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2011届高考数学复习好题精选 双曲线


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双曲线
题组一 双曲线的定义及标准方程

1.(2010·汕头一模)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到 一条渐近线的距离为 2,则双曲线方程为 ( ) B.x2-y2=2 1 D.x2-y2= 2

A.x2-y2=1 C.x2-y2= 2

x2 y2 解析:由题意,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0), a a | 2a| = 2,∴a2=2. 则 c= 2a,渐近线 y=x,∴ 2 ∴双曲线方程为 x2-y2=2. 答案:B 2.已知双曲线的两个焦点为 F1(- 10,0)、F2( 10,0),M 是此双曲线上的一点,且

uuuur uuuur
x2 A. -y2=1 9 x2 y2 C. - =1 3 7

uuuur

uuuur
( ) y2 B.x2- =1 9 x2 y2 D. - =1 7 3

满足 MF1 · MF2 =0, MF1 |·| MF2 |=2, | 则该双曲线的方程是

uuuur uuuur
∴|MF1|2+|MF2|2=40,

uuuur

uuuur

解析:∵ MF1 · MF2 =0,∴ MF1 ⊥ MF2 ,∴MF1⊥MF2,

∴(|MF1|-|MF2|)2=|MF1|2-2|MF1|·|MF2|+|MF2|2=40-2×2=36, ∴||MF1|-|MF2||=6=2a,a=3, 又 c= 10,∴b2=c2-a2=1, x2 ∴双曲线方程为 -y2=1. 9 答案:A 题组二 双曲线的几何性质

x2 y2 3.(2009· 宁 夏 、 海 南 高 考 ) 双 曲 线 - =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12 ( ) A.2 3
2 2

B.2

C. 3

D.1

x y 解析:双曲线 - =1 的焦点为(4,0)或(-4,0).渐近线方程为 y= 3x 或 y=- 3x. 4 12
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|4 3+0| 由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d= =2 3. 3+1 答案:A x2 y2 4.(2010·普宁模拟)已知离心率为 e 的曲线 2- =1,其右焦点与抛物线 y2=16x 的焦 a 7 点 ( 3 A. 4 ) 4 23 B. 23 4 C. 3 D. 23 4 重 合 , 则 e 的 值 为

解析:抛物线焦点坐标为(4,0),则 a2+7=16, c 4 ∴a2=9,∴e= = . a 3 答案:C x2 y2 5.(2009·江西高考)设 F1 和 F2 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,若 F1,F2, a b P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 3 A. 2 B.2 5 C. 2 D.3 ( )

|PO| 解析: =tan60°, |F1O| 2b c2 = 3?4b2=3c2?4(c2-a2)=3c2?c2=4a2? 2=4?e=2. a c 答案:B x2 y2 6.(2010·广州模拟)已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线 a b 的右顶点,过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角 形, 则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) B.(1,2) C.(1,1+ 2) ( )

D.(2,1+ 2)

解析: 如图, 要使△ABE 为锐角三角形, 只需∠AEB 为锐角, 由双曲线对称性知△ABE 为等腰三角形,从而只需满足∠AEF<45°. b2 又当 x=-c 时,y= , a |AF| b2 ∴tan∠AEF= = <1, |EF| a(a+c) ∴e2-e-2<0, 又 e>1,∴1<e<2. 答案:B 题组三 直线与双曲线的位置关系

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x2 y2 7.(2010·西安调研)过点 P(4,4)且与双曲线 - =1 只有一个交点的直线有 16 9 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条

(

)

解析:如图所示,满足条件的直线共有 3 条.

答案:C x2 y2 8.设双曲线 - =1 的右顶点为 A,右焦点为 F,过点 F 作平行双曲线的一条渐近线 9 16 的直线与双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为________. 4 解析:由题意知,A(3,0),F(5,0),渐近线斜率 k=± , 3 4 则直线方程为 y= (x-5), 3 17 x2 y2 代入 - =1,得 x= , 5 9 16 32 17 32 ∴y=- ,即 B( ,- ), 15 5 15 1 32 32 ∴S△AFB= ×2× = . 2 15 15 32 答案: 15 题组四
2

双曲线的综合问题

y 9.(2010·德州模拟)P 为双曲线 x2- =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和 15 (x-4)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________. 解析:双曲线的两个焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为 r1=2, r2=1, max=|PF1|+2, min=|PF2|-1, |PM| |PN| 故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2| -1)=|PF1|-|PF2|+3=5. 答案:5 10.(1)已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x2+y2=10 相交于点 P(3,-1),若此圆 过点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程; (2)已知双曲线的离心率 e= 程. 解:(1)切点为 P(3,-1)的圆 x2+y2=10 的切线方程是 3x-y=10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,
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5 x2 y2 , 且与椭圆 + =1 有共同的焦点, 求该双曲线的 方 2 13 3

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∴两渐近线方程为 3x±y=0. 设所求双曲线方程为 9x2-y2=λ(λ≠0). ∵点 P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得 λ=80, x2 y2 ∴所求的双曲线方程为 - =1. 80 80 9 (2)在椭圆中,焦点坐标为(± 10,0), c 10 5 ∴c= 10,又 e= = = ,∴a2=8,b2=2. a a 2 x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 8 2 x2 11.已知双曲线 C: -y2=1,P 是 C 上的任意点. 4 (1)求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数; (2)设点 A 的坐标为(3,0),求|PA|的最小值. 解:(1)证明:设 P(x1,y1)是双曲线上任意一点, 该双曲线的两条渐近线方程分别是 x-2y=0 和 x+2y=0, |x1-2y1| |x1+2y1| 和 . 点 P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是 5 5

x1 ? 4 y1 4 |x1-2y1| |x1+2y1| 它们的乘积是 · = = . 5 5 5 5
2 2

∴点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)设 P 的坐标为(x,y),则 x2 |PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+ -1 4 5 12 4 = (x- )2+ . 4 5 5 12 4 ∵|x|≥2,∴当 x= 时,|PA|2 的最小值为 , 5 5 2 5 即|PA|的最小值为 . 5 x2 12.(文)已知椭圆 C1 的方程为 +y2=1,双曲线 C2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶 4 点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程;

r uuu uuu r
(2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 OA · OB >2(其 中 O 为原点),求 k 的取值范围.
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x2 y2 解:(1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1, a b 则 a2=4-1=3,c2=4, 由 a2+b2=c2,得 b2=1, x2 故 C2 的方程为 -y2=1. 3 x2 (2)将 y=kx+ 2代入 -y2=1,得 3 (1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得

?1-3k ≠0, ? ??=(-6 2k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)>0,
1 ∴k2≠ 且 k2<1. 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 -9 6 2k x 1+x2= ,x x = . 1-3k2 1 2 1-3k2 ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) =(k2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= 3k2+7 . 3k2-1 ①

2

r uuu uuu r
又∵ OA · OB >2,得 x1x2+y1y2>2, 3k2+7 ∴ 2 >2, 3k -1 即 -3k2+9 1 >0,解得 <k2<3, 2 3 3k -1 ②

1 由①②得 <k2<1, 3 故 k 的取值范围为(-1,- 3 3 )∪( ,1). 3 3

(理)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为( 3,0). (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线:y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线 C 交于不同的两点 M、N,且线段 MN 的 垂直平分线过点 A(0,-1),求实数 m 的取值范围. x2 y2 解:(1)设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b 由已知得 a= 3,c=2. 又 a2+b2=c2,得 b2=1.
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x2 故双曲线 C 的方程为 -y2=1. 3

?y=kx+m ? (2)联立?x2 2 整理得 ? 3 -y =1 ?
(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0. ∵直线与双曲线有两个不同的交点,
?1-3k2≠0 ? ∴? , 2 2 ? ??=12(m +1-3k )>0

1 可得 m2>3k2-1 且 k2≠ . 3 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 B(x0,y0). x1+x2 6km 3km 则 x1+x2= = , 2,x0= 2 1-3k 1-3k2 m . y 0=kx0+m= 1-3k2 由题意,AB⊥MN, m +1 1-3k2 1 =- (k≠0,m≠0). ∵kAB= k 3km 1-3k2 整理得 3k2=4m+1. 将②代入①,得 m2-4m>0,∴m<0 或 m>4. 1 又 3k2=4m+1>0(k≠0),即 m>- . 4 1 ∴m 的取值范围是(- ,0)∪(4,+∞). 4





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