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7数学——三角函数图象性质1



高三数学复习讲座
主讲教师: 市北中学——干慧菁

第七讲 三角函数图象 性质(一)

复习目标:
(1)会求三角函数的定义域,值域 和周期。 (2)掌握三角函数的单调性和奇偶 性。

知识提要:正弦函数,余弦函数 和正切函数的性质,图象。
Y=sinx 定义域 值域 奇偶性 周期性<

br />R [-1,1] 奇函数 T=2π

Y=cosx
R [-1,1] 偶函数 T=2π

Y=tgx
?x x ? k? ? ? , k ? Z ?
2

R 奇函数 T=π
? ?

? ?? 2 k ? ? , 2 k ? ? 在? ? 2 2? ? ? 上单调递增; ? 3? ? 单调性 在? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? 2 2? ? ? 上递减 ?k ? z ?

在?2k? ? ? ,2k? ? 上 在 (k? ? , k? ? ) 2 2 单调递增; 上单调递增(k ? z ) 在?2k? ,2k? ? ? ? 上 单调递减 ?k ? z ?

Y=sinx
当x ? 2k? ? 时, 2

Y=cosx
当x ? 2k? ? ?时,

Y=tgx

?

最 值

ymin ? ?1

当x ? 2k? ?

?
2

ymin ? ?1
当x ? 2k?时,
ymax ? 1?k ? Z ?

没有最大值也 没有最小值

时,

ymax ? 1?k ? Z ?

图 象

例题导析:
例1.求函数的定义域。
⑴ ⑵ ⑶
y ? sin x ? 1 16 ? x 2

y ? lg( 2 sin x ? 1) ? 1 ? 2 cos x

y ? tg ( x ? ) ? log sin x (2 cos x ? 1) 4

?



lg( 1 ? tgx) y? 1 ? 2 sin x



y ? sin x ?

1 16 ? x 2

解:⑴

sin x ? 0 16 ? x 2 ? 0

?

2k? ? x ? 2k? ? ? (k ? z ) ?4? x?4

? ?4 ? x ? ??或0 ? x ? ?
?函数y ? sin x ? 1 16 ? x
2

的定义域为?? 4,?? ? ? ?0, ? ?



y ? lg( 2 sin x ? 1) ? 1 ? 2 cos x
5? 2k? ? 6 2k? ?

?
3 2k? ?

解:⑵

2 sin x ? 1 ? 0 1 ? 2 cos ? 0

?

1 sin x ? 2 1 cos ? 2

?
6

2k? ?

5? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? z ) 3 6

?

5? 3

? 5? ? ? ?函数y ? lg( 2 sin x ? 1) ? 1 ? 2 cos x的定义域为?2k? ? ,2k? ? ?( k ? z ) 3 6 ? ?



y ? tg ( x ? ) ? log sin x (2 cos x ? 1) 4
2k? ? ?

?

2k? ?

?

3 2k? ? ? 4

2k?

解:⑶

4 2 0 ? sin x ? 1 2 cos x ? 1 ? 0

x?

?

? k? ?

?

?
?
4

4 0 ? sin x ? 1 1 cos x ? 2

x ? k? ?

5? 2k? ? 4 ?

2k? ?

?
3

? 2k? ? x ? 2k? ?

或2k? ?

?

?函数y ? tg ( x ? ) ? log sin x (2 cos x ? 1)的定义域为 4
(2k? ,2k? ?

?

4

? x ? 2k? ?

?
3

(k ? z )

?

4

) ? (2k? ?

?

4

,2 K? ?

?

3

)( K ? Z )



lg( 1 ? tgx) y? 1 ? 2 sin x
1 ? tgx ? 0 1 ? 2 sin x ? 0

解:⑷

?

tgx ? 1 sin x ?
2k? ?

?
4

1 2
?
6

5? 2k? ? 6

2k? ?

2k? ?

5? 4

2k? ?

?
2

? 2k? ?
?函数y ?

?
2

? ? ? 2k? ?

?
6

或2k? ?

5? 5? ? x ? 2k? ? (k ? z ) 6 4

lg( 1 ? tgx) ? ? 5? 5? 的定义域为(2k? ? ,2k? ? ) ? (2k? ? ,2k? ? )( k ? z ) 2 6 6 4 1 ? 2 sin x

例2.求下列函数的值域

y? sin 2 x ? cos x 1 ? sin x

? ? ?? ? y ? cos x cos x ? cos x ? ? ?? ⑵ ? 3 ?? ? ?

⑶ ⑷ ⑸ ⑹

2 sin( x ? ) 6 (? ? x ? ? ) y? cos x 4 3

?

5 2 sin x cos x ? ? 2 y? (0 ? x ? ) sin x ? cos x 2
y?
y?

3 (2 ? cos x)(5 ? cos x)
sin x ? 1 cos x ? 2



y?

sin 2 x ? cos x 1 ? sin x
2 sin x ? cos 2 x y? ? 2 sin x(1 ? sin x) ? 2 sin 2 x ? 2 sin x 1 ? sin x 1 2 1 ? 2(sin x ? ) ? 2 2

解:⑴

1 1 ? ?1 ? sin x ? 1?当sin x ? ? 时, ymin ? ? 2 2 ? sin x ? 1? 无最大值

sin 2 x ? cos x ? 1 ? ?函数y ? 的值域为?? , 4? 1 ? sin x ? 2 ?

? ? ?? ? y ? cos x cos x ? cos x ? ? ?? ⑵ ? 3 ?? ? ?
2

解:⑵ y ? cos x ? cos x cos( x ? 3 )
2

?

1 3 2 ? cos x ? cos x ? sin x cos x 2 2

1 3 1 ? cos 2 x 3 2 ? cos x ? sin 2 x ? ? sin 2 x 2 4 4 4 1 1 ? ? ? sin( 2 x ? ) 4 2 6

? ?1 ? sin( 2 x ?

?
6

) ?1

? ? ? ? 1 3? ?函数y ? cos x ?cos x ? cos( x ? )?的值域为?? , ? 3 ? ? ? 4 4?



2 sin( x ? ) ? ? 6 y? ( ?x? ) cos x 4 3

?

解:⑶

3 sin x ? cos x y? ? 3tgx ? 1 cos x

?

?

4

?x?

?

3

?1 ? tgx ? 3

2 sin( x ? ) ? ? 6 ?函数y ? ( ? x ? )的值域为 3? 1,4 cos x 4 3

?

?

?



5 2 sin x cos x ? ? 2 y? (0 ? x ? ) sin x ? cos x 2

t 2 ?1 解:⑷ 令t ? sin x ? cos x, 则 sin x cos x ? 2 3 2 t ? 3 2 ?y ? ?t? t 2t

?? ? ? 0 ? x ? ? t ? 2 sin ? x ? ? ? 1, 2 2 4? ?
3 6 ? t ? , 即t ? ? 1, 2 ? ymin ? 6 2t 2

?

? ?

? ?

5 7 2 又 ? t ? 1时, y ? , t ? 2时, y ? 2 4 5 2 sin x cos x ? ? 5? ? 2 ?函数y ? (0 ? X ? )的值域为? 6, ? sin x ? cos x 2 2? ?



3 y? (2 ? cos x)(5 ? cos x)

解:⑸

3 3 y? ? 2 ? cos x ? 3 cos x ? 10 ? (cos x ? 3 ) 2 ? 49 2 4
3 2 49 ? cos x ? ?? 1,1?? 6 ? ?(cos x ? ) ? ? 12 2 4

3 ?1 1? ?函数y ? 的值域为? , ? (2 ? cos x)(5 ? cos x) ?4 2?



y?

sin x ? 1 cos x ? 2

? cos x ? 2 ? 0 ? y cos x ? 2 y ? sin x ? 1 解:⑹方法一:

? y cos x ? sin x ? 2 y ? 1
由辅助角公得: y 2 ? 1 cos( x ? ? ) ? 2 y ? 1
1 其中tg? ? y

? cos( x ? ? ) ?
2y ?1 y2 ?1 ?1

2y ?1 y2 ?1

? cos( x ? ? ) ? 1?

? (2 y ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ? 3 y 2 ? 4 y ? 0

4 ?? ? y?0 3

sin x ? 1 ? 4 ? ?函数y ? 的值域为?? , 0? cos x ? 2 ? 3 ?

解:⑹方法二:设A(cosx,sinx),B(2,-1)
sin x ? 1 则 y ? cos x ? 2

为直线AB的斜率

由图可知:点A在单位圆上,直线AB与圆 相切时,y取得最大值和最小值 设过点B斜率为R的直线方程为y+1=k(x-2), 即kx-y-2k-1=0
? 直线与圆相切 ?
解得k1 ? 0, k 2 ? ?

2k ? 1 k2 ?1

?1

4 3 sin x ? 1 ? 4 ? ?函数y ? 的值域为?? , 0? conx ? 2 ? 3 ?

? ?? ? 例3.已知函数 y ? sin ? 3 ? 4 x ? ? cos(4 x ? 6 ) ? ?
y ? sin( 解:

,求
?

此函数的单调区间和最小正周期。
? ? ? ?

? 4 x) ? cos( 4 x ? ) ? sin( ? ? 4 x) ? cos( 4 x ? ) 3 6 2 6 6 ?? ? ? 2 cos? 4 x ? ? 6? ? 2? ? ? 最小正周期T ? ? 4 2 ? K? 5? K? ? 2 K? ? ? ? 4 X ? ? 2 K? ? ? ?X? ? (K ? Z) 6 2 24 2 24 ? K? ? K? 7? 2 K? ? 4 X ? ? 2 K? ? ? ? ? ?X? ? (K ? Z) 6 2 24 2 24 ? k? 5? k? ? ? ? 此函数的单调递增区间为? ? , ? ??k ? Z ? ? 2 24 2 24 ? ? k? ? k? 7? ? ?k ? Z ? 单调递减区间为? ? , ? ? ? 2 24 2 24 ?

例4.设w>0,若函数f(x)=sinwx在区间
上是增函数,求w的范围。

? ? ?? ? ? 5? ? 5, ?

?k ? Z ? ? f(x)? sin wx?w ? o ? ? ? , 单调递增区间是? ? 2w w 2w ? ? w ? ? ?? ? ? ? ? ?由题意得: ? , ? ? ?? , ? ? ? 5 5 ? ? 2w 2w ?
5 ? ? ?0?w? 2w 5 2

? ?? ? ? y ? sin x的增区间是?2k? ? ,2k? ? ??k ? Z ? 解: 2 2? ? ? 2k? ? 2k? ? ?

?

?

?? ?? ? ? f ( x ) ? a sin x ? ? 6 cos x ? ? ? ? ? 例5.已知函数 当 a 4? 3? ? ?

为何值时,f(x)是偶函数?又a为何值时, f(x)为奇函数?
?? ?? ? ? f ( x ) ? a sin x ? ? 6 cos x ? ? ? ? ? 解: 4 3 ? ? ? ?

若f ( x)是偶函数,则f (? ) ? f ( ) 2 2

?

?

若f ( x)是奇函数,则f ?? ? ? ? ? f ?? ?

? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? a sin ? ? ? ? ? 6 cos? ? ? ? ? a sin ? ? ? ? 6 cos? ? ? ? 2 4? ? 2 3? ?2 4? ?2 3? 2 3 2 3 ?? a? 6? ? a? 6? ? a ? ?3 2 2 2 2

?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? a sin ? ? ? ? ? ? 6 cos? ? ? ? ? ? ?a sin ? ? ? ? ? 6 cos? ? ? ? 4? 3? 4? 3? ? ? ? ?

2 1 2 1 ?? a? 6? ? a? 6? ?a? 3 2 2 2 2

例6.已知关于x的方程 sin x ?

3 cos x ? a ? 0 在区

间(0,2π)内有相异的两根,求实数a的取 值范围。
?? ? 解:a ? ? sin x ? 3 cos x ? ?2 sin ? x ? ? 3? ?

?? ? ? 原题转化为求y ? a与y ? ?2 sin ? x ? ?在?0, 2? ?内的图象有两交点 3? ?

由图象可知: ? 2 ? a ? ? 3或 ? 3 ? a ? 2时,
方程在?0, 2? ? 内有相异的两实根。



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