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安徽省六安市毛坦厂中学第二次模拟考试试卷数学(文科)



高中毕业班第二次模拟考试试卷 数学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1、已知集合 M ? {?1,0,1, 2,3}, N ? {?2,0} ,则下列结论正确的是 A. N ? M B. M

N?N

C. M

r />
N ?M

D. M

N ? ?0?

2、下列四个函数中,既是奇函数又是定义域上的单调递增的是 A. y ? 2
?x

B. y ? tan x

C. y ? x

3

D. y ? log3 x

3、已知复数 z 满足 (1 ? i) z ? i 2015 (其中 i 为虚数单位),则 z 的虚部为 A.

1 2

B. ?

1 2

C.

1 i 2

D. ?

1 i 2

4、等比数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4 ,则 a2 ? a12 的值为 A.

4 3

B.

8 3

C. 2

D. 4

?x ? y ? 3 ? 5、设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
A.6 B.7 C.8 D.23

6、投掷两枚骰子,则点数之和是 8 的概率为 A.

5 36

B.

1 6

C.

2 15

D.

1 12

7、在平面直角坐标系中,角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半 轴重合,终边过点 P(? 3, ?1) ,则 sin(2? ?

?
2

)?
D. ?

A.

3 2

B. ?

3 2

C.

1 2

1 2

8、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.

10 3

B.

5 3

C.

20 3

D.4

9、执行右下方的程序框图,如果输入的 N ? 4 ,那么输出的 S 的值为

1 1 1 ? ? 2 3 4 1 1 1 1 C. 1 ? ? ? ? 2 3 4 5
A. 1 ?

1 1 1 ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 1 1 1 1 ? ? D. 1 ? ? 2 3? 2 4 ? 3? 2 5 ? 4 ? 3? 2
B. 1 ?

SA ? 平面 ABC, ?BAC ? 120 , SA ? AC ? 2, AB ? 1 , 10、 在四面体 S-ABC 中,
则该四面体的外接球的表面积为 A. 11? B. 7? C.

10? 3

D.

40? 3

11、已知 F 是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,直线 y ? kx ? 1 与该抛物线交于第一象 限内的零点 A, B ,若 AF ? 3 FB ,则 k 的值是

A. 3

B.

3 2

C.

3 3

D.

2 3 3

12、已知函数 f ? x ? ? ?

x ?1 ? ?1 ? 1 ? x x ? (??, 2) ,设方程 f ? x ? ? 2 2 的根从小到大依次为 ? ?2 f ( x ? 2) x ? [2, ??)

x1, x2 ,
A. n
2

, xn ,

, n ? N ? ,则数列 { f ( xn )} 的前 n 项和为
B. n ? n
2

C. 2 ? 1
n

D. 2

n ?1

?1

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。. 13、已知向量 a ? (2,1), b ? ( x, ?1) ,且 a ? b 与 b 共线,则 x 的值为 14、函数 f ? x ? ? sin 2x ? 4sin x cos x( x ? R) 的最小正周期为
3

15、已知条件 p : x ? 3x ? 4 ? 0 ;条件 q : x ? 6x ? 9 ? m ? 0 ,若 ? q 是 ? p 的充分不必
2 2 2

要条件,则实数 m 的取值范围是
?x 16、15、设点 P、Q 分别是曲线 y ? xe (e 是自然对数的底数)和直线 y ? x ? 3 上的动点,

则 P、Q 两点间距离的最小值为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 b cos A ? (2c ? a) cos(? ? B) (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 4, ?ABC 的面积为 3 ,求 a ? c 的值。

18、 (本小题满分 12 分) 4 月 23 人是“世界读书日” ,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,为了解本 校学生课外阅读情况, 学校随机抽取了 100 名学生对其课外阅读时间进行调查, 下面是根据 调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅 读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书谜” ,低于 60 分钟的学生称为“非读书谜”

(1)求 x 的值并估计全校 3000 名学生中读书谜大概有多少?(经频率视为频率) (2)根据已知条件完成下面 2 ? 2 的列联表,并据此判断是否有 99%的把握认为“读书谜” 与性别有关?

19、 (本小题满分 12 分) 已知 PA ? 平面 ABCD, CD ? AD, BA ? AD, CD ? AD ? AP ? 4, AB ? 1 。 (1)求证: CD ? 平面 ADP ; (2)若 M 为线段 PC 上的点,当 BM ? PC 时,求三棱锥 B ? APM 的体积。

20、 (本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 3 ) ,离心率为 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (1, 。 a b 2 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)不垂直与坐标轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点,以 AB 为直径的圆过原点,且线段

3 AB 的垂直平分线交 y 轴于点 P (0, ? ) ,求直线 l 的方程。 2

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? x ? 2,(e 是自然对数的底数 ) 。
x

(1)求函数 f ? x ? 的图象在点 A(0, ?1) 处的切线方程; (2) 若 k 为整数, 且当 x ? 0 时,( x ? k ? 1) f ? ? x ? ? x ? 1 ? 0 恒成立, 其中 f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,求 k 的最大值。

请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,

作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图: O 的直径 AB 的延长线于弦 CD 的延长线相交于 点 P,E 为 O 上一点, AE ? AC, DE 交 AB 于点 F。 (1)求证: O, C , D, F 四点共圆; (2)求证: PF ? PO ? PA ? PB .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程 ? , 以坐标原点为极点, (t 为参数) ?y ? 3 t ? ? 2

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 4 cos ? 。
(1)直线 l 的参数方程化为极坐标方程; (2)求直线 l 的曲线 C 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? )

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ? a ? 2x ?1 (a ? 0), g ? x ? ? x ? 2 。 (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集; (2)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2015 年石家庄市高三数学第二次模拟考试 (文科答案)

一、选择题: 1-5 DCABB 6-10 ADBBC 11-12 DC

二、填空题: 14.

13.

-2

? 2
3 2 2

15. m ? 4或m ? ?4 三、解答题:

16.

17. 解: (Ⅰ) Q b cos A ? (2c ? a)cos ?? ? B ?

?b cos A ? (?2c ? a) cos B ??????????1 分 ?sin B cos A ? (?2sin C ? sin A) cos B ??????????3 分 ?sin( A ? B) ? ?2sin C cos B
∴ cos B ? ? ∴ B? (Ⅱ) 由 S?ABC =

2? ??????????6 分 3

1 ??????????5 分 2

1 ac sin B ? 3 得 a c=4??????????8 分. 2
2 2 2

由余弦定理得 b =a +c +ac

?(a+c )

2

? ac ? 16 ???????10 分

∴ a+c ? 2 5 ??????????12 分

18.解:(Ⅰ)由已知可得: (0.01+0.02+0.03+x+0.015)*10=1, 可得 x=0.025 ????????2 分 因为( 0.025+0.015)*10=0.4,将频率视为概率,由此可以估算出全校 3000 名学生中读书 迷大概有 1200 人 ????????4 分

(Ⅱ) 完成下面的 2? 2 列联表如下 非读书迷 男 40 读书迷 15 合计 55

女 合计 ????????8 分

20 60

25 40

45 100

K2 ?

100(40 ? 25 ? 15 ? 20)2 ≈8.249 60 ? 40 ? 55 ? 45

????????10 分

8.249 > 6.635, 故有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关。 ????????12 分

19. (1)证明: 因为 PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 ADP, 所以平面 ADP⊥平面 ABCD. ????????????2 分 又因为平面 ADP∩平面 ABCD=AD,CD⊥AD, 所以 CD⊥平面 ADP. ???????????????4 分

(2)取 CD 的中点 F,连接 BF, 在梯形 ABCD 中,因为 CD=4,AB=2, 所以 BF⊥CD. 又 BF=AD=4,所以 BC= 2 5 . 在 ? ABP 中,由勾股定理求得 BP= 2 5 . 所以 BC=BP. ?????????????????????7 分

又知点 M 在线段 PC 上,且 BM⊥PC, 所以点 M 为 PC 的中点. ???????????????9 分

在平面 PCD 中过点 M 作 MQ∥DC 交 DP 于 Q,连接 QB,QA, 则

V三棱锥 B—APM ? V三棱锥 M—APB ? V三棱锥Q—APB ? V三棱锥 B—APQ

=

1 1 8 ? ( ? 4 ? 2) ? 2 ? . ??12 分 3 2 3

? c 3 = ? ? a 2 文 20.解: (Ⅰ)由题意得 ? ,解得 a =2 , b ? 1 . ? 1 ? 3 ?1 ? ? a 2 4b 2
所以椭圆 C 的方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

????? 4 分

(Ⅱ)设直线 l 的方程设为 y ? kx ? t ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

? y ? kx ? t ? 联立 ? x 2 消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4
则有 x1 ? x2 ?

?8kt 4t 2 ? 4 x x ? , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

????? 6 分

? ? 0 ? 4k 2 ? 1 ? t 2
y1 ? y2 ? kx1 ? t ? kx2 ? t ? k ( x1 ? x2 ) ? 2t ? 2t 1 ? 4k 2

y1 y2 ? ? kx1 ? t ?? kx2 ? t ? ? k 2 x1x2 ? kt ? x1 ? x2 ? ? t 2
? k2
2 2 t2 ? 4 ? ?2kt ? 2 4t ? 4k ? kt ? t ? ? 2 ? 4 ? k2 4 ? k2 ? 4?k ?

因为以 AB 为直径的圆过坐标原点,所以 OAg OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

uur uu u r

t 2 ? 4 4t 2 ? 4k 2 x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 0 ? 5t 2 ? 4 ? 4k 2 ????? 8 分 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
? ? 0 ? 4k 2 ? 1 ? t 2 ? t ? ?

3 3 或t ? , 2 2
x1 ? x2 y ? y2 ?4kt t ? ? ,n ? 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 3 ? ?n t 1 1 ? 得 ???? 10 分 ?? ? 2 2 1 ? 4k 2 k ?m

又设 A, B 的中点为 D ? m, n ? ,则 m ?

因为直线 PD 于直线 l 垂直,所以 k PD

1 ? t ?t1 ? 1 ? ? ? 2 由 ?1 ? 4k 2 解得 ? 3, t ? ? 2 2 2 ?5t ? 4 ? 4k ? 5 ? ?

3 时, ? ? 0 不成立. 5 1 当 t ? 1 时, k ? ? , 2 1 1 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .? 2 2
当t ? ?

12 分

解法二 (Ⅱ)设直线 l 的斜率为 k ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , A, B 的中点为 D ? x0 , y0 ? , 所以 k ?

x ? x2 y1 ? y2 , x0 ? 1 2 x1 ? x2

, y0 ?

y1 ? y2 2

? x12 ? y12 ? 1 ? ? 4 由题意 ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ? 4
(1) 式 ?(2) 式得

(1)


(2)

? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ?
4

? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 ?

y 1 1 ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? ?0? ?k 0 ?0 4 x0 4 ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ?
y0 ? x0 3 2 k ? ?1

又因为直线 PD 与直线 l 垂直,所以

y0 ?1 ?4 ? k x ? 0 1 ? 0 ? ? y0 ? 由? 解得 ? 2 3 ? y0 ? 2 ? ? x0 ? ?2k k ? ?1 ? ? x0

????? 6 分

设直线 l 的方程设为 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? ? y ? kx ? 2k ?
2

1 , 2

1 ? y ? kx ? 2k 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 2 联立 ? 消去 y 得 (1 ? 4k ) x ? 4k ? k ? 1? x ? ? 4k ? 1? ? 4 ? 0 2 ? x ? y2 ? 1 ? ? 4

x1 ? x2 ? 2x0 ? ?4k , x1 x2
2

? 4k ?

2

? 1? ? 4
2

1 ? 4k 2
2

? 2 1? 2 2 2 4 ? 2k ? ? ? 4k 4 k ? 1 ? 4 ? ? 1 2 ? ? ? ? 2k 2 ? 4k 2 ? 1? ? ? 2k 2 ? ? = ? y1 y2 ? k 2 2 4 ? k 1 ? 4k 2 2 ? ?
因为以 AB 为直径的圆过坐标原点,所以 0 A OB ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

? 2 1? 2k ? ? ? 4k 2 4k 2 ? 1? ? 4 4 ? 2 ? 2? ? 2 x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 0 ? 5 4 k ? 1 ? 16 ?1 ? k 2 ? ? ? 2 2 1 ? 4k 4?k
2

2

解得 k ? ?

1 , 2

所以直线 l 的方程为 y ?

1 1 x ? 1 或 y ? ? x ? 1 .? 2 2

12 分

21.解析: (1) f ( x) ? e ? x ? 2, x ? R , f ( x) ? e ? 1, x ? R ,
x / x

.............2



f / (0) ? 0 曲线 f ( x) 在点 A(0,?1) 处的切线方程为 y ? ?1.
x (2)当 x ? 0 时, e ? 1 ? 0 ,所以不等式可以变形如下:

??????4 分

( x ? k ? 1) f / ( x) ? x ? 1 ? 0 ? ( x ? k ? 1)(e x ? 1) ? x ? 1 ? 0 ? k ?
①.................6 分

x ?1 ? x ?1 ex ?1

令 g ? x? ?

? xe x ? 1 e x (e x ? x ? 2) x ?1 / ,则 ? ? g x ? ? 1 ? . ? x ? 1 ex ?1 ?e x ? 1?2 ?e x ? 1?2
x

函数 h( x) ? e ? x ? 2 在 ?0,??? 上单调递增,而 h(1) ? 0, h(2) ? 0. 所以 h( x) 在 ?0,??? 上存在唯一的零点,故 g ( x ) 在 ?0,??? 上存在唯一的零点.
/

设此零点为 ? ,则 ? ? ?1,2? . 当 x ? ?0, ? ? 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? ?? ,??? 时, g ( x) ? 0 ;
/ /

所 以 , g ( x) 在

?0,???

/ 上 的 最 小 值 为 g (? ) . 由 g (? ) ? 0, 可 得

e? ? ? ? 2, ....................10 分

所以, g (? ) ? ? ? 2 ? ?3, 4? . 由于①式等价于 k ? g (? ) . 故 3. 整 数

k











.................12 分

22.解析: (1)连接 OC , OE , 因为 AE ? AC ,所以 ?AOC ? ?AOE ? 又因为 ?CDE ?

1 ?COE ,.................2 分 2

1 ?COE , 2

则 ?AOC ? ?CDE , 所以 O, C , D, F 四点共圆.??????5 分 (2)因为 PBA 和 PDC 是

O 的两条割线,

所以 PD PC ? PA ? PB ,?????7 分 因为 O, C , D, F 四点共圆, 所以 ?PDF ? ?POC ,又因为 ?DPF ? ?OPC , 则 ?PDF ∽ ?POC , 所以

PD PF ,即 PF PO ? PD ? PC ? PO PC

则 PF PO ? PA ? PB .??????10 分

1 ? x ? 2? t ? 2 ? 23 . 解 析 : (1)将直线 l : ? ( t 为参数)消去参数 t ,化为普通方程 ? y? 3t ? ? 2

3x ? y ? 2 3 ? 0 ,????????2 分
将?

? x ? ? cos ? 代入 3x ? y ? 2 3 ? 0 得 3? cos? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 .????4 分 ? y ? ? sin ?

(2)方法一: C 的普通方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .??????6 分

由?

? 3x ? y ? 2 3 ? 0 ? ? x ?1 或 ? ? x ? 3 ??????8 分 ? 解得: ? ? 2 2 ? ? ? x ? y ? 4x ? 0 ?y ? ? 3 ? ?y ? 3

所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2, 方法二:由 ?

5? ? ) , (2 3, ) .??????10 分 3 6

? ? 3? cos ? ? ? sin ? ? 2 3 ? 0 ,?????6 分 ? ? 4 cos ? ? ?

得: sin(2? ?

?
3

) ? 0 ,又因为 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ??????8 分

?? ? 2 3 ? ? ?2 ? ? 所以 ? 5? 或 ? ? ?? ?? ? ? 3 ? 6 ?
所以 l 与 C 交点的极坐标分别为: (2,

5? ? ) , (2 3, ) .??????10 分 3 6

24.解析: (1)当 a ? 1 时, | 2 x ? 1| ? | 2 x ? 1|? x ? 2

1 ? ? x?? 2 ? 无解, ? ? ? ?4 x ? x ? 2

1 ? 1 1 ?? ? x ? 2?0? x? , ? 2 2 ? ? 2 ? x+2 1 ? 1 2 ? x? 2 ? ? x ? ?????????3 分 ? 2 3 ? ?4 x ? x ? 2
综上,不等式的解集为 {x 0 ? x ? } .??????5 分 (2) | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1|? x ? 2 ,转化为 | 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ? 0 令 h( x) ?| 2 x ? a | ? | 2 x ? 1| ? x ? 2 ,

2 3

1 ? ? 5 x ? a ? 3, x ? ? ? 2 ? 1 a ? 因为 a>0,所以 h( x) ? ?? x ? a ? 1, ? ? x ? , 2 2 ? a ? ? 3 x ? a ? 1, x ? 2 ?
??????8 分

在 a>0 下易得 h( x ) min ?

a a ? 1 ,令 ? 1 ? 0, a 得 a ? 2.a ??????10 分 2 2



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