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平面向量数量积及应用


专题 一、目标要求:

平面向量的数量积及其应用

1、了解平面向量的数量积的含义及其物理意义; 2、掌握数量积的坐标表示,会进行平面向量的数量积的运算; 3、能利用数量积表示两个向量夹角的余弦,会用数量积判断两个非零向量是否垂直; 4、了解向量是一种处理几何、物理问题的工具;

二、例题讲解:
例 题 1 、 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , AB ? 2 , BC? 2,点 E 为 BC 的 中 点 , 点 F 在 边 CD 上 , 若

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AF ? 2 ,求 AE ? BF 的值;
D F C

E

A

B

例题 2、在 ? ABC 中, AB ? 1, AC ? 2, O 为 ? ABC 外接圆的圆心,求 AO ? BC 的值;

???? ??? ?

例题 3、在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A? ?1, ?2? , B ? 2,3? , C ? ?2, ?1? , (1)求以线段 AB, AC 为邻 边的平行四边形的两条对角线的长; (2)设实数 t 满足 AB ? tOC ? OC ? 0 ,求 t 的值;

?

??? ?

???? ????

?

三、巩固练习:
1、已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为 120 ,若向量 a ? e1 ? 2e2 , b ? 4e1 ,则 a ? b ?
?

?? ?? ?

?

? ?

? ? ??

? ?

? ?



2、已知向量 a 的模为 2,向量 e 为单位向量, e ? a ? e , 则向量 a 与 e 的夹角为

?

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? ?

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?

?



? 3、已知向量 a 与 b 的夹角为 60 , 且 a ? 1, b ? 2 ,那么 a ? b

?

?

?

?

?

? ?

? 的值为
2


1

4、已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 2 , a 与 b 的夹角为 形的两条对角线中较短的一条的长度为 ;

?

?

?

?

?

?

? ? ? ,以 a , b 为邻边作平行四边形,则此平行四边 3

5、在棱形 ABCD 中, AB ? 2 3, B ?

? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 2? ??? , BC ? 3BE , DA ? 3DF ,则 EF ? AC ? 3



EA ?F 6、 设 E , F 分别是 Rt ? ABC 的斜边上 BC 的两个三等分点, 已知 AB ? 3, AC ? 6 , 则A

??? ? ??? ?

?



7、已知向量 a ? ? sin x,cos x ? , b ? ?1, ?2 ? ,且 a ? b ,则 tan x ?

?

?

?

?



8、在 ? ABC 中,若 AB ? AC ? AB ? CB ? 2 ,则边 AB 的长等于

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?



9、已知平面向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 ,且 a 与 b 的夹角为 135 , c 与 b 的夹角为 120 , c ? 2 ,则
? ?

? ??

? ? ?

?

?

?

?

?

?

? a ?



10 、 设 向 量 a ? ? c o? s

?

? ,? s? i bn? ? , ?

? ? ? ? ? ? ? ??, 若 2a ? b ? a ? 2b , 则 c? o? s其 ,中s 0 i ?n

? ?? ?



11、在 Rt ? ABC 中,斜边 BC 长为 2, O 是平面 ABC 内一点,点 P 满足 OP ? OA ?

??? ?

??? ?

??? ? AP ?

? ???? 1 ??? AB ? AC ,则 2

?

?



12、等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , AB ? 2, AD 是边 BC 上的高, P 为 AD 的中点,点 M , N 分 别为 AB 边和 AC 边上的点,且 M , N 关于直线 AD 对称,当 PM ? PN ? ?

???? ? ????

1 AM ? 时, 2 MB



2


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