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人教A版新课标高中数学选修2-1——直线与椭圆的位置关系(新授课)


直线与椭圆的位置关系 学习目标 1、理解并会判断直线与椭圆的位置关系; 2、熟记弦长公式并会计算; 3、理解中点弦问题的有关计算方法 复习回顾:直线与圆的位置关系 问题1:直线与圆的位置关系有哪几种? 问题2:怎么判断它们之间的位置关系? 几何法: d>r d=r d<r 代数法: ?<0 ?=0 ?>0 新课探究:直线与椭圆的位置关系的判定 ? Ax ? By ? C ? 0 ? 由方程组 ? x 2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 消去y mx 2 ? nx ? p ? 0(m ? 0) △=n ? 4mp 2 相离 相切 相交 (没有交点) (一个交点) (两个交点) △ ? 0 △=0 △ ? 0 题型一:直线与椭圆的位置关系 1 例1:已知直线 y ? x ? 与椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 , 2 判断它们的位置关系。 解:联立方程组 1 y ? x? 2 整理得: 5 x 2 x2+4y2=2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1) 因为 ? ? 16 ? 20 ? 36 ? 0 所以,方程(1)有两个不等根 则原方程组有两组解, 所以直线与椭圆相交. 题型一:直线与椭圆的位置关系 x2 练习: 讨论直线 y ? x ? m 与椭圆 ? y 2 ? 1的位置关系. 4 ?y ? x ? m ? 2 解:联立 ? x ? y2 ? 1 ? ?4 2 ?y ? x ? m 即? 2 x ? 4 y2 ? 4 ? 2 整理得 5x ? 8mx ? 4m ? 4 ? 0 ?? ? 64m ? 20(4m ? 4) ? 80 ?16m 2 2 2 当? ? 80 ?16m2 ? 0 即? 5 ? m ? 5时,直线与椭圆相交 当? ? 80 ? 16m2 =0 即m ? ? 5时,直线与椭圆相切 当? ? 80 ?16m2 ? 0 即m ? 5或m ? ? 5时,直线与椭圆相离 题型一:直线与椭圆的位置关系 x2 y 2 例2:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上是 4 25 9 否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少? y o x 题型一:直线与椭圆的位置关系 x2 y 2 例2:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上是 4 25 9 否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少? y 解:设直线m平行于l, 则m可写成:x ? 5 y ? k ? 0 4 x o ?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 2 2 消去y,得25x ? 8kx ? k - 225 ? 0 由方程组 ? x y ?1 ? ? ? 25 9 由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 k 2 - 225) 0 ( ? 解得k1 =25,k 2 =-25 由图可知k ? 25. 题型一:直线与椭圆的位置关系 x2 y 2 例2:已知椭圆 ? ? 1,直线l:x - 5 y ? 40 ? 0.椭圆上是 4 25 9 否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少? y ?直线m为:x ? 5 y ? 25 ? 0 4 直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近. 15 且d ? ? 41 42 ? 52 41 40 ? 25 x o dmax 65 ? ? 41 42 ? 52 41 40 ? 25 思考:最大的距离是多少? 题型二:弦长问题 例3:已知斜率为1的直

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