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北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》全部教案



第三章 §3.1.1

圆锥曲线与方程

椭圆及其标准方程(一)

一、教学目标:1、知识目标:掌握椭圆的定义及其标准方程,能正确推导椭圆的标准方程.2、 能力目标:培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力;培养学生 运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力.3、情感目标:激发学生学习数学的

兴趣、 提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索,敢于创新的精神. 二、教学重点:椭圆的定义和椭圆的标准方程. 教学难点:椭圆标准方程的推导. 三、教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察 →归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力. 四、教学过程: (一) 、复习引入: 1. 1997 年初, 中国科学院紫金山天文台发布了一条消息, 从 1997 年 2 月中旬起,海尔?波普彗星将逐渐接近地球,过 4 月以后,又将渐
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彗星 太阳

渐离去,并预测 3000 年后,它还将光临地球上空 1997 年 2 月至 3 月间,许多人目睹了这一天文现 象 天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢?原来,海尔?波普彗星运行的轨道是一个椭
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圆,通过观察它运行中的一些有关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行周期 及轨道的的周长
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(说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用,指出研究椭圆的重要性和必要性, 从而导入本节课的主题) 2.复习求轨迹方程的基本步骤: 3.手工操作演示椭圆的形成:取一条定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的 F1 , F2 两点, 当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉近,使笔尖在图板上慢慢移动,就可以画出一个椭 圆
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分析: (1)轨迹上的点是怎么来的?(2)在这个运动过程中,什么是不变的? 答:两个定点,绳长 即不论运动到何处,绳长不变(即轨迹上与两个定点距离之和不变)
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(二) 、探究新课: 1 椭圆定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数 (大于 | F1 F2 | ) 的点的轨迹叫作椭圆,
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这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

P
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F1

F2

1

注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方: (1)两个定点---两点间距离确定 (2)绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定
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思考:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁( ? 线段)
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在同样的绳长下,两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆( ? 圆) 由此,椭圆的形状与两定 点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 2.根据定义推导椭圆标准方程: 取过焦点 F1 , F2 的直线为 x 轴,线段 F1 F2 的垂直平分线为 y 轴 设 P( x, y ) 为椭圆上的任意一点,
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椭圆的焦距是 2c ( c ? 0 ).则 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,又设 M 与 F1 , F2 距离之和等于 2a ( 2a ? 2c ) (常数)? P ? P PF1 ? PF2 ? 2a

?

?
y
P F1 O F2

又 ? PF1 ? ( x ? c) ? y ,
2 2

? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ,
化简,得

x

(a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 ) ,
2 2 2 2 2

由定义 2a ? 2c ,? a ? c ? 0 令? a ? c ? b 代入,得
2 2

b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,

两边同除 a b 得

x2 y2 此即为椭圆的标准方程 它所表示的椭圆的焦点在 x 轴上, 焦 ? ? 1, a2 b2
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点是 F1 (?c,0) F2 (c,0) ,中心在坐标原点的椭圆方程

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其中 a ? c ? b
2 2
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2
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注意若坐标系的选取不同,可得到椭圆的不同的方程

如果椭圆的焦点在 y 轴上(选取方式不同,调换 x, y 轴)焦点则

y
P F2 O F1

x2 y2 变成 F1 (0,?c), F2 (0, c) ,只要将方程 2 ? 2 ? 1 中的 x, y 调换, 即 a b y2 x2 可得 2 ? 2 ? 1 ,也是椭圆的标准方程 a b

x

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理解:所谓椭圆标准方程,一定指的是焦点在坐标轴上,且两焦点的中点为坐标原点;在

x2 y2 y2 x2 ? ?1 与 2 ? 2 ?1 这 两 个 标 准 方 程 中 , 都 有 a ? b ? 0 的 要 求 , 如 方 程 a2 b2 a b
x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 就不能肯定焦点在哪个轴上;分清两种形式的标准方程,可与 m n
2

直线截距式

x2 y2 x y 类比,如 ? ? 1 中,由于 a ? b ,所以在 x 轴上的“截距”更大,因 ? ?1 a b a2 b2
2 2
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而焦点在 x 轴上(即看 x , y 分母的大小) (三) 、探析例题:

例 1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程:⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、 (4,0) ,椭圆上一 点 P 到两焦点的距离之和等于 10;⑵两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过( ?

3 5 , ) 2 2

解: (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

? 2a ? 10,2c ? 8 ? a ? 5, c ? 4 ?b ? a ? c ? 5 ? 4 ? 9
2 2 2 2 2

所以所求椭圆标准方程为

x2 y2 ? ?1 25 9

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因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? b ? 0)

由椭圆的定义知, 2a ?

3 5 3 5 3 1 (? ) 2 ? ( ? 2) 2 + (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? 10 ? 10 ? 2 10 2 2 2 2 2 2
2 2 2

? a ? 10

又 c ? 2 ? b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 所以所求标准方程为

y2 x2 ? ?1 10 6

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另法:∵ b ? a ? c ? a ? 4 ∴可设所求方程
2 2 2 2

y2 x2 3 5 ? ? 1 ,后将点( ? , )的坐标 2 2 2 2 a a ?4

代入可求出 a ,从而求出椭圆方程
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点评:题(1)根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、 (0,4)其结果如何; 题(2)由学生的思考与练习,总结有两种求法:其一由定义求出长轴与短轴长,根据条件写出 方程;其二是由已知焦距,求出长轴与短轴的关系,设出椭圆方程,由点在椭圆上的条件,用待 定系数的办法得出方程 (四) 、课堂练习:
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x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到另一个焦点的距离为( 1 椭圆 25 9
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? A.5

? B.6

? C.4

? D.10

3

2.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是( 25 169

) D.(±12,0) )

? A.(±5,0)? 3.已知椭圆的方程为 ? A.2 8 ? m ?
2

B.(0,±5) ? C.(0,±12)?

x2 y2 ? ? 1 ,焦点在 x 轴上,则其焦距为( 8 m2
B.2 2 2 ? m D. 2 m ? 2 2
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? C.2 m ? 8 ?
2

4. a ? 6, c ? 1 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是

5.方程

x2 ? 3

y2 sin(2? ?

?
4

? 1 表示椭圆,则 ? 的取值范围是( )



3? 8 8 ? 3? ? C.? ? ? ? ? 8 8
?A.? ?

?

?? ?

3? (k ∈Z) 8 8 ? 3? D. 2k? ? ? ? ? 2k? ? (k ∈Z) 8 8
B.? k? ?

?

? ? ? k? ?

参考答案:1.A ? 2.C ? 3.A ? 4.

y2 x2 ? ? 1 5. B ? 36 35
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(五) 、小结 :本节课学习了椭圆的定义及标准方程 , 应注意以下几点 : ①椭圆的定义中 ,

2a ? 2c ? 0 ; ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看 x , y 的分母大小来确定; ③ a 、 b 、 c 的几
何意义
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(六) 、课后作业:1.判断下列方程是否表上椭圆,若是,求出 a, b, c 的值

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x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ;② ? ? 1 ;③ ? ? 1 ;④ 4 y 2 ? 9 x 2 ? 36 2 2 4 2 4 2

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答案:①表示园;②是椭圆 a ? 2, b ?

2 2 2 , c ? 2 ;③不是椭圆(是双曲线) ;④ 4 y ? 9 x ? 36

可以表示为

x2 y2 ? ? 1 ,是椭圆, a ? 3, b ? 2, c ? 5 2 2 32
,焦点坐标为

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x2 y2 ? ? 1 的焦距是 2 椭圆 16 9
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;若 CD 为过左焦点 F1 的弦,则

?F2 CD 的周长为

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答案: 2c ? 2 7 ; F1 (? 7 ,0), F2 ( 7 ,0);4a ? 16
4

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3. 方程 4 x ? ky ? 1 的曲线是焦点在 y 上的椭圆 ,求 k 的取值范围
2 2
2 2 4 化简方程: x ? ( y ? 3) ?
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答案: 0 ? k ? 4

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x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10

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答案:

x2 y2 ? ?1 16 25

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5 椭圆
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x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,则点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 100 36
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答案:4
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6 动点 P 到两定点 F1 (-4,0), F2 (4,0)的距离的和是 8,则动点 P 的轨迹为 _______ 答案:是线段 F1 F2 ,即 y ? 0(?4 ? x ? 4) 五、教后反思:
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5

§3.1.1

椭圆及其标准方程(二)

一、教学目标:熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点:两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习: 1、椭圆定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2、椭圆的标准方程 (二) 、引入新课 例 1、已知 B、C 是两个定点,∣BC∣=6,且△ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程. 分析:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系,而选择坐标系的 原则,通常欲使得到的曲线方程形式简单. 在右图中,由△ABC 的周长等于 16,∣BC∣=6 可知,点 A 到 B、C 两点的 距离之和是常数,即 ∣AB∣+∣AC∣=16-6=10,因此,点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点的椭 圆,据此可建立坐标系并画出草图(如图) 解:如右图,建立坐标系,使 x 轴经过点 B、C,原点 O 与 BC 的中点重合. 由已知∣AB∣+∣AC∣+∣BC∣=16,∣BC∣=6,有∣AB∣+∣AC∣=10,即点 A 的轨迹是椭圆, 且 2c=6, 2a=16-6=10 ∴c=3, a=5, b =5 -3 =16 但当点 A 在直线 BC 上,即 y=0 时,A、B、C 三点不能构成三角形,所以点 A 的轨迹方程是
2 2 2
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x2 y2 ? ? 1( y ? 0) 25 16
说明:①求出曲线后,要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意,如果有不符合题意的 点,应在所得方程后注明限制条件;②例 1 要求学生对椭圆的定义比较熟悉,这样可以在求曲线 轨迹方程时,简化求解步骤,快速准确得到所求的轨迹方程,并且在课堂练习中对这点予以强调. 例 2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
6

(1)两个焦点坐标分别是(-3,0),(3,0),椭圆经过点(5,0). (2)两个焦点坐标分别是(0,5),(0,-5),椭圆上一点 P 到两焦点的距离和为 26. 解:(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
∵ 2a ?

(5 ? 3) 2 ? 0 ? (5 ? 3) 2 ? 0 ? 10 ,2c=6.

∴ a ? 5, c ? 3 ∴ b ? a ? c ? 5 ? 3 ? 16
2 2 2 2 2

∴所求椭圆的方程为:

x2 y2 ? ? 1. 25 16

(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2
∴ b ? a ? c ? 144 .
2 2 2

∴所求椭圆方程为:

y2 x2 ? ?1 169 144

例 3、 已知椭圆经过两点( ?

3 5 , )与( 3, 5 ) ,求椭圆的标准方程 2 2

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解:设椭圆的标准方程

x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) m n

则有

5 ? 3 2 ( )2 ? (? 2 ) ? 2 ?1 ? ,解得 m ? 6, n ? 10 n ? m 2 2 ? ( 3) ( 5) ? ?1 ? n ? m
x2 y2 ? ?1 6 10
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所以,所求椭圆的标准方程为

例 4、已知 B,C 是两个定点,|BC|=6,且 ?ABC 的周长等于 16,求顶点 A 的轨迹方程

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解:以 BC 所在直线为 x 轴,BC 中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设顶点 A( x, y ) ,根据已知条件得 |AB|+|AC|=10
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再根据椭圆定义得 a ? 5, c ? 3, b ? 4

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7

所以顶点 A 的轨迹方程为

x2 y2 (特别强调检验) ? ? 1 ( y ≠0) 25 16

(三) 、课堂练习:课本 P65 页 1、2、3 补充题:写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答) (1)a=4,b=3,焦点在x轴;(2)a=5,c=2,焦点在y轴上.(答案:

x 2 y2 y2 x 2 ? ? 1; ? ? 1) 16 9 25 21
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(2) 已知三角形Δ ABC的一边?长为6,周长为16,求顶点A的轨迹方程

解:以BC边为x轴,BC线段的中垂线为y轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆,其方程为:

x 2 y2 ? ?1 25 16
若以BC边为y轴,BC线段的中垂线为x轴建立直角坐标系,则A点的轨迹是椭圆, 其方程为:

x 2 y2 ? ?1 16 25

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(四) 、小结:本节课我们学习了椭圆的标准方程的简单应用;①求出曲线后,要注意检查一下 方程的曲线上的点是否都符合题意,如果有不符合题意的点,应在所得方程后注明限制条件;② 例 1 要求学生对椭圆的定义比较熟悉,这样可以在求曲线轨迹方程时,简化求解步骤,快速准确 得到所求的轨迹方程,并且在课堂练习中对这点予以强调.注意待定系数法的运用。 (1)椭圆的定 义及其标准方程; (2)标准方程中 a, b, c 的关系; (3)焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系. (五) 、课后作业:习题 3-1 四、教学反思: A 组中 2、3、4、5

8

§3.1.2

椭圆的简单几何性质(一)

一、 教学目标: (1) 知识与技能: 掌握椭圆的范围、 对称性、 顶点, 掌握 a, b, c 几何意义以及 a, b, c 的相互关系,初步学习利用方程研究曲线性质的方法。 (2)过程与方法:利用曲线的方程来研究 曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次,通过初步尝试,使学生经历知识产生与形成的过 程,不仅注意对研究结果的掌握和应用,更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能 力的培养;以自主探究为主,通过体验数学发现和创造的历程,培养学生观察、分析、逻辑推理、 理性思维的能力。 (3)情感、态度与价值观:通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰 辛,从中体味合作与成功的快乐,由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气;通过多媒体 展示,让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美,培养学生的审美习惯和良好的思 维品质。 二、教学重点、难点:重点:从知识上来讲,要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆 的几何性质;从学生的体验来说,需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现,如思 维角度和思维方法。难点:椭圆几何性质的形成过程,即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象 出椭圆的几何性质。 三、教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察 →归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力. 四、教学过程 (一) 、复习与引入过程:引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本 节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论,研究椭圆的几何性质的理解和应用,而且还注意 对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围;②由方程的 性质得到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短 轴的概念;④通过 P48 的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§2.1.2 椭 圆的简单几何性质. (二) 、新课探析 (1) 、通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究? 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从 范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.

9

( 2) 、椭圆的简单几何性质:①范围:由椭圆的标准方程可得,

y2 x2 ? 1 ? ? 0 ,进一步得: b2 a2

?a ? x ? a ,同理可得: ?b ? y ? b ,即椭圆位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形框图里;
②对称性:由以 ?x 代 x ,以 ? y 代 y 和 ?x 代 x ,且以 ? y 代 y 这三个方面来研究椭圆的标准方 程发生变化没有,从而得到椭圆是以 x 轴和 y 轴为对称轴,原点为对称中心;③顶点:先给出圆 锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭 圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴; ④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e?

c 叫 做 椭 圆 的 离 心 率 ( 0 ? e ?1 ) , a

, b ? 0 ?当e ? 0时,c ? 0,b ? a ?当e ? 1时,c ? a, ;? . ? 椭圆图形越扁 椭圆越接近于圆 ? ?
(3)例题讲解与引申、扩展 例 1、 求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、
2 2

焦点和顶点的坐标. 分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出 a, b, c .引导学生 用椭圆的长轴、 短轴、 离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量. 解法剖析:依题意, m ? 0, m ? 5 ,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当焦点在 x 轴 上,即 0 ? m ? 5 时,有 a ?

5, b ? m , c ? 5 ? m ,∴

5?m 5

?

2 5 ?

,得 m ? 3 ;②当焦点

在 y 轴上,即 m ? 5 时,有 a ?

m , b ? 5, c ? m ? 5 ,∴

m?5 m

10 25 ?m? . 5 3

扩展:已知椭圆 mx ? 5 y ? 5m ? m ? 0 ? 的离心率为 e ?
2 2

10 ,求 m 的值. 5

例 2、 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口 BAC 是椭圆 的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上,由椭圆一个焦点 F1 发出 的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2 .已知 BC ? F1 F2 , F1 B ? 2.8cm ,

F1 F2 ? 4.5cm .建立适当的坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程.

10

解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,算出 a, b, c 的值;此题 a 2 b2

应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于 a, b, c 的近似值,原则上在没有注意精 确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定. 例 3、如图,设 M ? x, y ? 与定点 F ? 4, 0? 的距离和它到直线 l :

x?

25 4 的距离的比是常数 ,求点 M 的轨迹方程. 4 5

分析:若设点 M ? x, y ? ,则 MF ?

? x ? 4?

2

? y 2 ,到直线

l:x ?

25 25 的距离 d ? x ? ,则容易得点 M 的轨迹方程. 4 4

引申: (用《几何画板》探究)若点 M ? x, y ? 与定点 F ? c, 0 ? 的

a2 c 距离和它到定直线 l : x ? 的距离比是常数 e ? ? a ? c ? 0 ? , c a
则点 M 的轨迹方程是椭圆.其中定点 F ? c, 0 ? 是焦点,定直线 l : x ?

a2 相应于 F 的准线;由 c

椭圆的对称性,另一焦点 F ? ? ?c, 0 ? ,相应于 F ? 的准线 l ? : x ? ? (三) 、课堂练习:课本 P68 页中 1、2

a2 . c

(四) 、反思小结: (1) 、利用方程研究椭圆的几何性质时,若椭圆的方程不是标准方程,首先应 将方程画为标准方程,然后找出相应的 a, b, c 。利用椭圆的几何性质,可以简化画图过程,保证 图形的准确性; (2) 、掌握画椭圆草图的基本步骤和注意事项:①以椭圆的长轴、短轴为邻边画 矩形;②由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点;③用曲线将四个顶点连成一个椭圆;④画图时 要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性。 (五) 、课后作业:课本习题 3-1 A 组中 6、7、8 五、教后反思:

11

§3.1.2

椭圆的几何性质(二)

一、教学目标:1.熟悉椭圆的几何性质;2.了解椭圆的简单应用. 二、教学重点:椭圆的几何性质的应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习: 1、椭圆定义、椭圆的标准方程 2、椭圆的几何性质 (二) 、引入新课 1.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个 (0,1) 内常数 e ,那 么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点,定直线叫做准线,常数 e 就是离心率
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2.椭圆的准线方程 对于

x2 y2 a2 , 相对于左焦点 对应着左准线 ; 相对于右焦点 F2 (c,0) 对 ? ? 1 l : x ? ? F ( ? c , 0 ) 1 1 c a2 b2
a2 a2 a2 ? c2 b2 焦点到准线的距离 p ? (焦参数) ?c ? ? c c c c
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应着右准线 l 2 : x ?

注: (1)椭圆的第二定义与第一定义是等价的,它是椭圆两种不同的定义方式

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(2)椭圆的准线方程有两条,这两条准线在椭圆外部,与短轴平行,且关于短轴对称 (三)例题探析 例 1、求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点P(-3,0) 、Q(0,-2) ; (2)长轴的长等于20,离心率等于

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3 . 5

解: (1) 由椭圆的几何性质可知, 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点, 所以点P、Q分别是椭圆长轴和短轴的一个端点,于是得 a=3,b=2. 又因为长轴在 x 轴上,所以椭圆的标准方程为 (2)由已知,2a=20, e ?

x2 y2 ? ? 1. 9 4

c 3 ? , a 5

? a ? 10, c ? 6. ? b 2 ? 10 2 ? 6 2 ? 64.
由于椭圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上,所以所求椭圆的标准方程为

12

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1. 100 64 100 64
说明:此题要求学生熟悉椭圆的几何性质,并注意区分两种椭圆标准方程. 例 2、求下列椭圆的准线方程: (1) x ? 4 y ? 4
2 2

x2 y2 (2) ? ?1 16 81

解析:将方程化为标准方程,利用性质可求解。

x2 y2 例 3、椭圆 ? ? 1 上有一点 P,它到椭圆的左准线距离为 10,求点 P 到椭圆的右焦点的距 100 36

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解析:利用椭圆定义。 例 4、如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地心(地球的中心) F2 为一个焦 点的椭圆。已知它的近地点 A (离地面最近的点)距地面 439km ,远地点 B (离地面最远的点) 距地面 2384km ,并且 F2 、 A 、 B 在同一直线上,地球半径约为 6371km ,求卫星运行的轨道 方程(精确到 1km ) . 解:如图,建立直角坐标系,使点 A, B, F2 在 x 轴上, F2 为椭圆右焦点(记 F1 为左焦点) ,

x2 y 2 设椭圆标准方程为 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 1 ) , a b
则 a ? c ?| OA | ? | OF2 |?| F2 A |? 6371 ? 439 ? 6810 ,

y
F1 F2
? ?

O

A

x

a ? c ?| OB | ? | OF2 |?| F2 B |? 6371 ? 2384 ? 8755 ,
解得: a ? 7782.5 ∴b ?

c ? 972.5

y B2
O
B1

a 2 ? c 2 ? (a ? c)(a ? c ) ? 8755 ? 6810 ? 7722 ,

F
图①

A

x

所以,卫星的轨道方程是

x2 y2 ? ? 1. 77832 77222

(三) 、小结:本节课我们学习了椭圆的椭圆的几何性质(对称性、范围、顶点、离心率) .1、 掌握椭圆的几何性质:范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率;2、掌握椭圆标准方程中 a、 b、c、e 之间的关系。 (四) 、课堂练习:1、求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐
2 2

标,并用描点法画出图形.

13

解:把已知方程化为标准方程

x2 y 2 ? ? 1, a ? 5 , b ? 4 ,∴ c ? 25 ? 16 ? 3 , a 2 b2

∴椭圆长轴和短轴长分别为 2a ? 10 和 2b ? 8 ,离心率 e ?

c 3 ? , a 5

焦点坐标 F1 (?3, 0) , F2 (3, 0) ,顶点 A1 (?5, 0) , A2 (5, 0) , B1 (0, ?4) , B2 (0, 4) . 2、在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的 离心率为( (A) 2 ) (B)

2 2

(C)

1 2

(D)

2 4

3、 (1999 全国,15)设椭圆

x2 y2 ? =1(a>b>0)的右焦点为 F1,右准线为 l1,若过 F1 且垂 a2 b2


直于 x 轴的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是

x2 y 2 2b 2 a2 ? ? 1 ? 2 且 ?c ?1 2 b2 c 解析: (1)不妨设椭圆方程为 a (a?b?0) ,则有 a ,据此求出 e
2 = 2 ,选 B。

2b 2 2b 2 a 2 2 1 1 ? ?c ? c (2) 2 ;解析:由题意知过 F1 且垂直于 x 轴的弦长为 a ,∴ a ,∴ a c ,∴

c 1 ? a 2 ,即 e= 1 。 2
(五) 、课后作业:课本习题 3-1 B 组中 1、2、3 五、教后反思:

14

§3.2.1

抛物线及标准方程(一)

一、教学目标:1、知识与技能:掌握抛物线的定义,掌握抛物线的四种标准方程形式,及其对 应的焦点、准线。2、过程与方法:通过对抛物线概念和标准方程的学习,培养学生分析和概括 的能力,提高建立坐标系的能力,由圆锥曲线的统一定义,形成学生对事物运动变化、对立、统 一的辨证唯物主义观点。3、情感、态度与价值观:通过抛物线概念和标准方程的学习,培养学 生勇于探索、严密细致的科学态度,通过提问、讨论、思考等教学活动,调动学生积极参与教学, 培养良好的学习习惯。 二、教学重点: (1)抛物线的定义及焦点、准线; (2)利用坐标法求出抛物线的四种标准方程; (3)会根据抛物线的焦点坐标,准线方程求抛物线的标准方程。 教学难点: (1)抛物线的四种图形及标准方程的区分; (2)抛物线定义及焦点、准线等知识的灵 活运用。 三、教学方法:启发引导法(通过椭圆第二定义引出抛物线) 。依据建构主义教学原理,通过类 比、归纳把新知识化归到原有的认知结构中去(二次函数与抛物线方程的对比,移图与建立适当 建立坐标系的方法的归纳) 。利用多媒体教学 四、教学过程 (一) 、复习引入: 椭圆的定义。 (二) 、探析新课: 1. 抛物线定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F
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叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线 2.推导抛物线的标准方程:

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D

y M

如图所示,建立直角坐标系系,设|KF|= p ( p >0),那么焦点 F 的坐标为

p p ( ,0) ,准线 l 的方程为 x ? ? , 2 2
设抛物线上的点 M(x,y) ,则有 ( x ? 化简方程得 y ? 2 px
2

K O (1)

F

x

p 2 p ) ? y 2 ?| x ? | 2 2

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? p ? 0? 方程 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 叫做抛物线的标准方程
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(1) 它表示的抛物线的焦点在 x 轴的正半轴上, 焦点坐标是 F (

p p ,0) , 它的准线方程是 x ? ? 2 2

(2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线 的标准方程还有其他几种形式: y ? ?2 px , x ? 2 py , x ? ?2 py .这四种抛物线的图形、标
2 2 2

15

准方程、焦点坐标以及准线方程如下

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3.抛物线的准线方程:如图所示,分别建立直角坐标系,设出|KF|= p ( p >0) ,则抛物线的标 准方程如下:
D y M
y
y

M
K O (1) F x

M F (3)
O

D
D K
x

y

K
O x

F
O x

M (4)
D

F

(2)
2

K

D

p p ,0) ,准线 l : x ? ? 2 2 p p 2 (2) x ? 2 py( p ? 0) , 焦点: (0, ) ,准线 l : y ? ? 2 2 p p 2 (3) y ? ?2 px( p ? 0) , 焦点: ( ? ,0) ,准线 l : x ? 2 2 p p 2 (4) x ? ?2 py( p ? 0) , 焦点: (0,? ) ,准线 l : y ? 2 2
(1) y ? 2 px( p ? 0) , 焦点: (
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相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在 对称轴上关于原点对称
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它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

1 2p p ,即 ? 4 4 2

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不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为 ? 2 px 、左端为 y ;
2

图形关于 Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右端为 ? 2 py ,左端为 x

2
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(2)开口方

向在 X 轴(或 Y 轴)正向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在 X 轴 (或 Y 轴)负向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)负半轴时,方程右端取负号
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点评: (1)建立坐标系是坐标法的思想基础,但不同的建立方式使所得的方程繁简不同,布置 学生自己写出推导过程并与课文对照可以培养学生动手能力、自学能力,提高教学效果 ,进一步 明确抛物线上的点的几何意义
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(2)猜想是数学问题解决中的一类重要方法,请同学们根据推导出的(1)的标准方程猜想 其它几个结论,非常有利于培养学生归纳推理或类比推理的能力,帮助他们形成良好的直觉思维 —数学思维的一种基本形式 另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程所有的四种形式,也比老
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师直接写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好

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(3)对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结,让学生 通过对比分析全面深刻地理解和掌握它们 (三) 、探析例题: 例 1、 (1)已知抛物线标准方程是 y ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程
2
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16

(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0,-2) ,求它的标准方程

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分析: (1)在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用 p 的代数式表示的,所以只要求出 p 即可; (2)求的是标准方程,因此所指抛物线应过原点,结合焦点坐标求出 p,问题易解。 解析: (1)p=3,焦点坐标是(

3 3 p ,0)准线方程是 x=- . (2)焦点在 y 轴负半轴上, =2, 2 2 2
2

所以所求抛物线的标准议程是 x ? ?8 y . 例 2、 已知抛物线的标准方程是(1)y =12x, (2)y=12x ,求它的焦点坐标和准线方程. 分析: 这是关于抛物线标准方程的基本例题, 关键是 ( 1) 根据示意图确定属于哪类标准形式, (2) 求出参数 p 的值. 解: (1)p=6,焦点坐标是(3,0)准线方程是 x=-3. (2)先化为标准方程 x ?
2
2 2

1 1 1 1 ,焦点坐标是(0, ) ,准线方程是 y=- . y, p ? 2 24 48 48

例 3、 求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是 F(-5,0) ; (2)经过点 A(2, -3) 分析:抛物线的标准方程中只有一个参数 p,因此,只要确定了抛物线属于哪类标准形式,再求 出 p 值就可以写出其方程,但要注意两解的情况(如第(2)小题). 解: (1)焦点在 x 轴负半轴上,

p 2 =5,所以所求抛物线的标准议程是 y ? ?20 x . 2
9 2

(2)经过点 A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式:

y2=2px 或 x2=-2py. 点 A(2,-3)坐标代入,即 9=4p,得 2p=
点 A(2,-3)坐标代入 x =-2py,即 4=6p,得 2p=
2

4 9 2 ∴所求抛物线的标准方程是 y = x 或 3 2

x2=-

4 y 3
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(四) 、课堂练习:1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y =8x
2 2 2

(2)x =4y (3)2y +3x=0 (4) y ? ?

1 2 x 6
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2.根据下列条件写出抛物线的标准方程 (1)焦点是 F(-2,0)
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(2)准线方程是 y ?
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1 3

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(3)焦点到准线的距离是 4,焦点在 y 轴上 (4)经过点 A(6,-2)
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3.抛物线 x =4y 上的点 p 到焦点的距离是 10,求 p 点坐标 课堂练习答案:1. (1)F(2,0) ,x=-2 (0, ?

2

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(2) (0, 1) , y=-1 (3) (?
2

3 3 , 0) , x= (4) 8 8
2

3 3 2 ) ,y= 2. (1)y =-8x 2 2

(2)x =-

4 y 3

(3)x =8y 或 x =-8y

2

17

(4) y 2 ?

2 x 3



x 2 ? ?18 y

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3. (±6,9)

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点评:练习时注意(1)由焦点位置或准线方程正确判断抛物线标准方程的类型; (2)p 表示焦点 到准线的距离故 p>0; (3)根据图形判断解有几种可能
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(五) 、小结 :小结抛物线的定义、焦点、准线及其方程的概念。 (六) 、课后作业:第 77 页 习题 A 组 第 1、2、3、4 题 五、教后反思:

18

§3.2.1

抛物线及标准方程(二)

一、教学目标:熟练掌握抛物线的四个标准方程 二、教学重点:四种抛物线标准方程的应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习: 1、抛物线定义:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点 F 叫抛 物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线. 2、抛物线的标准方程 (二) 、引入新课 例 1、点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1,求点 M 的轨迹方程. 分析:由已知,点 M 属于集合 P ? {M || MF | ?1 ?| x ? 5 |}. 将|MF|用点的坐标表示出来, 化简后就可得到点 M 的轨迹方程, 但这种解法的化简过程比较繁琐. 仔细分析题目的条件,不难发现:首先,点 M 的横坐标 x 应满足 x>-5,即点 M 应在直线 l 的右边,否则点 M 到 F 的距离大于它到 l 的距离;其次, “点 M 与点 F 的距离比它到直线 l:x+5=0 的距离小 1” ,就是“点 M 与点 F 的距离等于它到直线 x+4=0 的距离” ,由此可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点,直线 x+4=0 为准线的抛物线. 解:如图,设点 M 的坐标为(x,y). 由已知条件可知, 点 M 与点 F 的距离等于它到直线 x+4=0 的距离. 根据抛物线的定义,点 M 的轨迹是以 F(4,0)为焦点的抛物线.

?

p ? 4,? p ? 8. 2
2

因为焦点在 x 轴的正半轴上, 所以点 M 的轨迹方程为: y =16x 说明:此题为抛物线定义的灵活应用,应强调学生加强对抛 物线定义的理解与认识. 例 2、 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口圆的直径为 60cm,灯深 40cm,求抛物线的标准方程和焦点的位置. 分析:此题是根据已知条件求抛物线的标准方程,关键是选择建立恰当的坐标系,并由此使学 生进一步认识坐标法. 解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原
19

点重合,x 轴垂直于灯口直径. 设抛物线的标准方程是 y ? 2 px( p ? 0) .由已知条件可得点 A 的坐
2

标是(40,30),代入方程得:

30 2 ? 2 p ? 40即p ?

45 . 4
45 45 x ,焦点坐标是( ,0). 2 8

所以所求抛物线的标准方程是 y 2 ?

说明:此题在建立坐标系后,要求学生能够根据抛物线的图形确定抛物线标准方程的类型 ,再 求出方程中的参数 p. 师:为使大家进一步掌握坐标法,我们来看下面的例 3: 例 3、求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是 F(-5,0) ; (2)经过点 A(2,- 3) 分析:抛物线的标准方程中只有一个参数 p,因此,只要确定了抛物线属于哪类标准形式,再求 出 p 值就可以写出其方程,但要注意两解的情况 解: (1)焦点在 x 轴负半轴上,

p =5, 2
2

所以所求抛物线的标准议程是 y ? ?20 x . (2)经过点 A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式:y =2px 或 x =-2py. 点 A(2,-3)坐标代入,即 9=4p,得 2p=
2 2 2

9 2 4 3

点 A(2,-3)坐标代入 x =-2py,即 4=6p,得 2p= ∴所求抛物线的标准方程是 y ?
2

9 4 x 或 x2=- y 2 3
2
2

例 4、已知抛物线的标准方程是(1) y ? 12 x , (2) y ? 12 x ,求它的焦点坐标和准线方程. 分析: 这是关于抛物线标准方程的基本例题, 关键是 ( 1) 根据示意图确定属于哪类标准形式, (2) 求出参数 p 的值. 解: (1) p ? 6 ,焦点坐标是(3,0)准线方程 x ? ?3 (2)先化为标准方程 x ?
2

1 1 1 ,焦点坐标是(0, ) , y, p ? 2 24 48

准线方程是 y ? ?

1 . 48

(三) 、课堂小结:本节课我们学习了抛物线的标准方程的简单应用,关于抛物线标准方程的基

20

本例题,关键是(1)根据示意图确定属于哪类标准形式; (2)求出参数 p 的值. (四)、课堂练习:1、根据下列条件写出抛物线的方程:①焦点是(0,3);②准线是 x ? ? ③焦点到准线的距离为 4。 2、求下列抛物线的焦点和准线方程:① y ? 10 x , ② x ? 8 y ? 0
2
2

1 ; 2

(五) 、课后作业:第 77 页习题 A 组 第 9、10 题 五、教后反思:

B 组 第 2、3 题

21

§3.2.2 抛物线的几何性质(一)
一、教学目标:1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质;2.能根据抛物线的 几何性质对抛物线方程进行讨论,在此基础上列表、描点、画抛物线图形;3.在对抛物线几何性 质的讨论中,注意数与形的结合与转化
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二、教学重点:抛物线的几何性质及其运用。教学难点:抛物线几何性质的运用 。 三、授课类型:新授课 四、教学过程 (一) 、复习引入:1.抛物线定义: 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做抛物线的焦
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y
y
y

y l O F

图 形
l O F

x

F
x
F O

x

O l

x

l

方 程 焦 点 准 线

y 2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x 2 ? 2 py( p ? 0)

x 2 ? ?2 py( p ? 0)

p ( ,0) 2 x?? p 2
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(?

p ,0 ) 2 p 2

p (0, ) 2 y?? p 2

p (0,? ) 2 y? p 2

x?

点,定直线 l 叫做抛物线的准线 2.抛物线的标准方程:
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相同点:(1)抛物线都过原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线都与对称轴垂直,垂足与焦点在 对称轴上关于原点对称
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它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的

1 2p p ,即 ? 4 4 2

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不同点:(1)图形关于 X 轴对称时,X 为一次项,Y 为二次项,方程右端为 ? 2 px 、左端为 y ;
2

图形关于 Y 轴对称时,X 为二次项,Y 为一次项,方程右端为 ? 2 py ,左端为 x

2
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(2)开口方

向在 X 轴(或 Y 轴)正向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)的正半轴上,方程右端取正号;开口在 X 轴 (或 Y 轴)负向时,焦点在 X 轴(或 Y 轴)负半轴时,方程右端取负号
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22

(二) 、讲解新课:抛物线的几何性质 1.范围:因为 p>0,由方程 y ? 2 px? p ? 0? 可知,这条抛物线上的点 M 的坐标(x,y)满足不
2

等式 x≥0,所以这条抛物线在 y 轴的右侧;当 x 的值增大时,|y|也增大,这说明抛物线向右上 方和右下方无限延伸. 2.对称性:以-y 代 y,方程 y ? 2 px? p ? 0? 不变,所以这条抛物线关于 x 轴对称,我们把抛
2

物线的对称轴叫做抛物线的轴. 3. 顶点: 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程 y ? 2 px? p ? 0? 中, 当 y=0 时, x=0,
2

因此抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 的顶点就是坐标原点.
2

对于其它几种形式的方程,列表如下: 标准方程 图形
y

顶点

对称轴

焦点

准线

离心率

? p ? 0?

y 2 ? 2 px
O F

x

?0,0?

x轴

?p ? ? ,0 ? ?2 ?

x??

p 2

e ?1

l
y

? p ? 0?

y 2 ? ?2 px

F

O

x

?0,0?

x轴

? p ? ? ? ,0 ? ? 2 ?

x?

p 2

e ?1

l

? p ? 0?

x 2 ? 2 py

?0,0?

y轴

? p? ? 0, ? ? 2?

y??

p 2

e ?1

? p ? 0?

x 2 ? ?2 py

?0,0?

y轴

p? ? ? 0,? ? 2? ?

y?

p 2

e ?1

23

注意强调 p 的几何意义:是焦点到准线的距离 (三) 、探析例题: 例 1 已知抛物线关于 x 轴为对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M (2,?2 2 ) ,求它的标准 方程,并用描点法画出图形.分析:首先由已知点坐标代入方程,求参数 p. 解:由题意,可设抛物线方程为 y ? 2 px ,因为它过点 M (2,?2 2 ) ,
2

所以

(?2 2 ) 2 ? 2 p ? 2 ,即 p ? 2 。因此,所求的抛物线方程为 y 2 ? 4 x .

将已知方程变形为 y ? ?2 x ,根据 y ? 2 x 计算抛物线在 x ? 0 的范围内几个点的坐标,得

x y

0 0

1 2

2 2.8

3 3.5

4 4
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? ?

描点画出抛物线的一部分,再利用对称性,就可以画出抛物线的另一部分

点评:在本题的画图过程中,如果描出抛物线上更多的点,可以发现这条抛物线虽然也向右 上方和右下方无限延伸,但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线,也就是说,抛物线没有 渐近线. 例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯的圆的直径 60cm,灯深为 40cm,求抛物线的标准方程和焦点位置.分析:
y

C
这是抛物线的实际应用题,设抛物线的标准方程后,根据题设 条件,可确定抛物线上一点坐标,从而求出 p 值. 解:如图,在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使 反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合, x 轴垂直于灯口直 径.设抛物线的标准方程是 y ? 2 px (p>0).
2

B O E F A

H D

x

由已知条件可得点 A 的坐标是(40,30),代入方程,得 30 ? 2 p ? 40 ,即
2

p?

45 。所求的 4

抛物线标准方程为 y ?
2
2

45 x. 2

例 3 过抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 任作一条直线 m,交这抛物线于 A、B 两点,求证:以 AB 为直 径的圆和这抛物线的准线相切. 分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷. 证明:如图.设 AB 的中点为 E,过 A、E、B 分别向准线 l 引垂线 AD,EH,BC,垂足为 D、H、C, 则|AF|=|AD|,|BF|=|BC|∴|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|
24

所以 EH 是以 AB 为直径的圆 E 的半径,且 EH⊥l,因而圆 E 和准线 l 相切. (四) 、课堂练习:1.过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线交抛物线于 A? x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? 两点,
2

如果 x1 ? x 2 ? 6 ,那么 | AB | =( B )
2

(A)10 (B)8

(C)6

(D)4

2.已知 M 为抛物线 y ? 4 x 上一动点,F 为抛物线的焦点,定点 P?3 , 1? ,则 | MP | ? | MF | 的 最小值为( B ) 3.过抛物线 y ? ax 别是 p 、 q ,则
2

(A)3 (B)4

(C)5

(D)6

?a ? 0? 的焦点 F 作直线交抛物线于 P 、 Q 两点,若线段 PF 、 QF 的长分
(A) 2a (B)

1 1 ? =( C ) p q

1 2a

(C) 4a

(D)

4 a

4.过抛物线 y ? 4 x 焦点 F 的直线 l 它交于 A 、 B 两点,则弦 AB 的中点的轨迹方程是 ______
2

(答案: y ? 2?x ? 1? )
2

5.定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y ? x 上移动,求 AB 中点 M 到 y 轴距离的最小
2

值,并求出此时 AB 中点 M 的坐标 (答案: M ?
王新敞
奎屯 新疆

?5 2? ? ?4 , ? 2 ? ? ?

, M 到 y 轴距离的最小值为

5 ) 4

(五) 、小结 :抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等

王新敞
奎屯

新疆

(六) 、课后作业:1.根据下列条件,求抛物线的方程,并画出草图. (1)顶点在原点,对称轴 是 x 轴,顶点到焦点的距离等于 8. (2)顶点在原点,焦点在 y 轴上,且过 P(4,2)点. (3)顶 点在原点,焦点在 y 轴上,其上点 P(m,-3)到焦点距离为 5. 2.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点,若 A、B 在准线上的射影是 A2,B2,则∠A2FB2 等于 3.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,求抛物线方程. 4.以椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点,F 为焦点,以坐标原点为顶点作抛物线,求抛物线截椭圆在准 5

线所得的弦长. 5.有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶 4 米时,水面宽 40 米,当水面下降 1 米时,水面宽是多少 米?习题答案:1. (1)y =±32x 16 y 4. 4 5 ;5. 20 5 米
王新敞
奎屯 新疆

2

(2)x =8y

2

(3)x =-8y

2

2. 90°3. x =±

2

五、教后反思:
25

§3.2.2

抛物线的几何性质(二)

一、教学目标:1.熟悉抛物线的几何性质;2.了解抛物线的简单应用. 二、教学重点:抛物线的几何性质的应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:1、抛物线定义、抛物线的标准方程;2、抛物线的几何性质 (二) 、引入新课 例 1. 斜率为 1 的直线经过抛物线 y =4x 的焦点,与抛物线相交于两点 A、B,求线段 AB 的长. 分析:例 2 是直线与抛物线相交问题,可通过联立方程组求解交点坐标,然后由两点间距离公式 求解距离;若注意到直线恰好过焦点,便可与抛物线定义发生联系,利用抛物线定义将 AB 分段转 化成点 A、B 到准线距离,从而达到求解目的. 解法一:如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为 F(1,0) ,所以直线 AB 的方程 为 y=x-1.
2 2


2 2

将方程①代入抛物线方程 y =4x,得(x-1) =4x 化简得 x -6x+1=0 解之得: x1 ? 3 ? 2 2 , x 2 ? 3 ? 2 2 . 将 x1,x2 的值分别代入方程①中,得

y1 ? 2 ? 2 2 , y 2 ? 2 ? 2 2.
即 A、B 坐标分别为 (3 ? 2 2 ,2 ? 2 2 ) 、(3 ? 2 2 ,2 ? 2 2 ) .

?| AB |? (4 2 ) 2 ? (4 2 ) 2 ? 8.
解法二:在图中,由抛物线的定义可知,|AF|等于点 A 到准线 x=-1 的 距离 AA? , 而 | AA? |? x1 ? 1. 同理 BF ? BB ? ? x 2 ? 1, 于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.由此可以看到,本题在得到方程 x -6x+1=0 后,根据根与系 数关系可以直接得到 x1+x2=6 于是可以求出|AB|=6+2=8. 说明:解法二由于灵活运用了抛物线的定义,所以减少了运算量,提高了解题效率. 例 2.正三角形的一个顶点位于坐标原点 ,另外两个顶点在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,求这个正
2
2

三角形的边长. 分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明 x 轴是它们的公共的对称轴,则 容易求出三角形的边长.

26

解:如图,设正三角形 OAB 的顶点 A、B 在抛物线上,且坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y 2 ) ,则:
2 2 2 y12 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px2 , 又 OA ? OB ,所以 x12 ? y12 ? x2 . ? y2
2 2 2 2 即x1 ? x2 ? 2 px1 ? 2 px2 ? 0, ( x1 ? x2 ) ? 2 p ( x1 ? x 2 ) ? 0

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ? 2 p ) ? 0 ? x1 ? 0, x 2 ? 0,2 p ? 0,? x1 ? x 2

由此可得, y1 ? y 2 ,即线段 AB 关于 x 轴对称,因为 x 轴垂直于

AB,且∠Aox=30°,所以

y1 3 ? tan 30 ? ? . x1 3

? x1 ?

y12 ,? y1 ? 2 3 p,? AB ? 2 y1 ? 4 3 p. 2p

说明:这个题目对学生来说,求边长不困难,但是他们往往直观上承认抛物线与三角形的对称 轴是公共的,而忽略了它的证明.教学时, 要提醒学生注意这一点,通过这一例题,可以帮助学生进 一步掌握坐标法. 例 3、 已知抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离等于 5, 求抛物线的方程和 m 的值. 解法一:由焦半径关系,设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方

因为抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离 得 p=4. 因此,所求抛物线方程为 y2=-8x.又点 M(-3,m)在此抛物线上,故 m2=-8(-3).

解法二:由题设列两个方程,可求得 p 和 m.由学生演板.由题意

在抛物线上且|MF|=5,故

27

例 4、过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的一条直线与这抛物线相交于 A、B 两点,且 A(x1, y1)、B(x2,y2)(图 2-34).

证明:

(1)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 方程为:

此方程的两根 y1、y2 分别是 A、B 两点的纵坐标,则有 y1y2=-p2.

或 y1=-p,y2=p,故 y1y2=-p2. 综合上述有 y1y2=-p2 又∵A(x1,y1)、B(x2,y2)是抛物线上的两点,

(三) 、小结:本节课我们学习了抛物线的几何性质 (四) 、课堂练习:练习:课本第 75 页:1、2、3 (五) 、课后作业:课本习题 3-2 五、教后反思: A 组中 5、6、7、8 B 组中 4

28

§3.3.1

双曲线及其标准方程(一)

一、教学目标:1.知识与技能:掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准 方程.2.过程与方法:教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双 曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观:通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激 发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 二、教学重点: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用;教学难点: 双曲线标准方程的推导 三、教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察 →归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力. 四、教学过程 (一).情境设置 (1)复习提问:(由一位学生口答,教师利用多媒体投影) 问题 1:椭圆的定义是什么? 问题 2:椭圆的标准方程是怎样的? 问题 3:如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会发生什么变 化?它的方程又是怎样的呢? (2)探究新知:(1)演示:引导学生用《几何画板》作出双曲线的图象,并利用课件进行双曲线的模 拟实验,思考以下问题。(2)设问:①|MF1|与|MF2|哪个大?②点 M 到 F1 与 F2 两点的距离的差怎 样表示?③||MF1|-|MF2||与|F1F2|有何关系? (请学生回答:应小于|F1F2| 且大于零,当常数等于|F1F2| 时,轨迹是以 F1、F2 为端点的两条 射线;当常数大于|F1F2| 时,无轨迹) (二) 、新知探究 1.双曲线的定义:引导学生概括出双曲线的定义:定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的 绝对值等于常数(小于<|F1F2|)的点轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的 距离叫做双曲线的焦距。 (投影)概念中几个关键词: “平面内” 、 “距离的差的绝对值” 、 “常数小 于

F1 F2



王新敞
奎屯

新疆

2.双曲线的标准方程:现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程,请学 生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法,随即引导学生给出双曲线标准方程的推导(教师使用多 媒体演示) (1) 建系: 取过焦点 F1、 F2 的直线为 x 轴, 线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。
29

(2) 设点:设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 2c(c>0) ,则 F1(-c,0) 、F2(c, 0) ,又设点 M 与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a<2c). (3)列式:由定义可知,双曲线上点的集合是 P={M|||MF1|-|MF2||=2a}. 即:
y

?x ? c?2 ? y 2
(4)化简方程

?

?x ? c ?2 ? y 2

? 2a,
M F1 F2

O

x

由一位学生板演,教师巡视。化简,整理得:

? x ? c ?2 ? y 2
移项两边平方得

?

? x ? c ?2 ? y 2

? ?2a

cx ? a 2 ? ? a
两边再平方后整理得

? x ? c ?2 ? y 2

?c

2

? a2 x2 ? a2 y2 ? a2 c2 ? a2

?

?

?

由双曲线定义知

2c ? 2a即c ? a,? c 2 ? a 2 ? 0, 设c 2 ? a 2 ? b 2 (b ? 0) x2 y2 代入上式整理得 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) a b
这个方程叫做双曲线的标准方程, 它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上, 焦点是 F1 (-c, 0) 、 F2 (c, 0) , 思考: 双曲线的焦点 F1(0,-c) 、F2(0,c)在 y 轴上的标准方程是什么?

y2 x2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 2 b 学生得到: 双曲线的标准方程: a .
注:(1)双曲线的标准方程的特点: ①双曲线的标准方程有焦点在 x 轴上和焦点 y 轴上两种:

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为: a ( a ? 0 , b ? 0 ); y2 x2 ? 2 ?1 2 b 焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为: a (a ? 0 ,b ? 0)
② a, b, c 有关系式 c ? a ? b 成立,且 a ? 0, b ? 0, c ? 0 其中 a 与 b 的大小关系 : 可以为
2 2 2
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奎屯 新疆

30

a ? b, a ? b, a ? b
王新敞
奎屯 新疆

(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 x 、y 项的分母
2

2

的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来
王新敞
奎屯 新疆

判断焦点所在的位置,即 x 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上; y 项的系数是正的,那么焦
2

2

点在 y 轴上。 (三) 、例题探析、引申与补充 例 1、已知双曲线两个焦点分别为

F1 ? ?5, 0 ?



F2 ? 5, 0 ?

,双曲线上一点 P 到

F1



F2

距离差的绝

对值等于 6 ,求双曲线的标准方程. 分析:由双曲线的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a,b,c. 补充:求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程:① 与⊙ C : ② 与⊙
2 C1 x ? ? y ? 1? ? 1 2

? x ? 2?

2

? y2 ? 2

内切,且过点

A ? 2, 0 ?





和⊙

2 C2 x ? ? y ? 1? ? 4 2



都外切; ③ 与⊙

C1

? x ? 3? :

2

? y2 ? 9

外切,且与⊙

C2

? x ? 3? :

2

? y2 ? 1

内切.

解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆 M 的 半径为 r . ①

MC? r ? ∵⊙ C 与⊙ M 内切,点 A 在⊙ C 外,∴

2



MA ? r

,因此有

MA ? MC ? 2

,∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方程是

2 x2 ?

2 y2 ?1 x ? ? 2 7 ;
C1
、⊙

?

?

② ∵⊙ M 与⊙

C2

均外切, ∴

MC1 ? r ? 1



MC2 ? r ? 2

,因此有

MC2 ? MC1 ? 1



∴点 M 的轨迹是以

C2 C1

、 为焦点的双曲线的上支, ∴ M 的轨迹方程是

4 y2 ?

4 x2 3? ? ? 1? y ? ? 3 4?; ?

MC MC2 ? r ? 1 C ? C2 1 ? r? 3 ③ ∵⊙ M 与⊙ 1 外切,且 ? M 与 内切,∴ , ,因此 MC1 ? MC2 ? 4
,∴点 M 的轨迹是以

C1



C2

为焦点的双曲线的右支,∴ M 的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1? x ? 2 ? 4 5 .
31

例 2、 已知 A , B 两地相距 800m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s ,且声速为 340m / s , 求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析:首先要判断轨迹的形状,由声学原理:由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差,即可知

A , B 两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.
扩展:某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告:正西、正北两个观察点同时听到 了一声巨响, 正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s . 已知各观察点到该中心的距 离都是 1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为 340m / s ;相关点均在同 一平面内) . 解法剖析:因正西、正北同时听到巨响,则巨响应发生在西北方向或东南方向,以因正东比正西 晚 4s ,则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图,以接报中心为原点 O ,正东、正北方向分别为 x 轴、 y 轴方向,

C 分别是西、 B、 建立直角坐标系, 设 A、 东、 北观察点, 则
B ?1020, 0 ?
设 ,

A ? ?1020, 0 ?



C ? 0,1020 ?



P ? x, y ?

为巨响发生点,∵ A 、C 同时听到巨响,∴ OP 所在直线为 y ? ?x ??①,又因 B

点比 A 点晚 4s 听到巨响声,∴

PB ? PA ? 4 ? 340 ? 1360 ? m ?

.由双曲线定义知, a ? 680 ,

5 ∴ P 点 在 双 曲 线 方 程 为 c ? 1020 , ∴ b ? 3 4 0 ,

x2 y2 ? ? 1 ? x ? ?680 ? 6802 5 ? 3402 ??②.联立①、②求出 P 点坐标为
P ?680 5, 680 5

?

? .即巨响在正西北方向 680

10m 处.

探究:如图,设 A , B 的坐标分别为

? ?5, 0 ? , ? 5, 0 ? .直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们的

4 斜率之积为 9 ,求点 M 的轨迹方程,并与§2.1.例 3 比较,有什么发现?
探究方法:若设点

M ? x, y ?

,则直线 AM , BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示,由于直线

4 AM , BM 的斜率之积是 9 ,因此,可以求出 x, y 之间的关系式,即得到点 M 的轨迹方程.
32

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b (四) 、课堂小结:双曲线的两类标准方程是 a 焦点在 x 轴上, y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 2 a 2 b2 焦 点 在 y 轴 上 , a, b, c 有 关 系 式 c ? a ? b 成 立 , 且

a ? 0, b ? 0, c ? 0 其中 a 与 b 的大小关系:可以为 a ? b, a ? b, a ? b 。
王新敞
奎屯 新疆

(五) 、课堂练习:课本 P80 页 1、2 (六) 、作业布置:课本习题 3-3 五、教学反思: A 组中 1、2、3、4

33

§3.3.1

双曲线及其标准方程(二)

一、教学目标:熟练掌握双曲线的两个标准方程 二、教学重点:两种双曲线标准方程的应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习: 1、双曲线定义: 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 2、双曲线的标准方程 (二) 、引入新课 例 1 已知双曲线的焦点在 y 轴上, 并且双曲线上两点 P1、 P2 的坐标分别为 (3,? 4 2 ) 、 ( 求双曲线的标准方程. 解:因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为:

F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线;

9 , ,5 ) 4

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a>0,b>0)



因为点 P1、P2 在双曲线上,所以点 P1、P2 的坐标适合方程①.将(3, ? 4 2 ) 、 (

9 ,5 )分别 4

? (?4 2 ) 2 3 2 ? 2 ?1 ? 2 a b ? 代入方程①中,得方程组 ? 9 2 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a
解得:a =16,b =9.故所求双曲线的标准方程为:
2 2

y2 x2 ? ? 1. 16 9

说明: 例 2 要求学生熟悉双曲线的两种标准方程, 并能熟练运用待定系数法求解曲线的方程. 例 2 一炮弹在某处爆炸,在 A 处听到爆炸声的时间比在 B 处晚 2 s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知 A、B 两地相距 800 m,并且此时声速为 340 m/s,求曲线的方程. 解(1)由声速及 A、B 两处听到爆炸声的时间差,可知 A、B 两处与爆炸点的距离的差,因 此爆炸点应位于以 A、B 为焦点的双曲线上.

34

因为爆炸点离 A 处比离 B 处更远,所以爆炸点应在靠近 B 处的一支上. (2)如图 8—14,建立直角坐标系 xOy,使 A、B 两点在 x 轴上,并且点 O 与线段 AB 的中点 重合. 设爆炸点 P 的坐标为(x,y) ,则 PA ? PB ? 340 ? 2 ? 680 , 即 2a=680,a=340. 又 AB ? 800 , ∴2c=800,c=400,

b2=c2-a2=44400.
∵ PA ? PB ? 680 ? 0, ∴x>0 所求双曲线的方程为:

x2 y2 ? ?1 115600 44400

(x>0).

说明:例 2 表明,利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在 的双曲线的方程,但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点 C,利用 B、C(或 A、C) 两处测得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程,解这两个方程组成的方程组,就能 确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 例 3、求下列动圆的圆心 M 的轨迹方程:① 与⊙ C : ? x ? 2 ? ? y ? 2 内切,且过点 A ? 2, 0 ? ;
2 2

2 ② 与⊙ C1 :x ? ? y ? 1? ? 1 和⊙ C2 :x ? ? y ? 1? ? 4 都外切; ③ 与⊙ C1 : ? x ? 3? ? y ? 9
2 2

2

2

2

外切,且与⊙ C2 : ? x ? 3? ? y ? 1 内切.
2 2

解题剖析:这表面上看是圆与圆相切的问题,实际上是双曲线的定义问题.具体解:设动圆 M 的 半径为 r . ① ∵ ⊙ C 与 ⊙ M 内 切 , 点 A 在 ⊙ C 外 , ∴ MC ? r ?

2 , MA ? r , 因 此 有

MA ? MC ? 2 ,∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,即 M 的轨迹方程是

2 y2 2x ? ?1 x ? ? 2 ; 7
2

?

?



∵ ⊙ M 与 ⊙ C1 、 ⊙ C2 均 外 切 , ∴ MC1 ? r ? 1 , MC2 ? r ? 2 , 因 此 有

35

MC2 ? MC1 ? 1 ,∴点 M 的轨迹是以 C2 、 C1 为焦点的双曲线的上支,∴ M 的轨迹方程是

4 y2 ?

4 x2 3? ? ? 1? y ? ? ; 3 4? ?

③ ∵⊙ M 与⊙ C1 外切,且⊙ M 与⊙ C1 内切,∴ MC1 ? r ? 3 , MC2 ? r ? 1 ,因此

MC1 ? MC2 ? 4 ,∴点 M 的轨迹是以 C1 、 C2 为焦点的双曲线的右支,∴ M 的轨迹方程是

x2 y 2 ? ? 1? x ? 2 ? . 4 5
(三) 、小结:本节课我们学习了双曲线的标准方程的简单应用 (四) 、课堂练习:1、求焦点的坐标是(-6,0) 、 (6,0) ,并且经过点 A(-5,2)的双曲线的标 准方程。 2、求经过点 P(?3,2 7 ) 和 Q(?6 2 ,?7) ,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程
王新敞
奎屯 新疆

x2 y2 x2 y2 3、椭圆 ? ? 1 和双曲线 2 ? ? 1 有相同的焦点,则实数 n 的值是 34 n 2 16 n
4.已知 F1 , F2 是双曲线



x2 y2 ? ? 1 的焦点,PQ 是过焦点 F1 的弦,且 PQ 的倾斜角为 600,那么 16 9

PF2 ? QF2 ? PQ 的值为 ________
(五) 、课后作业:见练习册 四、教学反思:

36

§3.3.2

双曲线的几何性质(一)

一、教学目标:1、掌握双曲线的几何性质:范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心 率;2、掌握双曲线标准方程中 a、b、c、e 之间的关系。 二、 教学重点:双曲线的几何性质;难点:双曲线的渐近线。 三、教学方法:探究式教学法,即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果,引导学生直观观察 →归纳抽象→总结规律,使学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力. 四、教学过程 (一)复习提问引入新课 1.椭圆有哪些几何性质,是如何探讨的?2.双曲线的两种标准方程是什么? 下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质. (二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点) 引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格

1.范围:双曲线在不等式 x≥a 与 x≤-a 所表示的区域内. 2.对称性:双曲线关于每个坐标轴和原点都对称,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲
37

线的对称中心,双曲线的对称中心叫双曲线中心. 3.顶点: 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0)、 A2(a,0), 它们叫做双 曲线的顶点. 线段 A1A2 叫双曲线的实轴,它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴 长;线段 B1B2 叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b,b 叫做双曲线的虚 半轴长. 4.渐近线

b x ①我们把两条直线 y=± a 叫做双曲线的渐近线;

x2 y2 b ? 2 ?1 x 2 b ②从图 8—16 可以看出,双曲线 a 的各支向外延伸时,与直线 y=± a 逐渐接近.
③“渐近”的证明:

b x 2 ? a 2 (x a 先取双曲线在第一象限内的部分进行证明.这一部分的方程可写为 y= >a). b b x x 设 M(x,y)是它上面的点,N(x,y)是直线 y= a 上与 M 有相同横坐标的点,则 Y= a .

b b a b x2 ? a2 ? x 1 ? ( )2 ? x ? Y a x a ∵y= a
MN ? Y ? y ?


b a

(x ?

x2 ? a2 )

?

ab b ( x ? x 2 ? a 2 )( x ? x 2 ? a 2 ) ? ? a x ? x2 ? a2 x ? x2 ? a2

b x MQ MQ MN MN 设 是点 M 到直线 y= a 的距离,则 < ,当 x 逐渐增大时, 逐渐减小,x 无
限增大,

MN

接近于 O,

MQ

也接近于 O.就是说,双曲线在第一象限的部分从射线 ON 的下方

逐渐接近于射线 ON.在其他象限内,也可证明类似的情况.(上述内容用幻灯片给出). ④等轴双曲线:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. ⑤ 利用双曲线的渐近线,可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是:画出双曲线的

38

渐近线,先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象 限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出 完整的双曲线.

c 5.离心率:双曲线的焦距与实轴长的比 e= a ,叫双曲线的离心率.
说明:①由 c>a>0 可得 e>1;②双曲线的离心率越大,它的开口越阔. 师:为使大家进一步熟悉双曲线的几何性质,我们来看下面的例题. (三) 、例题探析: 例题:求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

y2 x2 ? 2 ?1 2 3 解:把方程化为标准方程. 4 .
由此可知, 实半轴长 a=4, 虚半轴长 b=3. c ?

a 2 ? b 2 ? 4 2 ? 3 2 ? 5 .焦点的坐标是 (0, -5) ,

e?
(0,5).离心率

c 5 3 4 ? x?? y y?? x a 4 .渐近线方程为 4 ,即 3 .

说明:此题要求学生认识到第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质与课本性质的相同点与不 同点.可让学生比较得出(作为练习) (四) 、小结:本课我们学习了双曲线的几何性质,要求:1、掌握双曲线的几何性质:范围、 对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、离心率;2、掌握双曲线标准方程中 a、b、c、e 之间的关 系。 (五) 、课堂练习:课本第 82 页 练习 1、2 (六) 、课后作业:课本习题 3-3 五、教后反思: A 组中 5、6、7; B 组中题

39

§3.3.2

双曲线的几何性质(二)

一、教学目标:1.熟悉双曲线的几何性质;2.了解双曲线的简单应用. 二、教学重点:双曲线的几何性质的应用 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习 1、双曲线定义、双曲线的标准方程;2、双曲线的几何性质 (二) 、引入新课 例 1 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成 的曲面,它的最小半径为 12 m,上口半径为 13 m,下口半径为 25 m,高 55 m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到 1m). 解:如图 8—17,建立直角坐标系 xOy,使 A 圆的直径 AA′在 x 轴上,圆 心与原点重合.这时上、下口的直径 CC′、BB′平行于 x 轴,且 CC ? =13 ?2 (m), BB ? =25?2 (m).

设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2

令点 C 的坐标为(13,y) ,则点 B 的坐标为(25,y-55).因为点 B、C 在双曲线上,所以

25 2 ( y ? 55) 2 ? ? 1, 12 2 b2

13 2 y 2 ? ? 1. 12 2 b 2
(1) (2)

? 25 2 ( y ? 55) 2 ? ?1 ? ?12 2 b2 解方程组 ? 2 2 ?13 ? y ? 1 ? ?12 2 b 2
由方程(2)得 y ?

5 b 12
2

(负值舍去).

5b ? 55) 2 25 12 代入方程(1)得 ? ? 1, 12 2 b2 (
化简得 19b +275b-18150=0
2

(3)解方程(3)得

b≈25 (m).

x2 y2 ? ? 1. 所以所求双曲线方程为: 144 625
40

说明:这是一个有实际意义的题目.解这类题目时,首先要解决以下两个问题; (1)选择适 当的坐标系; (2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. 例 2 点 M(x,y)与定点 F(c,o)的距离和它到定直线 l:x= 点 M 的轨迹. 解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离.根据题意,所求轨迹是集合 p= ?M

a2 c 的距离的比是常数 (c ? a ? 0), 求 c a

? ? ? ?

MF d

c? ? ? ?, a? ?

由此得

( x ? c) 2 ? y 2 x?
2 2 2

a c

2

?

c . a
2

化简得 (c -a )x -a y =a (c -a ). 设 c -a =b ,就可化为:
2 2 2

2 2

2

2

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? 0, b ? 0).

这是双曲线的标准方程,所以点 M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为 2a、2b 的双曲线.(图 8 —18) 说明:此例题要求学生进一步熟悉并熟练掌握求解曲线轨迹方程的一般步骤 6.双曲线的准线: 由例 3 可知,当点 M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e=
王新敞
奎屯 新疆

c (e>1)时,这个 a

点的轨迹是双曲线.定点是双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线,常数 e 是双曲线的离心率. 准线方程:x= ?

a2 . c

a2 x2 y2 a2 其中 x= 相应于双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点 F(c,0);x=- 相应于左焦点 F′(-c,0). c c a b
师:下面我们通过练习来进一步熟悉双曲线几何性质的应用. (三) 、小结:本节课我们学习了双曲线的几何性质 (四)、课堂练习:练习册 1、2、5、6 (五)、课后作业:1.已知双曲线方程如下,求它们的两个焦点、离心率 e 和渐近线方程. (1)16x2-9y2=144;(2)16x2-9y2=-144. 2.求双曲线的标准方程:(1)实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上; (2)焦距是 10,虚轴长是 8,焦点在 y 轴上;
41

曲线的方程.

点到两准线及右焦点的距离. 作业答案:

距离为 7 四、教后反思:

42

§3.4.3
一、教学目标

直线与圆锥曲线的位置关系(一)

1、知识教学点:使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定,重点掌握直线与圆锥曲线相交 的有关问题. 2、能力训练点:通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究,培养学生综合运用直线、圆锥曲 线的各方面知识的能力. 3、学科渗透点:通过点与圆锥曲线的位置及其判定,渗透归纳、推理、判断等方面的能力. 二、教材分析 1.重点:直线与圆锥曲线的相交的有关问题.(解决办法:先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的 位置关系,再加以应用.) 2.难点:圆锥曲线上存在关于直线对称的两点,求参数的取值范围.(解决办法:利用判别式法 和内点法进行讲解.) 3.疑点:直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0 不是相切的充要条件.(解决办法:用图形 向学生讲清楚这一点.) 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)问题提出 1.点 P(x0,y0)和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系?它们的条件是什么? 引导学生回答,点 P 与圆锥曲线 C 的位置关系有:点 P 在曲线 C 上、点 P 在曲线 C 内部(含焦点区 域)、 点 P 在曲线的外部(不含焦点的区域). 那么这三种位置关系的条件是什么呢?这是我们要分 析的问题之一. 2.直线 l:Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C:f(x,y)=0 有哪几种位置关系? 引导学生类比直线与圆的位置关系回答.直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系可分为:相交、相切、 相离.那么这三种位置关系的条件是什么呢?这是我们要分析的问题之二. (二)讲授新课 1.点 M(x0,y0)与圆锥曲线 C:f(x,y)=0 的位置关系

43

的焦点为 F1、F2,y2=2px(p>0)的焦点为 F,一定点为 P(x0,y0),M 点到抛物线的准线的距离为 d,则有:(由教师引导学生完成,填好小黑板)

上述结论可以利用定比分点公式,建立两点间的关系进行证明. 2.直线 l∶Ax+Bx+C=0 与圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 的位置关系: 直线与圆锥曲线的位置关系可分为:相交、相切、相离.对于抛物线来说,平行于对称轴的直线 与抛物线相交于一点,但并不是相切;对于双曲线来说,平行于渐近线的直线与双曲线只有一个 交点,但并不相切.这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为:

注意:直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件,但不 是充分条件. 3.应用 求 m 的取值范围. 解法一:考虑到直线与椭圆总有公共点,由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求.
44

由一名同学演板.解答为:由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上,知:0<m<5.



∵直线与椭圆总有公共点, 即(10k)2-4x(m+5k2)?5(1-m)≥0,亦即 5k2≥

1-m 对一切实数 k 成立.∴1-m≤0,即 m≥1.故 m 的取值范围为 m∈(1,5). 解法二:由于直线过定点(0,1),而直线与椭圆总有公共点,所以定点(0,1)必在椭圆内部 或边界上,由点与椭圆的位置关系的充要条件易求. 另解:由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上知:0<m<5.又∵直线与椭圆总有公共点. ∴ 直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上. 故 m 的取值范围为 m∈(1,5), 小结:解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路易得,但计算量大;解法二 由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求,思路灵活,且简捷. 称,求 m 的取值范围. 解法一:利用判别式法. 并整理得: ∵直线 l′与椭圆 C 相交于两点,

45

解法二:利用内点法. 设两对称点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P1P2 的中点为 M(x0,y0),

∴y1+y2=3(x1+x2).(1)

小结:本例中的判别式法和内点法,是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法,类 似可解抛物线、双曲线中的对称问题. 练习 1:(1)直线过点 A(0,1)且与抛物线 y2=x 只有一个公共点,这样的直线有几条? (2)过点 P(2,0)的直线 l 与双曲线 x2-y2=1 只有一个公共点,这样的直线有几条?

46

由学生练习后口答:(1)3 条,两条切线和一条平行于 x 轴的直线;(2)2 条,注意到平行于渐近线 的直线与双曲线只有一个交点,故这样的直线也只有 2 条. 练习 2:求曲线 C∶x2+4y2=4 关于直线 y=x-3 对称的曲线 C′的方程. 由教师引导方法,学生演板完成.解答为:设(x′,y′)是曲线 C 上任意一点,且设它关于直线 y=x-3 的对称点为(x,y).

又(x′, y′)为曲线 C 上的点, ∴(y+3)2+4(x-3)2=4. ∴曲线 C 的方程为: 4(x-3)2+(y+3)2=4. (三)小结:本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件. (四)、布置作业 的值. 2.k 取何值时,直线 y=kx 与双曲线 4x2-y2=16 相交、相切、相离? 3.已知抛物线 x=y2+2y 上存在关于直线 y=x+m 对称的相异两点,求 m 的取值范围. 作业答案:1.由弦长公式易求得:k=-4 当 4-k2=0,k=±2, y=±2x 为双曲线的渐近 线,直线与双曲线相离当 4-k2≠0 时,△=4(4-k2)?(-6);(1)当△>0,即-2<k<2 时,直线与 双曲线有两个交点;(2)当△<0,即 k<-2 或 k>2 时,直线与双曲线无交点;(3)当△=0,即 k= ±2 时,为渐近线,与双曲线不相切。故当-2<k<2 时,直线与双曲线相交。当 k≤-2 或 k≥2 时,直线与双曲线相离。

五、教后反思:

47

§3.4.3
一、教学目标

直线与圆锥曲线的位置关系(二)

1、知识教学点:使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定,重点掌握直线与圆锥曲线相交 的有关问题. 2、能力训练点:通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究,培养学生综合运用直线、圆锥曲 线的各方面知识的能力. 3、学科渗透点:通过点与圆锥曲线的位置及其判定,渗透归纳、推理、判断等方面的能力. 二、教材分析 1.重点:直线与圆锥曲线的相交的有关问题.(解决办法:先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的 位置关系,再加以应用.) 2.难点:圆锥曲线上存在关于直线对称的两点,求参数的取值范围.(解决办法:利用判别式法 和内点法进行讲解.) 3.疑点:直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0 不是相切的充要条件.(解决办法:用图形 向学生讲清楚这一点.) 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) . 基本方法: 1. 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解 的情况的讨论来研究。即方程消元后得到一个一元二次方程,利用判别式⊿来讨论(注⊿≠0 时, 未必只有二个交点)。 2. 直线与圆锥曲线的位置关系,还可以利用数形结合、以形助数的方法来解并决。 3. 如果直线的斜率为 k,被圆锥曲线截得弦 AB 两端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则弦长公式 为:

(二).基本方法举例 例 1.当 k 为何值时, 直线 y=kx+k-2 与抛物线 y =4x 有两个公共点? 仅有一个公共点? 无公共点。 解:由

48

得 k x +2(k -2k-2)x+(k-2) =0 ⊿=-16(k -2k-1) 1).当⊿>0 时,即 1 ? 2 ? k ? 1 ? 2 且 k≠0 时有两个公共点。 2). 当⊿=0 时,即 k ? 1 ? 3).当 k ? 1 ? 2 或 k ? 1 ?

2 或 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点。 2 时,直线与抛物线无公共点。

点评: 本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题。 尤其是 k=0 时直线与抛物线有一个公共点, 而 k=0 时,⊿>0. 例 2.已知:A(-3,4),B(4,4)若线段 AB 与椭圆 x ?
2

y2 ? a 2 没有公共点。求正数 a 的取值范围。 2

解:线段 AB 的方程为 y=4 (-3≤x≤4)

得: x ? a ? 8
2 2

ⅰ.当 a ? 8 ? 0 时,方程组无解,即 0 ? a ? 2 2
2 2 ⅱ.当 a ? 8 ? 0 时,方程组无解,即或 a ? 2 6

?0 ? a ? 2 2 或a ? 2 6
点评:本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解。

x2 ? y 2 ? 1 及点 B(0,-2)过左焦点 F 与 B 的直线交椭圆于 C 、D 两点,椭圆的 例 3.已知:椭圆 2
右焦点为 F2 ,求⊿CDF2 的面积。 解:∵ F1(-1,0) ∴ 直线 BF1 的方程为 y= -2x-2 代入椭圆方程得:

9 x 2 ? 16 x ? 6 ? 0

又∵ 点 F2(1,0)到直线 BF1 的距离 d ?

4 5 5

49

∴ S ?CDF2 ?

1 4 CD ? d ? 10 2 9

点评:本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题,这是一种基本的解题方法。 (三) 、利用数形结合的思想解题 例 4.过点(0,2)的直线 l 与抛物线 y =4x 仅有一个公共点,则满足条件的直线 l 有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 C )

y2 x2 例 5.不论 k 为何值,直线 y=kx+b 与椭圆 ? ? 1 总有公共点,求 b 的取值范围。 9 4
解:观察演示可得: b ? ?? 3,3? 例 6.过双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,|AB|=4 ,则这样的直线存 2
B.二条 C.三条 D.四条

在( C )

A.一条

(四).总结:1. 利用基本方法,如对方程组解的讨论、弦长公式等是解决问题的基本方法。2. 数形结合、以形助数是我们解决问题的一个重要思想。 (五) .作业:1、直线 y ? kx ? 2 交抛物线 y ? 8 x 于 A、B 两点,若 AB 的中点横坐标等于 2,
2

求 AB 。 2、已知双曲线 C: 2 x ? y ? 2 与点 P(1,2) , (1)求过 P(1,2) 点的直线 l 的斜率 k 的取值范围,
2 2

使 l 与 C 分别有一个交点、两个交点、没有交点。 (2)是否存在过点 P 点的弦 AB,使 A、B 中点 为 P ?(3)若 Q(1,1) ,试判断以 Q 点为中点的弦是否存在。

? 的直线 l 与线 4 段 OA 相交, (不过点 O 或点 A) ,且交抛物线于 M、N 两点,求 ?AMN 面积的最大值时 l 的方程,
3、如图所示,已知抛物线 y ? 4 x 的顶点为 O,点 A 的坐标为 (5,0) ,倾斜角为
2

并求 ?AMN 的最大面积。 4、 已知圆锥曲线 C 经过定点 P(3,2 3 ) , 它的一个焦点为 F (1,0) , 对应于该焦点的准线为 x ? ?1 , 过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB,若弦 AB 的长度不超过 8,且直线 AB 与椭圆 3x ? 2 y ? 2 相交
2 2

与不同的两点,求(1)AB 的倾斜角 ? 的取值范围。 (2)设直线 AB 与椭圆相交于 C、D 两点,求 CD 中点 M 的轨迹方程。 五、教后反思:

50

§3.4.1 曲线与方程
一、教学目标:1.了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系, 感受数形结合的基本思想;2.根据曲线方程的概念解决一些简单问题. 二、教学重点,难点:教学重点:曲线方程的概念 ;教学难点:曲线方程概念的理解. 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) .问题情境 1 .情境: 在学习圆的方程时,有这样的叙述: “以 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的方程是

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ” .
2.问题: 怎样理解这个表述? (二) .学生活动 在学习圆的方程时,有这样的叙述: “ 以 C (a, b) 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 的 方 程 是

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ”. 这 句 话 的 含 义 是 , 圆 C 上 的 点 的 坐 标 ( x ,y )都 是 方 程
2 2 ( x ? a) ? ( y ? b2) ? 的解,且以方程 r ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的解为坐标的点都在圆 C 上.

(三) .新知探究 1、圆的方程及其意义 2、 两坐标轴所成的角位于第一、 三象限的平分线的方程是 x-y=0.这就是说, 如果点 M (x0,y0) 是这条直线上的任意一点,它到两坐标轴的距离一定相等,即 x0=y0,那么它的坐标(x0,y0)是方 程 x-y=0 的解;反过来,如果(x0,y0)是方程 x-y=0 的解,即 x0=y0,那么以这个解为坐标的点 到两轴的距离相等,它一定在这条平分线上. 3、函数 y=x 的图象是关于 y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程 y=x 的解为坐标的 点组成的.这就是说,如果 M(x0,y0)是抛物线上的点,那么(x0,y0)一定是这个方程的解;反过 来,如果(x0,y0)是方程 y=x 的解,那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上,这样,我们就说
2 2 2

y=x2 是这条抛物线的方程.
4、 在直角坐标系中, 如果其曲线 c 上的点与一个方程 F(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线 c 上的点的坐标都是方程 F(x,y)=0 的解; (2)以方程 F(x,y)=0 的解为坐标的点都是曲 线 c 上的点 那么,方程 F(x,y)=0 叫做曲线 c 的方程;曲线 c 叫做方程 F(x,y)=0 的曲线.
51

5.从集合的角度看,曲线 c 上所有点组成的集合记作 A;B 是所有以方程 F(x,y)=0 的实数 解为坐标的点组成的集合 关系(1)指集合 A 是集合 B 的子集,关系(2)指集合 B 是集合 A 的子集. 这样根据集合的性质,可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线” , 即:

(1) A ? B ? ?? A?B ( 2 ) B ? A?

一般地,如果曲线 C 上点的坐标 ( x, y ) 都是方程 f ( x, y ) ? 0 的解且以方程 f ( x, y ) ? 0 的解

( x, y ) 为坐标的点都在曲线 C 上,那么方程 f ( x, y) ? 0 叫做曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 f ( x, y) ? 0的曲线.
(四) .知识运用 例 1.判断点 (2, 2 3) , (3,1) 是否是圆 x ? y ? 16 上.
2 2

分析:判断点是否在曲线上,就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解,即点坐标是否满足曲线 方程.
2 2 解:∵ 2 ? (2 3) ? 4 ? 12 ? 16 ,即点 (2, 2 3) 的坐标是方程 x ? y ? 16 的解,
2 2

所以该点在圆上. ∵ 3 ? 1 ? 10 ? 16 ,即点 (3,1) 的坐标不是圆方程 x ? y ? 16 的解,
2 2
2 2

所以该点不在这个圆上. 例 2. 已知一座圆拱桥的跨度是 36m , 圆拱高为 6m , 以圆拱所对的弦 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系 xOy (如图所示) ,求圆拱的方程. 解:依据题意,圆拱桥所在圆的圆心在 y 轴上,可设为 O1 (0, b) ,设圆拱所在圆的半径为 r ,那 么圆上任意一点 P( x, y ) 应满足 O1 P ? r ,即

( x ? 0) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 即 ( x ? 0)2 ? ( y ? b) 2 ? r 2
∵点 B(18,0), C (0,6) 的圆上, ∴?

y

?(18 ? 0) ? (0 ? b) ? r ?b ? ?24 ? 解得 ? 2 2 2 ? ? r ? 30 ?(0 ? 0) ? (6 ? b) ? r
2 2 2

x

由于圆拱只是它所在的圆位于 x 轴上方的一部分 (包括 x 轴上的
52

点) ,所以,圆拱的方程是 x ? ( y ? 24) ? 30 (0 ? y ? 6)
2 2 2

例 3.画出方程的曲线: log x y ? log y x ? 0 .

?lg y ? ? lg x ? 解:由 log x y ? log y x ? 0 ,得: ? x ? 1 , ?y ? 1 ?

即原方程的曲线等价于 y ?

1 (图略) . ( x ? 0, x ? 1) 或 y ? x( x ? 0, x ? 1) , x

说明: (1)围绕曲线的方程和方程的曲线说明;
(2)方程的变形要做到同解变形。 (五) .课堂练习:课本 P86 页 1、2、3 (六) 、回顾小结:1.掌握曲线的方程与方程的曲线的概念;2.会作曲线的图象。 (七) 、作业布置:课本习题 3-4A 组中 1、2、4 五、教后反思: B 组中 4

53

§

由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质

一、教学目标:1.初步掌握求曲线的方程的方法;2.能利用方程讨论曲线的简单性质 二、教学重难点:1.初步掌握求曲线的方程的方法;2.能利用方程讨论曲线的简单性质 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、复习:曲线的方程,方程的曲线的概念 (二) 、探究新课 1、求解曲线方程的一般步骤. 例 1、设 A、B 两点的坐标是(-1,-1) , (3,7) ,求线段 AB 的垂直平分线的方程. 解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上任意一点,也就是点 M 属于集合

P ? ?M | MA |?| MB |? .
由两点间的距离公式,点 M 所适合条件可表示为:

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( y ? 7) 2
将上式两边平方,整理得:x+2y-7=0 我们证明方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程. (1)由求方程的过程可知,垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解; (2)设点 M1 的坐标(x1,y1)是方程①的解,即 ①

x+2y1-7=0

x1=7-2y1

点 M1 到 A、B 的距离分别是

M 1 A ? ( x1 ? 1) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ? (8 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 1) 2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13) ;

M 1 B ? ( x1 ? 3) 2 ? ( y1 ? 7) 2 ? (4 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 7) 2 ? 5( y12 ? 6 y1 ? 13) ? M1 A ? M1B ,
即点 M1 在线段 AB 的垂直平分线上. 由(1) 、 (2)可知方程①是线段 AB 的垂直平分线的方程.

54

由上面的例子可以看出,求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)}; (3)用坐标表示条件 P(M) ,列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可 适当予以说明.另外,根据情况,也可以省略步骤(2) ,直接列出曲线方程. 例 2、长为 2a ( a 是正常数 ) 的线段 AB 的两端点 A, B 分别在相互垂直的两条直线上滑 动,求线段 AB 中点 M 的轨迹. 解:分别以两条互相垂直的直线为坐标轴,建立如图 所示的直角坐标系 xOy ,设 M 的坐标为 ( x, y ) ,∵

y

?ABC 是直角三角形, M 为斜边 AB 的中点,所以
OM ? 1 AB ? a 即 2
x2 ? y 2 ? a 两 边 平 方 , 得

B
O

M

x2 ? y 2 ? a2
所以,动点 M 的轨迹是以原点为圆心, a 为半径的圆.

A

x

例 3、求平面内到两定点 A, B 的距离之比等于 2 的动点 M 的轨迹方程. 解:以 A, B 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立(如 图 ) 直 角 坐 标 系 x O y , 令 A B ? 2 a, 则 A, B 两 点 的 坐 标 分 别 为

y
C

(?a , 0 ) ,a( , .设 0 ) M 点坐标为 ( x, y ) ,依据题意,点 M 满足
由 MA ?

MA ?2 MB

A

O

B x

( x ? a ) ? y , MB ? ( x ? a) ? y ,得
2 2 2 2

( x ? a) 2 ? y 2 ( x ? a) 2 ? y 2

? 2,

化简整理,得 3x ? 3 y ? 10ax ? 3a ? 0 .
2 2 2

所以,动点 M 的轨迹方程为 3x ? 3 y ? 10ax ? 3a ? 0 .
2 2 2

2、利用方程研究曲线的性质: 【例 4 见教材第 85 页例题】 (三)小结:本节课我们学习了求曲线的方程的方法以及利用方程讨论曲线的简单性质。求曲线

55

(图形)的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线 上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)}; (3)用坐标表示条件 P (M) ,列出方程 f(x,y)=0;(4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为 坐标的点都是曲线上的点.说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省 略不写,如有特殊情况,可适当予以说明.另外,根据情况,也可以省略步骤(2) ,直接列出曲线 方程。 (四) 、课堂练习:过 M (1,3) 作两互相垂直的直线 l1 和 l 2 ,l1 交 x 轴于点 A ,l 2 与 y 轴交于点 B , 求线段 AB 中点的轨迹方程。 解: (转移法或称相关点法)设 P( x, y ) 是轨迹上任一点,设 A( x A ,0) , B(0, y B ) ∴x ?

xA y , y ? B ,∴ A(2 x,0) , B(0,2 y ) ,∵ l1 ? l 2 2 2

若 l1 与 l 2 的斜率都存在( 2 x ? 1 ) ,则 k1 ? k 2 ? ?1 ,且 k1 ? ∴

3 2y ? 3 , k2 ? , 1 ? 2x ?1

3 1 1 , ∴ x ? 3 y ? 5 ? 0( x ? ) , ? 1 ? 2x 2 y ? 3 2

若 l1 的斜率不存在,则 A(1,0) , B(0,3) ,则中点 M ( , ) 代入方程 x ? 3 y ? 5 ? 0 适合, ∴所求轨迹方程为 x ? 3 y ? 5 ? 0 . (五) 、课后作业:练习册 66 页 2、4、5、6 五、教后反思:

1 3 2 2

56

§3.4.2

圆锥曲线的共同特征

一、教学目标:1、知识与技能:通过本节的学习,掌握圆锥曲线的共同性质,理解离必率、焦 点、准线的意义。2、过程与方法:教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、 类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。3、情感、态度与价值观:通过本节的学习,可以培 养我们观察、猜想、归纳、推理的能力,感受圆锥曲线的统一美。 二、教学重点:圆锥曲线第二定义的推导;教学难点:对圆锥曲线第二定义的理解与运用 三、教学方法:讨论发现法 四、教学过程 (一) 、知识回顾 1、学生看课本 P24《椭圆的标准方程》 、P32《双曲线的标准方程》 思考:
2 2 2 在推导椭圆的标准方程时,我们曾得到这样的一个式子: a ? cx ? a ( x ? c ) ? y ,

将其变形为:

( x ? c) 2 ? y 2 a ?x c
你能解释这个式子的意义吗?
2

?

c , a

这个式子表示一个动点 P(x,y)到定点(c,0)与到定直线 x ? 么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗? (二) 、新课探究

a2 c 的距离之比等于定值 ,那 c a

例 1 、已知点点 P ( x , y)到定点 F( c , 0)的距离与到定直线 l : x ?

a2 的距离之比是常数 c

c (a ? c ? 0) ,求点 P 的轨迹。 a
解:由题意可得

( x ? c) 2 ? y 2 a ?x c
2 2 2 2

2

?

c a

化简得 (a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ) 。
2 2 2 2

令 a 2 ? c 2 ? b 2 ,则上式可以化为

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 这是椭圆的标准方程。 a2 b2
57

所以点 P 的轨迹是焦点为(c,0) , (-c,0) ,长轴长、短轴长分别为 2a、2b 的椭圆。 变式:若将条件 a ? c ? 0 改为 0 ? a ? c 呢? 由上例知,椭圆上的点 P 到定点 F 的距离和它到一条定直线 l (F 不在 l 上)的距离的比是一个常 数,这个常数就是椭圆的离必率 e 类似地,可以得到:双曲线上的点 P 到定点 F(c,0)的距离和它到定直线 l : x ? ( c ? a ? 0, b ? c ? a )的距离的比是一个常数,这个常数
2 2 2

a2 c

c 就是双曲线的离心率 e 。 a

圆锥曲线的共同定义 :圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l (F 不在定直线 l 上)
的距离之比是一个常数 e 。 这个常数 e 叫做圆锥曲线的离心率,定点 F 就是圆锥曲线的焦点,定直线 l 就是该圆锥曲线的准 线。 注: (1)椭圆的离心率 e 满足 0< e <1,双曲线的的离心率 e >1,抛物线的的离心率 e =1。 (2)根 据图形的对称性知,椭圆和双曲线都有两条准线,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆或双曲 线,准线方程都是 x ? ?

a2 ;对于中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆或双曲线,准线方程都是 c

y??

a2 。 (3)圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系,使焦点、离心率和准线等构成 c

一个和谐的整体,当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时,常考虑第二定 义;当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和(或差)为常数时,常考虑第一定义。 (三) 、新知巩固:学生练习:见课本 P87 1、2

(四) 、 知 识 拓 展 : 椭圆 的 焦 半 径 公 式 : 若 P ( x , y ) 是 椭 圆 上 任 一 点 , F1 、 F2 是 椭 圆

x2 y2 PF2 ? a ? ex ;若 P(x,y) ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点和右焦点,则 PF1 ? a ? ex, a2 b2
是 椭 圆 上 任 一 点 , F1 、 F2 是 椭 圆

y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的 下 焦 点 和 上 焦 点 , 则 a2 b2

PF1 ? a ? ey, PF2 ? a ? ey ;
例 2、若椭圆的长轴长是短轴长的 4 倍,一条准线方程是 y ? ?4 ,求椭圆的标准方程。

58

a ? ? c ?4 2 2 2 2 2 解 析 : ? a ? 2b , c ? a ? b ,? b ? 3, a ? 12, ? ?
2

所以椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1 3 12
例 3 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有一点 P,到其左、右焦点距离之比为 1:3,求点 P 到两准线的 100 36

距离及点 P 的坐标。 解析: a ? 10, b ? 6, c ? 8, e ?

PF1 4 1 , PF1 ? PF2 ? 20, ? 5 PF2 3,
PF2 d2 ? e , d1 ?

PF1 ? 5, PF2 ? 15,

PF1 d1

? e,

25 75 75 25 , d 2 ? 或d1 ? ,d 2 ? 4 4 4 4

PF2 ? a ? ex 得 x ? ? 由 PF1 ? a ? ex,

25 25 3 39 或x ? ,y ? ? 。 4 4 4

(五) 、课堂小结:1、圆锥曲线的共同性质;2、椭圆第二定义的简单应用。 (六) 、课堂作业:课本 P89 习题 2-3 第 6 题;练习册 3、4、6 五、教后反思

59

§3

圆锥曲线与方程小结与复习(一)

一、教学目标:1、通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们 之间的区别与联系;2、通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧,尤其是解 析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想 以及“应用数学”的意识;3、结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育。 二、教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质。教学难点:做好思路分析,引导学生找到解 题的落足点。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (Ⅰ)圆锥曲线知识梳理 (一) 、椭圆 1.定义 (1)第一定义:若 F1,F2 是两定点,P 为动 点,且 PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 则 P 点的轨迹是椭圆。 (2)第二定义:若 F1 为定点,l 为定直线,动点 P 到 F1 的距离与到定直线 l 的距离之比为常 数 e(0<e<1) ,则 P 点的轨迹是椭圆。 (3)焦半径: ( a 为常数)

a2 a2 PF1 ? e( x ? ) ? ex ? a , PF2 ? e( ? x) ? ex ? a c c
2.标准方程: (1)焦点在 x 轴上:

x2 y2 y 2 x2 ;焦点在 轴上: ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) ; ( a ? b ? 0 ) y a 2 b2 a2 b2

(2)焦点的位置 ? 标准方程形式 3.几何性质(以焦点在 x 轴上为例) (1)范围: ?a ? x ? a 、 ?b ? y ? b (2)对称性:长轴长= 2a ,短轴长=2b,焦距=2c

a c (3)离心率 e ? ,准线方程 x ? ? c a

2

60

( 4 )有用的结论: PF1 ? 2a ? PF2 , a ? c ? PF1 ? a ? c , A1 F1 ? A2 F2 ? a ? c ,

A1 F2 ? A2 F1 ? a ? c ,顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与 a, b, c 有关.
(5) ?PF1 F2 中经常利用余弦定理 、三角形面积公式 将有关线段 PF1 、 PF2 、2c,有关角 .... .......

?F1 PF2 结合起来,建立 PF1 + PF2 、 PF1 ·PF2 等关系
(6)椭圆上的点有时常用到三角换元: ? (二) 、双曲线 1.定义: (1)第一定义:若 F1,F2 是两定点, PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) ,则 动点 P 的轨迹是双曲线。 (2)第二定义:若动点 P 到定点 F 与定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1) ,则动点 P 的轨迹是双

? x ? a cos ? (椭圆的参数方程) ? y ? b sin ?

a2 曲线。 ( 3 )焦半径(点 P 在右支) : PF1 ? e( x ? ), c

PF2 ? e( x ?

a2 ) c

2.标准方程 (1)焦点在 x 轴上:

x2 y2 ? ?1 a2 b2

(a ? 0, b ? 0) ; 焦 点 在 y 轴 上 :

y2 x2 ? ?1 a2 b2

(a ? 0, b ? 0) .
(2)焦点的位置 ? 标准方程形式 3.几何性质(以焦点在 x 轴上为例) (1)范围: x ? a 或 x ? ?a 、 y ? (??, ??) (2)对称性:实轴长= 2a ,虚轴长=2b,焦距=2c.

a c (3)离心率 e ? ,准线方程 x ? ? c a

2

x2 y2 b (4)渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x .与此有关的结论:若渐近线方程为 a b a

61

x y x y x y b 若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线, y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? ; a b a b a b a
可设为

2

2

2

2

x2 y2 ? ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上; ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). a2 b2

(5)当 a ? b时 ? 离心率 e ? 轴双曲线,可设为 x ? y ? ? ;
2 2

2 ? 两渐近线互相垂直,分别为 y= ? x ,此时双曲线为等

(5)注意 ?PF1 F2 中结合定义 PF1 ? PF2 ? 2a 与余弦定 理 cos ?F1 PF2 ,将有关线段 PF1 、 PF2 、 F1 F2 和角结合起 来。 (三) 、抛物线 1.定义:到定点 F 与定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛 物线。即:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比是常数 e (e=1) 。 2.标准方程(以焦点在 x 轴的正半轴为例) : y ? 2 px( p ? 0) (其中 p 为焦点到准线的距
2

离——焦参数) ; 3.几何性质

p p p 焦半径: CF ? x0 ? , ,0) ,通径 AB ? 2 p ,准线:x ? ? ; 2 2 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x2 ? p . 2 2 p (2)几何特征:焦点到顶点的距离= ;焦点到准线的距离= p ;通径长= 2 p (通径是最短 2
(1) 焦点:( 的焦点弦) ,顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

y 2 ( 3 )抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y ? ) 或 P(2 pt , 2 pt ) 或 P ( x? , y? ) ,其中 2p
2

2

y?2 ? 2 px?
(四) 、直线与圆锥曲线的关系判断 1.直线与双曲线:当直线与双曲线的渐进线平行时,直线与双曲线仅有一个交点. 2.直线与抛物线:当直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线仅有一个交点. (五) 、圆锥曲线的统一定义:平面内的动点 P(x,y)到一个定点 F(c,0)的距离与到不通过这个定
62

点的一条定直线 l 的距离之 比是一个常数 e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点 F(c,0)称为焦点,定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率.当 0<e<1 时,轨迹为椭 圆;当 e=1 时,轨迹为抛物线;当 e>1 时,轨迹为双曲线。 (Ⅱ) 、课堂练习:课本复习题三 A 组 1、2、3 (Ⅲ) 、作业布置:课本复习题三 A 组 4、5、6、7 五、教后反思:

63

§3.4.2

圆锥曲线与方程小结与复习(二)

一、教学目标:1、通过小结与复习,使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们 之间的区别与联系。2、通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧,尤其是解 析几何的基本方法――坐标法;并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想 以及“应用数学”的意识。3、结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育。 二、教学重点:三种曲线的标准方程和图形、性质。教学难点:做好思路分析,引导学生找到解 题的落足点。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程: (一) 、范例探析: 例 1、 根据下列条件,写出椭圆方程
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⑴ 中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8; ⑵ 和椭圆 9x +4y =36 有相同的焦点,且经过点(2,-3); ⑶ 中心在原点,焦点在 x 轴上,从一个焦点看短轴两端的视角为直角,焦点到长轴上较近顶点的 距离是 10- 5
王新敞
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2

2

分析: 求椭圆的标准方程,首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据 a =b +c 及已知条件 确定 a 、b 的值进而写出标准方程
2 2
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2

2

2

解 ⑴ 焦点位置可在 x 轴上,也可在 y 轴上,因此有两解:

x y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 16 12 16 12

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x2 y2 ⑵ 焦点位置确定,且为( 0 , ? 5 ) ,设原方程为 2 ? 2 ? 1 ,(a>b>0) ,由已知条件有 a b
?a 2 ? b 2 ? 5 y2 x ? ? a 2 ? 15, b 2 ? 10 ,故方程为 ? ?1 ?9 4 15 10 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
⑶ 设椭圆方程为

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?b ? c x2 y2 2 2 2 ? 2 ? 1 ,(a>b>0)由题设条件有 ? 及 a =b +c ,解得 2 a b ?a ? c ? 10 ? 5

x y2 ? ?1 b= 5 , a ? 10 ,故所求椭圆的方程是 10 5

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64

例 2、从椭圆

x2 y2 ? ? 1 ,(a>b>0)上一点 M 向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点 F1,A、B 分 a2 b2
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别是椭圆长、短轴的端点,AB∥OM 设 Q 是椭圆上任意一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于 另一点 P,若⊿F2PQ 的面积为 20 3 ,求此时椭圆的方程
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解 可用待定系数法求解 ∵b=c,a= 2 c,可设椭圆方程为
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x2 y2 ? ?1 2c 2 c 2

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∵ PQ ⊥ AB, ∴ kPQ=-

1 k AB

?

a ? 2 , 则 PQ 的 方 程 为 y= 2 (x-c) , 代 入 椭 圆 方 程 整 理 得 b 6 2 2 6 c ,又点 F1 到 PQ 的距离 d= c 5 3

5x -8cx+2c =0,根据弦长公式,得 PQ =

2

2

∴ S ?F1PQ ?

4 3 2 4 3 2 1 c ,由 c ? 20 3,得c 2 ? 25, 故 所 求 椭 圆 方 程 为 PQ d ? 5 5 2

x2 y2 ? ?1 50 25

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例 3、 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲线的
2 2

同一支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上? 解: 把 y ? kx ? 1 代入 3x ? y ? 1 整理得: (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0 ??(1)
2 2 2 2

2 当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a 由 ? >0 得 ? 6 ? a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双
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曲线有两个交点 若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x2 ?
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2 >0 ,所以 a?? 3 或 a? 3 a ?3
2

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故当 ? 6 ? a?? 3 或 3 ? a 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3 ? a 3 时,A、B 两点在双曲线 的两支上 例 4、
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已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 A(2,1)的直线与已知双曲线交于 P、Q 两点 (1)求 2
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PQ 中点的轨迹方程; (2)过 B(1,1)能否作直线 l ,使 l 与所给双曲线交于两点 M、N,且 B 为 MN 的中点,若存在,求出 l 的方程,不存在说明理由
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解: (1)设 P(x1,y1) 、Q(x2,y2),其中点为(x,y),PQ 的斜率为 k,若 PQ 的斜率不存在显然(2, 0) 点是曲线上的点 若 PQ 的斜率存在, 由题设知:x1 ?
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2

y1 ?1? (1) 2

2

x2 ?

2

y2 ? 1 ?(2) 2

2

65

(2)-(1)得: ( x1 ? x2 )( x2 ? x1 ) ? 又k ?

x ? x2 k ( y1 ? y2 )( y2 ? y1 ) x k ? ,即 ? ?(3) ? 0? 1 y1 ? y 2 2 y 2 2

y ?1 2 2 代入(3)整理得: 2 x ? y ? 4 x ? y ? 0 x?2
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(2)显然过 B 点垂直 X 抽的直线不符合题意 只考虑有斜率的情况 设 l 的方程为 y-1=k(x-1)
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代入双曲线方程 x ?
2

y2 ? 1 ,整理得: 2 ? k 2 x 2 ? 2k ?1 ? k ?x ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ?※ 2

?

?

设 M(x1,y1) 、N(x2,y2)则有 x1 ? x2 ?

2k ?1 ? k ? ? 2 解得: k =2 2?k2
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又直线与双曲线必须有两不同交点,所以※式的 ? ? 4k ?1 ? k ? ? 4 2 ? k
2 2

?

2

??k

2

? 2k ? 3 ? o

?

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把 K=2 代入得 ? ? ?8 <0,故不存在满足题意的直线 l
2

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例 5、 已知抛物线方程为 y ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且被抛物 线截得的弦长为 3,求 p 的值. 解:设 l 与抛物线交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3. 由距离公式|AB|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 = 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2 | y1 ? y2 | 则有 ( y1 ? y2 )2 ? 9 . 2
k

2

由 ? x ? y ? ?1 ? 2 ,消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0. ?
? y 2 ? 2 p ( x ? 1). ?

?

p

? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0.

? y1 ? y 2 ? ?2 p, y1 y 2 ? ? p 2 .

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ,即(?2 p) 2 ? 4 p 2 ? 9 . 由于 p>0,解得 p ?
2

3 4

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例 6、 如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0) (m>0) ,端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m , 以 x 轴为对称轴,过 A,O,B 三点作抛物线
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,求m 的取值范围 (1)求抛物线方程; (2)若 tg?AOB ? ?1
解: (1)当 AB 不垂直 x 轴时,设 AB 方程为
y ? k ( x ? m).抛物线方程y 2 ? 2 px( p ? 0)

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y

A

O

? y ? k ( x ? m) 得k y2 ? 2 py ? 2 pk m ? 0,? y1 y 2 ? ?2 pm ?| y1 y 2 ? 2 y ? 2 px ?

M B

x

|

? 2 pm ? 2m

66

? p ? 1.当AB ? X轴时, A, B分别为(m, 2 Pm ), (m,? 2 pm ),由题意有2 pm ? 2m, p ? 1 ,

故所求抛物线方程为 y 2 ? 2 x. (2)设 A( y1 , y1 ), B( y 2 , y 2 )由(1)知 2 2 2 ? | y1 ? y 2 |? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 4 ? 8m , y1 y 2 ? ?2m, y1 ? y 2 ? k k2
又tg?AOB ? ?1
| ? | 2 2 k1 ? , k2 ? , ? y1 y2 ? ?1 y1 y2 4 1? y1 y2 2 2 即y1 y2 ? 4 ? 2 | y1 ? y2 |,? ?2m ? 4 ? 2 4 ? 8m k2
2 2

①, 平方后化简得 m 2 ? 12m ? 4 ? 4
k2 ? m 2 ? 12 m ? 4 ? 0, ? m ? 6 ? 4 2或m ? 6 ? 4 2

又由①知 ? 2m ? 4 ? 0,? m ? 2 ? m 的取值范围为 0 ? m ? 6 ? 4 2当m ? 6 ? 4 2且AB ? x 轴时,
y1 ? 2( 2 ? 1), y 2 ? ?2( 2 ? 1), y1 y 2 ? ?4( 2 ? 1) 2 ? ?2m. tan ?AOB ? ?1 符合条件,

故符合条件的 m 取值范围为 0 ? m ? 6 ? 4 2. (二) 、课堂练习: 1. 直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 1 的左支仅有一个公共点, 求 K 的取值范围 答案:? 1? k ? 1
2 2
王新敞
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或k ?

2
2

2.已知双曲线 x ?

y2 ? 1 与点 P(1,2) ,过 P 点作直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,若 P 为 AB 2
王新敞
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的中点(1) 求直线 AB 的方程(2) 若Q为 (-1, -1) , 证明不存在以 Q 为中点的弦 答案 AB: x-y+1=0
王新敞
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王新敞
奎屯

新疆

3.双曲线 x ?
2

y2 ? 1( x ? 1) ,一条长为 8 的弦 AB 的两端在曲线上运动,其中点为 M,求距 Y 轴 3
?5 ?2 ? 15 ? ? 2 ? ?

最近的点 M 的坐标 答案: ? ,
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(三) 、小结 : (1)直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种。 (2)判断其位置关系看直 线是否过定点,在根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置 关系(3)可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系 但有一解不一定是相切,
王新敞
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要根据斜率作进一不的判定。 (四) 、课后作业:课本复习题三 五、教后反思:
67

A 组 8、9

B 组 2、3



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