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【优化课堂】2012高中数学 第二章 2.4.2 抛物线的简单几何性质课件 新人教A版选修2-1



2.4.2 抛物线的简单几何性质

1.理解抛物线的几何性质(包括范围、对称性、顶点和离 心率).

2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论,在此
基础上,列表、描点和画抛物线图形.

1.抛物线的几何性质. y2=2px y2=-2px 标准方程 (p>0) (p>0) 图形


x2=2py (p>0)

x2=-2py (p>0)

几 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 何 对称性 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 性 顶点 坐标原点 O(0,0) 质 离心率 e=1
焦点到准线的距离 其中 p 的几何意义是____________________.

2.焦半径公式. 设抛物线上一点 P 的坐标为(x0,y0),焦点为 F. (1)抛物线 y (2)抛物线 y (3)抛物线
2

p ? p? x0+2 =2px(p>0), |PF|=?x0+2?=________________. ? ? p ? p? -x0+2 =-2px(p>0), |PF|=?x0-2?=______________. ? ?

2

p ? p? y0+2 x2=2py(p>0),|PF|=?y0+2?=_______________. ? ?
2

(4)抛物线 x

p ? p? -y0+2 =-2py(p>0), |PF|=?y0-2?=______________. ? ?

【要点】有人说抛物线类似于双曲线的一支,是这样吗? 抛物线与椭圆、双曲线有什么不同? 【剖析】不能把抛物线看作双曲线的一支,双曲线有渐近

线,而抛物线没有.直线与抛物线相交时,只要直线不平行于
抛物线的对称轴就一定有两个交点;而对于直线与双曲线的一

支相交来说,则要看直线与渐近线相交的情况才能确定交点个
数.当抛物线上的点趋向于无穷远时,过抛物线上的点的切线 接近平行于抛物线的轴,即曲线接近于和轴平行,而双曲线上 的点趋于无穷时,它的切线的斜率接近于渐近线的斜率.

抛物线的性质和椭圆、双曲线比较起来,差别较大.它的 离心率等于 1;它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一 条准线,它无中心,也没有渐近线.

题型1 焦点弦问题 例1:已知直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点且与抛物线 相交,其中一点为(2p,2p),求其焦点弦的长度. 思维突破:①联立直线与抛物线方程,由根与系数关系求 得 x1+x2;②利用焦点弦公式.

自主解答:∵直线 l 4? p? ∴l:y=3?x-2?. ? ?

?p ? 过?2,0?和(2p,2p), ? ?

?y2=2px, ? 联立方程? 4? p? ?y=3?x-2?, ? ? ? 得 16x2-34px+4p2=0. 34p 由根与系数关系,得 x1+x2= 16 , 25p 所以焦点弦的长度为 x1+x2+p= 8 .

【变式与拓展】
1 2 1. 过抛物线 y=4x 焦点的直线与此抛物线交于 A, 两点, B A,B 中点的纵坐标为 2,则弦 AB 的长度为________. 6

题型2 抛物线的对称性 例2:正三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛 物线 y2=4x 上,求这个正三角形的边长.
?m2 ? 思 维 突 破 : 设 另 外 两 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 ? 4 ,m? , ? ? ?m2 ? ? ,-m?,由图形的对称性可以得到方程 ?4 ?

m tan30° m2,解此方 = 4

程得到 m 的值.

自主解答:由题意,依据抛物线的对称性,及正三角形的 一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线 y2=4x 上,可设另
?m2 ? ?m2 ? 外两个顶点的坐标分别为? 4 ,m?,? 4 ,-m? ? ? ? ?

3 m ∴tan30° 3 =m2,解得 m=4 = 4

3.

故这个正三角形形的边长为 2m=8

3.

【变式与拓展】

2.己知等边三角形的一个顶点是抛物线 y2=x 的焦点,另外

两个顶点在抛物线上,则这个等边三角形的边长为____________. 2- 3或 2+ 3 解析:利用抛物线的对称性,分两种情况讨论.

题型3 由几何性质求抛物线方程 例3:已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为 x 轴,且

与圆 x2+y2=4 相交的公共弦长等于 2

3,求抛物线的方程.

思维突破:圆和抛物线都关于 x 轴对称,所以它们的交点

也关于 x 轴对称,即公共弦被 x 轴垂直平分,于是由弦长可知
交点纵坐标.

自主解答: 设所求抛物线方程为 y2=2px 或 y2=-2px(p>0), 设交点为 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0), 则|y1|+|y2|=2 3,即 y1-y2=2 3.

由对称性知 y2=-y1,代入上式,得 y1= 3. 把 y1= 3代入 x2+y2=4,得 x=± 1. ∴点(1, 3), (-1, 3)分别在抛物线 y2=2px 或 y2=-2px 3 上.∴3=2p 或 3=-2p×(-1).∴p=2. 故所求抛物线的方程为 y2=3x 或 y2=-3x.

【变式与拓展】 3.已知抛物线的焦点在 x 轴上,直线 y=2x-4 被抛物线 y2=4x 截得的线段长为 3 5,则抛物线的标准方程是______________ 或y2=-36x ________________.



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