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人教版高中数学必修2 4.3空间直角坐标系



数轴上的点
B
-2 -1 A

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

平面坐标系中的点
y

y

P (x,y) 平面中的点可以用

有序实数对(x,y) 来表示点

O

x

x

在教室里同学们的位置坐标
z

y O

x

一、空间直角坐标系:

z
'

以单位正方体 OABC ? D?A?B?C ? 的 D ' A 顶点O为原点,分别以射线OA, OC, OD? 的方向为正方向,以

C'

B'

O
A B

C

y

线段OA,OC, OD? 的长为单位
长度,建立三条数轴:x轴,y轴, x

z轴,这时我们建立了一个空间直角坐标系O ? xyz 。 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴, 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别 称为xoy平面、 yoz平面、和 zox平面.

在空间直角坐标系中 , 让右手拇指

指向 x 轴的正方向 , 食指指向y 轴
的正方向, 如果中指能指向z 轴的

正方向, 则称这个坐标系为

右手直角坐标系

z

z

O

y y

x

x

空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, z

而z轴垂直于y轴.
0 135 2.y轴和z轴的单位长度相同, o

x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半. x

1350

y

二、空间直角坐标系的划分:


z

yz 面


zx 面
Ⅱ Ⅰ

xy 面
Ⅶ Ⅷ

?

O

y


x


空间直角坐标系共有八个卦限

空间直角坐标系中任意 一点的位置如何表示?

三、空间点的坐标:
有了空间直角坐标系,那刚才所讲的 气球怎样来表示它的坐标呢?
z
C

c

p b
P1

o
A

B

a

y

经过A点作三个平面 分别垂直于x轴、y轴和z轴, 它们与x轴、y轴和z轴分别 交于三点,三点在相应的 坐标轴上的坐标a,b,c组成 的有序实数对(a,b,c)叫做 点A的坐标

x

记为:A(a,b,c)

三、空间点的坐标:
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别 是x,y和z,这样空间一点M的坐标可以用有序实 数组(x,y,z)来表示, (x,y,z)叫做点M 在此 空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).
z
R
M

其中x叫做点M的横坐标,

y叫做点M的纵坐标,
Q

P

O
M’

y z叫做点M的竖坐标.

x

四、特殊位置的点的坐标:
z

?
F

C

小提示:坐标轴

?
x

1
O

?
1

E

?

?
D

B y

上的点至少有两个 坐标等于0;坐标面 上的点至少有一个 坐标等于0。

? A1

?

点P的位置 坐标形式

原点

O D

X轴上

A E

Y轴上

B F

Z轴上

C

(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
X Y面内 Y Z面内 Z X面内

点P的位置
坐标形式

(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)

z

(1)坐标平面内的点: ?
1 E

?
F

C

?
x

1
O

?

?
D

B y

xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0

? A1

?

(2)坐标轴上的点:
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0

z轴上的点横坐标和纵坐标都为0

例1 : 在长方体OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2, 写出所有点的坐标 .
z
2 D ' (0,0, 2)

C '?0,4,2?
B '(3, 4, 2)
4

?3,0,2? A '
O ?0,0,0?
3

y

C (0, 4,0)
B (3, 4,0)

x A (3, 0, 0)

z P ( ? 1, ? 1,1) 3
P(1,1,1)
o
y
x

P2 (?1,1, ?1)
P 1 (1, ?1, ?1)

五、空间点的对称问题:
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (1)与点M关于x轴对称的点: (2)与点M关于y轴对称的点: (3)与点M关于z轴对称的点:

(x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z)

(4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)

规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。

z
P 1 (1, ?1,1)
o

P2 (?1,1,1)
P(1,1,1)

y
x

P 3 (1,1, ?1)

五、空间点的对称问题:
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (5)与点M关于平面xOy的对称点: (x,y,-z) (6)与点M关于平面yOz的对称点: (-x,y,z) (7)与点M关于平面zOx的对称点: (x,-y,z)

规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。

【总一总★成竹在胸】
1、空间直角坐标系的建立(三步); 2、空间直角坐标系的划分(八个卦限);
3、空间中点的坐标(一一对应);

4、特殊位置的点的坐标(表格);
5、空间点的对称问题。

长a,宽b,高c的长方体的对角线,怎么求?

d a
2 2

c b
2

d ? a ?b ?c

在空间直角坐标系中点O(0,0,0)到 点P(x0,y0,z0)的距离,怎么求?

z d y0
P z0 x0

O x

y

d?

x ? y ?z
2 0 2 0

2 0

在空间直角坐标系中,点P(x,y,z)到 点xOy平面的距离,怎么求?

z

d xOy ? z
O y x P z x y

d yOz ? x d xOz ? y

在空间直角坐标系中,点P(x0,y0,z0)到 坐标轴的距离,怎么求? z
d y0 P z0 x0

dx ?
y

y ?z
2 0

2 0 2 0 2 0

O x

dy ? dz ?

x ?z
2 0 2 0

x ?y

两点间距离公式
平面: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1 2 |?
2 2

类比

猜想

空间: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) 1 2 |?
2 2

2

一、空间两点间的距离公式:
在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)
和点Q(x2,y2,z2)的距离公式:

d ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )
2 2

2

二、空间中点坐标公式:
在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

x1 ? x2 ? x ? ? 2 ? y1 ? y 2 ? ?y ? 2 ? z ? z 1 2 ?z ? ? 2 ?

例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (1)三角形三边的边长; 解: AB ?

?1 ? 2? ? ?5 ? 3? ? ?2 ? 4?
2 2

2

?3

BC ? AC ?

?2 ? 3? ? ?3 ? 1? ? ?4 ? 5?
2 2

2

? 6 ? 29

?1 ? 3? ? ?5 ? 1? ? ?2 ? 5?
2 2

2

例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (2)AC边上中线BM的长。

M(2,3,3.5)

|BM|=0.5

例2:求证以 M1 (4,3,1) , M 2 (7,1,2) , M 3 (5,2,3),
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解: M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,
M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ? (4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
2 2

2

? M 2 M 3 ? M 3 M1 , 原结论成立.

例3:设P在x轴上,它到 P1 (0, 2,3) 的距离为
到点 P2 (0,1,?1)的距离的两倍,求点P的坐标。 解: 因为 P 在 x 轴上, 设P点坐标为( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ?

x ? 11,
2

PP2 ? x ? ?? 1? ? 1 ?
2 2 2

x ? 2,
2

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1, 所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

例4:已知 A( 3,3,3 2 ), B( 3,1, 2 ) ,在平面
Oyz上是否存在一点C,使 ?ABC为等边三角 形,如果存在求C坐标,不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z),满足条件:

? AB ? AC ? BC
? ? ?

? ? ?

3 ? 3 ? ?3 ? 1? ? 3 2 ? 2
2 2

?

?

?

2

? ? ? 3 ? 0? ? ?1 ? y ? ? ? 2 ? z ?
3 ? 0 ? ?3 ? y ? ? 3 2 ? z
2 2 2 2 2

2

例4:已知 A( 3,3,3 2 ), B( 3,1, 2 ) ,在平面
Oyz上是否存在一点C,使 ?ABC为等边三角 形,如果存在求C坐标,不存在说明理由。
? y?4 ? y?0 ?? 或? ?z ? 2 ?z ? 3 2 ? C 0,4, 2 或 0,0,3 2

?

? ?

?

所以存在一点C,满足条件.

【总一总★成竹在胸】
一、空间两点间的距离公式:

d ? ( x 2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )
2 2

2

二、空间中点坐标公式:
x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? y1 ? y 2 ? ?y ? 2 ? ? z ? z1 ? z 2 ? 2 ?

问题引入
1.数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢? 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示;
O M x

x

2.直角坐标平面上的点M,怎样表示呢? 直角坐标平面上的点M,可用一对有序实数(x,y) 表示. y

y O

A(x,y)

x

x

问题引入

数轴上的点
B
A

-2

-1

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

问题引入
y

平面坐标系中的点

y

P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

O

x

x

讲授新课
1、空间直角坐标系的建立
在空间取定一点O

z

(原点)

1

从O出发引三条两两垂直的直 线 (坐标轴) 选定某个长度作为单位长度 x

?
1

O

1

y

作图:一般的 使 ?xOy ? 135?,
?yOz ? 90?

Z

右手系
X

Y

二、讲授新课
O为坐标原点

z

D'

x轴,y轴,z轴叫 坐标轴

A' O A

B'

C'

y C B

通过每两个坐标轴的 平面叫 坐标平面, x

yOz 平面、 xOz 平面。 分别为 xOy平面、

2、空间直角坐标系的划分


z

yz 面


zx 面


xy 面
Ⅶ Ⅷ

?

O

y




x


空间直角坐标系共有八个卦限

3、空间中点的坐标
对于空间任意一点M,要求它的坐标

方法一:过M点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴,平面与三个坐标轴的交点分别为P、Q、R,在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z,那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标,简称为坐标,记作P(x,y,z),三个数值 z 叫做 P点的横坐标、纵坐标、竖坐标。
z

?
1

R

?M
1

x? x P

1

? o

?Q

y

y

3、空间中点的坐标

方法二:过M点作xOy面的垂线,垂足为 P0点。 点P 0 在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、

纵坐标。再过P点作z轴的垂线,垂足 P1在z轴上的坐标z 就是P点的竖坐标。 z
z P1 M

1

?
1

M点坐标为 (x,y,z)
y Y

x

x X

1

? o

y

?P

0

二、空间中点的坐标 x称为点P的x坐标 y称为点P的y坐标 z称为点P的z坐标
反之:(x,y,z)对应唯一的点P

z
z

Pz
P

Py
O
x y y

?? 有序数组 空间的点P ??

1? ?1

x

Px

( x, y, z )

二、空间中点的坐标
有序实数组(x,y,z)叫做点P在此空间

直角坐标系中的坐标,记作P(x,y,z)
其中x叫做点P的横坐标,y叫做点P的

纵坐标,z叫做点P的竖坐标

点P

( x , y, z )

DP=2 CP=4
P(2,4,0)
O C x

z

D

y

P

DP′=2 CP′=4 P′P=5
P(2,4,5)
C
x O

z
P

D
P′

y

PD=2 PC=4 P′P= - 5 P(2,4,-5)
x

z

O P′


y

例2、如图,在长方体 OABC ? D?A? B?C ?中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2,写出D?,C,A? ,B?四点的坐标。 z
2 D '(0,0, 2)

C'
? 4, 2) (3, B'

A'

4

y

o
3

C (0, 4,0)
B (3, 4,0)

x A (3, 0, 0)

三、空间中点的射影点与对称点坐标
z

1.点P(x , y , z) 在下列坐 标平面中的射影点为: (1)在xoy平面射影点为 (x,y,0) P1__________; (2)在xoz平面射影点为 (x,0,z) P2__________; (3)在yoz平面射影点为 (0,y,z) P3__________; ;

P3

P2

P(x,y,z)

O P1

y

x

关于坐标平面对称

2点P(x , y , z) 关于: (x,y,-z) (1)xoy平面对称的点P1为__________; (-x,y,z) (2)yoz平面对称的点P2为__________; (x, -y, z) (3)xoz平面对称的点P3为__________;
z
P(x,y,z)

关于谁对称谁不变

O x P1

y

3.点P(x , y , z) 关于: ( x, ? y, ? z ) (1)x轴对称的点P1为__________; (? x, y, ? z ) (2)y轴对称的点P2为__________; (? x, ? y, z ) (3)z轴对称的点P3为__________;
关于谁对称谁不变
z
P(x,y,z)

对称点

O
x y

在空间坐标系中画出空间中的点
z
B A
-1 2

A(0,-1,2) B(1,2,3)

2 1

O

y

x

z

一、坐标平面内的点

?
F

C

?
x

1
O

?
1

E

xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0

?

?
D

B
y

xoz平面上的点纵坐标为0

? A1

?

二、坐标轴上的点
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0 z轴上的点横坐标和纵坐标都为0

B

空间两点中点坐标公式

设点A(x1,y1,z1),点 B(x2, y2,z2),则线段AB的中点M的坐 标如何?

x 1 + x 2 y1 + y 2 z1 + z 2 M( , , ) 2 2 2

4.3.2 空间两点间的距离公式

两点间距离公式
平面: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) 1 2 |?
2 2

类比

猜想

空间: | PP ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 ) 1 2 |?
2 2

2

空间两点间的距离公式 (1) 在空间直角坐标系中,任意一点 P(x,y,z)到原点的距离:
z

| OP |?

x ? y ?z
2 2

2

P(x,y,z)
O
y

P`(x,y,0)
x

(1) 在空间直角坐标系中,任意两点 P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离:
| P1 P2 |? ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z 2 )
2 2 2

z

P1(x1,y1,z1)
O

P2(x2,y2,z2) H

M

y

N

x

练习

课本P138 练习1

1、在空间直角坐标系中标出求A、B两点,并 求出它们之间的距离: (1) A(2,3,5) B(3,1,4) (2) A(6,0,1) B(3,5,7)
解 : 由 两 点 间 距 离 公有 式: (1) | AB |? ( 2 ? 3) ? ( 3 ? 1) ? (5 ? 4) ? 6
2 2 2

( 2) | AB |? (6 ? 3) ? (0 ? 5) ? (1 ? 7) ? 70
2 2 2

课本P138 练习2
2、在Z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2)与点 B(1,-3,1)的距离相等.

解:设 M点 的 坐 标 为 (0,0, a ) 由 题 意 可 知 |: MA |?| MB | 即 :(0 ? 1) ? (0 ? 0) ? (a ? 2)
2 2 2

? (0 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (a ? 1) 2 解得: a ? ?3 ? M点 的 坐 标 为 (0,0,?3)

例3

设 P 在 x 轴上,它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为

到点 P2 ( 0,1,?1) 的距离的两倍,求点 P 的坐标 .

解 因为 P 在x 轴上, 设P点坐标为 ( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ? x 2 ? 11,
2 2 ? ? PP2 ? x ? ? 1 ? 1 ? 2

x 2 ? 2,

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1,
所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

练习

课本P138 练习4

3、如图,正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a, |AN|=2|CN|,|BM|=2|MC`|,求MN的长.
z D` A` C` B` M

O
A x

C

N
B

y

例 2 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形 .

解 M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? (2 ? 1)2 ? 14,

2

M 2 M 3 ? (5 ? 7)2 ? (2 ? 1)2 ? (3 ? 2)2 ? 6, M 3 M1 ?
2

2

(4 ? 5)2 ? (3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
原结论成立.

? M 2 M 3 ? M 3 M1 ,



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