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高中数学必修一函数的单调性教学设计




函数的单调性

北京景山学校 许云尧 【教学目标】 1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定 义判断、证明函数单调性的方法. 2.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合数学思想方法,培养学生观察、归纳、 抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力. 3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让 学生经历从具体到抽象,从特殊到一般,从感性到理性的认知过程. 【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明. 【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 【教学方法】 教师启发讲授,学生探究学习. 【教学手段】 计算机、投影仪. 【教学过程】 一、创设情境,引入课题 课前布置任务: (1) 由于某种原因,2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日,请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况. 课上通过交流,可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因,北京的天气到 8 月中旬, 平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降,比较适宜大型国际体育赛事. 下图是北京市今年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图.

引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考. 问题:观察图形,能得到什么信息? 预案:(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到;

(2)在某时刻的温度; (3)某些时段温度升高,某些时段温度降低. 在生活中,我们关心很多数据的变化规律,了解这些数据的变化规律,对我们的生活 是很有帮助的. 问题:还能举出生活中其他的数据变化情况吗? 预案:水位高低、燃油价格、股票价格等. 归纳:用函数观点看,其实就是随着自变量的变化,函数值是变大还是变小. 〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣. 二、归纳探索,形成概念 对于自变量变化时,函数值是变大还是变小,初中同学们就有了一定的认识,但是没 有严格的定义,今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1.借助图象,直观感知

问题 1:分别作出函数 变化时,函数值有什么变化规律?

的图象,并且观察自变量

预案:(1)函数

在整个定义域内 y 随 x 的增大而增大;函数

在整

个定义域内 y 随 x 的增大而减小. (2)函数 在 上 y 随 x 的增大而增大,在 上 y 随 x 的增大而减小.

(3)函数



上 y 随 x 的增大而减小,在

上 y 随 x 的增大而减小.

引导学生进行分类描述 (增函数、减函数).同时明确函数的单调性是对定义域内某个 区间而言的,是函数的局部性质. 问题 2:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

预案: 如果函数

在某个区间上随自变量 x 的增大, 也越来越大, y 我们说函数 在某个区间上随自变量 x 的增大,y 越来越小,我们

在该区间上为增函数;如果函数 说函数 在该区间上为减函数.

教师指出:这种认识是从图象的角度得到的,是对函数单调性的直观,描述性的认识. 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性,完成对函数单调性的第一次认识. 2.探究规律,理性认识

问题 1: 下图是函数 和减函数吗?

的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 通过讨论,使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观,但有时不够精确, 需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题 2:如何从解析式的角度说明 在 为增函数?
2 2

预案: (1) 在给定区间内取两个数, 例如 1 和 2, 因为 1 <2 ,所以 为增函数. (2) 仿(1),取很多组验证均满足,所以 (3) 任取 ,所以 在 ,因为 为增函数. 在 为增函数.



,即

对于学生错误的回答, 引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问 题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量 . 〖设计意图〗 把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认 识.事实上也给出了证明单调性的方法,为证明单调性做好铺垫. 3.抽象思维,形成概念 问题:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 师生共同探究,得出增函数严格的定义,然后学生类比得出减函数的定义. (1)板书定义 (2)巩固概念 判断题:





②若函数



③若函数 数.

在区间

和(2,3)上均为增函数, 则函数

在区间(1,3)上为增函

④因为函数

在区间 上是减函数.

上都是减函数,所以



通过判断题,强调三点: ①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内 某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数). ③函数在定义域内的两个区间 A,B 上都是增 (或减) 函数, 一般不能认为函数在 上是增(或减)函数. 思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

〖设计意图〗让学生由特殊到一般,从具体到抽象归纳出单调性的定义,通过对判断 题的辨析,加深学生对定义的理解,完成对概念的第三次认识. 三、掌握证法,适当延展

例 证明函数



上是增函数.

1.分析解决问题

针对学生可能出现的问题,组织学生讨论、交流.

证明:任取

,

设元

求差

变形

,

断号







∴函数



上是增函数.

定论

2.归纳解题步骤

引导学生归纳证明函数单调性的步骤:设元、作差、变形、断号、定论.

练习:证明函数



上是增函数.

问题:要证明函数

在区间

上是增函数,除了用定义来证,如果可以证得对

任意的

,且



可以吗?

引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数 在 上是增函数.

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤.等价形式进一步发展 可以得到导数法,为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔.

四、归纳小结,提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,师生合作共 同完成小结. 1.小结 (1) 概念探究过程:直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2) 证明方法和步骤:设元、作差、变形、断号、定论. (3) 数学思想方法和思维方法:数形结合,等价转化,类比等. 2.作业 书面作业:课本第 60 页 习题 2.3 第 4,5,6 题. 课后探究:

(1) 证明:函数

在区间

上是增函数的充要条件是对任意的

,且





(2) 研究函数

的单调性,并结合描点法画出函数的草图. 《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析 函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质,是函数学习中第一 个用数学符号语言刻画的概念,为进一步学习函数其它性质提供了方法依据. 对于函数单调性,学生的认知困难主要在两个方面:(1)要求用准确的数学符号语言 去刻画图象的上升与下降, 这种由形到数的翻译, 从直观到抽象的转变对高一的学生是比较 困难的;(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代 数方面的推理论证能力是比较薄弱的. 根据以上的分析和教学大纲的要求, 确定了本节课的 重点和难点. 二、教学目标的确定 根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平,从三个不 同的方面确定了教学目标,重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识;强调判断、证 明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透; 突出语言表达能力、 推理论证能力的 培养和良好思维习惯的养成. 三、教学方法和教学手段的选择 本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发讲授,学生探究学习的教学方法,通过 创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计 算机来辅助教学, 目的是充分发挥其快捷、 生动、 形象的特点, 为学生提供直观感性的材料, 有助于学生对问题的理解和认识. 四、教学过程的设计 为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,教学上采取了以下的措施: (1)在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认 知过程,完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入.

(2)在应用概念阶段,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握用定义证明函数单调性 的方法和步骤. (3)考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延 展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究单调性埋下伏笔.



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