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圆方程Microsoft Word 文档 - 副本



10、圆的方程:
2 ⑴ 圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 。 2 2

⑵ 圆的一般方程: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2+E2-4F ? 0) , 特别提醒:只有当 D +E -4F ? 0 时,方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为
2 2



(?

D E 1 ,? ) , 半 径 为 D2 ? E 2 ? 4F 2 2 2

的 圆 ( 二 元 二 次 方 程

Ax2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是什么? ( A ? C ? 0, 且 B ? 0
且 D ? E ? 4 AF ? 0 ) ) ;
2 2

⑶ 圆的参数方程:

a ? r cos ? ?xy ? ? b ? r sin ?

( ? 为参数) ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r 。圆的参

数方程的主要应用是三角换元: x2 ? y 2 ? r 2 ? x ? r cos? , y ? r sin ? ;

x2 ? y 2 ? t ? x ? r cos? , y ? r sin ? (0 ? r ? t ) 。
⑷ A ? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆方程 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0 如(1)圆 C 与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 关于直线 y ? ? x 对称,则圆 C 的方程为____________ (答: x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ) ; (2)圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ (答: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 或 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ) ; (3)已知 P(?1, 3) 是圆

r cos ? ?xy ? ? r sin ?

( ? 为参数, 0 ? ? ? 2? ) 上的点,则圆的普通方

程为________,P 点对应的 ? 值为_______,过 P 点的圆的切线方程是___________ (答: x ? y =4 ;
2 2
2

2? ; x ? 3y ? 4 ? 0 ) ; 3
2

(4)如果直线 l 将圆:x +y -2x-4y=0 平分,且不过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围 是____(答:[0,2]) ;
2 2 (5)方程 x +y -x+y+k=0 表示一个圆,则实数 k 的取值范围为____(答: k ?

1 ) ; 2

1

(6)若 M ? {( x, y ) |

3cos ? ?xy ? ? 3sin ?

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )} , N ? ?( x, y) | y ? x ? b?,

若 M ? N ? ? ,则 b 的取值范围是_________(答: -3,3 2 ? )

?

?

11、点与圆的位置关系:已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C: ? x-a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0 ? ,
2 2 2 (1)点 M 在圆 C 外 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (2)点 M 在圆 C 内 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; 2 2 2 (3)点 M 在圆 C 上 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 。 2 2

| a |? 如点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y =1 的内部,则 a 的取值范围是______ (答:
2 2

1 ) 13

12、直线与圆的位置关系: 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ? r ? 0? 有相交、相离、相切。
2 2

可从代数和几何两个方面来判断 (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况) : ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相切; (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小) :设圆心到直线的距离为 d ,则 d ? r ? 相交; d ? r ? 相离; d ? r ? 相切。 提醒:判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。
2 2 如(1 )圆 2 x ? 2 y ? 1 与直线 x sin ? ? y ? 1 ? 0(? ? R ,? ?

?
2

? k? , k ? z ) 的位置关

系为____(答:相离) ; (2)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 x ?1 ? 0 切于点 P(?1, 2) ,则 ab 的值____ (答:2) ; (3)直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ?15 ? 0 所截得的弦长等于 (答: 4 5 ) ; (4)一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是 (答:4) ; (5)已知 M (a, b)(ab ? 0) 是圆 O : x ? y ? r 内一点,现有以 M 为中点的弦所在直
2 2 2
2 2

线 m 和直线 l : ax ? by ? r ,则 A. m // l ,且 l 与圆相交
2

B. l ? m ,且 l 与

2

圆相交

C. m // l ,且 l 与圆相离

D. l ? m ,且 l 与圆相离(答:C) ;

(6)已知圆 C: x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 ,直线 L: mx ? y ? 1 ? m ? 0 。①求证:对 m ? R , 直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点; ②设 L 与圆 C 交于 A、 B 两点, 若 AB ? 17 , 求 L 的倾斜角;③求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. (答:② 60 或 120
? ?

③最长: y ? 1 ,最短: x ? 1 )

13、圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断) :已知两圆的圆心分别 为 O1,O2 ,半径分别为 r 1, r 2 ,则 (1)当 |O1O2 ?? r 1 ?r 2 时,两圆外离; (2)当 |O1O2 ?? r 1 ?r 2 时,两圆外切; (3)当 r 1 ?r 2 <|O1O2 ?? r 1 ?r 2 时,两圆相交; (4)当 |O1O2 ??? r 1 ?r 2 | 时,两圆内切; (5)当 0 ? |O1O2 ??? r 1 ?r 2 | 时,两圆内含。

如双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别 a 2 b2
(答:内切)

以线段 PF1、A1A2 为直径的两圆位置关系为 14、圆的切线与弦长: (1) 切线:

① 过圆 x2 ? y 2 ? R2 上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程是: xx0 ? yy0 ? R2 ,
2 2 过 圆 (x ? a ) ? ( y ? 2 b) ? 上 R 一 点 P( x0 , y0 ) 圆 的 切 线 方 程 是 :

( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? a)( y0 ? a) ? R2 ,一般地,如何求圆的切线方程?(抓住圆心到
直线的距离等于半径) ; ② 从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何 方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求; ③ 过两切点的直线(即“切点弦” )方程的求法:先求出以已知圆的圆心和这点为直径端
3

点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程; ④ 切线长:过圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R2 )外一点 P( x0 , y0 ) 所 引圆的切线的长为 x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ( ( x0 ? a ) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? R 2 ) ;
2 2

如设 A 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1上动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则 P 点的轨迹方程为 __________(答: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ) ; (2)弦长问题: ① 圆的弦长的计算: 常用弦心距 d , 弦长一半

1 a 及圆的半径 r 所构成的直角三角形来解: 2

1 r 2 ? d 2 ? ( a)2 ; 2
② 过两圆 C1 : f ( x, y) ? 0 、 C2 : g ( x, y) ? 0 交点的圆(公共弦)系为 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 , 当 ? ? ?1 时,方程 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 为两圆公共弦所在直线方程.。 15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、 弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 16.曲线和方程 (1)曲线与方程:在直角坐标系中,如果曲线 C 和方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的 关系: 1) 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解(纯粹性) ; 2) 方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上(完备性) 。则称方程 f(x,y)=0 为曲 线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 f(x,y)=0 的曲线。 (2)求曲线方程的方法:. 1)直接法:建系设点,列式表标,简化检验 2)参数法; 3)定义法 4)待定系数 法. §8.3 圆与圆的方程 新课标要求 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程和一般方程 重点难点聚焦 在前面学习直线方程基础上,通过分析圆的几何要素,建立和确定圆的标准方程和一般方 程是本节的重点,由于圆的几何性质比较复杂,确定方程时对代数运算和几何性质的要求 较高,有时还涉及到轨迹思想,因此综合应用是本节课难点。 高考分析及预策 圆是高考重点考查的内容,对圆的定义、性质,圆的标准方程和一般方程以及待定系 数法、基本量法、数形结合思想的考查历来都是高考的热点,估计 09 年高考本部分内容
4

不会有大的变化,试题难度适中,考题形式稳定。 题组设计 再现型题组 1.以两点 A(-3,-1)和 B(5,5)为直径端点的圆的方程是( ) A、 B、 C、 D、 1.【提示或答案】C 【基础知识聚焦】方程 (r>0) ,称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b) ,半径为 r.特别地,当圆心在原点(0,0) ,半径为 r 时,圆的方程为 . 2. 且 是方程 表示圆的( ) A.充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件 【提示或答案】B 【基础知识聚焦】 ( >0)称为圆的一般方程,其圆心坐标为( , ) ,半径为 . 当 =0 时,方程表示一个点( , ) ; 当 <0 时,方程不表示任何图形. 巩固型题组 3.圆 上的动点 Q 到直线 距离的最小值为 . 3.【解法一】圆方程可化为(x-1) +(y-1) =1 其圆心坐标为(1,1)半径为 1,圆心到直 线 3x+4y+8=0 的距离为 3,故圆上的动点 Q 到直线的距离的最小值为 2 【解法二】设圆上任意一点的坐标为 Q(1+cos ,1+sin ),由点到直线距离公式可得 d= ,所以最小值应为 2. 4. (1)求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x─y─3=0 上的圆的方程; 4.(1) 【解】设圆心 P(x0,y0),则有 , 解得 x0=4, y0=5, ∴半径 r= , ∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10 (2)一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 ,求此圆的 方程 (2) 因圆与 y 轴相切, 且圆心在直线 x-3y=0 上, 故设圆方程为 (x-3b) 2+ (y-b) 2=9b2. 又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 , 则有( )2+( )2=9b2, (x-3)2+(y-1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9. 提高型题组 5. 已知圆 A 的圆心在曲线 上,圆 A 与 y 轴相切,又与另一圆 相外切,求圆 A 的方程. 5.解析:设圆 A 圆心坐标为 ,半径为 r,依题有 解之得: 或
5

∴ 所求圆 A 的方程为: 或 6. 设 A(-c,0) 、B(c,0) (c>0)为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比 为定值 a(a>0) ,求 P 点的轨迹. 6. 解析:设动点 P 的坐标为(x,y) ,由 =a(a>0)得 =a,化简,得 (1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0. 当 a=1 时,方程化为 x=0. 当 a≠1 时,方程化为(x- c)2+y2=( )2. 所以当 a=1 时,点 P 的轨迹为 y 轴; 当 a≠1 时,点 P 的轨迹是以点( c,0)为圆心,| |为半径的圆. 反馈型题组 7..方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于 x+y=0 成轴对称图形, 则 A.D+E=0 B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0 圆 x?+y?+Dx+Ey+F=0 的圆心是(-D/2,-E/2)圆关于 y=-x 上对称,那圆心必在这条直线上, ∴-D/2=E/2 D=-E 故选 A 8.已知圆心为点(2,-3) ,一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上,则这个圆的方 程是( ) A. B C D 选 D,直径过圆心且圆心为直径中点,可知直径两端点为(0,-6)和(4,0) 。所以标准方 程为(x-2)平方+(y+6)平方=13. 9. 已知 P(x,y)为圆 上任意一点,则 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 选 C, y/x 就是直线 y=kx 的斜率 k 嘛。把图画出来。 直线和 x 轴的角度就是 30°到-30°,所以 k 就是-tan30°到 tan30°。我就不算出来了 10.动点在圆 上移动时,它与定点 连线的中点的轨迹方程是 . 对于 A(x,y),其与 B(3,0)连线的中点坐标为 x‘=(x+3)/2 , y'=y/2,x=2x'-3,y=2y'因 此 x',y’满足: (2x‘-3)^2+(2y')^2=1 即(x'-3/2)^2+y'^2=1/4 因此,其轨迹为以(3/2, 0)为圆心,以 1/2 为半径的圆。 11.平面上有两点 、 , 为圆 上一点,则 的最小值为_______. 设 P 点坐标(x,y),P 在圆周上,所以 P 满足(x-3)?+(y-4)?=4PA?=(x+1)?+y? PB?=(x-1)? +y? PA?+PB?=2x?+2y?+2 把圆的方程展开 x?-6x+9+y?-8y+16=4→ x?+y?+1=6x+8y-20PA? +PB ? =4(3x+4y-10) ∵ 3x+4y ≥ 2 √ 12xy=4 √ 3xy 且 当 3x=4y 时 ∴ 代 入 圆 的 方 程 得 P(21/5,28/5) 12.设 O 为坐标原点,曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上有两点 P、Q,满足关于直线 x+my+4=0 对 称,又满足 ? =0. (1)求 m 的值;
6

(2)求直线 PQ 的方程. 12. 解: (1)曲线方程为(x+1)2+(y-3)2=9 表示圆心为(-1,3) ,半径为 3 的圆. ∵点 P、Q 在圆上且关于直线 x+my+4=0 对称, ∴圆心(-1,3)在直线上.代入得 m=-1. (2)∵直线 PQ 与直线 y=x+4 垂直, ∴设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ,PQ 方程为 y=-x+b. 将直线 y=-x+b 代入圆方程,得 2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0. Δ =4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0,得 2-3 <b<2+3 . 由韦达定理得 x1+x2=-(4-b) ,x1?x2= . y1?y2=b2-b(x1+x2)+x1?x2= +4b. ∵ ? =0,∴x1x2+y1y2=0,即 b2-6b+1+4b=0. 解得 b=1∈(2-3 ,2+3 ).∴所求的直线方程为 y=-x+1. 13.如图,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,O1O2=4, 过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点) , 使得 试建立适当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程. 13. 解:以直线 为 轴,线段 的垂直平分线为 轴, 建立平面直角坐标系,则两圆心分别为 . 设 ,则 , 同理 . ∵ ,∴ , 即 ,即 .这就是动点 的轨迹方程. 圆的方程作业 一、选择题 1、以点 A(-5,4)为圆心,且与 轴相切的圆的方程是( ) A、 B、 C、 D、 2、一条直线过点 P(-3, ) ,且圆 的圆心到该直线的距离为 3,则该直线的方程为( A、 B、 C、 D、 3、过点 A(1,-1) ,B(-1,1) ,且圆心在直线 上的圆的方程是( ) A、 B、 C、 D、 4、已知圆 C: ( ) ,有直线 : ,当直线 被圆 C 截得弦长为 时, 等于( A、 B、2C、 D、 二、填空题
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5.已知圆心在 轴上,半径是 5 且以 A(5,4)为中点的弦长是 ,则这个圆的方程是 _________ . 设 圆 心 C 的 坐 标 为 (X,0)AC^2=R^2-5, 所 以 AC^2=20AD=4 所 以,CD^2=AC^2-AD^2=4CD=2 所以,C 点的坐标为(3,0)即(x-3)^2+y^2=25 6.已知 A(-4,-5) 、B(6,-1) ,则以线段 AB 为直径的圆的方程是_______. 三、解答题 7、求圆心在 轴上,半径为 5,且过点 A(2,-3)的圆的方程。

8.已知圆 C 和 轴相切,圆心在直线 上,且被直线 截得的弦长为 ,求圆 C 的方程. 圆方程作业参考答案

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