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2013辽宁高中数学学业水平测试知识点学生版



2013 年高中数学学业水平测试知识点
必修一 一、 集合与函数概念 并集: A ? B ? 1、集合 ?a1 , a2 ,..., an ?的子集个数共有 2、求 y ? f (x) 的反函数:解出

交集: A ? B ? 个;真子集有 , x, y 互换,写出 y ? f

补集:就是作差。 CU A ? 个;非空子集有

r />?1

个;非空的真子有

个.

( x) 的定义域;函数图象关于 y=x 对称。

3、 (1)函数定义域:①分母 ;②开偶次方被开方数 ;③指数的真数属于 、对数的真数 . 4、函数的单调性: 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, 2, x1<x2 时, x ? x 当 都有 , 那么就说 f(x) ? 在区间 D 上是增(减)函数,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质。 (1) 函数的最值:函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ;函数最大(小)应 该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ( f ( x) ? m) . (2)单调性的判定:①定义法:注意:一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符 号;②复合函数法“同增异减” ;③图像法。 (注:证明单调性主要用定义法和导数法。 ) 5、奇函数: (1) f (x ) 是奇函数 ? (2) f (x ) 是偶函数 ? ; 函数图象关于原点对称(若 x ? 0 在其定义域内,则 f (0) ? 0 ) ; ;函数图象关于 y 轴对称。

(3)在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性; 6. 函数的周期性: 周期性的定义:对定义域内的任意 x ,若有 (其中 T 为非零常数) ,则称函数 f (x ) 为周期函数,

T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
7、指数幂的含义及其运算性质: (1)函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数。 (2)指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 当 0 ? a ? 1 为减函数,当 a ? 1 为增函数;
r s ①a ?a ?

;② (ar )s ?

;③ (ab)

r

?

。an ?

m

(3)指数函数的图象和性质

y ? ax
图 象 定义域 值域 性 质 定点 单调性 对称性 奇偶性

0<a<1

a>1

过定点 (1)a > 1,当 x > 0 时, (2) < a < 1, x > 0 时, 0 当

;当 x < 0 时, ; x < 0 时, 当

。 。

1

8、对数函数的含义及其运算性质: (1)函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) 叫对数函数。 (2)对数函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) 当 0 ? a ? 1 为减函数,当 a ? 1 为增函数; ①负数和零没有对数;②1 的对数等于 0 : ;③底真相同的对数等于 1: ,

(3)对数的运算性质:如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0,那么: ① loga MN ? ② loga MN ?
? ;③ log a M ?

(4)换底公式: loga b ? (5)对数函数的图象和性质:

推论:1? loga b ? logb a ?

2? log am bn ?

y ? loga x
图 象 定义域 值域 (1)过定点

0<a<1

a>1

(2)在 R 上是 性 质 (3) 或 (4)

函数 或 函数。

(2)在 R 上是 时,log a x > 0; 时,log a x < 0。

函数

8、 幂函数: 函数 y ? x? 叫做幂函数 (只考虑 ? ? 1,2,3,?1, 9、6.基本初等函数的图像与性质 ⑴幂函数: y ? x? ( ? ? R) ; ⑵指数函数: y ? a x (a ? 0, a ? 1) ; ⑶对数函数: y ? loga x(a ? 0, a ? 1) ;

1 的图象) 。 2

(4)常用函数: ①正比例函数: ; ②反比例函数: ; ③对勾函数: 7.二次函数: ⑴解析式:①一般式: ;②顶点式: , ③零点式: ⑵二次函数问题解决需考虑的因素:①开口方向;②对称轴 ;顶点坐标是 ④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。

。 ③端点值;
2

⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。 8.函数图象⑴图象作法:①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ⑵图象变换: ① 平移变换: y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , (a ? 0) ———左“+”右“-” ;

y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-” ;
② 伸缩变换: y ? f ( x) ? y ? f (?x) , ( ? ? 0) ———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的

1 倍; ?

y ? f ( x) ? y ? Af ( x) , ( A ? 0) ———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 A 倍;
( 0, 0 ) ? ③ 对称变换: y ? f (x) ?? ? y ? ? f (? x) ;ⅱ y ? f (x) ??? y ? ? f (x) ; y ?x ?? y ? f (? x) ; ⅳ y ? f (x) ??? y ? f ?1 ( x) ; ? y ? f (x) ?x ?0 y ?0

④ 翻转变换: y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———右不动,右向左翻( f (x ) 在 y 左侧图象去掉) ;

y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———上不动,下向上翻(| f (x ) |在 x 下面无图象) ;
9、方程的根与函数的零点: (1)如果函数 y ? f (x) 在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么,函数

y ? f (x) 在区间 (a , b) 内有零点,即存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x ) ? 0 的根。

(2)函数零点的求法:⑴直接法(求 f ( x ) ? 0 的根) ;⑵图象法;⑶二分法. 必修二 一、直线 平面 简单的几何体 1、棱柱、棱锥、棱(圆)台的本质特征 ⑴棱柱:①有两个互相平行的面(即底面平行且全等),②其余各面(即侧面)每相邻两个面的公共边都互相平行(即 侧棱都平行且相等)。 ⑵棱锥:①一个面(即底面)是多边形,②其余各面(即侧面)是有一个公共顶点的三角形。 ⑶棱台:①每条侧棱延长后交于同一点,②两底面是平行且相似的多边形。 ⑷圆台:①平行于底面的截面都是圆,②过轴的截面都是全等的等腰梯形,③母线长都相等,每条母线延长后都与轴 交于同一点。 2、 长方体的对角线长 体的: (1) 则 高: ④内切球半径: ;正方体的对角线长 ; ②对棱间距离: ;外接球半径: ; 正四面体的性质:设棱长为 a ,则正四面 ; ③相邻两面所成角余弦值: ;

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、画三视图要求:主视图与俯视图长对正;主视图与左视图高平齐;左视图与俯视图宽相等。
3

5、圆柱、圆锥、圆台的展开图、表面积和体积的计算公式 2 2 ⑴ S 圆锥表=π r(r+l)← S 圆台表=π (r 上 +r 下 +r 上 l+ r 下 l) → S 圆柱表=2π r(r+l) r 上=0 r 上= r 下

1 1 2 2 2 2 ⑵ V 圆锥 = π r h ← V 圆台= π (r 上 + r 下 + r 上 r 下)h → V 圆柱=π r h 3 3 4 2 ⑶球的体积公式: v ? ? R 3 ; 球的表面积公式: S ? 4? R 3
6、柱体、锥体、台体的体积公式:

V柱体 = V台体 =

( S 为底面积, h 为柱体高); V 锥体 = ( S ’, S 分别为上、下底面积, h 为台体高)

( S 为底面积, h 为柱体高)

7、点、线、面的位置关系及相关公理及定理: (1)四公理三推论: 公理 1:若一条直线上有两个点在一个平面内,则该直线上所有的点都在这个平面内。 公理 2:经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 公理 3: 如果两个平面有一个公共点, 那么它们还有其他公共点, 且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. (2)空间线线,线面,面面的位置关系: 空间两条直线的位置关系: 相交直线——有且仅有一个公共点;平行直线——在同一平面内,没有公共点; 异面直线——不同在任何一个平面内,没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。 空间直线和平面的位置关系: (1)直线在平面内(无数个公共点)(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ; ; (3) 直线和平面平行 (没有公共点) 它们的图形分别可表示为如下, 符号分别可表示为 a ? ? ,a ?? ? A ,a // ? 。 空间平面和平面的位置关系: (1)两个平面平行——没有公共点; (2)两个平面相交——有一条公共直线。 8、直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线与平面内一条直线平行,那么该直线与这个平面平行。 9、两个平面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行。 10、. 直线与平面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与已知平面相交,那么交线与 这条直线平行。 11、两个平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们交线的平行。 12、直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。 13、.两个平面垂直的判定定理:一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 14、直线与平面垂直的性质:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 15、平面与平面垂直的性质:如果两个平面互相垂直,那么在其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 16、异面直线所成角:平移到一起求平移后的夹角。 直线与平面所成角:直线和它在平面内的射影所成的角 17、异面直线所成角的取值范围是 二面角的取值范围是 ;直线与平面所成角的取值范围是 ;两个向量所成角的取值范围是
4



二、直线和圆的方程 1、斜 率: k ? tan? , k ? (?? ,?? ) ;直线上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) ,则斜率为 1 (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). ( ( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ; ( x1 ? x2 )、( y1 ? y2 )). 1 2

k?

2、直线的五种方程 : (1)点斜式 (2)斜截式 (3)两点式

(直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1

(4)截距式 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (5)一般式 (其中 A、B 不同时为 0). 3、两条直线的平行、重合和垂直: (1)若 l1 : y ? k1x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 ‖ l2 ? ① l1 || l2 ? ② l1与l2重合时 ? ;② l1 ? l2 ?

③ l1 ? l2 ?

(2)若 l1 : A x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, 1 4、两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式 │P1P2│= 5、两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的中点坐标公式 M( , 6、点 P(x0,y0)到直线(直线方程必须化为一般式)Ax+By+C=0 的距离公式 d= 7、平行直线 Ax+By+C1=0、Ax+By+C2=0 的距离公式 d= 8、圆的方程:标准方程 一般方程 ,圆心 , (配方: 为圆心,半径为



?a, b? ,半径为 r ;
) 的圆;

D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,表示一个以

9、点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: 若 d ? (a ? x0 ) ? (b ? y0 ) ,则 d ? r ?
2 2

;d ?r ?
2 2 2

;d ? r ?

10、直线与圆的位置关系:直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

11、弦长公式: 若直线 y=kx+b 与二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则由 二次曲线方程 y=kx+m ax2+bx+c=0(a≠0) 则知直线与二次曲线相交所截得弦长为: AB = 13、 空间直角坐标系,两点之间的距离公式: ⑴ xoy 平面上的点的坐标的特征 A(x,y,0) :竖坐标 z=0 xoz 平面上的点的坐标的特征 B(x,0,z) :纵坐标 y=0 yoz 平面上的点的坐标的特征 C(0,y,z) :横坐标 x=0 x 轴上的点的坐标的特征 D(x,0,0) :纵、竖坐标 y=z=0 y 轴上的点的坐标的特征 E(0,y,0) :横、竖坐标 x=z=0 z 轴上的点的坐标的特征 E(0,0,z) :横、纵坐标 x=y=0
2 2 2 ⑵│P1P2│= (x 2 -x1) ? y2 -y1) ? z 2 -z1) ( (

Z

F z B

C y
Y

x D
X

O

E A

必修三 算法初步与统计: 以下是几个基本的程序框流程和它们的功能
5

图形符号

名称 终端框(起止框) 输入、输出框 处理框(执行框) 判断框 流程线 连接点 注释框 循环框

功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入输出的信息 赋值、计算(语句、结果的传送) 判断某一条件是否成立时, 在出口处 标明“是”或“Y” ,不成立时标明 “否”或“N” 连接程序框(流程进行的方向) 连接程序框图的两部分 帮助注解流程图 程序做重复运算

一、算法的三种基本结构: (1)顺序结构(2)条件结构(3)循环结构 二、算法基本语句 :1、输入语句 :输入语句的格式: 3、赋值语句:赋值语句的一般格式: 三.三种常用抽样方法: 1、简单随机抽样;2.系统抽样;3.分层抽样。4.统计图表:包括条形图,折线图,茎叶图。 四、频率分布直方图:具体做法如下: (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)(2)决定组距与组数; ; (3) 将数据分组; 频率 (4)
组距

2、输出 语句:输 出语句的一般格式: 5、循环语句:

4、条件语句

算法案例: ⑴辗转相除法与更相减损法-----求两个正整数的最大公约数; ⑵秦九韶算法------求多项式的值;

列频率分布表; (5)画频率分布直 方

图。注:频率分布直方图中小正方形的面积=组

距×频率。 2、频率分布直方图: 频率=小矩形面积(注意:不是小矩形的高度)
频数 样本容量

计算公式: 频率=

频数=样本容量? 频率

频率=小矩形面积=组距 ?

频率 组距

各组频数之和=样本容量, 3、茎叶图:茎表示高位,叶表示低位。

各组频率之和=1

折线图:连接频率分布直方图中小长方形上端中点,就得到频率分布折线图。 4、刻画一组数据集中趋势的统计量:平均数,中位数,众数。 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数; 将一组数据按照从大到小(或从小到大)排列,处在中间位置上的一个数据(或中间两位数据的平均数)叫做这组 数据的中位数; 5、刻画一组数据离散程度的统计量:极差 ,极准差,方差。 (1)极差一定程度上表明数据的分散程度,对极端数据非常敏感。 (2)方差,标准差越大,离散程度越大。方差,标准差越小,离散程度越小,聚集于平均数的程度越高。 (3)计算公式:标准差:S= 方差: s =
6
2

? ? ? ? ? 直线回归方程的斜率为 b ,截距为 a ,即回归方程为 y = b x+ a (此直线必过点( x , y )。 )
6、频率分布直方图:在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率,方长方形的高与频数成正比, 各组频数之和等于样本容量,频率之和等于 1。 五、随机事件:在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母 A,B,C?表示. 随机事件的概率:在大量重复进行同一试验时,事件 A 发生的频率 总接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把 这个常数叫做事件 A 的概率,记作 P(A) 。由定义可知 0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是 1,不可能事件的概率 是 0。 1、事件间的关系: (1)互斥事件:不能同时发生的两个事件叫做互斥事件; (2)对立事件:不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件; (3)包含:事件 A 发生时事件 B 一定发生,称事件 A 包含于事件 B(或事件 B 包含事件 A) ; (4)对立一定互斥,互斥不一定对立。 2、概率的加法公式: (1)当 A 和 B 互斥时,事件 A+B 的概率满足加法公式: 件,则 A∪B 为必然事件,所以 P(A∪B)= 3、古典概型: (1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;2)每个基本事件出现的可能性 相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式: 4、几何概型: (1)几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模 型为几何概率模型。 (2)几何概型的特点:1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等. (3)几何概型的概率公式:
m 5、排列: 、排列数公式: An = n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) = (1)

(A、B 互斥) (2)若事件 A 与 B 为对立事 = ,于是有 P(A)=

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ).0!=1 (n ? m)!

(2) 、全排列:n 个不同元素全部取出的一个排列; An ? n! ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? n ? (n ? 1)! ;
n

6、组合:
m (1) 、组合数公式: C n =

Anm n(n ? 1)?(n ? m ? 1) n! 0 * = = ( n , m ∈N ,且 m ? n ); C n ? 1 。 m Am m!(n ? m)! ? 1 ? 2 ? ?? m

必修四 一、 三角函数
? 1、弧度制: 、 180 ? (1)

弧度,1 弧度=

?

;弧长公式: l ?

( l 为 ? 所对的弧长, r 为半径,

正负号的确定:逆时针为正,顺时针为负) 。 y x y x 2、三角函数: (1) 、定义: sin ? ?    ? ?     ? ?    ? ?    cos tan cot r r x y 3、特殊角的三角函数值:
7

? 的角度 ? 的弧度 sin? cos?
tan ?

0?

30?

45?

60?

90?

120?

135?

150?

180?

270 360 ? ?

4、同角三角函数基本关系式: 5、诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限) 练习:1、 sin(?? ) ?

t a? ? n

t a? n

c o t ??

cos( ?? ) ?

tan(?? ) ?

cot(?? ) ?

sin(90? ? ? ) ? cos(90? ? ? ) ? tan(90? ? ? ) ? cot(90? ? ? ? 2、 sin(90? ? ? ) ? cos(90? ? ? ) ? tan(90? ? ? ) ? cot(90? ? ? ) ? sin(270? ? ? ) ? cos(270? ? ? ) ? tan(270? ? ? ) ? cot(270? ? ? ) ? 4、 sin(270? ? ? ) ? cos(270? ? ? ) ? tan(270? ? ? ) ? cot(270? ? ? ) ?
6、两角和与差的正弦、余弦、正切: S (? ? ? ) : sin(? ? ? ) ?

sin(180? ? ? ) ? cos(180? ? ? ) ? tan(180? ? ? ) ? cot(180? ? ? ) ? 3、 sin(180? ? ? ) ? cos(180? ? ? ) ? tan(180? ? ? ) ? cot(180? ? ? ) ? sin(360? ? ? ) ? cos(360? ? ? ) ? tan(360? ? ? ) ? cot(360? ? ? ) ? 5、 sin(360? ? ? ) ? cos(360? ? ? ) ? tan(360? ? ? ) ? cot(360? ? ? ) ?
S (? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? C (? ? ? ) : cos(a ? ? ) ?
T(? ? ? ) :
tan(? ? ? ) ?

C (? ? ? ) : cos(a ? ? ) ? T(? ? ? ) :
tan(? ? ? ) ?

tan ? +tan ? = 7、辅助角公式: a sin x ? b cos x ? 8、二倍角公式: 、 S 2? : (1)

tan ? -tan ? =

sin 2? ?

C 2? : cos 2? ?
sin 2 ? ?

T2? : tan 2? ?
cos 2 ? ?
是偶函数,其它三个是奇函数。 (指

(2)降次公式: (多用于研究性质) sin ? cos? ?

9、在 y ? sin ? , y ? cos ? , y ? tan ? , y ? cot ? 四个三角函数中只有 数函数、对数函数是非奇非偶函数)

8

10、在三角函数中求最值(最大值、最小值) ;求最小正周期;求单调性(单调第增区间、单调第减区间) ;求对称轴;

y y 求对称中心点都要将原函数化成标准型;如: y y
11、三角函数的图象与性质: 函数 图象 y=sinx

? ? ? ?

A sin( ?x ? ? ) ? b A cos(?x ? ? ) ? b 再求解,即 y ? a sin x ? b cos x 题型 A tan(?x ? ? ) ? b A cot(?x ? ? ) ? b
y=tanx

y=cosx

定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 在 在 当 最值 当 对称中心 对称轴: 上是增函数 上是减函数 时, ymax ? 1 时,y min ? ?1 , 在 在 当 当 对称中心 对称轴: 上是增函数 上是减函数 时, ymax ? 1 时,y min ? ?1 对称中心 对称轴: 在 数 上是增函

对称性

12.函数 y ? A sin ??x ? ? ?的图象: (1)用“图象变换法”作图 由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,有两种主要途径: “先平移后伸缩”与“先伸缩 后平移” 。 法一:先平移后伸缩

y ? sin x ?向左(? ?0) 或向右(? ?0)? y ? sin( x ? ? ) ?????? ?
平移|? |个单位

?纵坐标变为原来的A倍 ? y ? A sin(?x ? ? ) ?????? ?
横坐标不变

y ? sin x ?向左(? ?0) 或向右(? ?0)? y ? sin( x ? ? ) ?????? ?
平移|? |个单位


? ????????? y ? sin ? x ? ?) (
纵坐标不变

1 横坐标变为原来的 倍

法二:先伸缩后平移
?? y ? s i n ? ?????? ? y ? sin ?x ?向左 (? ?0) 或向右 (? ?0)? y ? sin(?x ? ? ) x ?????? ?
纵坐标不变 1 横坐标变为原来的 倍

? ??????? y ? A sin(?x ? ? ) ?
纵坐标变为原来的A倍 横坐标不变

平移 |? |个单位

?

当函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0, ? ? 0 , x ?[0, ? ?) )表示一个振动量时,A 就表示这个量振动时离开平衡 位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间 ,它叫做振动的周期;单位 时间内往复振动的次数 ,它叫做振动的频率; 叫做相位, 叫做初相(即当 x=0 时的 相位) 。
9

二、平面向量 1、平面向量的概念:

?1? 在平面内,具有大小和方向的量称为平面向量.
? 2? 向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
,记作 ?? . ? 3 ? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度)

??? ?

??? ?

? 4? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量;模为1 的向量称为单位向量. ? 5 ? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量,记作 ?a . ? 6? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么(1) 结合律:λ (μ a )=

?

?

?

?

? ? ? (2)第一分配律:(λ +μ ) a = (3)第二分配律:λ ( a ? b )= ? ? ? ? 3、向量的数量积的运算律:(1) a · b = b · a (交换律); ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)( ? a ) b = ? ( a · b )= ? a · b = a · b ? );(3)( a ? b ) c = a · c + b · c . · ( ·
4、平面向量基本定理: ? ? ? 如果 e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a =
? ?

;

.不共线的向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
? ?
? ?

?

?

5、坐标运算: (1)设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a? b ? 数量积: a ? b ?

数与向量的积:λ a ?
?

?

=



??? ? 6、 平面两点间的距离公式:1) d A , B = | AB |? (
(3) 、平面向量的数量积: a? b ?
? ?
? ?

(2) 、设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2) , ,则 AB ? =
? ?
2

(终点减起点) ;

| (2) 向量 a 的模| a |: a | ? a ? a =
? ?

, 注意: 0? a ? 0 , 0 ? a ? 0 , a ? (?a) ? 0
? ? ? ?

(4) 、向量 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? 的夹角 ? ,则, cos? ?
? ?

7、重要结论: 、两个向量平行: a// b ? a ? ? b (? ? R) , a// b ? (1) (2) 、两个非零向量垂直

?

?

( a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? )

?

?

a?b?
?x ? ? ?y ?

(3) 分有向线段 P P2 的:设 P(x,y) ,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,且 P P ? ? PP , 、P 1 1 2

则定比分点坐标公式

? ? ?

中点坐标公式

三、空间向量 1、空间向量的概念: (空间向量与平面向量相似)

?1? 在空间中,具有大小和方向的量称为空间向量. ? 2? 向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大
小,箭头所指的方向表示向量的方向. ? 3 ? 向量 ?? 的大小称为向量的模(或长度) ,记作 ?? .? 4 ? 模(或长度)为 0 的向量称为零向量; 模为 1 的向量称为单位向量.? 5 ? 与向量 a 长度相等且方向相反的向量称为 a 的相反向量, 记作 ?a .

??? ?

??? ?

?

?

?

? 6? 方向相同且模相等的向量称为相等向量.
2、 实数 ? 与空间向量 a 的乘积 ? a 是一个向量, 称为向量的数乘运算. ? ? 0 时,? a 与 a 方向相同; ? ? 0 时,? a 当 当

?

?

?

?

?

10

与 a 方向相反;当 ? ? 0 时, ? a 为零向量,记为 0 . ? a 的长度是 a 的长度的 ? 倍. 3、设 ? , ? 为实数, a , b 是空间任意两个向量,则数乘运算满足分配律及结合律.分配律: ? a ? b ? ? a ? ?b ; 结合律: ? ? ? a ? ? ? ?? ? a . 4、对于两个非零向量 a 和 b ,若 ? a , b ? ?

?

?

?

?

?

?

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?? ?

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?

?

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?

? ?

?

2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5、已知两个非零向量 a 和 b ,则 a b cos?a, b ? 称为 a , b 的数量积,记作 a ? b .即 a ? b ? a b cos? a, b ? .零向量
与任何向量的数量积为 0 .

,则向量 a , b 互相垂直,记作 a ? b .

?

?

?

?

6、 a ? b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos? a, b ? 的乘积. 7 、 若 a , b 为 非 零 向 量 , e 为 单 位 向 量 , 则 有 ?1? e ? a ? a ? e ? a cos? a, e ? ; ? 2 ? a ? b ? a ? b ? 0 ;

? ?

?

?

?

?

?

? ?

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? ?

? ?

?

? ?

?

?

? ?

? ? ? ?? ? ? ? a b a与b同向 ? ? ? ? ? ? ?2 ? , a ? a ? a , a ? a ? a ; ? 4 ? cos? a , b ? ? ? 3? a ? b ? ? ? ? ? ? ?? a b a与b反向 ?

?

?

?

?

? ? a ?b ? ? . a b
? ? ? ? ?


8、量数乘积的运算律: ?1? a ? b ? b ? a ; ? 2 ?

? ?

? ?

? ?a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ?b ? ; ? 3 ? ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c .
?

? ?

? ?

?

? ?

9、设 a ? ? x1 , y1 , z1 ? , b ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 ?1? a ? b ?

?

?

?

?

. ? 2? a ? b ?

?

?

? 3 ? ?a ?
? ? ?
? ?

?

. ? 4? a ? b ?

? ?

. ? 5 ? 若 a 、 b 为非零向量,则 a ? b ? . ?7? a ? a ? a ?

?

?

?

?



? 6? 若 b ? 0 ,则 a / /b ? a ? ?b ? ? 8 ? cos? a, b ? ?
必修五: 一、解三角形: (1)三角形的面积公式: S ? ? (2)正弦定理: =

?

?

?

?

? ?



. ? 9 ? ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? ? ? x2 , y2 , z2 ? ,则 d?? ? ?? ?

??? ?



1 1 1 absinC ? acsinB ? bcsin A : 2 2 2
边用角表示:

a2 ?
(3) 、余弦定理: b 2 ?

c2 ?
余弦定理变形式: cos A ? 二. 数列

cos B ?

cosC ?

?a1 ? S1 (n ? 1) 1、数列的前 n 项和: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an ; 数列前 n 项和与通项的关系: an ? ?S ? S (n ? 2) n ?1 ? n 2、等差数列 : 、定义:等差数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数 (1)



(2) 、通项公式:

(其中首项是 a1 ,公差是 d ; )

(3) 、前 n 项和: Sn ?

(d≠0)
11

(4) 、等差中项: 若三项成等差,设法 四项成等差: ② m+n=p+q 时 am+an=ap+aq ③ Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ,? ④

( 5 ) 等 差 数 列 性 质 : ① an=am+ (n - m)d,

ak , ak ?m , ak ?2m ,?
3、 等比数列: 、 (1) 定义: 等比数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 (2) 、通项公式: (其中:首项是 a1 ,公比是 q ) (q ? 0 ) 。

? Sn ? ? ? (3) 、前 n 项和:
(4) 、等比中项:

,( q ? 1) , (q ? 1)

(5) 、等比数列性质 ①an=amqn-m; ②m+n=p+q 时 aman=apaq③ Sk , S2k ? Sk , S3k ? S2k ,? ④ ak , ak ?m , ak ?2m ,? 三:不等式 1、 重要不等式: 1) , b ? R ? ( a (2)



ab ?

(当且仅当 a=b 时取“=”号).

2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? (a, b ? 0) a?b 2 2 a?b a?b 2 2、均值不等式: a, b ? R? ? 或 ? ab ab ? ( ) (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 2
口诀: 3、最值问题: 已知 x, y 都是正数,则有: (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 (2)如果和 x ? y 是定值 s ,那么当 x ? y 时积 xy 有最大值 . ”. . ;

4、解一元二次不等式: ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) :若 a ? 0 ,则对于解集不是全集或空集时,对应的解“ 5、含有绝对值的不等式:当 a ? 0 时,有:① x ? a ? 6、分式不等式: (1) ; ② x ?a?

f ? x? ?0? g ? x? f ? x? ?0? g ? x?

(2)

f ? x? ?0? g ? x? f ? x? ?0? g ? x?



(3)

(4)

.

7、指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, a
f ( x)

? a g ( x) ?
? a g ( x) ?

; log a f ( x) ? log a g ( x) ? ; log a f ( x) ? log a g ( x) ?

.

(2)当 0 ? a ? 1 时, a

f ( x)

12



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