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三角函数与平面向量(大卷)参考答案



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专题 3-4 三角函数、平面向量
(文科答案) 1. B 【解析】试题分析:根据扇形面积公式 S ? 2.

1 2 ?r ,可得 ? ? 2 . 2

B 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 两 角 和 与 差 的 余 弦 公 式 得

r />cos

?
12

cos

?
6

? sin

?
12

sin

?

? 2 ?? ?? ? cos? ? ? ? cos ? 6 4 2 ? 12 6 ?

3.D【解析】试题分析:首先根据等差中项与等比中项的定义算出 AB, BC 的长度,然 后再根据三角形的正弦定理求出角 B 的大小,最后再由三角形的面积公式即可求出答 案 . 由 条 件 AB ? 3, BC ? 1 , 由

3 1 3 ? , 得 sin C ? . ? C ? 60 或 ? ? sin C sin 30 2 1 3 3 3 或 .故选 D. AB ? BC ? sin B ? sin B ? 2 2 2 4

120? .? B ? 90? 或 30? ,? S?ABC ?

4. B 【解析】 试题分析: 本题已知两向量平行, 求其中参数的值. 由题得 a ? ?b ? ?1 ? ? ,2? ,

?

?

( 1 ? ?) ? 4 ? 2 ? 3 ,解得 ? ? 与向量 c 平行,所以

?

1 ,故选 B. 2

5.B【解析】试题分析:本题考查三角恒等变换和图象平移等基础知识.首先化简 f ( x )



? ?? ? 个 单 位 后 得 到 的 函 数 是 f ?x ? ? 2 sin? ?x ? ? , 向 右 平 移 3 6? ?

? ? ?? ?? y ? 2sin ?? ? x ? ? ? ? ,又所得函数的图象关于 y 轴对称,所以当 x ? 0 时,函数取 3 ? 6? ? ?
得最值,所以 -

?
3

?? ?

?
6

?

?
2

? k? , k ? Z ,那么 ? ? -1 - 3k , k ? Z ,所以 k ? ?3 时,

? ? 8 .故选 B.

考点:三角恒等变换,函数图象变换. 6 . B【解析】试题分析:由题意得, tan ? , tan ? 是方程 x ? 3 3x ? 4 ? 0 两根,所以
2

tan ? ? tan ? ? ?3 3 , tan ? tan ? ? 4 ,则 tan(? ? ? ) ?
答案第 1 页,总 8 页

tan ? ? tan ? ? 3 ,又因 1 ? tan ? tan ?

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为 ? , ? ? (?

? ?

2? , ) ,所以 ? ? ? ? (?? , ? ) ,所以 ? ? ? ? ? ,故选 B. 3 2 2

7 . B 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 意 得 f ( x) 图 象 上 相 邻 两 个 零 点 间 的 距 离 为

? ? ? ? ? 2 ,所以 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) ,令 2 x ? ? ? k? (k ? Z ) , 2 ? 4 4 2 3? k? ? ? (k ? Z ) ,令 k ? ?1 ,得 x ? ? .故 B 项正确. 解得 x ? 8 2 8 ?T ?
8 . B 【解析】由图象知, f(x) = sin ? 2 x ?

?

2?

?

?

?

? ?

??

? , g(x) =- cos 2x ,代入 B 选项得 3?

sin ? 2 ? x ?

? ? ? ?

5? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? =sin ? 2 x ? ? =-sin ? ? 2 x ? =-cos 2x. 2? 12 ? 3 ? ? ?2 ?

9.B【解析】试题分析:利用向量共线定理可得 x+3y=2.再利用“乘 1 法”与基本不等 式的性质即可得出. 解:∵ = x=3y=1 时取等号.∴ ∥ , ∴ 2 ( x ﹣ 2 ) ﹣ ( ﹣ 6y ) =0 , 化 为 x+3y=2 . 又 x , y ∈ R , ∴ = 的最小值等于 6. =6 , 当 且 仅 当
+

10. C【解析】试题分析: f ? x ? ? 3 sin ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 令 2x ? ? ?

? ?

??

?. 6?

?
6

?

?
2

? k? , ? k ? Z ? ,得此函数图像的对称轴为 x ? ?

?
2

?

?
6

?

x?0

时 ,

??

?
3

? k? , ? k ? Z ? . 因 为

? ?

?
2

k? , k ? Z ,当 2

, 所 以

??

?

3

. 则

2? ? ?? ? ? ? ? .当 0 ? x ? 时, 0 ? 2 x ? ? .由余弦 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? 2cos 2 x . T ? 2 2 3 6? ?
函数图像可知函数 f ? x ? 在在 (0,

?
2

) 上单调递减.综上可得 C 正确. 4 11? ? ?( ? ) ? ? , ? ? 2, , 所 以 3 12 6

11 . D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 已 知 , A ? 2, T ?

f ( x)=2sin(2 x+? ) ,
答案第 2 页,总 8 页

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将(

?

, 2) 代人得, 2sin(2 ? +? ) ? 2,sin( +? ) ? 1 ,所以, +? ? , ? ? , 6 6 3 3 2 6

?

?

?

?

?

f ( x)=2sin(2 x+ ), f ( )=2sin(2 ? + ) ? 2 cos ? 3 ,故选 D . 6 4 4 6 6
12 . C 【 解 析 】 试 题 分 析 : 设 x ?? ?1,1? , 则 x+4 ??3,5? , 所 以

?

?

?

?

?

f ? x ? 4? ? 2 ? x ? 4 ? 4 ? 2 ? x
又 f ? x ? 2? ? f ? x ? ,所以 f ? x ? ? f ? x ? 4? ? 2 ? x 其图象如下图所示

因为 0 ? sin

?
6

?

1 ? 3 ?? ? ?? ? ? cos ? ? 1 ,所以 f ? sin ? ? f ? cos ? ,A 选项不正确. 2 6 2 6? 6? ? ? 2 ? cos1 ? sin1 ? 1 ,所以 f ?sin1? ? f ? cos1? ,B 选项不正确; 2


因为

?
4

?1?

?
2

,?





sin

2? 3 2? 1 ? , cos ?? 3 2 3 2

? 3? ? 1? ?1? f ?? ? ? f ? ? ? f ? ? 2 ? ? ? 2? ?2? ? ?





2? ? f ? sin 3 ?

2? ? ? ? ? f ? cos 3 ? ?

? ? ,C 选项正确; ? ? ?

因为 sin 2 ? sin ?? ? 2 ? , cos 2 ? ? sin ? 2 ?

??

? ? ?, 0 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 2?

所以 0 ? sin ? 2 ?

? ?

??

? ? sin 2 ? sin ?? ? 2 ? ? 1 , 2?
答案第 3 页,总 8 页

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? ? ? ?? f ? cos 2 ? ? f ? ? sin ? 2 ? ? ? ? 2 ?? ? ?
选项不正确;故选 C

? ? ? ?? f ? sin ? 2 ? ? ? ? f ?sin ?? ? 2 ? ? ? f ?sin 2 ? 所以, D 2 ?? ? ?
??? ? ? 1 ??? BA .故选 A. 2

13. 【解析】试题分析: CD ? CB ? BD ? ? BC ?

??? ?

??? ? ??? ?

? ? a ? b 2 ? (?4) ? 3 ? 7 14. 13 【解析】试题分析: ? ? ? 13 a 22 ? 32
15

? 3

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 (1 ? 3 tan ? )(1 ? 3 tan ? ) ? 4



1 ? 3(tan ? ? tan ? ) ? 3tan ? tan ? ? 4 ,所以 tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? 3 ,又 1 ? tan ? tan ?

? , ? 都是锐角,所以 ? ? ? ?
16 .

?
3



7? ? ? 1 【 解 析 】 原 方 程 可 变 形 为 2sin( x ? ) ? 1 , 即 sin( x ? ) ? , 3 3 3 2 ? 11? ? ? x ? ? k? ? (?1) k ? , k ? Z , 由 于 x ? [0, 2? ] , 所 以 x1 ? , x2 ? ,所以 2 6 3 6 7? x1 ? x2 ? . 3 1 ? 17. (1) B ? ; (2) ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值为 (2 ? 3) . 4 6
试题解析: (1)由向量 m, n 共线有: 2sin( A ? C ) ? 2cos 2 即 tan 2B ? 3 ,又 0 ? B ? 则 2B =
? ?

? ?

B ? ? 1? ? 3 cos 2 B, 2 ?

?
2

,∴ 0 ? 2 B ? ? ,

? ? ,即 B ? 3 6
2 2

(2)由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B,
2

则 1 ? a2 ? c2 ? 3ac ? (2 ? 3)ac , ∴ ac ? 2 ? 3, 当且仅当 a ? c 时等号成立 ∴ S ?ABC ?

1 1 ac sin B ? (2 ? 3) . 2 4
答案第 4 页,总 8 页

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考点:向量共线的充要条件、倍角公式、余弦定理、均值不等. 18. (1) ? ; (2) ? 3? ?0 , ?. 试题解析: (1) f ( x) ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x ? cos x
=1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x
? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

所以,周期 T ? ? . ? ? (2) ∵ , ∴
x ? [? 6 , 4 ]

2x ?

?
6

? [?

?
6

,

? 1 2 3? ? ]. sin(2 x ? ) ? [? , 1] ∴ f ( x) 的值域为 ? ?0 , ? 6 2 3

19. (1) C ?

?
3

; (2)最大值为 1,此时 A ?

?
3

,B ?

?
3



试题解析: (1)由 c sin A ? 3a cos C 结合正弦定理得,

a c c , ? ? sin A 3 cos C sin C

从而 sin C ? 3 cos C , tan C ? 3 , ∵ 0 ? C ? ? ,∴ C ? (2)由(1)知 B ?

?
3



2? ? A, 3

∴ 3 sin A ? sin( B ?

?

? 3 sin A ? cos(

2? ? A) 3 2? 2? ? 3 sin A ? cos cos A ? sin sin A 3 3

2

) ? 3 sin A ? cos B

?

3 1 ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) , 2 2 6
2? ? ? 5? ,∴ ? A ? ? , 3 6 6 6

∵0 ? A ? 当 A?

?
6

?

?

此时 A ?

?

2

时, 3 sin A ? sin( B ?

?
2

) 取得最大值,

3 3 1 ? 3? ? k? ](k ? Z ) ; 20. (1) [ ? k? , (2) . 3 4 4
答案第 5 页,总 8 页

,B ?

?



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1



f ( x) ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x cos ? sin 2 x sin ? 3 3 3
. 当

?

?

?

1 ? cos 2 x 1 3 ? ? sin 2 x 2 2 2

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

3? ? 3? ? 2 k? , ? k? ] (k ? Z ) 时 sin 2 x 递减,f ( x) 递 即 x ? [ ? k? , 2 4 4

增. 所以,函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [

?
4

? k? ,

3? ? k? ](k ? Z ) . 4

(2) 由 f( ∵0 ?? ?

?
4

?

?
2

)?

1 7 1 3 ? ?? 1 7 3 ,f ( , 得 cos ? ? ? ,sin(? ? ? ) ? , ? )? ? 3 9 2 6 2 2 18

?

? 3? ? ? ? ? ,则 ? ? ? ? ( , ) , 2 2 2
2

∴ sin ? ? 1 ? cos

? ? 1 ? (? ) 2 ?

1 3

2 2 . 3

7 4 2 . cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? 1 ? ( )2 ? ? 9 9
7 1 4 2 2 2 1 sin ? ? sin(? ? ? ? ? ) ? sin(? ? ? ) cos ? ? cos(? ? ? )sin ? ? ? (? ) ? (? )? ? 9 3 9 3 3
21. (1) ? ? 1 ; (2) ?

? 5? 11? ? . , ? 12 12 ? ?
2? ) cos ? x 3
1分

试题解析: (1) f ( x) ? 4sin(? x ?

? 1 3? ? 4 ?sin ? x ? (? ) ? cos ? x ? ? cos ? x 2 2 ? ?

? 2 3 cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x

? ? 3(1 ? cos 2? x) ? sin 2? x ? 2 cos(2? x ? ) ? 3 6 2? ? ? ,? ? 1 由题意, T ? ? ,? 2?
答案第 6 页,总 8 页

5分 6分

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(2) f ( x) ? 2 cos(2 x ? 由 x ? [0, ? ] 得 2 x ? 故 2x ?

?
6

)? 3,

?

?
6

? 13? ?[ , ] 6 6 6
9分

? ?? , 2? ? 时, f ( x) 单调递增

即 f ( x ) 的单调增区间为 ?

? 5? 11? ? , ? 12 12 ? ?

12 分.

考点:1.向量的数量积;2.三角恒等变换;3.三角函数的单调性. 22.(1)

?2 6 ? x2 y 2 ? ? 1 (2) 直线 AB 经过定点 ? ? 3 ,0? ? 8 4 ? ?

试题解析: 解:(1)由题意得

c 2 ① ? a 2

因为椭圆经过点 M 又a ?b ?c ③
2 2 2

?

6,1 ,所以

?

6 1 ? ?1② a 2 b2

由①②③解得 a2 ? 8, b2 ? c2 ? 4.

所以椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

4分

(2)解:①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线的方程为 y ? kx ? m,

代入

x2 y 2 ? ? 1 ,消去 y 整理得 ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 4kmx ? 2m 2 ? 8 ? 0 8 4

6分

2 2 由 ? ? 0 得 8k ? 4 ? m ? 0 (*)

设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ? 所以, PA ? PB ? x1 6

4km 2m 2 ? 8 , x ? x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

??? ? ??? ?

?

?? x

2

? 6 ? y1 y2 ? x1 6

?

?

?? x

2

? 6 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ?

?

答案第 7 页,总 8 页

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= k 2 ? 1 x1 x2 ? km ? 6 得 k 2 ? 1 x1 x2 ? km ?

?

?

?

?

?

?

? ? x ? x ? ? 6 ? m ? ?2 6 ?? x ? x ? ? 8 ? m ? 0
2 1 2 2 1 2

8分

? k 2 ? 1? ?
整理得

2m 2 ? 8 ?4km ? km ? 6 ? 2 ? 8 ? m2 ? 0 2 2k ? 1 2k ? 1

?

?

?

3m ? 2 2k

?

2

?0

从而 m ? ?

2 6 k 且满足(*) 3
? ? ? 2 6? ? 3 ? ?
10 分

所以直线 AB 的方程为 y ? k ? x ?

故直线 AB 经过定点 ?

?2 6 ? ? 3 ,0? ? ? ?

2分

②当直线 AB 与 x 轴垂直时,若直线为 x ?

2 6 ,此时点 A 、 B 的坐标分别为 3
12 分

??? ? ??? ? ?2 6 2 6? ?2 6 2 6? , , ? 、? ,亦有 PA ? PB ? ?2 ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? ? ? ? ?
综上,直线 AB 经过定点 ?

?2 6 ? ? 3 ,0? ?. ? ?

13 分

考点:1、椭圆的标准方程;2、向量的数量积;3、直线与椭圆的位置关系.

答案第 8 页,总 8 页



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