2 ? ,其中 0 ? x0 ? ? ,求 tan x0 的值; 2 6 6

22. 已知 n ? N ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2an ? Sn ? 1 ;
*

(1)求证:数列 {an } 是等比数列,并求出通项公式; (2)对于任意的 ai , a j ?{a1 , a2 ,..., an } (其中 1 ? i ? n , 1 ? j ? n , i , j 均为正整数) ,若 ai 和 a j 的所有的乘积 ai a j 的和为 Tn ,试求 lim (3) 设 1 ? bn ?3 l o g
2

Tn 的值; n ?? 4 n

若存在 {cn } 的前 n 项和 Cn , 是否存在这样的实数 t , an ,cn ? (?1)n?1 bn ? bn?1 ,

使得对于所有的 n 都有 Cn ? tn2 成立,若存在,求出 t 的取值范围,若不存在,请说明理由;

23. 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x ) 的全体:存在实数 a 、 k (k ? 0) ,对于定义域内的任 意 x ,均有 f (a ? x) ? kf (a ? x) 成立,称数对 ( a, k ) 为函数 f ( x ) 的“伴随数对” ; (1)判断函数 f ( x) ? x 是否属于集合 M ,并说明理由;
2

(2)若函数 f ( x) ? sin x ? M ,求满足条件的函数 f ( x ) 的所有“伴随数对” ; (3)若 (1,1) 、 (2, ?1) 都是函数 f ( x ) 的“伴随数对” ,当 1 ? x ? 2 时, f ( x ) ? cos( 当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,求当 2014 ? x ? 2016 时,函数 f ( x ) 的解析式和零点;

?
2

x) ;

参考答案
一. 填空题 1. {3, 4} ; 2. 1 ? 1 ? x (0 ? x ? 1) ; 6. (1, ??) ; 7. 3. ?560 ; 4. [?1,1] ; 8. 450 3 ; 14. 9.

5.(文)2; (理)1; 10. log2 3 ; 11.

? ; 3

? ; 3

4 ; 3

12.

2 ; 55

13. 200 ;

3 4

二. 选择题 15. D; 16. B; 17.(文)C; (理)C; 18. C;

三. 解答题 19.(1)6; (2)

27 15 ; 8
3

20.(1) 3552? ? 11158.9cm ; (2) 21.(1) [k? ?

1104? 元; 25

?
8

, k? ?

3? 7 16 ? 3 23 ] ,k ?Z ; (2) (文) ; (理) ; 8 16 7

22.(1) an ? 2

n ?1

9 (2)1; (3) t ? ? ; (n ? N * ) ; 2

? ? ?? cos 2 x, 2014 ? x ? 2015 ? ? ? ? 23.(1)属于; (2) ( n? ? ,1) 和 (n? , ?1) , n ? Z ; (3) ?cos x, 2015 ? x ? 2016 2 2 ? ?0, x ? 2014, 2015, 2016 ? ?

上海市长宁区 2016 届高三年级学业质量调研(一模)
2015.12.21 考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一. 填空题(本大题共 14 题,每题 4 分,共 56 分) 1. 不等式 | x ? 3 | ? 5 的解集是; 2. 方程 9 ? 3 ? 2 ? 0 的解是;
x x

3. 若复数 z 满足 z ? z ? 1 ? 0 ,则 | z | ? ;
2

4. 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a6 ? a14 ? 20 ,则 S19 ? ; 5. 若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin 2? 的值是; 5

6. 若函数 f ( x) 是定义域在 R 上对偶函数,在 (??, 0] 上是单调递减的,且 f (1) ? 0 ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是;
?1 7. 设函数 y ? f ( x) 的反函数是 y ? f ( x) ,且函数 y ? f ( x) 过点 P(2, ?1) ,则 f ?1 (?1) ?


2 8. 设常数 a ? 0 , (ax ?

3 1 4 ) 展开式中 x 3 的系数为 ,则 lim(a ? a 2 ? ? ? a n ) ? ; x ?? 2 x

9. 某校要求每位学生从 8 门课程中选修 5 门,其中甲、乙两门课程至多只能选修一门,则不同的选 课方案有种; (以数字作答)

1 n ?1 an 2 ? 3 10. 已知数列 {an } 和 {bn } 的通项公式分别是 an ? 2 , bn ? b ? a ( ) ,其中 a 、 3 bn ? 2n ? 2 1 b 是实常数,若 lim an ? 3 , lim bn ? ? ,且 a 、 b 、 c 成等差数列,则 c 的值是; x ?? x ?? 4
2 11. 已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 , 如果使 f ( x) ? kx 对任意实数 x ? (1, m] 都成立的 m 的最大值是 5 ,

则实数 k ? ; 12. 在△ ABC 中,点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 ,若 AB ? AC ? mAM ? 0 ,则实数 m 的值为;

???? ???? ???? ?
2

?

??? ? ??? ?

???? ?

?

1 a ) 的值域为 R ;命题 q : 不等式 3x ? 9 x ? a 对一 16 切正实数 x 均成立,若命题 p 和 q 不全为真命题,则实数 a 的取值范围是;
13. 设命题 p : 函数 f ( x) ? lg( ax ? x ? 14. 定义:关于 x 的两个不等式 f ( x) ? 0 , g ( x) ? 0 的解集分别为 ( a, b) 和 ( , ) ,则称这
2 两个不等式为对偶不等式,如果不等式 x ? 4 3x cos? ? 2 ? 0 与不等式 2 x ? 4 x sin ? ? 1
2

1 1 a b

? 0 为对偶不等式,且 ? ? (0, ? ) ,则 ? ? ;
二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 15. 已知集合 P ? {0, a} , Q ? {1, 2} ,若 P ? Q ? ? ,则 a 等于() A. 1 B. 2 C. 1 或 2 D. 3

16. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 8n ,第 k 项满足 4 ? ak ? 7 ,则 k 等于() A. 6 17. 设点 P( ? A. ? B. 7 C. 8 D. 9

t 2

??? ? 2 ,1) (t ? 0) 是角 ? 终边上一点,当 | OP | 最小时, cos ? 的值是() t
B.

5 5

5 5

C.

2 5 5

D. ?

2 5 5

a (a ? 0) ,有下列四个命题:① f ( x) 的值域是 (??,0) ? (0, ??) ; x ② f ( x) 是奇函数; ③ f ( x) 在 (??,0) ? (0, ??) 上单调递增; ④方程 | f ( x) | ? a 总有四个不同的解;
18. 关于函数 f ( x) ? x ? 其中正确的是() A .①② B. ②③ C. ②④ D. ③④

三. 解答题(本大题共 5 题,共 12+14+15+15+18=74 分) 19. 关于 x 的不等式

x?a 2 ? 0 的解集为 (?1, b) ; 1 x

(1)求实数 a 、 b 的值; (2)若 z1 ? a ? bi , z2 ? cos ? ? i sin ? ,且 z1 z2 为纯虚数,求 tan ? 的值;

? AB ? AC ? 2 , AA1 ? 2 2 ,E 、F 分别是 CC1 、 20. 直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,?BAC ? 90 ,

BC 的中点,求:
(1)异面直线 EF 和 A 1B 所成的角; (2)直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积;

21. 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (a, b) , n ? (cos A,cos B) ,

??

?

? ? ?? ? ? ? B?C p ? (2 2 sin , 2sin A) ,若 m ∥ n , | p | ? 3 ; 2
(1)求角 A 、 B 、 C 的值; (2)若 x ? [0,

?
2

] ,求函数 f ( x) ? sin A sin x ? cos B cos x 的最大值与最小值;

22. 已知函数 y ? f ( x) , x ? D ,如果对于定义域 D 内的任意实数 x ,对于给定的非零常数 m ,总 存在非零常数 T ,恒有 f ( x ? T ) ? mf ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上的 m 级类增周期函数,周期 为 T ;若恒有 f ( x ? T ) ? mf ( x) 成立,则称函数 f ( x) 是 D 上的 m 级类周期函数,周期为 T ; (1) 已知函数 f ( x) ? ? x ? ax 是 [3, ??) 上的周期为 1 的 2 级类增周期函数, 求实数 a 的取值范围;
2

(2)已知 T ? 1 , y ? f ( x) 是 [0, ??) 上的 m 级类周期函数,且 y ? f ( x) 是 [0, ??) 上的单调递增 函数,当 x ? [0,1) 时, f ( x) ? 2 ,求实数 m 的取值范围;
x

* 23. 已知点 P 1 (a1 , b 1) 、 P 2 (a2 , b2 ) 、?、 P n (an , bn ) (n ? N ) 都在函数 y ? ( ) 的图像上;
x

1 2

(1)若数列 {an } 是等差数列,证明:数列 {bn } 是等比数列; (2)设 an ? n (n ? N * ) ,过点 Pn 、 Pn ?1 的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 cn ,试求最小的 实数 t ,使 cn ? t 对一切正整数 n 恒成立; (3) 对 (2) 中的数列 {an } , 对每个正整数 k , 在 ak 与 ak ?1 之间插入 3
k ?1

个3 , 得到一个新的数列 {dn } ,

设 Sn 是数列 {dn } 的前 n 项和,试探究 2016 是否是数列 {Sn } 中的某一项,写出你探究得到的结论并 给出证明;

参考答案

一. 填空题 1. (?2,8) 6. (?1,1) 12. ?3 2. x ? 0 7. 2 8. 1 3. 1 4. 190 9. 36 14. 10. 5. ?

24 25
11.

1 4

36 5

13. (??,0) ? (2, ??)

2? 3

二. 选择题 15. D; 16. B; 17. D; 18. C;

三. 解答题

? ; (2) 4 2 ; 6 ? 1 21.(1) A ? B ? C ? ; (2) f max ( x) ? 1 , f min ( x) ? ; 3 2
19.(1) a ? ?1 , b ? 2 ; (2) ?

1 ; 2

20.(1)

22.(1) a ? 1 ; (2) m ? 2 ; 23.(1)略; (2) tmin ?

9 ; (3)不是; 8

上海市闸北区 2016 届高三一模数学试卷
2015.12 一. 填空题(本大题共 9 题,每题 6 分,共 54 分) 1. ( x ? 2)(
2

1 ? 1)5 的展开式中常数项为; x2

?ln(1 ? x), x ? 0 ? 2. 函数 f ( x) ? ? 的单调性为;奇偶性为; 1 , x?0 ?ln ? 1? x
3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则 该正三棱锥的体积是;
? 4. 在菱形 ABCD 中, AB ? 1 , ?DAB ? 60 , E 为 CD 的中点,则 AB ? AE 的值是;

??? ? ??? ?

5. 如图,靠山有一个水库,某人先从水坝的底部 A 测得水坝对面的山顶 P 的仰角为 40 ,再沿坝面 向上走 80 米到水坝的顶部 B 测得 ?ABP ? 56 , 若坝面与水平面所成的锐角为 30 , 则山高为米; (结 果四舍五入取整)
? ?

?

6. 将序号分别为 1、2、3、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是; (用数字作答) 7 . 等 差 数 列 {an } 的 公 差 为 d , 关 于 x 的 不 等 式 dx2 ? 2a1 x ? 0 的 解 集 为 [ 0 , 9 ] ,则使数列

{an } 的前 n 项和 Sn 最大的正整数 n 的值是;
2 2 8. 过点 M ( 3, y0 ) 作圆 O : x ? y ? 1 的切线,切点为 N ,如果 ?OMN ?

?
6

,那么 y0 的

取值范围是; 9. 如图,正方形 ABCD 的边长为 2, O 为 AD 的中点,射线 OP 从 OA 出发,绕着点 O 顺时针方向 旋转至 OD ,在旋转的过程中,记 ?AOP 为 x ( x ?[0, ? ]) , OP 所经过的在正方 形 ABCD 内的区域(阴影部分)的面积 S ? f ( x) ,那么对于函数 f ( x ) 有以下三个结论: ① f( )?

?

3

? ? ? 3 ;②对任意 x ? [0, ] ,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ? 4 ; 2 2 2 2

③对任意 x1 , x2 ? (

?
2

, ? ) ,且 x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2

其中所有正确结论的序号是; 二. 选择题(本大题共 3 题,每题 6 分,共 18 分) 10. “抛物线 y ? ax2 的准线方程为 y ? 2 ”是“抛物线 y ? ax2 的焦点与双曲线 的焦点重合”的() A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

y2 ? x2 ? 1 3

11. 已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,给出下列四个命题: ①若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行; ②若 m, n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行; ③若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线; ④若 m, n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 其中真命题的个数为()

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? * 12. 已知 i 和 j 是互相垂直的单位向量,向量 an 满足: i ? an ? n , j ? an ? 2n ? 1 , n ? N , ? ?? ? 设 ?n 为 i 和 an 的夹角,则()
A. B.

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

?n 随着 n 的增大而增大 ?n 随着 n 的增大而减小

C. 随着 n 的增大, ?n 先增大后减小 D. 随着 n 的增大, ?n 先减小后增大

三. 解答题(本大题共 4 题,共 18+20+20+20=78 分) 1 3 . 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 角 ? 的 顶 点 在 原 点 , 始 边 与 x 轴 的 非 负 半 轴 重 合 ,

, ) ,将角 ? 的终边绕原点逆时针方向旋转 ,交单位圆 4 2 3 于点 B ,过 B 作 BC ? y 轴于点 C ;
终边交单位圆于点 A ,且 ? ? [ (1)若点 A 的纵坐标为

? ?

?

3 ,求点 B 的横坐标; 2

(2)求△ AOC 的面积 S 的最大值;

14. 经过多年的运作, “双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴;为迎接 2015 年“双十一”网购狂欢节,某厂家拟投入适当的广告费,对网上所售产品进行 促销;经调查测算,该促销产品在“双十一”的销售量 p (万件)与促销费用 x (万元)

2 (其中 0 ? x ? a , a 为正常数) ,已知生产该产品还需投入成本 10 ? 2 p 万 x ?1 20 ) 元,假定厂家的生产能力完全能 元(不含促销费用) ,每一件产品的销售价格定为 (4 ? p
满足 p ? 3 ? 满足市场的销售需求; (1)将该产品的利润 y (万元)表示为促销费用 x (万元)的函数; (2)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润的值;

2 2 15. 如图,已知动直线 l 交圆 ( x ? 3) ? y ? 9 于坐标原点 O 和点 A ,交直线 x ? 6 于点 B ;

(1)若 | OB | ? 3 5 ,求点 A 、点 B 的坐标; (2)设动点 M 满足 OM ? AB ,其轨迹为曲线 C ,求曲线 C 的方程 F ( x, y) ? 0 ; (3)请指出曲线 C 的对称性、顶点和图形范围,并说明理由; (4)判断曲线 C 是否存在渐近线,若存在,请直接写出渐近线方程;若不存在,说明理由;

???? ?

??? ?

16. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且点 (n, Sn ) (n ? N * ) 在函数 y ? 2x?1 ? 2 的图像上; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn } 满足: b1 ? 0 , bn?1 ? bn ? an ,求 {bn } 的通项公式; (3) 在第 (2) 问的条件下, 若对于任意的 n ? N , 不等式 bn ? ?bn?1 恒成立, 求实数 ? 的取值范围;
*

参考答案
一. 填空题 1. 3; 6. 96; 2. 单调递增,奇函数; 7. 5; 8. [?1,1] ; 3.

3 ; 4
9. ①②;

4. 1;

5. 176;

二. 选择题 10. A; 11. D; 12. B;

三. 解答题 13.(1) ?

1 3 ?1 ; (2) ; 2 8 4 ; (2) x ? 1 , ymax ? 13 ; x ?1

14.(1) y ? 16 ? x ?

15.(1) A(

24 12 x3 2 , ? ) , B(6, ?3) ; (2) y ? ; 5 5 6? x

(3)关于 x 轴对称;顶点 (0, 0) ; x ? [0, 6) , y ? R ; (4) x ? 6 ; 16.(1) an ? 2n ; (2) n 为奇数, bn ?

2n ? 2 2n ? 2 ; n 为偶数, bn ? ; (3) ? ? 1 ; 3 3


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