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【数学】1.6 微积分基本定理 课件(人教A版选修2-2)



第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理

从前面的学习中可以发现, 虽然被积函数
1 0

?x ? ? x 3 f

非常简单, 但直接用定积分的定义计算? x 3 dx的值 却比较麻烦.对于有些定积 请你尝试利用定积分 2 1 21 几乎不可能 定义计算 dx. ?1 x 分, 例如? dx, 1

x 直接用定义计算.那么, 有没有更 加简便、有效的 方法求定积分呢? 另外 , 我们已经学习了微积分 学 中两个最基本和最重要 的概念 导数和定积分 , 这两个概念之间有没有 内在的联系呢? 我们能否 利用这种联系求定积分 ? 呢 我们先来探究一下导数 和定积分的联系 .

S

B
hn
s ? s?t ?

ΔS n

S
hi hi
ΔSi

A

h1
t1 t i?1

h1

Δ S1
b?t n ?

o

a?t 0 ?

???

t i ? ? ? t n?1

时刻t的速度v ?t ? ? s' ?t ?设这个物体在时间段?a, b? 内的位移为S, 你能分别用s?t ?、v ?t ?表示S吗?

探究 如图 .6 ? 1 一个作变速直线运动的 1 , 物体的 运动规律是s ? s?t ? .由导数的概念可知它在任意 ,

图1.6 ? 1

t

显然, 物体的位移S是函数s ? s?t ?在t ? b处与t ? a ① 处的函数值之差, 即S ? s?b ? ? s?a ?.

另一方面, 我们还可以利用定积分由v?t ?来求位移S. ,

用分点a ? t 0 ? t1 ? ? ? ? ? t i?1 ? t i ? ? ? ?t n ? b将区间 ?a,b?等分成n个小区间 : ?t 0 , t1 ?,?t1, t 2 ?,? ? ??t i?1, t i ?,? ? ??t n?1, t n ?, b?a 每个小区间的长度均为Δt ? t i ? t i?1 ? . n

当?t很小时, 在 ?ti ?1 , ti ? 上, v ? t ?的变化很小, 可以认为物 体近似地以速度v ? ti ?1 ? 作匀速运动, 物体所作的位移


b?a ' ?Si ? hi ? v ? ti ?1 ? ?t ? s ? ti ?1 ? ?t ? s ? ti ?1 ? . n
'

的斜率等于s ?t i?1 ?,于是 ΔSi ? hi ? tan ?DPC ? Δt
'

从几何意义上看 ? 图1.6 ? 2?, 设曲线s ? s?t ?上与t i?1对应的 点为P,PD是P点处的切线,由 导数的几何意义知 , 切线 PD

s
s ? s?t ? s?t i ?

D
ΔSi

s?t i?1 ?

P
Δt
t i?1

hi

C
ti

? s' ?t i?1 ? ? Δt .

o

t

图1.6 ? 2

结合图1.6 ? 1 可得物体总位移 , S ? ? ΔSi ? ? hi ? ? v ?t i?1 ?Δt ? ? s ?t i?1 ?Δt.
n n

n

n

'

i?1

i?1

i?1

i?1

显然,n越大,即Δt越小,区间?a,b?的分划就越细 ,

? V ?t ?Δt ? ? s ?t ?Δt与S的近似程度就越好.
i?1 ' i?1 i?1 i?1

n

n

b?a 由定积分的定义有 S ? lim ? v ?t i?1 ? n? ? n i?1
n

b b b?a ' ? lim ? s ?t i?1 ? ? ? v?t ?dt ? ? s' ?t ?dt. a a n?? n i?1
n

结合① 有S ? ? v?t ?dt ? ? s' ?t ?dt ? s?b? ? s?a?.
b b a a

上式表明, 如果作变速直线运动的物体的运动规 律是s ? s ? t ? , 那么v ? t ? ? s ' ? t ? 在区间? a, b ? 上的定积 分就是物体的位移s ? b ? ? s ? a ? .

一般地, 如果f ?x ?是区间?a, b?上的连续函数,并且F' ?x ? ? f ?x ?, 那么? f ?x ?dx ? F?b? ? F?a?.这个结论叫做 微积
b a

分基本定理( fundamenta l theorem of calculus), 又叫做牛顿 莱布尼兹公式( Newton Leibniz

Formula ).
为了方便, 我们常常把F?b? ? F?a?记成F?x ? | ,即
b a

? f ?x ?dx ? F?x ? | ? F?b? ? F?a?.
b a b a

是找到满足F' ?x ? ? f ?x ?的函数F?x ?.通常, 我们可以 运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算 法则从反方向求出F?x ?.

微积分基本定理表明, 计算定积分 ? f ?x ?dx的关键
b a

例1 计算下列定积分: ?1? ?
'

2

1

1 dx ; x

1? ? ?2? ?1 ? 2x ? 2 ?dx . x ? ?
3

21 1 2 解 ?1?因为?ln x ? ? , 所以? dx ? ln x |1 1 x x ? ln 2 ? ln 1 ? ln 2.

?2?因为?x ?
3

2 '

1 ? 1? ? 2x, ? ? ? ? 2 , x ?x?
3 3
3 1

'

1? 1 1 ? 2 3 ?1 ? 2x ? x 2 ?dx ? ?1 2xdx ? ?1 x 2 dx ? x |1 ? x ? ? ? 1 ? 22 ? ?9 ? 1? ? ? ? 1? ? . ?3 ? 3

例2

计算下列定积分:
2π 2π π 0

?

π

0

sin xdx, ? sin xdx, ? sin xdx .
' π 0

π 解 因为?? cos x ? ? sin x, ? sin xdx ? ?? cos x ? |0

? ?? cos π? ? ?? cos 0? ? 2;

? ?



? ?? cos 2π? ? ?? cos π? ? ?2;
2π 0

π

sin xdx ? ?? cos x ? | sin xdx ? ?? cos x ? |

2π π

? ?? cos 2π? ? ?? cos 0? ? 0.

2π 0

y
1
y ? sin x

y 1

y ? sin x

o ?1

π



x

o ?1

π



x

图1.6 ? 3

图1.6 ? 4

可以发现 定积分的值可能取正值 , 也可能取负值 还可能是0 : ?1?当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1.6 ? 3), 定积分的值取正值且等于曲边梯形的面积 , ; ?2?当对应的曲边梯形位于 轴下方时(图1.6 ? 4), x 定积分的值取负值 且等于曲边梯形的面积 , 的相 反数.

?3?当位于x 轴上方的曲边

y
1

梯形的面积等于位于 轴 x 2π o π x 下方的曲边 梯 形面 积 时, ? 1 图1.6 ? 5 定积分的值为 (图1.6 ? 5), 0 且等于位于x 轴上方的曲 边梯形的面积减去位于 轴下方的曲边梯形面积 x . 微积分基本定理揭示了 导数 和定 积分之间的内 在联系,同时它也提供了计算定 积分的一种方法 . 微积分基本定理是微积 分学中最重要的定理它 , 使微积分学蓬勃发展起 , 成为一门影响深远的 来 科学, 可以毫无夸张地说微积分基本定理是微积 , 分中最重要、最辉煌的 成果.

y ? sin x



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