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山东省2014高考数学冲刺之函数的奇偶性与周期性、对称性



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山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 4:函数的奇偶性与周期性、对称性(学生版)

一、选择题 1 . ( 2013 届 山 东 省 高 考 压 轴 卷 理 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ? x? 是 R 上的奇函数 ,若对于 x ? 0 ,都有
( )

f ? x ? 2 ? ? f ( x) , 当x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? 时, f ? ?2013? ? f ? 2012 ? 的值为
A. ?2 B. ?1 C.1 D.2

2 .(山东省枣庄市 2013 届高三 4 月(二模)模拟考试数学 (理)试题)已知函数 f ( x ) 对任意 x ? R 都有

f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2 f (3), y ? f (x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,则 f (2013) ?
A.10 B. ? 5 C.5 D.0





3 . (山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学) 已知函数 f ( x) 的定义域为 (3 ? 2a, a ? 1) , 且

f ( x ? 1) 为偶函数,则实数 a 的值可以是
A.





2 3

B. 2

C. 4

D. 6

4 .(山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第二次质量检测数学(理)试题)已知函数

f ? x ? 是定义在 R 上的奇
( )

函数,当 x >0 时, f ? x ? ? 1 ? 2 ,则不等式 f ? x ? < ?
?x

1 的解集是 2
D. ?1, ?? ?

A. ? ??, ?1?

B. ? ??, ?1?

C. ?1, ?? ?

5 .(山东省济宁邹城市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且

当 x∈(0,1)时, f ( x) ? 2x ? 1, 则f (log2 12) = A.

1 3

B.

4 3

C.2

D.11

6 . ( 山 东 威 海 市 2013 年 5 月 高 三 模 拟 考 试 数 学 ( 理 科 ) ) 奇 函 数 y ? f ( x) 满 足 f (3) ? 1 , 且

f ( x ? 4) ? f ( x) ? f (3) ,则 f (2) 等于
A. 0 B. 1 C. -





1 2

D.

1 2

7 . (2011 年高考 (山东理) ) 对于函数 y ? f ( x), x ? R ,“ y ?| f ( x) | 的图象关于 y 轴对称”是“ y ? f ( x)

是奇函数”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件

( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



8 .(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,对任意 x ? R ,都
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有 f ? x ? 6 ? ? f ? x ? ? f ? 3? 成立 , 若函数 y ? f ? x ? 1? 的图象关于直线 x ? ?1 对称 , 则 f ? 2013? ? ( A. 0 B. 2013 C. 3 D. ?2013
9 ( .2011 年高考 (山东理) ) 已知 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时,



f ( x) ? x3 ? x ,
( )

则函数 y ? f ( x) 的图象在区间 [0, 6] 上与 x 轴的交点的个数为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

10.(山东济南外国语学校 2012—2013 学年度第一学期高三质量检测数学试题(理科))下列函数中既是偶

函数又在(0,+∞)上是增函数的是 A. y ? x 3 B. y ?| x | ?1 C. y ? ? x 2 ? 1 D. y ? 2 ?| x|





11.(山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试理科数学)下列函数中,在其定义域内,既是奇函数又是

减函数的是

( B . f ( x) ?



1 A. f ( x ) ? x

?x

C



f ( x) ? 2? x ? 2 x

D. f ( x) ? ? tan x
12 . (山东省曲阜市 2013 届高三 11 月月考数学(理)试题) 定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 : 对任意

x1 , x2 ? [0, ?? )(x1 ? x2 )都有
A. f (3) ? f (?2) ? f (1) C. f (?2) ? f (1) ? f (3)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则有 x2 ? x1
B. f (1) ? f (?2) ? f (3) D. f (3) ? f (1) ? f (?2)





13.(山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)已知 f ( x) 为奇函数,在

?3, 6? 上是增函

数, ?3, 6? 上的最大值为 8,最小值为 ?1 ,则

2 f (?6) ? f (?3) 等于
A. ?15 B. ?13 C. ?5 D. 5





14. (山东省莱芜市第一中学 2013 届高三 12 月阶段性测试数学 (理) 试题) 设 f ( x ) 是连续的偶函数,且当 x ? 0

时 f ( x ) 是单调函数,则满足 f ( x ) ? f ( A. ? 3 B. 3

x?3 ) 的所有 x 之和为( ) x?4 C. ? 8 D. 8





15.(山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题 (理科))已知函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,若对于

x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0,2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ,则 f (?2011) ? f (2012) 的值为
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( A. ? 2 B. ? 1 C.1 D.2



16.(山东省德州市乐陵一中 2013 届高三十月月考数学( 理)试题)设奇函数 ( x)在(0, ??) 上是增函数,且

f (1) ? 0 ,则不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集为
A. {x | ?1 ? x ? 0, 或x ? 1} C. {x | x ? ?1, 或x ? 1} B. {x | x ? ?1, 或0 ? x ? 1} D. {x | ?1 ? x ? 0, 或0 ? x ? 1}
x





17. (2010 年高考 (山东理) ) 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= 2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)=

( A.3 B.1 C.-1 D.-3



18 . (山东省德州市乐陵一中 2013 届高三十月月考数学 ( 理 ) 试题) 若对任意的 x ? R , 函数 f ( x) 满足

f ( x ? 2012 ) ? ? f ( x ? 2011 ) ,且 f (2012 ) ? ?2012,则 f (?1) ?
A.1 B.-1 C.2012 D.-2012





19. (山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0

时 f ( x) ? 3 ? m (m 为常数),则 f( ? 1og35)
x

的值为 A.4

( B. ? 4 C.6 D. ? 6



20. (山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 )已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,若对于 x≥0,
x 都有 f (x ? 2) ? f (x) ,且当 x ? [0,2] 时, f (x)=e -1 ,则 f (2013)+f (-2014) =





D.e+l 21 .(山东省济宁市 2013 届高三 4 月联考理科数学) 已知定义在 R 上的函数 f(x),对任意 x∈R,都有

A.1-e

B.e-1 .

C.-l-e

f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x=-1 对称,则 f(201 3)=
A.0 B.201 3 C.3 D.—201 3





22.(2009 高考(山东理))定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=

?log2 (1 ? x), x ? 0 ,则 f(2009)的 ? ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
( )

值为 A.-1 B.0 C.1 D.2

23.(山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)已知非零向量 a 、 b ,满足 a
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?

?

?

? ? b ,则函数

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? ? f ( x) ? (ax ? b)2 (x ? R) 是
A.既是奇函数又是偶函数 C.偶函数 B.非奇非偶函数 D.奇函数





24. (山东省兖州市 2013 高三 9 月入学诊断检测数学(理)试题) 已知定义在 R 上的奇函数

f ?x ? 和偶函数 g ?x ?

满足 f ?x ? ? g ?x ? ? a x ? a ? x ? 2 ?a ? 0, 且a ? 1? , 若 g ? 2012? ? a ,则 f ? ?2012? ? A. 2 B. 2
?2012

( C. 2
2012



? 22012

? 2?2012

D. a

2

25 . ( 2013 山东高考数学(理)) 已知函数

f ( x) 为奇函数 , 且当 x ? 0 时 ,

f ( x) ? x 2 ?

1 x , 则 f (?1) ?
( )

A. ? 2

B.0

C.1

D.2

26.(山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学)设函数

f ? x ? ? 2 x ,则如图所示的函数图象对应

的函数是

( A. y ? f ? | x | ? B. y ? ? | f ? x ? | C. y ? ? f ? ? | x | ? D . y ? f ? ? | x | ?



27.(山东省德州市乐陵一中 2013 届高三十月月考数学(理)试题)定义在 R 上的函数 f ( x ) 在(-∞,2)上是增

函数,且 f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则 A. f (?1) ? f (3)
二、填空题 28.(山东师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月理科数学)设函数

( D. f (0) ? f (3)



B. f (0) ? f (3)

C. f (?1) ? f (3)

f ? x ? 是定义在 R 上的周期为 2 的偶

函数,当 x ? [0,1] 时, f ? x ? ? x ? 1 , 则 f ? 2013.5? =_______________.

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29.(山东师大附中 2013 届级高三 12 月第三次模拟检测理科数学) y ?

f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数且在

? ? ? ?0, ?? ? 上递增,不等式 f ? ? ? ? f ? ? ? 的解集为_____________ x ?1 2 x 1 ? ? ? ?
30. (山东省潍坊市四县一校 2013 届高三 11 月期中联考(数学理)) 已知奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,

且当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) 的值 为______________

7 2

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山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 4:函数的奇偶性与周期性、对称性(学生版)参考答案 一、选择题 1.

B【解析】由 f ? x ? 2 ? ? f ( x) 知,函数 f ? x ? 的周期为 2,所以 f ? ?2013? ? f ? 2012 ?

? ? f (2013) ? f (1006 ? 2) ? ? f (1006 ? 2 ? 1) ? f (0) ? ? f (1) ? f (0) ? ?1.
2. 3.

D 【答案】B 因为函数 f ( x ? 1) 为偶函数,所以 f (? x ? 1) ? f ( x ? 1) ,即函数 f ( x) 关于 x ? 1 对称,所以

区间 (3 ? 2a, a ? 1) 关于 x ? 1 对称,所以

3 ? 2a ? a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,所以选 B. 2

1 2 , 又因为函数为奇函数 , 所以 f (?1) ? ? f (1) ? ? 1 , 所以不等式 4. A 【解析】因为 2 1 1 f ( x) ? ? 等价于 f ( x) ? f (?1) ,当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 2? x ? 1 ? ( ) x 单调递增,且 0 ? f ( x) ? 1 ,所 2 2 f ?1? ? 1 ? 2?1 ?
以在 (??, 0) 上函数也单调递增,由 f ( x) ? f ( ?1) 得 x ? ?1 ,即不等式的解集为 ? ??, ?1? ,选 A.
5. 6. 7.

A D 解析:若 y ? f ( x) 是奇函数,则 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称;反之不成立,比如偶函数 y ? f ( x) , 满足 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称,但不一定是奇函数,答案应选 B.

8.

【答案】A 【 解析】函数 y ? f ? x ? 1? 的图象关于直线 x ? ?1 对称,则 f ( x) 关于 y 轴对称,即函数 f ( x) 为偶函 数 . 令 x ? ?3 , 得 f ? ?3 ? 6 ? ? f ? ?3? ? f ? 3? , 即

f (3) ? 2 f (3)

, 所 以

f (3) ? 0

, 所 以

f ? x ? 6? ? f ? x?
9.

,即函数

f ( x) 的周期为 6.所以 f ? 2013? ? f (335 ? 6 ? 3) ? f (3) ? 0

,选 A.

3 2 解析:当 0 ≤ x ? 2 时 f ( x) ? x ? x ? x( x ?1) ,则 f (0) ? f (1) ? 0 ,而 f ( x ) 是 R 上最小正周期为 2

的周期函数,则 f (2) ? f (4) ? f (6) ? f (0) ? 0 , f (3) ? f (5) ? f (1) ? 0 ,答案应选 B.

10. B 【解析】函数 y

? x 3 为奇函数,排除 A.当 x ? 0 时,函数 y ? ? x 2 ? 1 和 y ? 2 ?| x| 为减函数,排除 C,D,
1 在定义域上是奇函数,但不单调. f ( x) ? ? x 为非奇非偶函数. f ( x) ? ? tan x 在 x

选 B.
11. C【解析】 f ( x) ?

定义域上是奇函数,但不单调.所以选 C. 12. A
13. 【答案】A
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【 解 析 】因 为 函 数在 ?3, 6? 上 是 增 函 数 , 所 以 f (6) ? 8 , f (3) ? ?1 , 又 因为 函 数 为奇 函 数 , 所 以

2 f (?6) ? f (?3) ? ?2 f (6) ? f (3) ? ?2 ? 8 ? 1 ? ?15 ,选 A.
14. 解 : 本小题主要考查函数的奇偶性性质的运用 . 依题当满足 f ( x ) ? f (

x?3 x?3 ) 时,即 x ? 时,得 x?4 x?4

x 2 ? 3x ? 3 ? 0 , 此 时 x1 ? x2 ? ?3. 又 f ( x) 是 连 续 的 偶 函 数 ,∴ f (? x) ? f ( x) ,∴ 另 一 种 情 形 是
f (? x) ? f ( x?3 x?3 x?3 2 ) ,即 ? x ? ) 的所 , 得 x ? 5 x ? 3 ? 0 ,∴ x3 ? x4 ? ?5. ∴满足 f ( x ) ? f ( x?4 x?4 x?4

有 x 之和为 ?3 ? (?5) ? ?8.
15.

C 【 解 析 】 由 函 数

f ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 及 x ? 0 时 f ( x ? 2) ? f ( x) 得

f (?2011) ? f (2012) ? f (2011) ? f (0) ? f (1) ? f (0) ? log 2 2 ? log 2 1 ? 1. 故选 C
(0, ??)

16.

D

















f ( x)











数 , f (? x) ? ? f ( x) , x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 ,∴ xf ( x) ? 0 , 又 f (1) ? 0 ,∴ f (?1) ? 0 , 从 而 有 函 数

f ( x) 的图象如图

则有不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集为解集为 {x | ?1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1} ,选 D.
17.答案 D
0 解析:因为 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,所以有 f (0) ? 2 ? 2 ? 0 ? b ? 0 ,解得 b ? ?1 ,所以当 x ? 0

时, f ( x) ? 2x ? 2 x ?1 ,则有 f (?1) ? ? f ?1? ? ?(2 ? 2 ?1 ?1) ? ?3 ,故选 D
1

命题意图:本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键.
18. C 【解析】 由 f ( x ? 2012) ? ? f ( x ? 2011) ,得 f ( x ? 2011 ? 1) ? ? f ( x ? 2011) ,即 f (t ? 1) ? ? f (t ) ,

所 以 f ( t ? 2 )? f (t ) , 即 函 数 的 周 期 是 2. 所 以 令 x ? 0 得 , f (2012) ? ? f (2011) ? ?2012 , 即

f (2011) ? 2012 ,又 f (2011) ? f (1) ? f (?1) ,所以 f (?1) ? 2012 ,选 C.
19. 【答案】B

【解析】因为函数在 R 上是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 f (0) ? 1 ? m ? 0 ,所以 m ? ?1 ,所以 x ? 0 时
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f ( x) ? 3x ? 1 .所以 f (? log 3 5) ? ? f (log 3 5) ? ?(3log3 5 ? 1) ? ?5 ? 1 ? ?4 ,选 B.
20. 【答案】B

【解析】 由 f (x ? 2) ? f (x) 可知函数的周期是 2.所以 f (2013) ? f (1) ? e ? 1 , f (?2014) ? f (0) ? 0 , 所以 f (2013)+f ( ? 2014) ? e ? 1,选 B.
21. A 22. 【解析】:由已知得

f (?1) ? log 2 2 ? 1, f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 ,

f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 , f (3) ? f (2) ? f (1) ? ?1 ? (?1) ? 0 , f (4) ? f (3) ? f (2) ? 0 ? (?1) ? 1 , f (5) ? f (4) ? f (3) ? 1 , f (6) ? f (5) ? f (4) ? 0 ,
所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现.,所以 f(2009)= f(5)=1,故选 C. 答案:C.
23. C 24. B 25. A【解析】因为函数为奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?(1 ? 1) ? ?2 ,选 A. 26. 【答案】C

【 解析】 因为当 x ? 0 时, y ? ?1 ,所以排除 A,D.又因为函数的图象关于 y 轴对称,所以函数为偶函数, 所以排除 B,选 C.
27. A

【解析】函数 f ( x ? 2) 的图象关于 y 轴对称,则 f ( x ) 关于直线 x ? 2 对称,函数 f ( x ) 在 (??, 2) 上

是增函数,所以在 (2, ??) 上是减函数,所以 f (?1) ? f (5) ? f (4) ? f (3) ,选 A.
二、填空题 28. 1.5 29.

【解析】因为函数的周期为 2,所以 f ? 2013.5 ? ? f ( ?0.5) ? f (0.5) ? 0.5 ?1 ?1.5 【 解 析 】 因 为 y ? f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 且 在 ? 0, ?? ? 上 递 增 , 所 以

1 ( ? ,1) 3

x 1 1 x 1 ? x ? ? 1? f? ) ? f ( ? ) ? f ( ) , 所以 ? , 即 2 x ? x ? 1 , 平方得 ? ? f ? ? ? 等价为 f ( x ?1 2 2 x ?1 2 ? x ?1 ? ? 2?
1 1 4 x2 ? x2 ? 2 x ? 1 ,所以 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 ? ? x ? 1 ,即不等式的解集为 ( ? ,1) . 3 3
30.

? 2

【 解 析 】 由 f ( x ? 2) ? ? f ( x) 得 f ( x ? 4) ? f ( x) , 所 以 f ( x) 周 期 是 4, 所 以
1 1 1 x 2 ? ) ? f ,( ) x ? (0,1) 时 , f ( x) ? 2 , 所 以 f ( ) ? 2 ? 又当 2 2

7 7 1 f ( )? f ( ? 4 ? ) f ? ( 2 2 2

2, 所 以

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7 f ( ) ? ? 2. 2

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