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2012年高三数学一轮复习资料第五章



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第 3 讲 导数的实际应用
★ 知 识 梳理 ★ 利用导数解决生活、生产优化问题,其解题思路是: 优化问题 函数模型

优化问题的解

解决数学问题

★ 重 难 点 突 破 ★ 1.重点:利用于数学知识建立函数模型,借助于导数解决最优化问题。 2.难点:建模的过程 3.重难点:认真审题,建立数学模型,解决与函数有关的最优化问题. (1)关注由导数的定义和物理意义处理实际应用问题 问题 1: 路灯距地平面为 8m ,一个身高为 1.6 m 的人以 84 m / m in 的速率在地面上行走,从路 灯在地平面上射影点 C,沿某直线离开路灯,求人影长度的变化速率 v. 点拨:利用导数的物理意义解决 设路灯距地平面的距离为 D C ,人的身高为 E B .设人从 C 点运动到 B 处路程为 x 米,时间 为 t (单位:秒),AB 为人影长度,设为 y ,则 ∵ B E // C D , ∴
y y? x ? 1 .6 8

AB AC

?

BE CD
1 4 x ? 7 20 t ( x ? 1 .4 t )



,又 84 m / m in ? 1.4 m / s ,∴ y ?
7 20

∵ y? ?

7 20

,∴人影长度的变化速率为

m /s.

(2)利用导数处理最大(小)值问题是高考常见题型. 问题 2. (2006·江苏)请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的 形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1 的距离 为多少时,帐篷的体积最大? [剖析]设 O O 1 为 x m ,则由题设可得正六棱锥底面边长为
3 ? ( x ? 1) ?
2 2

O

8 ? 2 x ? x (单位: m )
2

于是底面正六边形的面积为(单位: m )
3 4 3 3 2

2

O
1

3 ? ( x ? 1) ? 6 ?
2 2

? ( 8 ? 2x ? x ) ?
2 2

(8 ? 2 x ? x )
2

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3 帐篷的体积为(单位: m ) V ( x ) ?

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3 3 2 (8 ? 2 x ? x )
2

3 ?1 ? 3 ( x ? 1) ? 1 ? (1 6 ? 1 2 x ? x ) ?3 ? 2 ? ?

求导数,得 V ? ( x ) ?

3 2

(1 2 ? 3 x ) 令 V ? ( x ) ? 0 解得 x ? ? 2 (不合题意,舍去), x ? 2 .
2

当 1 ? x ? 2 时, V ?( x ) ? 0 , V ( x ) 为增函数;当 2 ? x ? 4 时, V ?( x ) ? 0 , V ( x ) 为减函数。 所以当 x ? 2 时, V ( x ) 最大.答当 O O 1 为 2 m 时,帐篷的体积最大.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点: 最优化问题 题型 1.函数模型中的最优化问题 例 1. 设工厂到铁路线的垂直距离为 20km,垂足为 B.铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供 应站 C,现要在铁路 BC 之间某处 D 修建一个原料中转车站,再由车站 D 向工厂修一条公路.如 果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为 3:5,那么,D 应选在何处,才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省? 【解题思路】由勾股定理建模. 解析 : 设 BD 之间的距离为 x km,则|AD|= x ? 20 ,|CD|= 100 ? x .如果公路运费为 a 元
2 2

/km,那么铁路运费为

3a 5

元/km.故从原料供应站 C 途经中转站 D 到工厂 A 所需总运费 y
x ? 400 ,( 0 ? x ? 100 ).对该式求导,得
2

为: y ? 3 a (100 ? x ) + a
5

y? =

? 3a 5

+
2

ax x ? 400

=

a ( 5 x ? 3 x ? 400 )
2

,令 y ? ? 0 ,即得 25 x =9( x ? 400 ),解之得
2 2

5

x ? 400
2

x 1 =15, x 2 =-15(不符合实际意义,舍去).且 x 1 =15 是函数 y 在定义域内的唯一驻点,所

以 x 1 =15 是函数 y 的极小值点,而且也是函数 y 的最小值点.由此可知,车站 D 建于 B,C 之间 并且与 B 相距 15km 处时,运费最省. 【名师指引】 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的 知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识, 求复合函数的最值就变得非常简单. 例 2. 某产品按质量分为 10 个档次,生产第一档(即最低档次)的利润是每件 8 元,每提高 一个档次,利润每件增加 2 元,但在相同的时间内产量减少 3 件.在相同的时间内,最低档的产品 可生产 60 件.问在相同的时间内,生产第几档次的产品的总利润最大?有多少元? 思路分析:在一定条件下,“利润最大” “用料最省” “面积最大” “效率最高” “强度最大” 等问题,在生产、 生活中经常用到,在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题.除了常见 的求最值的方法外,还可用求导法求函数的最值.但无论采取何种方法都必须在函数的定义域 内进行.
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解法一:设相同的时间内,生产第 x(x∈N*,1≤x≤10)档次的产品利润 y 最大. 2分 依题意,得 y=[8+2(x-1)] [60-3(x-1)] 4分 2 2 =-6x +108x+378=-6(x-9) +864(1≤x≤10), 8分 显然,当 x=9 时,ymax=864(元), 即在相同的时间内,生产第 9 档次的产品的总利润最大,最大利润为 864 元. 10 分 2 解法二:由上面解法得到 y=-6x +108x+378. 求导数,得 y′=-12x+108,令 y′=-12x+108=0, 解得 x=9.因 x=9∈[1,10],y 只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产 第 9 档次的产品利润最大,最大利润为 864 元. 【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、 简单的分式函数简单的无理函数、 简单的指数、 对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法 求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空 间. 题型 2:几何模型的最优化问题 【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解. 例 3. (07 上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图 1 所示)是边长为 0 . 4 米的正 方形 ABCD ,点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上, △ CFE 、△ ABE 和四边形 AEFD 均由单一 材料制成,制成△ CFE 、△ ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为 3:2:1. 若将此种地砖按图 2 所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形 EFGH . (1) 求证:四边形 EFGH 是正方形; (2) E 、 F 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?

图1

图2

【解题思路】图 2 是由四块图 1 所示地砖绕点 C 按顺时针旋转 90 后得到,△ CFE 为等腰 直角三角形, ? 四边形 EFGH 是正方形. [解析] (2) 设 CE ? x ,则 BE ? 0 . 4 ? x ,每块地砖的费用 为W , 制成△ CFE 、 ABE 和四边形 AEFD 三种材料的每平方米价格依次为 3a、 a (元), △ 2a、

?

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W ? 1 2 x
2

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? 3a ?

1

1 2 1 ? ? ? 0 . 4 ? ( 0 . 4 ? x ) ? 2 a ? ? 0 . 16 ? x ? ? 0 . 4 ? ( 0 . 4 ? x ) ? a 2 2 2 ? ?

?a x

?

2

? 0 . 2 x ? 0 . 24
2

?

? a ( x ? 0 . 1)

?

? 0 . 23 ,

?

0 ? x ? 0 .4 .

由 a ? 0 ,当 x ? 0 . 1 时, W 有最小值,即总费用为最省. 答:当 CE ? CF ? 0 . 1 米时,总费用最省. 【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨. 题型 3:三角模型的最优化问题 例 4. 若电灯 B 可在桌面上一点 O 的垂线上移动,桌面上有与点 O 距离为 a 的另一点 A,问 电灯与点 0 的距离怎样,可使点 A 处有最大的照度?( ? BAO ? ? , BA ? r , 照度与 sin ? 成 正比,与 r 成反比) 【解题思路】如图,由光学知识,照度 y 与 sin ? 成正比,与 r 成反比,
2
2

即y ? C

sin ? r
2

( C 是与灯光强度有关的常数)要想点 A 处有最

大的照度,只需求 y 的极值就可以了. 解析:设 O 到 B 的距离为 x ,则 sin ? ?
sin ? r
2

x r

,r ?

x

2

?a

2

于是 y ? C

? C

x r
3

? C (x
2

x
3

(0 ? x ? ? ) , y ? ? C

a (x

2

? 2x
2

2 5

? 0.

? a )2

2

2

? a )2

当 y ? ? 0 时,即方程 a ? 2 x
2

2

? 0 的根为 x 1 ? ?

a 2

(舍)与 x 2 ?

a 2

,在我们讨论的半

闭区间 ?0 , ?? ? 内,所以函数 y ? f ( x ) 在点

a 2

取极大值,也是最大值。即当电灯与 O 点距

离为

a 2

时,点 A 的照度 y 为最大.

(0, +

a 2



(

a 2

, ?? )

y?
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-

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y

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↗ ↘

点评:在有关极值应用的问题中,绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得
f ? ( x ) =0 且在该点两侧, f ? ( x ) 的符号各异,一般称为单峰问题,此时,该点就是极值点,

也是最大(小)值点.

【名师指引】多参数的数学应用题要注意分清哪些是主元,哪些是参数;函数最值有关的问题 通常利用导数求解比较方便. 【新题导练】. 1. 在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形, 再把它的边沿虚线折起 (如图) , 做成一个无盖的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?

解析:设箱底边长为 x ( cm ) ,则无盖的方底箱子的高为 3 0 ? 则V ? ?
1 2 x ? 3 0 x (0 ? x ? 6 0 ) ? V ? ?
3 2 '

x 2

( cm ) ,其体积为 V ( cm ) ,
3 2 x ? 60 x ? 0 ,
2

3

3 2

x ? 6 0 x ,令 V ? 0 ,得 ?
2

'

解得 x ? 40 ( 0 已舍去)且仅当 x ? (0, 4 0 ) 时,V ? 0 ;当 x ? (40,60) 时,V ? 0 .所以函
' '

数 V ( x ) 在 x ? 40 时取得极大值,结合实际情况,这个极大值就是函数 V ( x ) 的最大值.
V ( 4 0 ) ? 1 6 0 0 0 ,故当箱底边长为 40cm 时,箱子容积最大,最大容积是 16000cm .
3

2. .一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比, 已知在速度为每小时 10 公里时的
燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,问此轮船以何种速度航行 时,能使行驶每公里的费用总和最小?
3 设船速度为 x ( x ? 0 ) 时,燃料费用为 Q 元,则 Q ? k x ,由 6 ? k ? 1 0 可得 k ?
3

3 500



∴Q ?

3 500

x ,∴总费用 y ? (
3

3 500

x ? 96) ?
3

1 x

?

3 500

x ?
2

96 x

, y? ?

6 500

?

96 x
2

,令 y ? ? 0

得 x ? 20 ,当 x ? (0, 20) 时, y ? ? 0 ,此时函数单调递减,当 x ? ( 2 0, ? ? ) 时, y ? ? 0 ,此 时函数单调递增,∴当 x ? 20 时, y 取得最小值,∴此轮船以 20 公里/小时的速度使行驶 每公里的费用总和最小.

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★ 抢 分 频 道 ★

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基础巩固训练 1. 我国儿童 4 岁前身高增长的速度最快的是在哪一个年龄段?答: 据有关统计资料, 我国儿童 4 岁前身高情况有一组统计数据
年 龄/岁 身 高/米 2 0.5 3 0.6 3 0.7 5 0.8 3 0.9 1 1.0 6 1.0 2 1.1 ? 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ?

思路分析:: 要判断这一个问题.必须要计算每半年这个群体长高的平均增长率,再加以比较 即可,通过计算每半年长高的平均增长率分别是 2.2, 2, 2.4, 1.6, 1.6, 1, 1.2 可知我国儿童在 1.5 岁至 2 岁这一时段身高增长的速度最快 2.(2008·深圳 6 校)某日中午 12 时整,甲船自 A 处以 16 km / h 的速度向正东行驶,乙船 自 A 的正北 18 km 处以 16 km / h 的速度向正南行驶,则当日 12 时 3 0 分时两船之间距离对时 间的变化率是_____________. 解析:距离对时间的变化率即瞬时速度。即此时距离函数对时间变量的导数。将物理学概念 与数学中的导数概念迁移到实际应用题中来。易求得从 12 点开始, x 小时时甲乙两船的距 离d ?
d ?
'

(16 x ) ? (18 ? 24 x )
2

2

1 2

?(16 x )

2

? (18 ? 24 x )

2

? ?2 ? 16 x ? 16 ? 2 ? (18 ? 24 x )( ? 24 ) ? ,
? 1 2

当 x ? 0 .5 时, d ? ? 1 . 6
'

3.要建造一个长方体形状的仓库,其内部的高为 3m,长和宽的和为 20m,则仓库容积的最 大值为 1800m3 .

解:设长为 xm ,则宽为 (20 ? x ) m ,仓库的容积为 V 则 V ? x (20 ? x ) ? 3 ? ? 3 x ? 60 x
2

V ? ? ? 6 x ? 60 ,令 V ? ? 0 得 x ? 1 0

当 0 ? x ? 10 时, V ? ? 0 ;当 x ? 1 0 时, V ? ? 0
? x ? 1 0 时, V 最 大 ? 1 8 0 0 ( m )
3

4. 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使体积为最大,则其高应为____________.
2 2 2 解:设圆锥底面半径为 r,高为 h ,则 h ? r ? 2 0 ,? r ?

400 ? h
1 3

2

,? 圆锥体积一天
2

V ?

1 3

?r h ?
2

1 3

? (400 ? h )h ?
2

1 3

? (400 h ? h ) , 令 V ? ?
3

?( 4 ? 0 0 h

?3

) 得

0

h ?

20 3 3

,当 h ?

20 3 3

时, V ? ? 0 ; h ?

20 3 3

时, V ? ? 0

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20 h 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com k

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? h ?

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20 3 3 cm

20 3 3

时,V 最大,当应填

5. 质量为 5 kg 的物体运动的速度为 v=(18t-3t2) m/s,在时间 t=2 s 时所受外力为 ______N. 分析:本题主要考查导数的物理意义即速度 v(t)对时间的导数是该时刻的加速度. 解:∵v′=18-6t,∴v′|t=2=18-6×2=6.∴t=2 时物体所受外力 F 为 6×5=30. 综合拔高训练 6.在长为 100 千米的铁路线 AB 旁的 C 处有一个工厂, 工厂与铁路的距离 CA 为 20 千米.由铁 路上的 B 处向工厂提供原料,公路与铁路每吨千米的货物运价比为 5∶3,为节约运费,在 铁路的 D 处修一货物转运站,设 AD 距离为 x 千米, 沿 100 CD 直线修一条公路(如图). A B D x 20 (1)将每吨货物运费 y(元)表示成 x 的函数. C (2)当 x 为何值时运费最省? 解:(1)设公路与铁路每吨千米的货物运价分别为 5k、3k(元)(k 为常数)AD=x,则 DB=100 -x.
CD ? AD
2

? AC

2

?

x ? 20
2

2

?
2

x ? 400
2

∴每吨货物运费 y=(100-x)·3k+ x ? 400 ·5k(元) (2)令 y′=-3k+5k·
2 2x x ? 400
2

?

5 x ? 3 x ? 400
2

·k=0

x ? 400
2

∴5x-3 x ? 400 =0
2

∵x>0,∴解得 x=15 当 0<x<15 时,y′<0;当 x>15 时,y′>0 ∴当 x=15 时,y 有最小值. 答:当 x 为 15 千米时运费最省 . 7. (广东省 2008 届六校第二次联考)设某物体一天中的温度 T 是时间 t 的函数,已知
T ( t ) ? a t ? b t ? ct ? d ( a ? 0 ) ,其中温度的单位是℃,时间的单位是小时.中午 12:00 相
3 2

应的 t=0,中午 12:00 以后相应的 t 取正数,中午 12:00 以前相应的 t 取负数(如早上 8:00 相应的 t=-4,下午 16:00 相应的 t=4) .若测得该物体在早上 8:00 的温度为 8℃,中午 12:00 的温度为 60℃,下午 13:00 的温度为 58℃,且已知该物体的温度早上 8:00 与下午 16:00 有 相同的变化率. (1)求该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式; (2)该物体在上午 10:00 到下午 14:00 这段时间中(包括端点)何时温度最高?最高温度是多 少? 解:(1) 因为 T ? ? 3 a t ? 2 b t ? c ,
2

?????????2分

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?????????3分

而 T ? ? ? 4 ? ? T ? ? 4 ? , 故 48 a ? 8 b ? c ? 48 a ? 8 b ? c ,
?T ? 0 ? ? d ? 6 0 ? a ?1 ? ? ?T ? ? 4 ? ? ? 6 4 a ? 1 6 b ? 4 c ? d ? 8 ? b?0 ? ? ? ? T ?1 ? ? a ? b ? c ? d ? 5 8 ? c ? ?3 ? 4 8 a ? 8b ? c ? 4 8 a ? 8b ? c ? ? d ? 60 ?
3

?

. ???????6 分

∴ T ? t ? ? t ? 3 t ? 60 ( ? 12 ? t ? 12) . ?????????????7 分 (2) T ? ? 3 t ? 3 ,
2

由 T ? ( t ) ? 0 得 t ? ? 1或 t ? 1

????????9 分

当 t 在 [ ? 2 , 2 ] 上变化时, T ? ( t ) 与 T ( t ) 的变化情况如下表:
x
T ?( t ) T (t )

-2

(-2,-1) +

-1 0 极大值 62

(-1,1) - 减函数

1 0 极小值 58

(1,2) + 增函数

2

58

增函数

62

?????????????12 分 由上表知当 t ? ? 1或 t ? 2时 T ( t ) 取到最大值 体温度最高,最高温度是 62℃. 8.今有一块边长 a 的正三角形的厚纸,从这块厚纸的三个角,按右图那样切下三个全等的四 边形后,做成一个无盖的盒子,要使这个盒子容积最大, x 值应为多少?
62 ,说明在上午 11:00 与下午 14:00,该物

解:折成盒子后底面正三角形的边长为 a ? 2 x (0 ? x ? 设:容积为 V,则
V ? sh ? 1 2 ( a ? 2 x ) ? sin 6 0 ? ?
2

a 2

) ,高为 h ? x ? tan 3 0 ? ?

3 3

x

3 3

x

x
a

? x ? ax ?
3 2

a

2

x

4 a
2

2 V ? ? 3 x ? 2ax ?

4

令V ? ? 0 得 x ? 当0 ? x ?
a 6
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a b

,

x ?

a 2

(舍去)
a b

时, V ? ? 0 ;当 x ?

时, V ? ? 0

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?x ? a b

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? a
3

时, V 最 大 ?

a

3

?

a

3

?

4a

3

?

a

3

216

36

24 a
3

216

54

答: x 为

a b

时,盒子的容积最大为

54

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