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离散型随机变量的均值与方差学案



2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值 班级 姓名

【学习目标】
1、了解离散型随机变量的均值或期望的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望. 2、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

【学习重点】
1、离散型随机变量的均值(期望) 2、离散型随机变量的方差、标准差
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【学习难点】
1、根据离散型随机变量的分布列求出均值(期望) 、方差 2、比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题
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【学习过程】 一、双基回眸
1.随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母 X,Y,ξ 、η 等表 示 2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做 离散型随机变量 3.连续型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就做连 续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: ◆离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果;但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一 列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出
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◆若 ? 是随机变量,? ? a? ? b, a, b 是常数,则? 也是随机变量 并且不改变其属性(离散型、连续型)
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5.分布列: 设离散型随机变量 X 可能取得值为 x1,x2,?,x3,?,X 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概率为 P ? ( X ? xi ) ? pi ,则称表为 随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列
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X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? ?

6.分布列的两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?Pi=1. 7.离散型随机变量的二项分布: 在 一 次 随机 试 验中 , 某事 件 可 能发 生 也可 能 不发 生 , 在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 X 是一个随机变量.如果 在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重 复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 Pn ( X ? k ) ? C n p q
k k n?k

, k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) ( .

于是得到随机变量 X 的概率分布如下:

X P

0
0 Cn p 0 q n

1
1 C n p 1 q n ?1

? ?

k
k Cn p k q n?k

? ?

n
n Cn p n q 0

称 这 样 的随 机 变 量 X 服从 二 项 分布 , 记 作 X~B(n,p)

二、合作探究
对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变 量的某些数字特征。例如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平,很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否“两极 分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。

问题情境:
某商场要将单价分别为 18 元/kg,24 元/kg,36 元/kg 的 3 种糖果按 3:2:1 的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理? 计算加权平均价格:

【思考】如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,其中权数的实际含义怎样解释?
根据古典概型,在混合糖果中,任取一颗糖果,这颗糖果为第一颗糖果的概率为 ,为第二颗糖果的概率为 ,为第三颗糖果的 概率为 ,即取出的这颗糖果的价格为 18 元/kg,24 元/kg,36 元/kg 的概率分别为 , ,和 。用 X 表示这颗糖果的价 格,则它是一个离散型随机变量,其分布列为
1

因此权数恰好是随机变量 X 的

。于是,每千克混合糖果的合理价格可以表示为:

X P

18

24

36

。 ■ 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量 X 的概率分布为

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xn pn

? ? 为 X 的均值或数学期望,简称期望.

则称 EX =

~均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平
【探究】设 Y=aX+b,其中 a,b 为常数,则 Y 也是随机变量. (1)Y 的分布列是什么? (2)EY=? X

x1

x2

?

xi
axi ? b

?

xn axn ? b

Y P

ax1 ? b ax2 ? b

? ?

? ?

EY ?
? ?

■数学期望的性质:

【小试牛刀】 1.已知随机变量 X 的分布列是 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.1 5 0.1

则 EX ? 2.抛掷一枚硬币,规定正面向上得 1 分,反面向上得-1 分,则得分 X 的均值为

三、互动达标
问题 1:篮球运动员在比赛中,每次罚球命中得 1 分,罚不中得 0 分,已知他命中的概率为 0.7, 求他罚球一次得分 X 的均值(期望) 。
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2

【归纳】 ①如果随机变量 X 服从两点分布, 则 EX ? ②如果随机变量 X 服从二项分布,即 X~B(n,p) ,则

EX ?
③随机变量的均值与样本的平均数的联系与区别:

问题 2:一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中仅有一个选项是正确。每题选对得 5 分,不选或选错不得分, 满分 100 分 学生甲选对任一题的概率为 0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个,分别求学生甲和乙在这次测验 中的成绩的均值(期望)
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【思考】考生甲的均值的含义是什么?他在测试中的成绩一定会是这一分数吗? 问题 3 根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为 0.25,有大洪水的概率为 0. 01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时 要损失 60 000 元,遇到小洪水时要损失 10000 元.为保护设备,有以下 3 种方案: 方案 1:运走设备,搬运费为 3 800 元. 方案 2:建保护围墙,建设费为 2 000 元.但围墙只能防小洪水. 方案 3:不采取措施,希望不发生洪水. 试比较哪一种方案好.

2.3.2 离散型随机变量的方差 【合作探究】
问题情境:要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录,第一名同学与第二名同学击中 目标靶的环数 X 1 与 X 2 的分布列为:
X1
5 0.03 6 0.09 7 0.20 8 0.31 9 0.27 10 0.10

P

X2

5 0.04

6 0.06

7 0.09

8 0.28

9 0.29

P

请问应该派哪名同学参赛?怎样定量刻画随机变量的稳定性?

3

【概念归纳】离散型随机变量的方差、标准差:
设离散型随机变量 X 的分布列为

X P

x1

x2
p2
2

? ?

xi pi

? ?

xn pn

p1

则 ( xi ? EX ) 描述了 x i ( i ? 1, 2,?, n )相对于均值 EX 的偏离程度, 而 DX = ( x1 ? EX ) ? p1 + ( x 2 ? EX ) ? p 2 +?+ ( x n ? EX ) ? p n =
2 2
2

? (x
i ?1

n

i

? EX ) 2 pi 为这些偏

离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度。我们称 DX 为随机变量 X 的方差,其算术平方根 DX 为随机 变量 X 的标准差,记作 ?X ◆随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度。方差或标准差越小,则随机变量偏离于

均值的平均程度越小。 思考:随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?

探究:试证明以下结论 ① 若 X 服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p) ② 若 X~B(n,p),则 DX ? np(1 ? p) ③ D(aX ? b) ? a 2 DX

小试牛刀:
1、已知随机变量 X 的分布列

X P 则 DX =

0 0.1 , ?X =

1 0.2

2 0.4

3 0.2

4 0.1

2、若随机变量 X 满足 P( X ? c) ? 1 ,其中 c 为常数,则 DX =

【互动达标】
问题 1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.

4

问题 2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资 X1/元 获得相应职位的概率 P1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1

乙单位不同职位月工资 X2/元 获得相应职位的概率 P2

1000 0.4

1400 0.3

1800 0.2

2000 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

【巩固提高】
1、已知 ? ~ B ? n, p ? , E? ? 8, D? ? 1.6 ,则 n, p 的值分别是( )

A. 100和0.08 ; B. 20和0.4 ; C. 10和0.2 ; D. 10和0.8 2、一袋子里装有大小相同的 3 个红球和两个黄球,从中同时取出 2 个,则其中含红球个数的数学期望是 3、同时抛掷 5 枚质地均匀的硬币,出现正面向上得硬币数 X 的均值为 4、已知离散型随机变量 ? 1 的概率分布为

(用数字作答)

?1
P

1

2

3

4

5

6

7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

离散型随机变量 ? 2 的概率分布为

?2
P

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

1 7

1 7
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1 7

1 7

1 7

1 7

1 7

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

5、甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数 8,9, 10 的概率分别为 0.4,0.2,0.24 用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平
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6、现要发行 10000 张彩票,其中中奖金额为 2 元的彩票 1000 张,10 元的彩票 300 张,50 元的彩票 100 张,100 元的彩票 50 张。1000 元的彩票 5 张。问 1 张彩票可能中奖金额的均值是多少元?

7、一盒中装有零件 12 个,其中有 9 个正品,3 个次品,从中任取一个,如果每次取出次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正 品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望. 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别
5

占总数的.

1 1 1 、 、 ,现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 (I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; 2 3 6

(II)记 ? 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求 ? 的分布列及数学期望。

【作业】P69

A. 1. 2. 4

6



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